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TEMA 5.
CURVAS CÓNICAS.
5.1. GENERALIDADES.
Se denominan secciones cónicas a aquellas superficies que son producidas por la intersección de un
plano con una superficie cónica de revolución (una superficie cónica de revolución está engendrada
por una recta que gira alrededor de otra a la que corta; esta segunda recta es el eje de la superficie
y la recta que gira es la generatriz. El punto de intersección de ambas es el vértice de la superficie).
Según la posición del plano secante respecto al eje del cono, en relación con el ángulo en el vértice,
se obtienen tres curvas planas: elipse, parábola e hipérbola.
Si el plano secante (de corte) es oblicuo al eje de la superficie cónica y corta a todas las
generatrices la sección que produce es una curva cerrada llamada elipse.
Si el plano secante es paralelo al eje de la superficie cónica o lo que es igual es paralelo a dos
generatrices, la sección es una curva abierta con dos ramas, llamada hipérbola.
Si el plano secante es paralelo a una sola generatriz de la superficie, la curva será abierta y la sección
que se produce es una parábola.
Caso particular es la circunferencia cuando el plano secante es perpendicular al eje.
Los elementos fundamentales de la curva cónica son:
Focos: cada curva cónica tiene por lo menos un foco real. Es un punto que posee
características particulares en cada tipo de cónica. La elipse y la hipérbola tienen dos focos,
mientras que la parábola tiene un solo foco.
Centro: Punto donde se cortan todos los diámetros de la curva cónica Las elipses y las
hipérbolas tienen como centro un punto propio (del dibujo). Las parábolas tienen como centro
un punto impropio (del infinito).
Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la elipse.
Diámetros: Cualquier cuerda que pasa por el centro. Son rectas conjugadas dos a dos que
tienen la propiedad de que las tangentes trazadas a la curva cónica, en los extremos de un
diámetro, son paralelas al segundo diámetro conjugado del primero.
Diámetros conjugados: Par de diámetros cada uno de los cuales corta a las cuerdas
paralelas al otro en dos partes iguales.
Ejes: Son el único par de diámetros perpendiculares que tiene la elipse. En general son
los ejes de simetría de toda cónica.
Vértices: Corte de la curva cónica con los ejes mayor y menor.
TEMA 5. CURVAS CONICAS.
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5.2. ELIPSE.
Si el plano secante es oblicuo al eje de la superficie cónica, corta a todas las generatrices y no pasa
por el vértice, la sección que produce es una curva cerrada que recibe el nombre de elipse.
La elipse se define pues como la curva cerrada y plana, lugar geométrico de los puntos del plano,
cuya suma de distancias de cada uno de ellos a otros dos fijos, llamados focos, es constante. La
distancia entre los focos recibe el nombre de distancia focal.
También es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a otra dada que pasan
por un punto interior a esta, o de los puntos que equidistan de una circunferencia y de un punto
interior.
La elipse es simétrica respecto a los dos ejes, y por tanto, respecto del centro O.
La suma de distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos es igual al eje mayor, llamado
también eje real, y se designa por 2a. El eje menor se llama eje imaginario y se representa por 2b. La
distancia focal se designa por 2c.
Las rectas que unen un punto cualquiera de la curva con los focos se llaman radios vectores, r y r' .
Según hemos dicho, para cualquier punto de la elipse se verifica que r + r' = 2a
Entre a, b y c existe la relación a2=b2+c2
Circunferencia principal (Cp) es aquella que tiene por diámetro el eje mayor.
Circunferencias focales o directrices (Cf y Cf') son aquellas que tienen por centro uno de los focos y
de radio la longitud del eje mayor 2a.
Las proyecciones de los focos sobre cualquier recta tangente a la elipse pertenecen a la
circunferencia principal.
El punto simétrico de un foco respecto de cualquier recta tangente a la elipse pertenece a la
circunferencia focal cuyo centro es el otro foco.
