Propiedades de los números

Propiedades de los números
¿Qué son los números? ¿qué propiedades tienen? La primera de las preguntas raya con la
filosofía... vamos a ver qué podemos contestar con respecto a la segunda pregunta.
Lo primero que tenemos que entender es el concepto de operación (matemática). En
Matemáticas una operación es la acción de un operador sobre los elementos de un conjunto. Si el
operador actúa sobre un solo elemento se llama operador monario; si actúa sobre dos se llama
operador binario, y así sucesivamente.
Ejemplos de operadores:
* el operador “hallar el opuesto de un número”, que representamos como “–”, es un operador
monario porque actúa sobre un único elemento obteniendo su opuesto: –(4) = –4; –(–4) = +4
* el operador “sumar dos números”, que representamos como “+”, es un operador binario
porque actúa sobre dos elementos obteniendo su suma: 4 + 5 = 9
También podríamos poner el operador binario suma de los números a y b así: (+,a,b)
Y entonces surge una pregunta... ¿y si estamos sumando más de dos números? ¿podemos
expresar la suma ternaria (+,a,b,c)? Realmente esto no tiene sentido ya que primero sumaremos dos
de los números, para después sumar el tercero al resultado. Entonces, si sumamos tres números a, b y
c ¿en qué orden debemos hacerlo? Podemos utilizar la llamada propiedad asociativa (PA) según la
cual:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
es decir, podemos sumar los números en el orden que queramos.
Entonces, y volviendo al operador binario, ¿ocurre que (+,a,b) = (+,b,a) donde a y b son
número naturales? Ya sabemos que sí: el orden en el que se suman dos números es irrelevante. Es la
llamada propiedad conmutativa (PC):
a+b=b+a
Hemos encontrado dos propiedades de los números (en este caso números naturales)
asociadas a una operación (la suma). Además la operación da como resultado un elemento del
mismo conjunto que el de los operandos. Si esto ocurre decimos que se cumple la propiedad de
operación interna o composición interna (OI):
O. I . : ∀a , b ∈ N ⇒ a + b ∈ N
Además de estas tres propiedades los conjuntos sobre las que se aplican los operadores tienen
una serie de elementos especiales, como son el elemento neutro y el elemento simétrico.
El elemento neutro (EN) es aquél que operado con otro del mismo conjunto lo deja tal y
como estaba, es decir: k es EN del conjunto K si ∀x ∈ K : x o k = x donde el símbolo o indica un
operador.
El elemento simétrico de un conjunto es aquel que operado con otro elemento del mismo
conjunto da como resultado el elemento neutro del conjunto para esa operación, es decir: m es ES
del conjunto K si ∀x ∈ K , ∃m ∈ K : x o m = EN donde el símbolo o indica un operador.
2º Bachillerato – Matemáticas II – David Miguel del Río – IES Europa (Móstoles)
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Cuadro 1.- Notación matemática:
Resumiendo, para un conjunto K y una operación o podemos definir las siguientes
propiedades y elementos:
Operación Interna (OI):
∀a , b ∈ K ⇒ a o b ∈ K
“para todo a y b, elementos del conjunto K, ocurre que a operado con b es, también, un elemento del
conjunto K”
Propiedad Asociativa (PA):
∀a, b, c ∈ K ⇒ a o b o c = ( a o b) o c = a o (b o c )
“para todo a, b y c, elementos del conjunto K, ocurre que a operado con b operado con c da el mismo
resultado si se opera primero a y b y luego lo que sale con c, que si se opera primero b y c y lo que
sale con a”
Propiedad Conmutativa (PC):
∀a , b ∈ K ⇒ a o b = b o a
“para todo a y b, elementos del conjunto K, ocurre que a operado con b da lo mismo que b operado
con a”
Elemento Neutro (EN):
u = EN ⇔ ∀a ∈ K ⇒ a o u = u o a = a
“u es Elemento Neutro si y sólo si para todo elemento a de K ocurre que a operado con u es igual
que u operado con a y da como resultado el elemento a”
Elemento Simétrico (ES):
v = ES ⇔ ∀a ∈ K , ∃! v ∈ K : a o v = v o a = u, u = EN
“v es Elemento Simétrico si y sólo si para todo elemento a del conjunto K existe, y es único, un
elemento v del conjunto K tal que a operado con v es igual que v operado con a y da u, que es el
Elemento Neutro”
No todos los conjuntos que podamos pensar van a cumplir estas propiedades ni a tener todos
estos elementos.
Según se cumplan unas condiciones u otras se dirá que el conjunto en cuestión tiene una
estructura algebraica u otra. Entonces, llamaremos estructura algebraica del conjunto K con
respecto a las n-1 operaciones o,•,∗,...,⋅ a la n-tupla (K ,o,•,∗,...,⋅) donde K es un conjunto no vacío y
o,•,∗,...,⋅ las operaciones que aplicamos sobre él. Según se cumplan unas propiedades u otras la
estructura algebraica recibirá diferentes nombres. Veamos cómo se denominan según las
propiedades que cumplen:
 OI
OI
1 
Semigrupo 
Semigrupo conmutativo o abeliano  PA
 PA
 PC

