Matemática conceptual - Comunidad de Pensamiento Complejo
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Matemática conceptual Un innovador enfoque hacia las matemáticas Tomo II Aplicaciones educativas Versión 1.2 Jorge Barrero Cursosgerenciales.com Caracas, Abril 2009 Introducción Este documento esta destinado a los docentes de matemáticas, deseosos de convertirse en excelentes transmisores de conocimiento. Son muchos los retos que tiene que cubrir un docente, pero lo son más, si éste tiene que enseñar matemáticas. Este sencillo documento pretende aportar una nueva visión sobre el asunto y lograr un enfoque más eficiente a la hora de enseñar. La información que aquí presentamos, tiene su origen en los estudios realizados por la empresa Sun Microsystems1 para las plataformas de juegos de computadora y las estrategias empleadas para lograr que los usuarios adquieran los conocimientos, habilidades y destrezas necesarias para convertirse en expertos, realizando un análisis comparativo con las estrategias clásicas de enseñanza matemática. Aunque, muchos conceptos podrían aplicarse a otras disciplinas, el presente trabajo esta orientado únicamente a la enseñanza de las matemáticas en personas adultas. Esperemos que otros investigadores puedan aprovechar estos conceptos y trasladarlos a otras áreas del saber humano. 1 Sun Microsystems Prólogo No podemos construir un país desarrollado si no tenemos las habilidades matemáticas mínimas para hacerlo. La ciencia y la tecnología están íntimamente ligadas a este proceso y las matemáticas son la base más significativa e importante de la ciencia. No queremos quitarle la importancia que tienen otras disciplinas científicas. Pero sin duda este documento aborda un tema que debería ser de especial preocupación en los planes de desarrollo tecnológico del país. Este documento lo presentamos en esta primera versión como un producto derivado de las investigaciones realizadas en el campo de la matemática conceptual. Su finalidad es obviamente darle un fin práctico y útil a esta investigación. Capítulo 1 – el alumno y su hardware Programar una computadora es un ejemplo análogo a enseñar a una persona una habilidad matemática. Nótese el uso del término habilidad. “3. f. Cada una de las cosas que una persona ejecuta con gracia y destreza.”2 Podemos afirmar que el hardware, es decir el alumno, llegará al punto de “gracia y destreza” una vez programado de forma tal que sea capaz de ejecutar la matemática y cada una de las cosas que la compone. Digamos entonces que todo ser humano dispone de un hardware (su cuerpo físico), que contiene un procesador central (cerebro) que debe ser programado para ejecutar ciertas tareas. Una de ellas es el hecho matemático. Aunque no existe hoy en día una teoría suficientemente completa que explique el funcionamiento del cerebro humano, si podemos observar con facilidad ciertos comportamientos del individuo: 1. Utiliza una memoria de corto plazo que le permite percibir datos del entorno en forma auditiva, visual y kinestésica, procesarla a gran velocidad extraer algunos elementos significativos y desechar rápidamente el resto. 2. Aquellas cosas significativas, son comprimidas para poder ser utilizadas. Este mecanismo de compresión no siempre arroja un resultado lógico, pero el líneas generales, está bastante desarrollado. 3. El mecanismo de compresión usado por el cerebro es muy manejable por factores exógenos. 4. Existe otra memoria de largo plazo, de funcionamiento más lento y donde se guardan estos datos significativos. 5. No es lo mismo almacenar en la memoria de largo plazo un dato o almacenar una habilidad. El dato tiende a ser de fácil olvido, la habilidad no. Primer ejercicio – memoria de corto plazo Este ejercicio puede realizarlo con un conjunto de alumnos y determinar experimentalmente su validez. La memoria de corto plazo es una habilidad que permite que un individuo promedio pueda repetir en el mismo orden una secuencia de números. Es así pues que usando una secuencia preestablecida (ejemplo: 45 - 35 – 2… n, donde n es cualquier número), mediremos cuantos números un individuo es capaz de repetir sin ninguna otra ayuda que su capacidad de retener la información y duplicarla. Nombre Secuencia Cantidad de elementos correctos al repetir Jorge 45 – 35 - 2 3 2 DICCIONARIO DE LA LENGUA ESPAÑOLA - Vigésima segunda edición. http://buscon.rae.es/draeI/ Pedro 45- 35 – 2 3 María 45- 35 – 2 3 M… (cualquier alumno) 45 – 35 – 2 3 Al realizar este ejercicio notaremos que un número cercano al 100% de las personas son capaces de realizar el ejercicio sin mayores dificultades. Sin embargo, si intentamos aumentar la cantidad de números en la secuencia, digamos a cinco elementos (11 – 37 – 48 – 7 – 9), comenzamos a notar que no para todas las personas este ejercicio resulta tan sencillo. Algunas personas solo pueden repetir los tres o cuatro primeros números. Si elevamos la cantidad a 7, notaremos que una cantidad importante de personas no pueden completar la secuencia. Más allá de estos niveles los resultados tienden a ser muy inestables entre las poblaciones. Factores como la edad, el sexo, el nivel de instrucción, el estado emocional o cualquier otro factor pueden hacer variar enormemente el resultado. A menos que estemos tratando personas que tengan cierto tipo de problemas (salud, estado emocional, drogas, etc.), podemos afirmar que una parte muy significativa de la población que se estudie entra dentro del grupo de los 5 números escuchados y reproducidos con fidelidad. Digamos que el número resultante de esta observación es el tamaño de la memoria de corto plazo. Y lo llamamos de corto plazo porque es probable que al día siguiente, nadie recuerde la secuencia que logró repetir, digamos que 24 horas después, la capacidad del individuo para repetir la secuencia se aproxima a cero. Sin embargo, vamos a repetir el ejercicio y vamos a demostrar que estas mismas personas son capaces de repetir no 5, ni 7, sino 15 números. Recomendamos utilizar a los mismos sujetos del experimento anterior. Nombre Secuencia Cantidad de elementos correctos al repetir Jorge 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 15 Pedro 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 14 María 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 15 M… (cualquier alumno) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 15 Nótese que al desarrollar el ejercicio, muchas personas lograrán reproducir esta secuencia aunque con ciertas dificultades: Empiezan confiados, pero