Electrometría

ELECTROMETRIA
TEMA 3: CIRCUITS DE CORRENT ALTERN
SINUSOIDAL. Resposta d’elements R, L, C.
En tots els casos s’ha considerat com a referència la tensió d’alimentació amb un angle
inicial de 0º:
V
v = Vmax cosω t
⇒
V = V∠ 0º
, on V = màx
2
1. CIRCUIT AMB RESISTÈNCIA PURA.
v
i
La tensió i el corrent es troben en fase.
En el domini del temps:
v = Vmax cosω t
t
⇒
i = I max cosω t
En el domini de la freqüència:
Z=R
I=
;
V V∠ 0 º
= I∠ 0 º
=
R R∠ 0º
;
S = V I* = V∠ 0 º⋅I∠ 0 º = S∠ 0 º = P
2. CIRCUIT AMB INDUCTÀNCIA PURA.
v
El corrent es troba retardat 90º respecte de la tensió.
i
En el domini del temps:
v = Vmax cosω t
⇒
t
i = I max cos(ω t − 90º )
-900
En el domini de la freqüència:
Z = jX L = jω L
;
I=
V
V∠ 0º
=
= I∠ − 90º
jX L X L ∠ 90 º
S = V I* = V∠ 0º⋅I∠90 º = S∠ 90º = jQL
1
3. CIRCUIT AMB CAPACITÀNCIA PURA.
v
El corrent es troba avançat 90º respecte de la tensió.
i
En el domini del temps:
v = Vmax cosω t
t
⇒
i = I max cos(ω t + 90º )
+90 0
En el domini de la freqüència:
Z = − jX C = − j
1
ωC
I=
;
V
V∠ 0 º
=
= I∠ 90º
− jX C X C ∠ − 90 º
S = V I* = V∠ 0º⋅I∠ − 90º = S∠ − 90 º = − jQC
4. CIRCUIT SÈRIE RL.
v
El corrent està retardat un angle ϕ respecte de la tensió.
i
En el domini del temps:
t
−ϕ
v = Vmax cosω t
⇒
i = I max cos(ω t − ϕ )
En el domini de la freqüència:
Z = R + jX L = Z∠ ϕ
I=
;
V V∠ 0º
=
= I∠ − ϕ
Z Z∠ ϕ
S = V I* = V∠0º⋅I∠ ϕ = S∠ ϕ = P + jQL
5. CIRCUIT SÈRIE RC.
El corrent està avançat un angle ϕ respecte de la
tensió.
i
v
t
En el domini del temps:
v = Vmax cosω t
+ϕ
⇒
i = I max cos(ω t + ϕ )
En el domini de la freqüència:
2
Z = R − jX C = R − j
1
= Z∠ − ϕ
ωC
;
I=
V
V∠ 0º
=
= I∠ ϕ
Z Z∠ − ϕ
S = V I* = V∠0º⋅I∠ − ϕ = S∠ − ϕ = P − jQC
6. CIRCUIT SÈRIE RLC.
• Primer cas, XL > XC (caràcter inductiu): el corrent
està retardat un angle ϕ respecte de la tensió.
v
i
En el domini del temps:
v = Vmax cosω t
⇒
i = I max cos(ω t − ϕ )
t
−ϕ
En el domini de la freqüència:
Z = R + j ( X L − X C ) = Z∠ ϕ
I=
V V∠ 0º
=
= I∠ − ϕ
Z Z∠ ϕ
;
S = V I* = V∠0º⋅I∠ ϕ = S∠ ϕ = P + jQ
• Segon cas, XC > XL (caràcter capacitiu): el corrent
està avançat un angle ϕ respecte de la tensió.
i
En el domini del temps:
v = Vmax cosω t
⇒
i = I max cos(ω t + ϕ )
v
t
+ϕ
En el domini de la freqüència:
Z = R + j ( X L − X C ) = Z∠ − ϕ
I=
V
V∠ 0º
=
= I∠ ϕ
Z Z∠ − ϕ
;
S = V I* = V∠ 0º⋅I∠ − ϕ = S∠ − ϕ = P − jQ
3
Exemples:
S’ha considerat com a referència la tensió d’alimentació amb un angle inicial de 0º:
V = 100∠ 0 º V
,
f = 50 Hz.
1. Circuit amb resistència pura. R = 5 Ω.
Z=R
;
I=
V 100∠0º
=
= 20∠0º A
Z
5∠ 0 º
S = V I* = 100∠0º ⋅20∠0º = 2000∠0º = 2000 + j 0 VA ⇒ P = 2000 W ; Q = 0 VAr.
La tensió i el corrent es troben en fase.
2. Circuit amb inductància pura. L = 20 mH.
Z = jX L = jω L = j ⋅2 ⋅π ⋅50 ⋅20 ⋅10 − 3 = 6,28 Ω
;
I=
V
100∠0º
=
= 15,91∠ − 90º A
Z 6,28∠90º
S = V I* = 100∠0º ⋅15,91∠90º = 1591,5∠ 90º = 0 + j1591,5 VA ⇒ P = 0 W ; Q = 1591,5 VAr.
El corrent es troba retardat 90º respecte de la tensió.
3. Circuit amb capacitància pura. C = 50 µF.
Z = − jX C = − j
1
1
=− j
= − j 63,66 Ω
ωC
2 ⋅π ⋅50 ⋅50 ⋅10 − 6
; I=
V
100 ∠0º
=
= 1,57∠90º A
Z 63,66∠ − 90º
S = V I* = 100∠0º ⋅1,57∠ − 90 º = 157∠ − 90º = 0 − j 157 VA ⇒ P = 0 W ; Q = 157 VAr.
El corrent es troba avançat 90º respecte de la tensió.
4
4. Acoblament dels tres elements en paral·lel.
IT = I1 + I2 + I3 = 20∠0º + 15,91∠ − 90 º + 1,57∠90 º = 24,6∠ − 35,6º A
ZT =
100∠ 0º
V
=
= 4,06∠35,6º = 3,3 + j 2,36 Ω
IT 24,6∠ − 35,6º
ST = S1 + S 2 + S 3 = 2000 + j1591,5 − j 157 = 2000 + j1434,5 = 2461∠ 35,6º VA
El corrent està retardat un angle de 35,6º respecte de la tensió. El circuit és de caràcter
inductiu, sent equivalent a un circuit sèrie format per una resistència de 3,3 Ω i una inductància
de 2,36 Ω.
5