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Llamado así en honor del noruego Niels Henrik Abel (1802 – 1829) cuya biografía podéis consultar en
http://es.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel
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 OI
 PA

Grupo 
 EN
 ES
 OI
 PA

Grupo conmutativo o abeliano  PC
 EN

 ES
Vamos a ver algunos ejemplos:
1) ¿Qué estructura algebraica tendrá el conjunto de los números Naturales (N) con respecto a
la operación “suma” (+)?
Estamos preguntando por la estructura algebraica (N,+), así que tendremos que ir
comprobando cada una de las propiedades estudiadas:
- OI: se cumple, ya que la suma de dos naturales da otro número natural
- PA: se cumple, ya que podemos sumar tres números naturales en el orden que
queramos sin que cambie el resultado
- PC: se cumple, ya que el orden en el que sumemos dos naturales no influye en el
resultado
- En: el elemento neutro de los Naturales para la suma es el 0, esto es
∀n ∈ N , ∃0 ∈ N : n + 0 = 0 + n = n
- ES: el elemento simétrico de los Naturales para la suma sería el opuesto del
número, ya que a + (–a) = 0, PERO si a pertenece a N, entonces –a no puede
pertenecer a N, por lo tanto N no tiene ES respecto de la suma
Por todo lo anterior concluimos que:
(N,+) es un semigrupo abeliano o conmutativo (con elemento neutro, el 0)
2) ¿Qué estructura algebraica tendrá el conjunto de los números Naturales (N) con respecto a
la operación “producto” (·)?
Estamos preguntando por la estructura algebraica (N,·), así que tendremos que ir
comprobando cada una de las propiedades estudiadas:
- OI: se cumple, ya que el producto de dos naturales da otro número natural
- PA: se cumple, ya que podemos multiplicar tres números naturales en el orden
que queramos sin que cambie el resultado
- PC: se cumple, ya que el orden en el que multipliquemos dos naturales no influye
en el resultado
- En: el elemento neutro de los Naturales para el producto es el 1, esto es
∀n ∈ N , ∃1 ∈ N : n·1 = 1·n = n
- ES: el elemento simétrico de los Naturales para la multiplicación sería el inverso
1
1
del número, ya que a· = 1 , PERO si “a” pertenece a N, entonces
no puede
a
a
pertenecer a N, por lo tanto N no tiene ES respecto de la multiplicación
Por todo lo anterior concluimos que:
(N,·) es un semigrupo abeliano o conmutativo (con elemento neutro, el 1)
3) ¿Qué estructura algebraica tendrá el conjunto de los números Enteros (Z) con respecto a la
operación “suma” (+)?
Estamos preguntando por la estructura algebraica (Z,+), así que tendremos que ir
comprobando cada una de las propiedades estudiadas:
- OI: se cumple, ya que la suma de dos enteros da otro número entero
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-
PA: se cumple, ya que podemos sumar tres números enteros en el orden que
queramos sin que cambie el resultado
PC: se cumple, ya que el orden en el que sumemos dos enteros no influye en el
resultado
En: el elemento neutro de los Enteros para la suma es el 0, esto es
∀n ∈ Z , ∃0 ∈ Z : n + 0 = 0 + n = n
ES: el elemento simétrico de los Enteros para la suma sería el opuesto del número,
ya que a + (–a) = 0, luego
− a = ES ⇔ ∀a ∈ Z , ∃! (− a ) ∈ Z : a + ( −a ) = ( − a ) + a = 0,0 = EN
Por todo lo anterior concluimos que: (Z,+) es un grupo abeliano o conmutativo
4) ¿Qué estructura algebraica tendrá el conjunto de los números Enteros (Z) con respecto a la
operación “producto” (·)?
Estamos preguntando por la estructura algebraica (Z,·), así que tendremos que ir
comprobando cada una de las propiedades estudiadas:
- OI: se cumple, ya que el producto de dos enteros da otro número entero
- PA: se cumple, ya que podemos multiplicar tres números énteros en el orden que
queramos sin que cambie el resultado
- PC: se cumple, ya que el orden en el que multipliquemos dos enteros no influye
en el resultado
- En: el elemento neutro de los Enteros para el producto es el 1, esto es
∀n ∈ Z , ∃1 ∈ Z : n·1 = 1·n = n
- ES: el elemento simétrico de los Enteros para la multiplicación sería el inverso del
1
1
número, ya que a· = 1 , PERO si “a” pertenece a Z, entonces
no puede
a
a
pertenecer a N, por lo tanto N no tiene ES respecto de la multiplicación
Por todo lo anterior concluimos que:
(Z,·) es un semigrupo abeliano o conmutativo (con elemento neutro, el 1)
5) ¿Qué estructura algebraica tendrá el conjunto de los números Reales (R) con respecto a la
operación “suma” (+)?
Estamos preguntando por la estructura algebraica (R,+), así que tendremos que ir
comprobando cada una de las propiedades estudiadas:
- OI: se cumple, ya que la suma de dos reales da otro número real
- PA: se cumple, ya que podemos sumar tres números reales en el orden que
queramos sin que cambie el resultado
- PC: se cumple, ya que el orden en el que sumemos dos reales no influye en el
resultado
- En: el elemento neutro de los Reales para la suma es el 0, esto es
∀n ∈ ℜ, ∃0 ∈ ℜ : n + 0 = 0 + n = n
- ES: el elemento simétrico de los Reales para la suma sería el opuesto del número,
ya que a + (–a) = 0, luego
− a = ES ⇔ ∀a ∈ ℜ, ∃! (− a ) ∈ ℜ : a + ( − a ) = ( −a ) + a = 0,0 = EN
Por todo lo anterior concluimos que: (R,+) es un grupo abeliano o conmutativo
6) ¿Qué estructura algebraica tendrá el conjunto de los números Reales (R) con respecto a la
operación “producto” (·)?
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Estamos preguntando por la estructura algebraica (R,·), así que tendremos que ir
comprobando cada una de las propiedades estudiadas:
- OI: se cumple, ya que el producto de dos reales da otro número real
- PA: se cumple, ya que podemos multiplicar tres números reales en el orden que
queramos sin que cambie el resultado
- PC: se cumple, ya que el orden en el que multipliquemos dos reales no influye en
el resultado
- En: el elemento neutro de los Reales para el producto es el 1, esto es
∀n ∈ ℜ, ∃1 ∈ ℜ : n·1 = 1·n = n
- ES: el elemento simétrico de los Reales para la multiplicación sería el inverso del
1
número, ya que a· = 1
a
1
1 1
1
= ES ⇔ ∀a ∈ ℜ, ∃!   ∈ ℜ : a· = ·a = 1,1 = EN
a
a a
a
Por todo lo anterior concluimos que: (R,·) es un grupo abeliano o conmutativo
EJERCICIO.01.- ¿Cuál es la estructura algebraica de la suma de vectores?
EJERCICIO.02.- ¿Cuál es la estructura algebraica de la suma de números complejos?
EJERCICIO.03.- ¿Cuál es la estructura algebraica del producto de números complejos?
Vamos a dar un paso más. ¿Cuál es la relación entre las operaciones que se pueden realizar sobre un
mismo conjunto?
La relación entre las operaciones “suma” y “producto” se hace a través de la Propiedad
Distributiva:
Cuadro 2.- Notación matemática de la propiedad distributiva:
Decimos que un conjunto K cumple la propiedad distributiva de la operación o con respecto a la
operación ∗ si ∀a, b, c ∈ K ⇒ a ∗ (b o c ) = a ∗ b o a ∗ c
Aplicada la definición a la propiedad distributiva de la operación suma con respecto a la
operación multiplicación si ∀a, b, c ∈ K ⇒ a·(b + c ) = a·b + a·c
Con este nexo de unión entre operaciones (+,·) podemos definir nuevas estructuras algebraicas del
conjunto K, esta vez ternarias2, de la siguiente manera:
(K ,+ )Semigrupo abeliano