dudan en algunos momentos cuando los invade la pena o sienten que pueden quedar en ridículo si se equivocan. Algunos se equivocan y hacen una rápida y enfática corrección. Pocos se equivocan y no se dan cuenta. Algunos subestiman el ejercicio y no lo concluyen (desafíenlos a que lo hagan). Podemos sin embargo observar, que las personas no adquirieron por obra y gracia una extensión de memoria para realizar esta tarea. Simplemente usaron su memoria de corto plazo de otra manera. Probablemente encontraron una relación entre todos los elementos y algún artilugio que les permite poder reproducir el número siguiente en la secuencia. Este ejercicio puede realizarse con otras cosas que no sean números y obtendremos resultados similares, aunque no tan fáciles de estudiar como en el caso de las secuencias de números. Como conclusión de este ejercicio diremos que el ser humano tiene a su disposición un sistema que le permite recordar en el corto plazo un número finito de datos y reproducirlos. Este mecanismo lo llamaremos memoria de corto plazo. En condiciones aleatorias, la capacidad esta limitada al rango de 5 a 7 elementos. También podemos afirmar que el número de datos que el individuo es capaz de reproducir depende del mecanismo utilizado. Si el individuo logra encontrar alguna relación entre los objetos que sea constante, puede usar esos cinco o siete elementos de otra manera: 1. El primer numero es 2 2. El siguiente número será el anterior más dos (y eso es fácil de calcular) 3. o sea 4 4. hay que repetir la secuencia desde el primer paso pero con el nuevo valor Así que aquí estamos en un ejercicio donde solo hace falta recordar en la memoria de corto plazo 4 elementos, cantidad más que suficiente para hacer la tarea. Otros mecanismos para mejorar la memoria de corto plazo Una alternativa a la memoria de corto plazo es repetir una secuencia de números una cantidad significativa de veces, de forma tal que ese mecanismo deje una huella indeleble en el cerebro. Este mecanismo se logra de manera fisiológica, a diferencia de la memoria de corto plazo que solo altera momentáneamente algunas conexiones. Pareciera que la creación de los circuitos cerebrales necesarios para mantener un dato por largo tiempo están asociados al proceso que realiza la memoria de corto plazo en un análisis que determina la relevancia del dato. Es así que si la memoria de corto plazo determina que un dato es significativo por alguna razón, este tiende a persistir en el tiempo, mientras que otros datos menos relevantes son eliminados con rapidez. Este mecanismo de selección de los datos en base a su relevancia hace posible que el sistema permita procesar información de manera muy eficiente ya que la principal habilidad de la memoria de corto plazo es la capacidad de olvidar lo irrelevante. Para una computadora, esta es una tarea titánica. El ser humano por el contrario, puede determinar de muchas formas la relevancia del dato y decidir mantenerlo u olvidarlo. Pero en el sentido más mundano, el ser humano ha desarrollado dos métodos (hay más) eficientes de realizar el ejercicio anterior de manera sencilla. Obviamente ya vimos el primer método, que consiste en encontrar una relación entre los elementos y poder predecir el numero siguiente. El segundo método se denomina registro, en palabras sencillas, ¡escríbalo! Si realizamos el ejercicio anterior, pero le damos a la gente la oportunidad de escribir, es decir de llevar un registro, con toda seguridad podremos tener un resultado altamente satisfactorio en la mayoría de los casos con 15 elementos. Los conceptos Digamos que un individuo promedio es capaz de manejar de 5 a 7 datos conceptuales en su memoria de corto plazo. Si requiere más capacidad debe optar por otras estrategias tales como la memoria de largo plazo, el registro o la habilidad para reconocer un patrón en la secuencia y poderlo usar. Este es en pocas palabras el mecanismo del hardware que tenemos que programar. Capítulo 2 – Una clase típica Si observamos una clase de matemáticas típica encontraremos algunos detalles curiosos así como los paradigmas con los que se manejan tanto alumnos como docente. Nótese en primer lugar la estructura cuadriculada de la disposición de los alumnos en relación al docente: Esta disposición nos hace pensar que para el docente esta uniformidad pareciera ofrecerle algunas ventajas. De hecho, los conocimientos suelen impartirse en grupos de personas con más o menos capacidades y conocimientos similares. Analizado el contexto físico que tiende a tener pocas variantes, salvo el número de alumnos, entonces podemos analizar como se desarrolla una clase típica. Fases de la clase Podemos observar que una clase típica de matemáticas, contendrá esta secuencia básica con algunas pequeñas variantes: 1. Saludo formal para dar inicio a la actividad 2. Introducción o explicación del tema a tratar 3. Explicación del tema 4. Ejemplo presentado por el docente o solicitud aleatoria de ejemplos 5. Pregunta de confirmación de comprensión 6. Verificación de éxito o fracaso de la estrategia 7. Ejemplo coayudante 8. Actividades individuales o grupales para fijar el concepto con ejercicios o tareas 9. Verificación o evaluación del aprendizaje 10. Algunas acciones correctivas Saludo formal para dar inicio a la actividad El docente marca un hito que tiene como finalidad crear cierto ambiente formal para el aprendizaje. En esta fase marca una clara distancia con los alumnos e impone la autoridad necesaria. Introducción o explicación del tema a tratar Es importante que los alumnos conozcan de lo que se va a hablar y el tema normalmente se introduce con su nombre formal y el nombre vulgar en caso que exista con la finalidad de contextualizar y fijar un marco de referencia. Explicación del tema Una vez creado el ambiente propicio, el docente pone a disposición de los alumnos una detallada y profunda explicación que muchas veces involucra aspectos, técnicos, anecdóticos, históricos o de cualquier otra índole que puedan hacer que el alumno se forme una idea clara del contexto general, de la idea o conceptos presentados y que el pueda tener una visita guiada a ese mundo del conocimiento que el docente presenta. Ejemplo presentado por el docente o solicitud aleatoria de ejemplos El conocimiento teórico no basta, por lo cual, se acude a ejemplos que pueden tener dos orígenes. El primero, son ejemplos preparados con antelación por el profesor y que desde su experiencia tienen un nivel de complejidad digamos que de mediano a