módulo 2

Facultad de Informática
Módulo 2 – Números
Matemática 0 UNLP Curso de Ingreso 2013 – Matemática 0 Página 1 Facultad de Informática
Módulo 2 – Números
Contenido T1. NÚMEROS NATURALES: (N)
3
T
2.
Ejercicios 3
Orden Usual 4
NÚMEROS ENTEROS: (Z)
4
Ejercicios 4
Regla de los signos 4
Ley de Monotonía 5
Ejercicio
5
Números Pares e Impares 5
Divisibilidad 5
Ejercicios
3.
5
NÚMEROS RACIONALES: (Q)
6
Ejercicios 7
Orden en Q 7
4.
NÚMEROS IRRACIONALES: (I)
8
5.
NÚMEROS REALES: (R)
8
5.1
Propiedades 5.2 Potencia de un número real y exponente entero Ejercicios
5.3 Radicación 6.
9
10
11
Racionalización de Denominadores
Ejercicios 7.
8
13
13
Potencias de Exponente Racional
Ejercicios Curso de Ingreso 2013 – Matemática 0 15
16
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Módulo 2 – Números
MÓDULO 2
Este módulo tiene por objetivo recordar y clarificar las propiedades de las operaciones
en los conjuntos numéricos que se consideran imprescindibles para seguir adelante.
Al finalizar el mismo el alumno debe ser capaz de:
a) Identificar los distintos tipos de números
b) Aplicar correctamente las propiedades de las operaciones.
1. NÚMEROS NATURALES: (N)
Este conjunto de números, que es de cardinal infinito, aparece como su nombre
lo indica en forma natural, más precisamente cuando el hombre necesitó
contar objetos, por ejemplo: los días de la semana son 7.
Este conjunto, simbolizado con la letra N, tiene como elementos:
N= {0,1,2,....,20,21,....152,153,........} y esta sucesión continúa indefinidamente.
Con los naturales también se pueden expresar ordenamientos, por ejemplo:
se ordenan los planetas a partir del sol, la Tierra es el tercero y Marte es el
cuarto.
Además dadas dos colecciones de objetos se pueden comparar sus
cantidades:
“La tierra tiene menos satélites que Júpiter”
Surgen las siguientes preguntas:
¿N tiene primer elemento?, ¿cuál es?, ¿tiene último elemento?
Consideremos las dos operaciones fundamentales en N, suma y producto, y
veamos sus propiedades:
1) La suma de dos números naturales es un número natural.
2) El 0 es tal que sumado con cualquier otro número no lo modifica.
3) Si se consideran 3 números naturales la suma de los dos primeros más
el tercero resulta igual que si al primero se le suma el resultado de la
suma de los otros dos.
4) La suma de números naturales es conmutativa.
Ejercicios
1) Expresar simbólicamente las 4 propiedades anteriormente enunciadas.
Curso de Ingreso 2013 – Matemática 0 Página 3 Facultad de Informática
Módulo 2 – Números
2) Enunciar las propiedades del producto de números naturales, en
lenguaje corriente y simbólicamente.
3) ¿Cuál es la propiedad que enlaza la suma y el producto de naturales?
Definirla.
Orden Usual
Dados a y b ε N se cumple: a < b, a > b ó a = b.
2. NÚMEROS ENTEROS: (Z)
En N, la resta sólo está definida si el minuendo es mayor o igual al sustraendo.
Para que dicha operación no sea tan restringida se creó el conjunto de enteros
negativos (notado por - N).
Para ello para cada n ε N se introduce el opuesto de n, notado - n tal que
n + (-n) = 0
Entonces Z = N U (-N)
Los números negativos se consideran menores que 0 en el orden usual de los
enteros.
A los naturales se los llama enteros positivos, siendo mayores o iguales que 0.
Importante
Cuando un número se simboliza con letras, por ejemplo a, la presencia de
un signo - ante el mismo no significa que –a es negativo sino que es el
opuesto de a.
Ejercicios
1) Enunciar las propiedades de la suma y el producto de números enteros
2) Hallar todos los números invertibles de Z
Regla de los signos
Es POSITIVO el producto de dos enteros positivos o negativos.
Es NEGATIVO el producto de un positivo y un negativo (en cualquier orden).