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Construcción de una elipse conociendo sus ejes.
Método de los puntos.
Dibujados los ejes, trazamos desde el vértice C o D
del eje menor, dos arcos que corten al eje mayor con
radio r = a. Se sitúan arbitrariamente unos puntos en
el eje mayor, 1, 2, 3, etc. entre uno de los focos y el
centro de la elipse, y con radio A-1 y centros en F1 y
F2 se describen arcos. Haciendo centro nuevamente
en F1 y F2 y con radio B-1, se trazan arcos que
cortarán a los anteriores en M1, M2, M3 y M4 que
son puntos de la curva.
La suma de distancias de estos puntos a los focos es
siempre 2a.
Repítase la misma operación, tomando como radios
las distancias de los puntos 2, 3, etc. a A y B,
obteniéndose así otros puntos de la curva. Los
puntos obtenidos se unen a mano alzada.
Método de la proyección de puntos.
Afinidad.
Describimos dos circunferencias concéntricas de
diámetros iguales a los ejes de la elipse. A
continuación se traza, en cualquier punto, un radio
común a ambas circunferencias con lo que
obtendremos sobre ellas los puntos M y N.
Por M se traza una perpendicular al eje mayor AB y
por N una paralela a dicho eje mayor.
Ambas rectas se cortan en el punto P, que es un
punto de la elipse.
Obtenemos
la
elipse
repitiendo
el
proceso
indefinidamente.
Construir una elipse dados un par de
diámetros conjugados.
Del mismo modo que una circunferencia vista en
perspectiva
es
una
elipse,
dos
diámetros
perpendiculares aparecerán con un ángulo diferente,
y serán diámetros conjugados.
Sean los diámetros conjugados CC' y DD'. Se traza la
circunferencia de diámetro CC', la cual dividimos
arbitrariamente por medio de perpendiculares que
corten a la circunferencia descrita.
Seguidamente, se dibujan paralelas al diámetro
menor DD' por los puntos de división del diámetro
CC'.
La perpendicular trazada al diámetro mayor por el
centro O, intersección de los dos diámetros dados,
corta a la circunferencia en los puntos A y B, los
cuales se unen con D y D', respectivamente. Las
paralelas trazadas a estos segmentos (AD y BD') por
los puntos donde la circunferencia ha sido cortada
por las perpendiculares al diámetro CC', cortarán
respectivamente a las paralelas trazadas al diámetro
DD', siendo estos puntos de intersección los que
definen la elipse.
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Rectas tangentes a una elipse.
Trazado de la tangente en un punto P de ella.
La tangente a la elipse en un punto P es la recta
r, bisectriz de los radios vectores F1P y F1`P.
Tangentes a la elipse paralelas a una
dirección dada.
Tangentes a la hipérbola desde un punto
exterior Q.
Con centro en el punto dado Q, trazar una
circunferencia de radio Q F2 que se cortará con la
focal de centro en F1 en los puntos S y T. Las
mediatrices de los segmentos S F2 y T F2 serán las
tangentes a la elipse, que pasan por Q. Para
determinar los puntos de tangencia se unen S y T
con F1
APOLONIO DE PERGA.
Astrónomo y geómetra, fue discípulo de Arquímedes
y de la escuela de Euclides. Su obra principal es un
tratado de 8 libros sobre las curvas cónicas, tan
completo que durante generaciones fue conocido
como “el gran geómetra”.
Fue el primero en emplear
los
términos
ELIPSE
e
HIPÉRBOLA, y en demostrar
que los tres tipos principales
de
cónicas
pueden
producirse en el mismo cono
de revolución.
Para dibujar las tangentes paralelas a la recta d
basta saber que toda tangente es perpendicular a
una recta que une el foco F2 con un punto cualquiera
de la Cp ; por tanto, trazando desde F2 una
perpendicular a la recta d, obtendremos con la
circunferencia principal los puntos de paso 1 y 2,
puntos por donde pasan las tangentes a la elipse
paralelas a d.