bajo. No es el ejemplo más sencillo, pero tampoco el más complejo. Es común que se invite a los alumnos a proponer y a participar presentando casos y ejemplos Pregunta de confirmación de comprensión En algún punto de la secuencia, se realiza una verificación colectiva. Esta verificación es generalmente una pregunta directa y honesta del docente que intenta llamar la atención a quienes han mostrado algo de apatía por el tema tratado. Puede usar alguna de estas expresiones, aunque puede tener algunas variantes que se ajustan mejor al estilo didáctico de cada uno. ¿Entendieron? ¿Tienen alguna duda? ¿Tienen alguna pregunta? ¿Preguntas? Verificación de éxito o fracaso de la estrategia A este punto y de manera muy general, el docente hace una evaluación subjetiva del estado de ánimo del grupo, su interés en el tema y su conclusión le permite hacer ciertos ajustes tales como repetir la explicación, materializar con objetos los ejemplos, dibujar o planificar algunas actividades complementarias. Ejemplos coayudantes Cuando se detecta un bajo índice de comprensión o una necesidad de acudir a otros ejemplos, estos generalmente se improvisan en clase. Acudiendo a la experticia del docente, este suele improvisar algunos ejercicios que le permiten aclarar. En algunos casos los docentes tienen experiencias previas con estas situaciones y han construido algunos ejemplos “típicos” que les ayudan a explicar los conceptos. Actividades individuales o grupales para fijar el concepto con ejercicios o tareas Es común asignar una tarea de ejercitación para que con toda la información los alumnos realicen algunas asignaciones ya sea en clase o en casa, bien sea individuales o en pequeños grupos Verificación o evaluación del aprendizaje No existe clase de matemáticas que no esté por definición asociada a un examen de conocimientos. Tarde o temprano, el alumno debe enfrentar este reto. Normalmente el resultado está asociado a un sistema severo de premios y castigos. Es frecuente que el premio sea muy pobre en comparación de la severidad del castigo Algunas acciones correctivas Si la estrategia educativa no fue exitosa, suelen tomarse acciones correctivas. La más común es la relacionada con repetir la experiencia otra vez. Capítulo 3 – Juegos Sun™ Game Server Technology, An Executive Overview, June 2004, es un documento que resumen las características asociadas a la tecnología de servidores para juegos. Lo interesante de este documento es la información que provee en cuanto a los paradigmas que involucran los juegos de computadora, que curiosamente no son muy diferentes a los paradigmas necesarios para ser utilizados en el desarrollo de habilidades matemáticas. Bueno, a fin de cuentas, las computadoras son fundamentalmente dispositivos orientados por conceptos matemáticos. Haciendo algunas sustituciones de palabras donde el desarrollador = profesor y alumno = usuario, podemos hacer algunas analogías válidas igualmente. Sin embargo hay una diferencia notable entre la eficiencia desarrollada en el mundo de los juegos para enseñar complejas tareas habilidades y conocimientos necesarios para ser altamente exitoso en un mundo virtual, comparado con la tasa de éxito que puede un maestro promedio lograr en temas matemáticos entre sus alumnos. Algunas observaciones preliminares Vamos a jugar El juego es una actividad muy importante y de ninguna manera es una actividad poco seria. Quienes piensen así deberían considerar que los Juegos Olímpicos por ejemplo son una de las industrias más prestigiosas y más rentables del planeta. Países enteros se disputan el privilegio de albergarlas. Millones de dólares son pagados por derechos de transmisión de los eventos y otros millones mas por patrocinios. Si tiene dudas que el juego es algo serio, solamente eche un vistazo a Las Vegas y observe lo que pasa ahí. Una de las industrias mas poderosas del planeta es la de juegos de computadora, que ahora esta en dispositivos móviles, en la red, en computadoras caseras y en las oficinas de todo el mundo. Técnicamente hablando, el mundo de la computación evolucionó por la necesidad de jugar. Nadie necesita una computadora con 2 gigabytes de Ram, tarjeta de audio, tarjeta de sonido, conexión a Internet, disco de 200 MB, Monitor de millones de colores y un sistema operativo gigantesco para llevar contabilidades y escribir cartas de negocios. La única razón de la existencia de esta maravillosa tecnología es poder jugar. Claro está, nunca lo admitiremos formalmente. Pero a este punto es importante establecer algunas características que implica el juego. Porqué nos gusta jugar Nos gusta jugar porque es una forma de garantizar la supervivencia. Una bacteria tiene pocas oportunidades de sobrevivir en ambientes diferentes a aquellos en los que generalmente habita. Pero digamos esto de otra manera. Una bacteria que quiera lograr que sus hijos sobrevivan, no posee muchas estrategias que ofrecer más allá de los componentes genéticos que les ha transmitido. Otros organismos más complejos desarrollaron la habilidad de aprender. Es decir la habilidad de observar comportamientos externos al individuo y reproducirlos en forma de una secuencia de actividades lógicas. Estas conductas incluyen muchos individuos que aprenden incluso de otras especies, como es el caso de ciertos monos en Japón que aprendieron a lavar la fruta y a bañarse observando a los humanos hacerlo. Pero enseñar es una tarea que solo muy pocas especies han logrado. Existen indicios en los cuales ciertas especies lo aplican pero digamos que en muchos casos pareciera ser una interpretación rebuscada de algunos comportamientos animales. Existe poca investigación en este campo. Digamos que el mecanismo de enseñar garantiza que un individuo, digamos el padre, transmita al hijo conocimientos y logre el desarrollo de habilidades que sólo el posee. Muchas especies aprenden, pocas especies enseñan. Este mecanismo de enseñanza está presente en algunos pájaros y en los mamíferos. En la mayoría de los casos el maestro enseña al alumno y este logra un nivel de destreza y gracia similar a la del maestro. En los humanos observamos que es común encontrar que el alumno supere al maestro. Pero en la naturaleza nada es gratis. Las especies inferiores maduran sexualmente muy rápido. Así que después del nacimiento, se dispone de muy poco tiempo para que aprendan lo necesario para su supervivencia. Otras especies, que requieren mayores aprendizajes, aumentan la dependencia de los hijos postergando el momento del desarrollo