(+).(+) = +
(-) .(-) = +
Curso de Ingreso 2013 – Matemática 0 (+).(-) = (-) .(+) = -
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Módulo 2 – Números
Ley de Monotonía
Si a, b y c ∈ Z y a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c
Ejercicio
Ejemplificar la Ley de Monotonía con distintas combinaciones en los signos de
a, b y c.
Números Pares e Impares
Dentro del conjunto de los enteros se distinguen dos subconjuntos cuya unión
componen a Z, ellos son el conjunto de los números pares y el conjunto de los
números impares.
DEFINICIÓN
Un número entero n es par si y sólo si existe un entero k tal que n = 2k.
DEFINICIÓN
Un número entero n es impar si y sólo si es el siguiente de un número par.
Por lo tanto si n es impar se cumple que n = 2k + 1, con k ∈ Z.
Divisibilidad
Sean a, b ∈ Z, decimos que b divide a a si existe un entero k tal que a = k b.
Ejercicios
1) Hallar los divisores del 0.
2) Justificando claramente cada paso probar que a + b = a + c ⇒ b = c
3) Ídem 2) a + b = 0 ⇒ b = − a
Otro concepto importante en la teoría de Números Enteros es el de Número Primo.
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Módulo 2 – Números
DEFINICIÓN
Un número entero se dice primo si tiene exactamente 4 divisores: la unidad,
el propio número y sus respectivos opuestos.
Ejercicios
1) Sea A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} .Hallar los elementos primos de A. Justificar.
2) Si un número es primo, ¿qué se puede decir de su opuesto?
3) Hallar la descomposición en primos del número 340.
3.
NÚMEROS RACIONALES: (Q)
La operación de dividir no es siempre posible en el conjunto Z de los números
enteros.
Veamos: puede efectuarse 12: 4 pues existe un entero, el 3, tal que 4. 3 = 12.
Pero, no ocurre lo mismo con 4: 12 ó - 3: 7, por lo tanto esta imposibilidad nos
conduce a ampliar a Z definiendo un conjunto en el que la división sea
realizable en dicho conjunto.
Vamos a definir ahora formalmente este nuevo conjunto que se denomina
conjunto de los números racionales y se simboliza con la letra Q.
Q = {m/n; m, n ε Z y n ≠0}
Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el
resultado es un número racional.
En Q se definen la suma y el producto de forma que las propiedades de estas
operaciones se conservan:
Dados:
a c
a c
ad + bc
a c
a .c
y el producto . =
y ∈ Q se define la suma + =
b d
b d
bd
b d
b.d
Se dice que
a
c
y son equivalentes si y sólo si ad = bc.
b
d
Ejemplos
9
es equivalente a -3.
−3
3 1 −6
son equivalentes.
, ,
12 4 −24
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Módulo 2 – Números
Una operación entre racionales no se modifica si reemplazamos uno de ellos por otro
que sea equivalente.
La suma tiene las siguientes propiedades:
a) Ley de cierre.
b) Asociativa.
c) Conmutativa.
d) Existencia del neutro.
e) Existencia del opuesto.
El producto tiene las siguientes propiedades:
a) Ley de cierre.
b) Asociativa.
c) Conmutativa.
d) Existencia del neutro.
e) Existencia del inverso para todo elemento no nulo.
Y por supuesto que existe una propiedad que enlaza las dos leyes de
composiciones internas y es la propiedad distributiva.
Ejercicios
1) Enunciar cada una de las propiedades anteriores simbólicamente.
2) Hallar el error en el siguiente cálculo:
18 12
12 + 18 12 + 18
.
=
+ 6 pues
=
3
3
3
3
12
18
6
6
Entonces 4 y luego 2(2 − ) = 3(2 − ) ⇒ 2 = 3
= 6−
3
3
3
3
4+
Orden en Q
Dados
a c
∧ ∈ Q se dice:
b d
a
c
a c
es menor o igual que
y se anota
≤ si y sólo si ad
b
d
b d
a
c
a c
es mayor o igual que y se anota ≥ si y sólo si ad
b
d
b d
≤ bc.
≥ bc.
Ejercicios
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1) Ordenar de menor a mayor
Módulo 2 – Números
−12
2
−3 3 5 6
, 3 , , − 1,
, , , .
6
5
2 2 7 4
2) Sea - 4 < m < 2
a) Hallar m ε Z tal que se cumpla lo anterior
b) Idem si m ε Q
3) Probar que entre dos números racionales distintos, hay otro racional.
