PR´ACTICO 6 Clases del 25/10, 30/10, 1/11, 6/11, 8/11 Ejercicio 1

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
SEGUNDO CUATRIMESTRE 2013
PRÁCTICO 6
Clases del 25/10, 30/10, 1/11, 6/11, 8/11
Ejercicio 1. Sean A un anillo, T un A-módulo de torsión y D un A-módulo divisible. Calcular HomA (T, D).
Ejercicio 2. Sean M 6= 0 y N dos R-módulos, con N indescomponible. Sean f ∈ HomR (M, N ) y g ∈
HomR (N, M ) tales que gf ∈ AutR (M ). Mostrar que f y g son isomorfismos.
Ejercicio 3. Mostrar que:
(i) Z no es un Z-módulo divisible, mientras que Q sı́ lo es.
(ii) Z(p∞ ) es divisible Z-módulo para todo primo p.
(iii) Si A es un grupo finito abeliano entonces A no es un Z-módulo divisible.
(iv) Si A es un grupo abeliano entonces, como Z-módulo, A = D ⊕ N con D un Z-módulo
divisible y N un Z-módulo reducido (esto es, sin submódulos divisiles no triviales).
Ejercicio 4. Sea R un dominio de factorización única (DFU) y sea d ∈ R, d 6= 0. Probar que existe sólo un
número finito de ideales principales distintos que contienen al ideal (d).
Ejercicio 5. Si R es un dominio de factorización única, a, b ∈ R coprimos (i. e. el máximo común divisor de
a y b es una unidad) y a|bc, entonces a|c.
Ejercicio 6. Sea R un dominio de ideales principales. Sea I un ideal en R distinto de cero. Probar que I es
maximal si y sólo si I es primo.
√
Ejercicio 7. Sea R := {a + b 10 | a, b ∈ Z}. Probar las siguientes afirmaciones.
(i) R es subanillo de R.
√
(ii) La función N : R → Z dada por N (a + b 10) := a2 − 10b2 satisface N (uv) = N (u)N (v),
para todo u, v ∈ R.
(iii) N (u) = 0 si y sólo si u = 0.
(iv) u es una unidad en R si y sólo si N (u) = ±1.
√
√
(v) 2, 3, 4 + 10 y 4 − 10 son elementos irreducibles de R.
√
√
(vi) 2, 3, 4 + 10 y 4 − 10 no son elementos primos de R.
Ejercicio 8. Sea F cuerpo. Probar que (x) es un ideal maximal en F[x].
Ejercicio 9.
(i) Si D es un dominio ı́ntegro que no es un cuerpo. Mostrar que D[x] no es un dominio de
ideales principales (DIP) (considerar un elemento irreducible c en D).
1
(ii) Mostrar que Z[x] no es un dominio de ideales principales.
(iii) Sea F cuerpo y n ∈ Z, con n ≥ 2. Probar que F[x1 , . . . , xn ] no es un dominio de ideales
principales. (Ayuda: mostrar que x1 es irreducible en F[x1 , . . . , xn ]).
Ejercicio 10. Consideremos el anillo de enteros Gaussianos Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z}.
(i) Si a, n ∈ Z, con n > 0, entonces existen q, r ∈ Z tales que a = qn + r, donde |r| ≤ n/2.
(ii) Los enteros Gaussianos Z[i] forman un dominio euclidiano con ϕ(a + bi) = a2 + b2 .
(iii) Determine todas las unidades en Z[i].
(iv) Calcular el máximo común divisor de 11 + 7i y 18 − i en Z[i].
(v) Dar ejemplos de ideales primos de Z[i].
Ejercicio 11. Probar:
(i) Z[x]/(2, x) ∼
= Z2 .
(ii) Z[i]/(1 + i) ' Z2 .
Describir los siguientes anillos:
(i) Z[i]/(i).
(ii) Z[x]/(2x).
(iii) Z[i]/(5).
Ejercicio 12. Sea R un anillo y sea f =
P∞
i
i=0 ai x
∈ R[[x]]. Probar que:
(i) f es una unidad en R[[x]] si y sólo si su término constante a0 es una unidad en R.
(ii) si a0 es irreducible en R, entonces f es irreducible en R[[x]].
Ejercicio 13. Probar que:
(i) el polinomio x + 1 es una unidad en el anillo de series de potencias formales Z[[x]], pero no
es una unidad en Z[x].
(ii) x2 + 3x + 2 es irreducible en Z[[x]], pero no en Z[x].
Ejercicio 14. Sea R un DIP, M un R-módulo y p ∈ R elemento primo. Sean pM := {px | x ∈ M } y
M [p] := {x ∈ M | px = 0}. Probar que:
(i) R/(p) es un cuerpo.
(ii) pM y M [p] son submódulos de M .
(iii) M/pM es un espacio vectorial sobre R/(p) con (r + (p)) · (x + pM ) = rx + pM .
(iv) M [p] es un espacio vectorial sobre R/(p) con (r + (p)) · x = rx.
Ejercicio 15. Sea (R, ϕ) un anillo euclidiano, a ∈ R. Probar que a es unidad en R si y sólo si ϕ(a) = ϕ(1R ).
Ejercicio 16. Dar contraejemplos que muestren que:
(i) DFU 6=⇒ DIP.
(ii) AIP 6=⇒ AE.
Ejercicio 17. Sean R anillo conmutativo y M un R-módulo. Probar que existe un R-módulo libre F y un
submódulo K de F tal que F/K ∼
= M . Mostrar que si M está generado por n elementos,
entonces se puede elegir F finitamente generado.
Ejercicio 18. Sea R un anillo, F módulo libre sobre R y n ∈ N. Probar que si F tiene una base de cardinalidad
n y otra base de cardinalidad n + 1, entonces F tiene una base de cardinalidad m, para todo
m ∈ N, con m ≥ n.
Ejercicio 19. Sea R un anillo conmutativo tal que cada submódulo de cada R-módulo libre es libre. Probar
que R es DIP.
Ejercicio 20. Dar la clasificación de todos los grupos abelianos de orden
(i) pq, con p, q primos distinos.
(ii) pn , n ≥ 1.
(iii) 24.
(iv) 2013.
Ejercicio 21. * Sin usar los teoremas de clasificación de módulos finitos sobre un DIP, probar:
Sea G un grupo finito y x ∈ G un elemento de orden maximal. Mostrar que hxi es un sumando
directo de G.
Sugerencias:
(i) Mostrar que, si y ∈ G, y 6= 0, entonces |y| | |x| (esto se sigue de un ejercicio de la práctica
2).
(ii) Mostrar que, si y ∈ G, y 6= 0, entonces existe n ∈ N tal que hy − n xi ∩ hxi = {0}.
(iii) Mostrar que G es una suma directa de grupos cı́clicos, uno de los cuales es hxi. (Inducción
en |G| y usar (ii)).
Utilizar esto para dar una prueba diferente del corolario de clasificación de los grupos abelianos
finitos.