sexual. Esto unido a la dependencia crea un entorno adecuado para que los padres tengan oportunidad de enseñar. Mecanismo de juego Un juego es una forma muy elaborada de lograr una experiencia de aprendizaje o de enseñanza aprendizaje. El juego es una simulación de la realidad más o menos elaborada, donde se experimentan todos los beneficios y se minimizan los riesgos. La simulación está en la imaginación de los individuos. Pueden hacerse mejores y más elaborados juegos con individuos muy imaginativos, o con computadoras que hagan esa tarea. La imaginación no tiene límites, pero el juego si. Los límites son las reglas y ellas se crean para garantizar la premisa del juego y es esa de minimizar los riesgos. La matemática es la base de cualquier juego, ya que son elementos abstractos que solo existen en la imaginación de las personas pero sirven para simular la realidad. Mecanismo de enseñanza En este punto queremos aclarar que aprender y enseñar son cosas totalmente diferentes. Podemos hacer la analogía. Programar computadores y usarlos son cosas completamente diferentes. Programar = enseñar Usar = aprender La mayoría de las personas que usan computadores hoy día no pasaron por un proceso de enseñanza, por el contrario pasaron por un proceso de aprendizaje. “Yo llegue al trabajo y me dijeron: esa es tu computadora, tiene Linux. Me senté y aprendí, preguntando aquí y allá y probando. Puro por ensayo y error. Ya no me enredo y se donde está todo, pero me deberían mandar para un cursito.” Pero enseñar es equivalente a programar. Se requiere conocer muy bien la arquitectura y el funcionamiento, no sólo del equipo sino también se requiere conocer al usuario. Lo curioso es que la posición del programador y la del maestro son significativamente diferentes. Similitudes y diferencias entre programador y maestro El fin que ambos persiguen es el mismo. Lograr que un tercero (usuario, alumno) adquiera una habilidad de forma tal que dicha persona pueda utilizar esas habilidades en entornos diferentes sin la presencia suya. Debido a la naturaleza de ambas actividades, ambos manejan una escala conceptual y un nivel de detalle. Pero lo que es cierto es que ambos son expertos o por lo menos tienen mayor conocimiento del sistema que el usuario o el alumno. También es posible que un alumno por la vía del aprendizaje tenga mayores conocimientos y habilidades que el profesor o que un usuario tenga mayor conocimiento o habilidad que el programador. Digamos que las diferencias aparecen en el método de enseñanza ya que cada cual usa los paradigmas y las herramientas que tiene a la mano. Con resultados muy diferentes. Capítulo 4 – Programando un juego de computadora El programador es un experto. Pero programar un juego implica un nivel superior de experticia. Un juego de computadora tiene características muy particulares: 1. Debe captar el interés desde el primer momento 2. Debe incluir una ambientación que contextualice al jugador y le de sentido a las acciones y elementos que conforman el juego. 3. Debe tener una forma en la que el jugador comprenda las acciones que tiene que realizar y movimientos necesarios para jugar eficientemente. Conocer los comandos, controles y características detalladas del juego. 4. Preferiblemente debe existir un área de práctica para que el individuo adquiera destrezas en un ambiente donde no reciba castigos por los errores. 5. Debe existir la posibilidad de contestar preguntas relacionadas con frecuencia por los jugadores. 6. Debe existir una forma de comunicación para reportar errores del programa o sugerencias. 7. Debe existir la posibilidad de probar igualmente, los efectos de diferentes personajes, equipos, armamento, equipamiento, características y poder evaluar. 8. Deben existir áreas de prácticas individuales o sistemas de intercambio de información con otros usuarios. 9. Deben existir campeonatos o competencias que permitan determinar la habilidad del jugador. 10. Deben existir nuevas y mejores versiones del juego. Si compara una a una estas características una a una con las de una clase de matemáticas típica encontrará algunas similitudes. Estrategias de programación A los fines de nuestro trabajo, comentaremos los dos paradigmas utilizados para diseñar programas de computadora y luego los trasladaremos al ámbito de la enseñanza. Topdown (de arriba abajo) En este modelo, se toma un problema muy grande y complejo y se divide en secciones lógicas que a su vez se dividen en secciones más pequeñas hasta llegar al mínimo nivel de detalle necesario. No se empieza la codificación o ejecución hasta que no se haya llevado el diseño a su máximo nivel de explicación y detalle. Este método también se conoce como programación estructurada, que dio origen a lenguajes como Pascal. Ventajas Fácil de aplicar cuando se sabe lo que se está haciendo Modular, ya que puedes aplicar soluciones similares en diferentes partes del proyecto Al tener un esqueleto, puede navegar con facilidad aunque el diseño sea intrincadamente complicado. Los errores tienden a ser escasos. Mucha eficiencia. Fácil de mantener una vez producido e implantado. Desventajas Produce soluciones poco originales No puede aplicarse a casos donde existe poco o nulo conocimiento Solo pueden emplearlo expertos No se puede utilizar para procesos de alta entropía como sistemas sociales Bottom-Up (de abajo hacia arriba) Este modelo parte de construir pequeñas unidades funcionales que al irse integrando forman un ente más complejo. Es una aproximación más biológica si se quiere. Utiliza pequeños fragmentos que al combinarse pueden crear poderosas herramientas. Este método es ideal para abordar problemas de programación donde hay escaso conocimiento y se requieren diseños muy sólidos a nivel bajo. Ventajas Es un modelo que permite abordar el problema y “aprender sobre la marcha” Ideal para problemas nuevos Mucha gente puede participar con diferentes niveles de conocimiento y hacer contribuciones específicas Produce soluciones originales e innovadoras Desventajas Requiere mucha intuición Hay un mecanismo de ensayo y error asociado En el mundo moderno, ambos esquemas se utilizan en forma simultánea en ambientes como la programación orientada a objetos. En el mundo de la gerencia La forma en que se organizan las personas para lograr un objetivo, están asociadas a estas dos formas de pensamiento. En las estructuras jerárquicas es común utilizar un método Top-down mientras que en las asociaciones grupales el método bottom-up es preferido. Esto determina no