4 . S

Electromagnetismo
44.. S
SIIS
ST
TEEM
MA
AS
SD
DEE CCO
ON
ND
DU
UCCT
TO
OR
REES
S
44..11
FFU
UN
ND
DA
AM
MEEN
NTTO
OSS
- Dados n conductores a potenciales
q1 , q 2 ,...., q n
V1 , V2 ,...., Vn
y cargados respectivamente con
culombios, se puede demostrar que :
V1 = p11 ⋅ q1 + p12 ⋅ q 2 + ....... + p1n ⋅ q n
V2 = p 21 ⋅ q1 + p 22 ⋅ q 2 + ....... + p 2 n ⋅ q n
M
Vn = p n1 ⋅ q1 + p n 2 ⋅ q 2 + ....... + p nn ⋅ q n
donde
se denominan coeficiente de potencial y son función de la geometría del
pij
sistema y de los conductores.
⎛ ∂V
pij = ⎜ i
⎜ ∂q
⎝ j
⎞
⎟
⎟
⎠ qi ≠ j
forman una matriz de coeficientes simétrica
- Para un conductor único se cumple :
pij = p ji
V = p11 ⋅ Q
Se define la capacidad de ese conductor como:
C=
Q
1
= , donde C sólo
p11 V
depende de la geometría del conductor.
- Un conductor conectado a un potencial V almacena una carga de CV culombios.
- La razón
Q
V
es una constante para cada conductor aislado.
44..22 CCO
ON
ND
DEEN
NSSA
AD
DO
ORREESS
G
G
Geeennneeerrraaallliiidddaaadddeeesss
Un sistema especial de conductores formado por dos conductores cargados
respectivamente con Q y –Q culombios se denomina condensador.
V1 = p11 ⋅ Q − p12 ⋅ Q
V2 = p 21 ⋅ Q − p 22 ⋅ Q
V1 − V2 = ( p11 − p12 − p 21 + p 22 ) ⋅ Q
∆V =
C=
1
⋅Q
C
1
p11 − 2 p12 + p 22
[email protected]
Electromagnetismo
- Ecuación general para cualquier condensador:
donde
Q
44..33
CCO
ON
ND
DEEN
NSSA
AD
DO
ORREESS EESSPPEECCIIA
ALLEESS
C=
Q
V
es la carga de los conductores y V la diferencia de potencial entre ellos.
4.3.1 CONDENSADOR PLANO PARALELO
- Siempre se cumple:
C=
Q
V
- Despreciando efectos de borde la carga se distribuye uniformemente:
- Campo eléctrico entre placas ( supuestas
- Relación campo potencial entre placas:
C=
r
+ r
V + − V − = ∫ E ⋅ dl = d ⋅ E
−
V =
σ ⋅d
ε0
Q Q ⋅ε0 Q ⋅ε0 ⋅ A
A
=
=
= ε0 ⋅
V
Q⋅d
d
σ ⋅d
Sólo parámetros geométricos
- Placas de espesor no despreciable: Sólo existe carga en la cara interior.
- Energía eléctrica de un condensador P paralelo aislado:
- Fuerza sobre las placas:
[email protected]
Q
A
r σ r
⎧
dentro
E
:
=
⋅n
⎪
ε0
∞ ): ⎨
⎪ fuera : Er = 0r
⎩
- Relación potencial densidad de carga en placas:
- Capacidad :
σ± = ±
r
1 Q2 r
Fe = −∇U e = −
u
2 ε0 ⋅ A
Ue =
1 Q2
2 C
( Vacío )
Electromagnetismo
4.3.2 CONDENSADOR CILÍNDRICO ( radios a y b, longitud L )
- Despreciando efectos de borde:
- Campo eléctrico:
Q
⎧
⎪⎪σ + = 2π ⋅ a ⋅ L
⎨
⎪σ = − Q
⎪⎩ − 2π ⋅ b ⋅ L
r
⎧r < a : E = 0
⎪
r
σ+ ⋅a r
r
Q
⎪
⋅ ur =
⋅ ur
⎨a < r < b : E ( r ) =
ε0 ⋅ r
2π ⋅ ε 0 ⋅ L ⋅ r
⎪
r
⎪r > b : E = 0
⎩
- Voltaje en función de la carga en placas:
- Capacidad:
C=
2π ⋅ ε 0 ⋅ L
⎛b⎞
ln⎜ ⎟
⎝a⎠
r
a r
V + − V − = ∫ E ⋅ dl =
b
Q
⎛b⎞
⋅ ln⎜ ⎟
2π ⋅ ε 0 ⋅ L ⎝ a ⎠
( Sólo parámetros geométricos )
4.3.3 CONDENSADOR ESFÉRICO ( radios a y b )
- Campo eléctrico entre placas:
- Voltaje en función de carga:
- Capacidad:
[email protected]
C=
r σ ⋅ a2 r
r
Q
E = + 2 ⋅ ur =
⋅ ur
2
ε0 ⋅ r
4π ⋅ ε 0 ⋅ r
V =
4π ⋅ ε 0 ⋅ ab
a−b
Q ⎛1 1⎞
⎜ − ⎟
4π ⋅ ε 0 ⎝ b a ⎠
Electromagnetismo
44..44
A
AGGRRU
UPPA
ACCIIÓ
ÓN
ND
DEE CCO
ON
ND
DEEN
NSSA
AD
DO
ORREESS
- Condensadores en paralelo:
- Condensadores en serie:
C eq = C1 + C 2
1
1
1
=
+
C eq C1 C 2
44..55 CCO
ON
ND
DEEN
NSSA
AD
DO
ORREESS CCO
ON
ND
DIIEELLÉÉCCTTRRIICCO
OSS
- Dieléctrico: Material que no contiene cargas libres en su interior. Aislante.