Definió los principales elementos y propiedades de
las curvas, determinó tangentes y normales (las
líneas más cortas que se pueden trazar desde un
punto a una cónica), y formuló gran cantidad de
teoremas y demostraciones. Entre sus aportaciones
perdidas había un método rápido para calcular la
longitud de la circunferencia a partir del diámetro.
Teorema de Apolonio:
La suma de los cuadrados de dos diámetros
Conjugados en una elipse (la diferencia, en el caso
de la hipérbola) es constante e igual, por tanto, a la
suma de los cuadrados de los ejes.
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5.3. HIPËRBOLA.
La hipérbola es una curva plana, abierta y con dos ramas. Se define como el lugar geométrico de los
puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos llamados focos, es constante e igual a
2a, siendo 2a la longitud del eje mayor.
Tiene dos ejes de simetría, perpendiculares entre sí, al igual que en la elipse. El eje mayor o real es la
distancia entre los dos vértices, A y B, de cada una de las dos ramas de la hipérbola. El eje menor es
perpendicular al mayor en su punto medio, que se denomina centro de la curva. La distancia focal se
designa por 2c.
Radios vectores son los segmentos que unen cualquier punto de la curva con los dos focos y por
definición se verifica: r - r' = 2a ; r = r' + 2a.
Entre a, b y c existe la relación:
c2 = a2 + b2
La circunferencia principal de la hipérbola es la que tiene por centro el de la curva y radio a.
Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada
una de las tangentes. Las circunferencias focales tienen por centros los focos y radio 2a.
La obtención de los focos a partir de los ejes se reduce a tomar la circunferencia circunscrita a un
rectángulo del cual los ejes son las paralelas medias de sus lados. El corte de esta circunferencia con
la prolongación del eje real está constituido por dos puntos, que son los focos de la hipérbola.
Las proyecciones de los focos sobre cualquier recta tangente a la hipérbola pertenecen a la
circunferencia principal.
El punto simétrico de un foco respecto de cualquier tangente a la hipérbola pertenecen a la
circunferencia focal cuyo centro es el otro foco.
Asíntota es la tangente a la curva en el infinito, y diagonal del rectángulo 2a, 2b. Toda asíntota pasa
por el centro de la curva. Se denomina hipérbola equilátera cuando estas asíntotas forman 45°
respecto a los ejes.
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Construcción de una hipérbola conociendo los vértices y los focos.
Método de los puntos.
Se toman arbitrariamente unos puntos en el eje real,
1, 2, 3, etc. no situados entre los focos. Con radios
1A y 1B y centro en F1 y F2 respectivamente,
trazaremos arcos que se cortarán en el punto 1'
perteneciente a la curva.
Proceder de la misma manera con los puntos
siguientes para obtener otros puntos de la curva. En
todos ellos se verificará que la diferencia de sus
distancias a los focos es AB = 2a, constante.
Rectas tangentes a una hipérbola.
Trazado de la tangente en un punto P de ella.
La tangente a la hipérbola en un punto P es la recta
r, bisectriz de los radios vectores F1P y F1`P.
Tangentes paralelas a una dirección dada.
Tangentes desde un punto exterior Q.
El sistema de construcción es igual que para la
elipse.
Con centro en el punto dado P, trazar una
circunferencia de radio P F2 que se cortará con la
focal de centro en F1 en los puntos G y H. Las
mediatrices de los segmentos G F2 y H F2 serán las
tangentes a la elipse, que pasan por P. Para
determinar los puntos de tangencia se unen G y H
con F1.
Trazar las asíntotas de la hipérbola a partir
de la circunferencia principal.