solo la forma en que se decide sino también el nivel de influencia de cada individuo a favor del grupo. Capítulo 5 - Las curvas de enseñanza y aprendizaje Existe un hecho evidente y que no se puede negar en el proceso de interacción de un profesor y uno o varios alumnos: El maestro tiene un mayor conocimiento que el alumno. El propósito del maestro es lograr que el alumno se acerque o supere su propio nivel de comprensión. El maestro, por ser un experto, aborda el problema desde un enfoque Topdown. El alumno por no ser experto, aborda el problema desde el paradigma bottomup. El maestro propone una estrategia de comprensión del conocimiento formal, uniforme en el tiempo y perfectamente estructurada, empezando por un nivel muy sencillo y aumentando la dificultad en forma constante y progresiva. El alumno no conoce el orden ni el final. Así pues que va tomando pedacitos de información que va conectando uno a otro y a base de muchas pruebas va elaborando su concepto, guiado por las indicaciones recibidas no solo del maestro sino de otras experiencias no planificadas por el educador. En un punto del tiempo, el alumno ha ensamblado un constructo que le permite comprender, sin llegar a dominar el tema asociado. En este momento, el alumno tiene un crecimiento muy pronunciado en el desarrollo del concepto hasta alcanzar el nivel del profesor. En esta ilustración comparamos las expectativas del maestro con el mecanismo de aprendizaje del alumno: Cuando un programador crea un juego debe adaptarse en la medida de lo posible a la curva del usuario y entendiendo como esta curva se desarrolla a medida que llega a dominar nuevas habilidades. Así pues observamos que el alumno parte de un punto de conocimiento cercano a cero aunque difícilmente desde ahí. Luego existe una zona muy plana que abarca más de la mitad del tiempo y más cercana al punto de comprensión inicial que al deseado. Llega un momento de comprensión súbita. Un insight si se quiere. En este punto el jugador cree comprender y esta seguro de poder recorrer el camino de ahí en adelante sin mayores tropiezos. Esta nueva sensación de seguridad le permite avanzar muy rápidamente, por lo cual el programador debe estar atento ya que si el jugador se convence que el reto es demasiado fácil, se conformará con alcanzar este punto y no sentirá interés de alcanzar un nuevo nivel. Capítulo 6 – Volviendo al principio Formalmente, la matemática conceptual es la parte de las matemáticas aplicadas que estudia aquellas expresiones que implican una cantidad pero no la especifican. Su valor radica en el estudio del proceso de aprendizaje así como la teoría de juegos aplica en la predicción de fenómenos sociales basada en los datos de la simple interacción de personas donde la respuesta de un sujeto depende la respuesta del otro. Como ejemplo, ya que no es el objeto de este trabajo podemos ilustrar que un número conceptual aparece con frecuencia en una receta de cocina: Receta para hacer arroz 1 taza de arroz 2 tazas de agua Una pizca de sal En este contexto pizca es un número conceptual. Ahora bien, los números conceptuales tienen algunas propiedades interesantes. La primera de ellas es que funcionan como atractores en el tiempo. Primero se define dentro de un rango muy amplio y puede evolucionar hacia un número muy definido o convertirse en un número totalmente aleatorio. Frente a un juego nuevo de computadora, o en general cuando un individuo aprende un nuevo lenguaje, una nueva teoría, generalmente se realiza una explicación o una ambientación en la que la explicación contiene algunas expresiones que indican cantidades aunque no las especifican. Típicamente una conducta de aprendizaje natural implica siempre una sensación de descubrimiento ya que nos retrotrae a nuestra infancia nos elimina la necesidad de propósito y nos proporciona la oportunidad de experimentar el riesgo dentro de un espacio que consideramos seguro. Así que cuando compro un televisor nuevo, debo ponerlo a funcionar. El fabricante ha diseñado un manual paso a paso (top down) para que eficientemente yo pueda hacer la tarea. Pero yo prefiero observar el entorno, sacarlo de la caja, buscar los tornillos, colocar el pedestal, revisar las etiquetas, mirar las pequeñas indicaciones al lado de los tornillos. Y cuando ya realmente sienta que no puedo, entonces si busco el manual, no sin antes haberlo intentado unas cuantas veces (bottom up) Y esta conducta forma parte de esa curva de aprendizaje. Muy diferente a lo que el fabricante tenía en mente. La incertidumbre Sin importar la actividad de la vida que desarrollemos, tendremos que lidiar con la incertidumbre. La cuestión es: ¿Cuánto tiempo vas a estar ahí sin hacer nada por culpa de la incertidumbre? Si alguien decidiera no conectar el televisor hasta tanto no hubiese cumplido todas las normas establecidas en el manual, haber cumplido con las indicaciones que incluyen conocer las leyes nacionales que involucran los sistemas eléctricos, la verificación por parte de un técnico especializado que certifique los puntos y demás recomendaciones del fabricante, probablemente nos perderíamos la novela, que es el fin último de conectar la televisión. Es un proceso natural el lidiar con la incertidumbre, asumir riesgos y explorar cosas novedosas. Pero los sistemas educativos nos quieren llevar a un método top down, limitante y poco creativo donde definitivamente es desagradable aprender. Premio y castigo Aprender es un proceso que inevitablemente requiere probar una y otra vez hasta llegar a la perfección. Nada menos. Enseñar es un proceso diferente. El sistema ha creado premios y castigos en proporciones opuestas. Hay muchos castigos y pocos premios. Afortunadamente en el mundo de los juegos hay más premios que castigos. No en vano preferimos el juego como método de aprendizaje. Logro y frustración Las dos emociones más importantes a considerar en estos procesos son el logro y la frustración. La sensación de logro hace que los individuos perciban el mundo como un conjunto de oportunidades. La frustración genera violencia y esta se expresa de cuatro formas: Violencia hacia mi mismo Violencia hacia las cosas que me rodean Violencia hacia las personas cercanas Violencia hacia el sistema y personas lejanas El juego educativo Casi cualquier persona podrá afirmar que cualquier cosa que parezca educativa no es un juego, o por lo menos no es un juego que yo quiera jugar. Existe software educativo. Existe educación y recreo. Hay planes concretos de cómo dar la clase pero ninguno