- Polarización: aparición de carga en la superficie de dieléctricos.
- Al aplicar un campo eléctrico uniforme sobre un material , éste puede polarizarse bien
por alineación de dipolos ya existentes ( materia polar ) o bien por la inducción de
dipolos eléctricos ( materia apolar ). Los dipolos se alinean antiparalelos al campo
r
E.
r
∑ pi
P = Lim
∆V →0 ∆V
- En el dieléctrico de un condensador se anulan todas las cargas del interior
r
( E uniforme ρ p
r
r r
= −∇P = 0 ) excepto las de las caras : σ p = P ⋅ n
- El campo eléctrico creado por la carga no anulada se opone al creado por la carga
entre placas atenuando éste:
- Experimento de Faraday:
E D < EV =
C D = ε r ⋅ CV
- Constante dieléctrica del material :
- Caída de potencial entre placas:
- Disminución del campo eléctrico:
[email protected]
σ
ε0
( El dieléctrico aumenta la capacidad )
εr = 1+ χe =
CV =
ε
>1
ε0
V
Q
Q
Q
→ CD =
= εr ⋅
→ VD = V ↓
εr
VV
VD
VV
ED =
V
E
VD
= V = V ↓
d
d ⋅εr
εr
Electromagnetismo
El aumento de capacidad se traduce en una disminución del campo eléctrico y del
voltaje entre placas:
VD =
VV
Conviene recordar:
εr
,
ED =
EV
con un factor de proporcionalidad
εr
1
εr
.
r
r
P = ε0 ⋅ χe ⋅ E
44..66 A
APPÉÉN
ND
DIICCEE A
ALL TTEEM
MA
A 44
- Prueba de condensador: Gaussiana = cilindro
⊥
a placas que las atraviesa.
r r
E
∫∫ ⋅ dS = 0
- Cambio de variables :
⎧( x, y, z ) → (u , v, w)
⎪ x = h(u, v, w)
⎪
⎨
⎪ y = g (u, v, w)
⎪⎩ z = s (u , v, w)
∫∫∫ f ( x, y, z)dx ⋅ dy ⋅ dz = ∫∫∫ J ⋅ f (u, v, w)du ⋅ dv ⋅ dw
v′
v
donde
J
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
u
y
u
z
u
∂ x
∂ w
∂ y
∂ w
∂ z
∂ w
x
v
y
v
z
v
- Integral de funciones escalares:
f : ℜ3 → ℜ
x (u , v ) ⎫
⎪r
y (u , v ) ⎬ r (u , v , )
z (u , v ) ⎪⎭
r
∫∫ f ( x, y , z )ds = ∫∫ f (r (u , v )) ⋅ r
s
[email protected]
D
u
× rv dudv
Electromagnetismo
- Integral de funciones vectoriales:
F : ℜn → ℜ3
x (u , v ) ⎫
⎪r
y (u , v ) ⎬ r (u , v )
M ⎪⎭
r r
r r
∫∫ Fds = ∫∫ F ⋅ n ⋅ ds =
s
[email protected]
s
r r
r
∫∫ F (r (u, v)) ⋅ (r
D
u
r
× rv ) dudv = flujo