4. NÚMEROS IRRACIONALES: (I)
Si un número no es decimal exacto no decimal periódico, no representa a un
número racional. Este tipo de números se llaman irracionales, o sea, son
aquellos que no pueden expresarse como cociente de dos enteros
n
≠ 0.
Entre los más conocidos figuran
m
con
n
2 , 3,π.
5. NÚMEROS REALES: (R)
Se llaman números reales aquellos números que son racionales o
irracionales. Al conjunto de todos ellos lo notaremos con R.
Sobre R definimos dos operaciones: Suma (+) y Producto (.) de la manera
usual y una relación < de orden.
5.1
Propiedades
Ejercicios
Analicemos las propiedades de cada una de ellas.
Propiedades de la suma
1) La suma es conmutativa.
2) La suma es asociativa.
3) Existe el elemento neutro de la suma.
4) Todo número real tiene opuesto.
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Módulo 2 – Números
Escribir simbólicamente las 4 propiedades anteriores.
Probar las siguientes igualdades, resaltando las propiedades utilizadas.
a) – (-a) = a
b) Si para un a ε R es a + b = b
⇒a = 0
Propiedades de la multiplicación
5) La multiplicación es conmutativa.
6) La multiplicación es asociativa.
7) Existe el elemento neutro de la multiplicación.
8) Todo número real distinto de cero tiene inverso.
Expresar simbólicamente las propiedades 5) a 8)
9) Propiedad Distributiva: Si a, b, c ε R, a. (b+c)= a.b + a.c
Probar que si a ≠ 0 y a b = a c ⇒b = c
a b = 0 ⇒a = 0 ó b = 0
(-1) a = - a
Resaltar las propiedades utilizadas.
Propiedades de orden
10) Para todo a ε R , se cumple que: a < 0, a = 0 ó a > 0.
11) Si a, b ε R , a > 0, b > 0 ⇒ a b > 0.
12) Para todo a, b ε R , si a < b ⇒ a – b < 0.
Ejercicios
1) Dados a, b y c ε R. Probar:
⇒a + c > b + c
b) a > b y c > 0 ⇒ a c > b c
c) a > b y c < 0 ⇒ a c < b c
a) a > b
2) Para todo a, b ε R con a > 0 y b > 0, a>b <=> a. a > b. b
5.2 Potencia de un número real y exponente entero
Recordemos que si a ε R y n ε N, n ≠ 0, entonces an = a. a. a .....a n-veces.
Por convención si a
≠ 0,
Curso de Ingreso 2013 – Matemática 0 a- n =
1
an
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Módulo 2 – Números
Ya que a - n .a n = a n - n = a 0 = 1 .
Y la regla de las potencias de igual base sigue siendo válida.
Propiedad de las potencias. La potencia es distributiva respecto al producto y al
cociente.
Sean a, b ε R y n ε Z.
(a.b) n = a n .b n
(a:b) n = a n : b n
Resulta muy simple sistematizar el producto, cociente y potencia, de potencias
de igual base.
a n .a m = a n + m
a n : a m = a n - m con a ≠ 0
(a n )m = a n.m
Luego ahora surge la siguiente pregunta, ¿la potencia es distributiva respecto
de la suma?
La respuesta es NO, veamos un ejemplo:
(2 + 3) 2 = 52 = 25
22 + 32 = 4 + 9 = 13
Luego ( a + b ) n ≠ a n +b n
Ejercicios
1) En los siguientes cálculos se han cometido errores al aplicar propiedades.
Indicar dichos errores y corregirlos.
(22.2−3.25)2 = (24 )2 = 216
2 4
−3 2
6
−6
b) (5 ) :(5 ) = 5 :5 =1
a)
74.(72 )6 74.712
= 18 = 7−2 = (−7)2 = 49
c)
9 2
(7 )
7
d)
(7 −14)0 +50 =1
2) Aplicando las propiedades de la potencia, probar que:
a)
[
3
(3.3 n +1 + 3 n + 2 ) : (3 n + 2 ) 3 ⎤⎦ = 8
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Módulo 2 – Números
(10.2n+1)3 :(2n+1)3 =1000
2−n
n+1
n+2
c) 2 .(2.2 + 2 ) = 32
b)
3) Calcular:
3 2 3
(1 − ).( − ) 2
2 3 4 = ....
a)
1
2
( − 1) : ( − 2) 2
3
5
−4
⎡⎛ 3 ⎞2 ⎤
1
b) ⎢⎜1 − ⎟ ⎥ : + 11 = ....
⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 27
4) Responder y justificar:
2
1
2
⎛1⎞
a) < a < 25 ⇒ ⎜ ⎟ < a 2 < ( 25 )
4
⎝4⎠
−1
2
2
⎛ −1 ⎞
b) −3 < − a <
⇒ ( −3 ) < ( − a ) < ⎜ ⎟
3
⎝ 3 ⎠
2
5.3 Radicación
DEFINICIÓN
Sea b ε R y n ε N, n >1, existe un número c tal que cn=b y este número c es
llamado la raíz
n-ésima de b
cn = b ⇔ c = n b
Ejemplos
3
−64 = −4 pues ( -4 ) = −64
3
36 = ±6 pues ( 6 ) = ( −6 ) = 36
2
2
Veamos ahora si existe alguna restricción para la radicación en R.
Supongamos que se desea calcular
−9 o sea buscar un número b ε R tal que
b = −9 ⇔ b = −9
2
3
64 = 4 pues ( 4 ) = 64
3
64 = ±8 pues ( 8 ) = ( -8 ) =64
Tal número no existe pues b 2 es positivo.
2
2
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Módulo 2 – Números
En consecuencia, si se trabaja en R:
n
a existe si a ∈ ℜ y n es impar ó a ≥ 0 y n es par.
Entonces:
Si n es impar el resultado es único.
Si n es par y el radicando es positivo el resultado no es único.
Ejemplos
3
64 = 4 pues ( 4 ) = 64
3
64 = ±8 pues ( 8 ) = ( -8 ) =64
2
2
Propiedades de la radicación
Dados a, b ∈ ℜ tales
cumple:
que
existen
Respecto de la suma y la resta
n
n
a yn b
se
n
a.b = n a . n b
n
a :b = n a : n b
a±b ≠ n a ± n b
Analicemos ahora la siguiente pregunta: ¿Es siempre posible simplificar una
raíz?
Veamos un ejemplo:
6
( −8 )
2
= 6 64 = ±2
6
( −8 )
2
= 3.2 ( −8 ) = 3 −8 = −2
2
La respuesta es: NO siempre es posible simplificar una raíz: Si la base de la
potencia del radicando es negativa vemos que se pierde una solución.
¿Qué sucede cuando el índice de la raíz y el exponente son iguales?
3
43 = 3 64 = 4
3
(−4)3 = 3 −64 = −4
Si n es impar
El resultado es la base de la potencia
4
24 = 4 16 = ±2
4
(−2) 4 = 4 16 = ±2
Si n es par
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Módulo 2 – Números
El resultado es la base de la potencia y su opuesto.
Para evitar esta ambigüedad se debe tener en cuenta el valor aritmético de la
raíz.
El valor aritmético de la raíz n-ésima de a n
es:
a si n es impar y a si n es par
Raíz Aritmética:
Si n es impar
n
an = a
n
Si n es par
En
2
a2 = a
particular
an = a
6. Racionalización de Denominadores
En muchas cuestiones en que se presentan fracciones cuyo denominador es
una expresión irracional, conviene transformarlas en otras equivalentes de
denominador racional.
Esta racionalización se logra siempre, multiplicando numerador y denominador
de la fracción por una expresión irracional conveniente.
Sin embargo, es tan complicada la fracción obtenida que sólo en casos muy
sencillos tiene utilidad práctica.
Se racionaliza el denominador de toda expresión del tipo
A
ó bien
a± b
A
a ±c
a m b ó bien
a m c respectivamente
multiplicando los dos términos por la expresión conjugada
Ejercicios
1) Calcular:
a)
5. 5 − 3 2.3 4
(
b) 1 + 5
)
2
− 20
(
c) 4 48 − 4 3. 1 + 4 81
)
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Módulo 2 – Números
2) ¿Son correctas las igualdades?