de cómo dar el recreo. Capítulo 7 – Normas para diseñar un buen juego Si alguna vez usted se plantea hacer un juego de computadora debe tener en cuenta los siguientes elementos. Maneje las emociones de jugador Un juego se basa en el manejo adecuado de dos emociones básicas: La esperanza y la culpa. El juego debe funcionar en forma tal que el jugador nunca pierda la esperanza de poder ganar. No importa lo complicado y difícil que parezca. Obviamente dentro del contexto de un juego es probable que un jugador llegue a sentir que ya no puede ganar, pero es importante crear mecanismos que aún perdiendo hayan incentivos suficientes para que sea atractivo llegar al final aún perdiendo. El segundo elemento tiene que ver con la culpa ya que el jugador debe percibir que siempre esta en control del juego y debe poder sentirse responsable de todo lo que pasa. Si el jugador piensa en algún momento que el juego es el culpable de su derrota, abandonará con facilidad cualquier intento posterior. Defina claramente el tipo de juego Carreras, disparos, liderazgo, construcción, recopilación, intercambio, conexión, escape, buscador, escondidas, acertijos, juego de roles, acción, aventura, etc. Cada tipo de juego tiene características propias y el jugador espera reconocerlas. El usuario espera que la curva de aprendizaje del juego esté adaptada a él Esto significa que no puede ser demasiado elemental ni demasiado pronunciada. (si observo la grafica de la curva de aprendizaje observará el porque). Premios y castigos Un buen juego es aquel que tiene un perfecto balance entre premios y castigos. Este es quizás el factor más importante a considerar a la hora de crear un juego. Manejo adecuado de los factores aleatorios Nunca se deben dejar los elementos importantes del juego al azar. En el transcurso del desarrollo de un juego, el usuario está experimentando un proceso de constante mejora en la habilidad, no necesariamente en el conocimiento del juego. Los elementos relacionados con el juego deben poderse manejar con seguridad y sin elementos de azar. Este solamente es válido en elementos triviales, pero no en la estructura principal. Estructura clásica de un juego 1. Bienvenida impactante 2. Nivel 0 - Entrenamiento en la interfase 3. Nivel 1 – Poco riesgo y cero azar 4. Niveles siguientes… curva lenta de aprendizaje inicial muy intuitivo 5. Nivel de dominio del conocimiento (algo más alla de los niveles medios) 6. Niveles con alta complejidad 7. Fin del juego con un super desafio Bienvenida impactante Esta es la parte donde se despierta el interés. Generalmente está acompañada de un mensaje que tiene dos significados: “no es fácil” y “tu puedes lograrlo”. Puede ser un video, una animación, un texto etc. Lo cierto del caso es que sirve para llamar la atención, pero solo eso. Nivel 0 - Entrenamiento en la interfase La promesa inicial debe estar acompañada por el dominio de la interfase antes de jugar “de verdad”. Aquí se orienta sobre el uso de los comandos, teclado, ayudas visuales, sonidos de alerta, movimientos epeciales, etc. “Si el jugador no domina la interfase, no podrá jugar.” Nivel 1 – Poco riesgo y cero azar El primer nivel real debe ser muy sencillo. Es más, debe estar garantizado que este nivel aún sin haber jugado jamás sea casi imposible perderlo. Debe trabajarse con mucho cuidado y sin dejar nada al azar Niveles siguientes… curva lenta de aprendizaje inicial muy intuitivo Aquí comienza una curva progresiva de dificultad, donde se van perfeccionando las habilidades lentamente. Siguiendo la curva natural de aprendizaje. Cada nivel agrega un elemento nuevo que fácilmente se comprende y que aunque se pierda deja como ganancia el conocimiento del nuevo nivel. Nivel de dominio del conocimiento (algo más allá de los niveles medios) Ya estamos seguros que el usuario conoce y tiene la habilidad necesaria para manejar la interfase. En estos niveles es donde realmente se demuestra toda la capacidad real del juego. Sin embargo, aún en estas fases se controlan bien los elementos azarosos. Niveles con alta complejidad Aquí están los verdaderos desafíos. No todos llegan aquí. Pero es el premio a la persistencia. Fin del juego con un super desafio Es común que como ultima fase, se invite a un torneo, a un nivel super complejo o a un estado solo digno para privilegiados. Capítulo 9 – Observaciones sobre el método tradicional Los anteriores argumentos nos conducen a realizar una serie de observaciones sobre el modelo clásico sobre el que se cimienta una clase de matemáticas y algunos de los elementos que deben ser evaluados y considerados. Repasemos pues la lista clásica: 1. Saludo formal para dar inicio a la actividad 2. Introducción o explicación del tema a tratar 3. Explicación del tema 4. Ejemplo presentado por el profesor o solicitud aleatoria de ejemplos 5. Pregunta de confirmación de comprensión 6. Verificación de éxito o fracaso de la estrategia 7. Ejemplo coayudante 8. Actividades individuales o grupales para fijar el concepto con ejercicios o tareas 9. Verificación o evaluación del aprendizaje 10. Algunas acciones correctivas Saludo formal En condiciones promedio el saludo marca el inicio de la actividad. Pretende invitar a las personas para que asuman una “posición seria y respetuosa” donde se espera mucha atención por parte de los alumnos hacia el docente. Este se suele utilizar como un mero formalismo pero en el fondo pretende definir quien es aquel que tiene el poder dentro del grupo. Las reacciones aunque suelen variar, generalmente están asociadas al cambio de estado de ánimo desde una posición de juego (que viene del receso o cambio de la clase) a la de atención. Introducción al tema que se va a tratar Generalmente se limita a mencionar el nombre del tema y hacer algún comentario no muy atractivo. “Hoy vamos a hablar de las derivadas. Las derivadas son muy importantes ya que serán de mucha utilidad en toda la carrera” Explicación del tema Generalmente supera los cinco o siete elementos conceptuales que una persona normal puede manipular en su mente de corto plazo. Se requiere de mucha habilidad verbal y no matemática para seguir el paso de la explicación, llevar registro del material explicado y seleccionar de aquel cúmulo de información lo relevante de lo que no lo és. Una explicación del tema puede incluir una actividad tal como leer algún texto académico donde aparezca la definición, origen y algunos elementos relevantes. Esta actividad puede durar de uno a varios minutos. Si tomamos en cuenta que una persona