Como en la elipse, para dibujar las tangentes
paralelas a la recta d basta saber que toda tangente
es perpendicular a una recta que une el foco F2 con
un punto cualquiera de la Cp ; por tanto, trazando
desde F2 una perpendicular a la recta d,
obtendremos con la circunferencia principal los
puntos de paso I y J, puntos por donde pasan las
tangentes a la elipse paralelas a d.
Las asíntotas pasan por el centro O de la curva, por
lo tanto, se trata de trazar las tangentes a la
hipérbola desde el punto O.
Dibujar la circunferencia principal de diámetro igual
al eje mayor.
A continuación dibujar una circunferencia de
diámetro igual a OF2 que cortará a la circunferencia
principal en los puntos M y N. Por M y N pasarán las
asíntotas.
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5.4. PARÁBOLA.
La parábola es una curva abierta y plana, de una sola rama. Se define como el lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco y de una recta fija d, llamada
directriz. Tiene un eje de simetría que pasa por el vértice o punto de intersección del eje con la
curva, siendo la tangente en dicho vértice paralela a la directriz y, por tanto, perpendicular al eje.
Puede compararse a una elipse en la que uno de los focos se desplaza al infinito. La recta Directriz
corresponde a la circunferencia focal.
El vértice, por ser un punto de la curva, equidista del foco y de la directriz, siendo la distancia del
mismo a cada uno igual al semiparámetro (VA = VF = P/2). Se llama parámetro 2p de la parábola, a la
longitud de la cuerda que, pasando por el foco, es perpendicular al eje.
La circunferencia principal es la tangente a la curva en el vértice. Los radios vectores de la parábola
son FM y MN, de forma que FM = MN.
La directriz d de la curva hace de circunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito.
Según esto, la directriz es lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de cada
tangente.
La tangente a la parábola es la bisectriz de los radios vectores r y r`
El foco equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde ésta corta al eje de la
curva.
Las proyecciones de los focos sobre una recta tangente a la hipérbola pertenece a la circunferencia
principal, es decir, a la tangente en el vértice.
La directriz es el lugar geométrico de los puntos del plano simétricos del foco F respecto de cada
tangente.
El foco F equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde esta corta al eje de la
parábola FP = FC.
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Construcción de la parábola conociendo el foco y la directriz.
Método de los puntos.
Para determinar el vértice, hallar el punto medio V
entre F y la directriz. A partir de V, dividir el eje,
arbitrariamente, en cualquier número de partes,
trazando por estas divisiones perpendiculares al eje.
Con centro en F y radio 1A, describir arcos que
cortarán a la perpendicular al eje trazada por el
punto 1 en 1' y 1"; esta operación debe repetirse
para obtener nuevos puntos que se pueden unir con
plantilla de curvas.
Rectas tangentes a una parábola.
Trazar la tangente a la parábola por un punto
dado de la curva, dados el foco y la directriz.
Trácese por el foco una perpendicular a la directriz.
Dibujando por el punto medio de MF una
perpendicular al eje se obtendrá la recta principal y
el vértice de la parábola.
Únase el punto dado P con el foco F. Con centro en P
y radio PF,y trazar un arco que corta a la
circunferencia directriz en el punto M. La mediatriz
del segmento MF será la tangente a la parábola que
pase por el punto P.
Tangentes paralelas a una dirección dada.
Tangentes a la parábola desde un punto
exterior.
Sea el punto Q. Se traza la circunferencia de radio
QF y centro en Q, la cual corta a la recta directriz
que en la parábola hace de circunferencia focal de
radio infinito, en los puntos 1 y 2. Las mediatrices de
los segmentos 1F y 2F son las tangentes t1 y t2.
Los puntos de tangencia T1 y T2 se obtienen
trazando por 1 y 2 los radios vectores que son
paralelos al eje.
La tangente ha de ser paralela a la dirección D. Para
ello por el foco se traza la perpendicular a D, la cual
corta en 1 a la recta directriz. El punto de tangencia
es T, en la paralela por M al eje de la curva.
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