a) 50 = 5. 2
b) 12 = 3. 2
c)
5
−64 = 2.5 −2
3) Racionalizar los denominadores:
4− 2
a)
2
b)
c)
2
6− 2
3 + 27
3 − 27
4) Hallar el error en las siguientes demostraciones:
a) a ∈ ℜ ⇒ a =
− a . Demostración:
a2 = ( −a) ⇒ a2 =
2
( −a)
2
⇒ a = −a
b) b ∈ ℜ ⇒ b =1. Demostración:
b −1 = − (1 − b ) ⇒ ( b − 1) = (1 − b ) ⇒ b − 1 = 1 − b ⇒
2
2
b + b −1 = b + 1 − b ⇒ 2b −1 = 1 ⇒ 2b − 1 + 1 = 1 + 1 ⇒
2b = 2 ⇒ b = 1
5) Teniendo en cuenta
(demostrarla) y ordenar:
la
propiedad:
a, b ∈ ℜ+ entonces
a ≥ b ⇔ a2 ≥ b2
a) 2. 2 y 5
b) 3 + 2. 2 y 3+ 5
1
1
y
2
3
1
1
1
+
d)
y
2
3
6
c)
6) Responder V ó F y justificar: Si a, b ∈ ℜ
a) ( a.b ) = a 2 .b2
2
b) ( a + b ) = a 2 + 2.a.b + b 2
2
Curso de Ingreso 2013 – Matemática 0 Página 14 Facultad de Informática
Módulo 2 – Números
c) ( a − b ) = a 2 − b 2
2
2
a2
⎛a⎞
d) ⎜ ⎟ = 2
b
⎝b⎠
2
2
e) ( a + b) .( a − b) = a − b
Supuestas definidas las raíces…(o sea, se puede realizar la operación en los
reales)
f) a +b = a + b
n
. = n a.n b
g) ab
7. Potencias de Exponente Racional
m
Vamos ahora a ver que significado hemos de atribuir al símbolo a n , siendo
m
n
un número racional.
Definiremos esta operación de modo que coincida con la ya conocida en el
caso n =1 y que satisfaga a las mismas reglas de cálculo para potencias
ordinarias:
1) Sabemos que si h , k ∈ Z es ( a h ) = a h .k .
k
n
⎛ mn ⎞
m
Por lo tanto, daremos a a tal significado que sea ⎜ a ⎟ = a , o sea
⎝ ⎠
m
n
m
a n = n am =
( a)
n
m
Lo cual tiene sentido en el campo real para a < 0 sólo si n es impar.
2) Si a ≠ 0 , para que subsista la ley de multiplicación de potencias de igual
base sumando los exponentes, hemos de atribuir a a0=1, para que sea
a m + 0 = a m .a 0 = a m
3) Por la misma razón con a ≠ 0 , a
resulta a 0 = 1 . Luego,
a
−m
n
=
−
m
n
m
ha de ser tal que multiplicado por a n ,
1
a
m
n
Con estas 3 convenciones se evita el uso de radicales, con la ventaja que el
cálculo con las potencias así generalizadas sigue las mismas leyes que cuando
los exponentes son números naturales.
Curso de Ingreso 2013 – Matemática 0 Página 15 Facultad de Informática
Módulo 2 – Números
Ejercicios
1) a . a − 1 . a − 1 , simplificar
2) b. 3 b −2 . 3 b −2 , simplificar
3) c. 4 c −3 4 c −3 , simplificar
4)
a 2 + 3 a 4 .b 2 + b 2 + 3 a 2 .b 4 , simplificar
5) Expresa el número en la forma
⎛ 2⎞
⎜− ⎟
⎝ 3⎠
a
, donde a y b son números enteros
b
4
2−3
3−2
−24 + 3−1
⎛ −3 ⎞
−4
⎜ ⎟ −2
⎝ 2⎠
4
6) Simplifica.
Curso de Ingreso 2013 – Matemática 0 Página 16 Facultad de Informática
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⎛1 4⎞
5
⎜ x ⎟ (16 x )
⎝2 ⎠
(2x )
2 3
4 x4
( −4b ) ⎛⎜⎝ 16 b ⎞⎟⎠ ( −9b )
3
2
4
( −2r s ) ( 3r s )
5
2
6
3
−1
3
4
2
−1
2
(x y )
(x y )
−1 3 2
7) Simplifica la expresión y racionaliza el denominador cuando sea
apropiado.
3
−125
1
7
3x
2 y3
4
81r 5 s 8
5
8 x3 4 x4
.5 2
y4
y
8) Coloca el símbolo = ó ≠ , para que el enunciado resultante sea verdadero,
siempre que la expresión tenga significado. Justifica tu respuesta.
Curso de Ingreso 2013 – Matemática 0 Página 17 Facultad de Informática
Módulo 2 – Números
(a )
r
a xb
a
n
2
y
r
1
c
Curso de Ingreso 2013 – Matemática 0 (r )
a
2
(a b )
(
a
xy
)
r
1
n
c
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