puede hablar a una velocidad de una pagina por minuto y que en una página podemos tener unos diez conceptos, una explicación típica puede superar los 30 elementos conceptuales. Muy por encima de la capacidad de una persona promedio en su memoria de corto plazo. La explicación preliminar constituye una afirmación del poder sobre el grupo. El mensaje transmitido es “yo se algo que ustedes no saben”. Ejemplo presentado por el profesor o solicitud aleatoria de ejemplos Este es uno de los elementos peor manejados en la estrategia clásica pues se dejan muchos elementos al azar. El ejemplo propuesto debería ser muy elemental y previamente seleccionado con mucho cuidado para que no se lleguen a tener sorpresas durante el desarrollo del ejercicio. Es muy desagradable que el primer ejemplo presentado resulte, después del desarrollo en una contradicción o en algo fuera del tema que se está explicando y que muchas veces pierde el contexto totalmente. Peor aún es cuando se solicita a los alumnos que propongan el ejemplo basado en la explicación que se acaba de dar ya que puede aparecer cualquier cosa. Pregunta de confirmación de comprensión ¿Entendieron?.... ¿Preguntas?.... Esta es la forma clásica de trasladar la culpa del sistema al alumno. Quizás para este momento el docente pueda darse cuenta que el proceso no funciono e improvisa estrategias correctoras. Verificación de éxito o fracaso de la estrategia Para este momento puede estar en el punto crítico ya que comprende que no todos tienen el mismo nivel de claridad. Ejemplo coayudante En algunas ocasiones se recurre a otros ejemplos para mejorar la explicación. El único asunto negativo es que estos ejemplos no siempre cumplen su función. Actividades individuales o grupales para fijar el concepto con ejercicios o tareas Aquí es donde realmente empieza el verdadero proceso de aprendizaje. Ya que todas las fases anteriores agregaron ruido en el proceso. En esta fase, el alumno repasa sus notas, se forma un concepto, pregunta a sus compañeros. etc. Verificación o evaluación del aprendizaje No hay clase de matemáticas sin examen asociado. Igualmente, en los exámenes se comenten los mismos errores. Se deja que sea el azar el que decida si se aprendió o no. Sabemos que es un tema controversial, pero visto desde la coherencia, sería recomendable que en el examen se colocaran los mismos ejercicios que durante el proceso de aprendizaje. Algunas acciones correctivas Una vez determinado el éxito o fracaso, una significativa porción de los estudiantes de matemáticas deben enfrentar algunas acciones correctivas que van desde volver a estudiar (retrabajo), volver a presentar exámenes, volver a repetir la clase y en algunos casos volver a repetir el año. Esta sensación amarga que hiere la autoestima y fortalece un sentimiento de inhabilidad se contamina con facilidad hacia otras áreas del saber. Es curioso ver como correlaciona que los alumnos que son buenos en matemáticas, por lo general son buenos en otras actividades. Como mecanismo de defensa y ante la frustración aparecen los signos clásicos Violencia hacia mi mismo Violencia hacia las cosas que le rodean Violencia hacia las personas Violencia hacia el sistema Capítulo 9 – Recomendaciones para diseñar una clase de matemáticas Si aplicamos las analogías adecuadas, podemos visualizar la tarea de enseñar matemáticas tal como se diseña un juego de computadora. Claro, aquí encontraremos muchas cosas innovadoras y en las que quizás el docente no había pensado antes. En líneas generales hablaremos de unas Normas de Diseño y de un Método Normas de diseño 1. Las matemáticas no pueden enseñarse únicamente utilizando la visión. Igual que en cualquier juego de computadora, los sonidos y los movimientos son importantes. a. Visión b. Audio c. Movimientos de la mano y del cuerpo 2. Se debe seguir una curva lenta de aprendizaje al principio y con una inclinación mínima, hasta llegar al punto de insight. 3. Recuerde que en este punto hay comprensión pero no dominio. El dominio se logra más adelante. 4. No pueden existir detalles al azar. Tampoco son viables las “conchas de mango”. 5. No se puede pasar de un nivel inferior a uno superior sin haber pasado todas las pruebas de forma impecable. 6. El nivel siempre es el mismo. Con los mismos ejemplos. 7. Se examina como reto. Colocando los mismos ejercicios. 8. Una vez asegurado que el desafío ya no es interesante, entonces pasamos a los niveles siguientes que son los de destreza media. Estos ejercicios tienen como objetivo desarrollar el dominio y solo son posibles cuando ya pasamos el punto de comprensión marcado por el insight. 9. Los ejercicios más desafiantes y retadores se dejan para el final. Sabemos que los alumnos están en este punto cuando pueden resolver cualquiera de los ejercicios. 10. Al igual que en los juegos de computadora, se deben manejar muy bien dos emociones: la esperanza y la culpa. Método Fase I – Contextualización Como todo buen juego, un simple saludo no basta. Hay que hacer lo que formalmente se llama un rompehielo. Esta actividad no pretende pasar del estado de ánimo de juego en el que pueda estar el grupo aun estado más “serio y formal”. Por el contrario pretende mantener el espíritu de juego con la única diferencia que su propósito es que “todas las personas juguemos el mismo juego”. En el caso en que estemos tratando con un solo alumno como en un caso de asesoría el mecanismo es el mismo. Esta fase es importantísima y muchas veces menospreciada, al punto que muchos la califican de una “perdedora de tiempo”. Hacer un rompehielo es equivalente a calentar el motor del carro antes de rodarlo. Si bien es cierto podemos girar la llave y luego arrancar sin mayores inconvenientes, los efectos de esta práctica se notarán en el mediano plazo. Existen muchas actividades ya diseñadas con ejemplos de rompehielos. La imaginación es una característica humana sorprendente. Así que no es necesario tener muchas herramientas. Aquello que no tengamos lo podemos imaginar. Pueden simplemente armar cuatro o cinco grupos para que diseñen un avión de papel que hará un vuelo desde un punto a hasta un punto b. Partiendo del mismo punto los aviones tendrán que acercarse lo más posible a un punto en el otro extremo del salón. Gana el grupo que mas se acerque al punto. Este simple ejercicio nos permitirá ilustrar muchos conceptos matemáticos. Otra cosa importante es que, si bien es cierto lo ideal es que el rompehielo tenga alguna relación con el tema que queremos abordar, esta no es una condición limitante. Una vez terminado el rompehielo podría hablar de trigonometría o de cálculo diferencial. En realidad su propósito es preparar a la gente para el aprendizaje que viene después. Fase II – Manejo de la interfase Todo juego en computadora tiene un sistema de control. Este sistema es interactivo y muy conductual. Se mueve un botón hacia la izquierda y la nave espacial se mueve hacia la izquierda, se mueve otro botón y la nave se mueve a la izquierda, disparamos con otro botón y sabemos que le dimos a la nave enemiga porque escuchamos una explosión. Es muy fácil captar la atención con un rompehielo. Pero si no cuidamos el manejo de la interfase podemos caer en frustración muy fácilmente. Al abordar un juego nuevo, el usuario no conoce los controles y mucho menos tiene la habilidad para manejarlos, aunque tenga una vaga idea. Si le decimos a una persona que describa como hay que hacer para ir desde su casa hasta la farmacia más cercana en un carro, notaremos una diferencia entre quien maneja el problema desde la habilidad (el que sabe manejar) a quien lo maneja desde el conocimiento (el que está aprendiendo a manejar). Desde la habilidad: “Salgo de aquí, cruzo a la derecha, avanzo 5 cuadras, cruzo a la izquierda, avanzo cuadra y media y ahí está… frente al Banco, hay una panadería al lado”. Desde el conocimiento: “Bueno, bajo al estacionamiento, prendo el carro, meto primera… claro, dejo que caliente el carro un momento, meto primera arranco…salgo del edificio, hay que tener cuidado porque esta salida está en una curva y los carros aquí andan como locos. Cuando esté en la avenida sigo derecho hasta que llegue a donde está el semáforo y cruzo a la izquierda, luego avanzo un poco más y ahí está ” Cuando se habla desde el conocimiento podemos llegar a un nivel de detalle muy alto pero lleno de inseguridad. Cuando se habla desde la habilidad, se tocan simplemente los puntos relevantes y se va al grano. En el quehacer matemático esta parte es crucial pero se le da poca importancia. Las personas tienen que conocer de antemano los controles, como se activan y que resultados produce cada uno. Fase III – Movimientos de prueba Digamos que esta fase está íntimamente ligada a la anterior pero a efectos prácticos vamos a analizarla por separado. Aquí debemos considerar que el alumno está manejando su comprensión del asunto bajo en enfoque de los números conceptuales. Aunque lo que estemos exponiendo sean cosas aparentemente muy precisas, en este momento para él no lo son. Fase IV – Nivel 1 Todo juego tiene un nivel inicial, muy fácil de ganar y cuyo objetivo es crear la confianza suficiente como para que el usuario tenga el espíritu de juego necesario para formar las siguientes creencias: 1. Esto es demasiado fácil. 2. No existen elementos que yo no pueda controlar. 3. Lo único que me puede hacer perder es que aparezca algo que yo no haya visto con anterioridad. 4. Con seguridad si aparece algo nuevo, sabré reconocerlo. Puede que pierda la primera vez, pero a la segunda no me podría vencer. 5. Si me vence a la segunda no es por falta de conocimiento sino por falta de habilidad. Con algo de práctica le puedo ganar. 6. Si no le puedo ganar así, puede que mi habilidad no sea tan buena pero mi inteligencia me permitirá probar una nueva estrategia para sortear el reto por un camino diferente. Fase V – Transición a los niveles bajos En esta fase, las variaciones de elemento a elemento deben ser muy precisas. Nada debe estar al azar. Siempre debe aparecer un elemento nuevo a la vez. No se pasará a otro elemento nuevo hasta tanto no se tenga maestría con el primero. Capítulo 10 - Una clase de ejemplo… Rompehielo: Requerimientos 4 hojas de papel, una regla, una tiza, reloj o cronómetro y algunos alumnos “organícense en 4 grupos” (no importa el tamaño o cantidad de personas por grupo. No tiene que ser iguales). “Les voy a dar 5 minutos para que se pongan de acuerdo en un diseño de avión de papel”. Tendrán una sola oportunidad para hacer único vuelo desde aquí (x en el piso), hasta aquí (otra x en el piso). “póngale nombre a su equipo y pónganle nombre a su avión”. Permita la interacción social no limite los movimientos de los alumnos. Concéntrese en controlar el tiempo. Transcurridos los cinco minutos… “OK, vamos a hacer los vuelos respectivos”. Para que la competencia sea justa vamos a definir las reglas del juego. “seleccione a alguien para que escriba las reglas” Sugiera una primera regla como: “Ganará el equipo cuyo avión llegue más cerca del centro de la X que se marcó como destino, lanzándolo desde la x que se marcó como origen” Asegúrese que se escriba y se lea en voz alta antes de incluir otras reglas. No pierda tiempo en esta fase a menos que el grupo lo considere importante. Pase a un equipo que diga su nombre seleccionen un lanzador. Indíque que debe decir el nombre del lanzador, el nombre del equipo y el nombre del avión. La persona seleccionada para anotar las reglas debe anotar las distancias a las que quedaron los aviones, registrando nombre del lanzador, nombre del equipo, nombre el avión y distancia a la que quedó del blanco. Al final un aplauso para el grupo ganador Conclusión del rompehielo La actividad no debe tardar más de 10 minutos. Los alumnos deben manifestar a este punto un espíritu de juego claramente reconocible. No pida que se sienten o que se acomoden. Inicie la segunda actividad como si fuese una extensión de la anterior. Probablemente querrán mantenerse en los mismos grupos que formaron, pero en realidad este factor no es relevante. Cuando formulen la pregunta indique que se pueden agrupar como quieran. NOTA: No es cuestión de dejar al azar el proceso de formación de grupos. Al azar sería si metemos los nombres de las personas escritos en papeles en una bolsa y conformamos los grupos a medida que extraemos los nombres. O si numeramos, uno dos, tres, cuatro, uno dos, tres, cuatro, uno dos, tres, cuatro, uno dos, tres, cuatro… Los uno con los unos los dos con los dos los tres con los tres y los cuatro con los cuatro. Estos son sistemas al azar. Permitir que se agrupen como quieran no es al azar, es conceptual ya que las personas buscaran ciertos factores de afinidad para seleccionar o no a los miembros del grupo al que pertenecerá. Esta información será relevante para identificar al individuo más débil y al individuo más fuerte. De aquí en adelante, la norma es simple: “protege al débil”, “haz del fuerte tu asistente”. Revisar concepto de experticia Cambiar enfoque para experiencia