Semianillo  (K ,·)Semigrupo abeliano

PD ( K ,+,·)

2
(K ,+ )Semigrupo abeliano
(K ,+ )Grupo abeliano


Anillo  (K ,·)Grupo abeliano
Cuerpo  (K ,·)Grupo abeliano


PD ( K ,+,·)
PD ( K ,+,·)


las anteriores eran binarias: (N.+), (Z,·), etc
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Veamos:
1) ¿Cuál es la estructura algebraica (N,+,·)?
Veamos: (N,+) es semigrupo (conmutativo con elemento neutro) y (N,·) es semigrupo
(conmutativo con elemento neutro). Se cumple la propiedad distributiva de la adición con respecto a
la multiplicación. Por todo lo anterior, (N,+,·) es SEMIANILLO (conmutativo)
2) ¿Cuál es la estructura algebraica (Z,+,·)?
Veamos: (Z,+) es grupo (conmutativo con elemento neutro) y (Z,·) es semigrupo
(conmutativo con elemento neutro). Se cumple la propiedad distributiva de la adición con respecto a
la multiplicación. Por todo lo anterior, (Z,+,·) es ANILLO (conmutativo)
3) ¿Cuál es la estructura algebraica (R,+,·)?
Veamos: (R,+) es grupo (conmutativo con elemento neutro) y (R,·) es grupo (conmutativo
con elemento neutro. Se cumple la propiedad distributiva de la adición con respecto a la
multiplicación. Por todo lo anterior, (R,+,·) es CUERPO (conmutativo)
EJERCICIO.04.- ¿Cuál es la estructura algebraica (C,+,·)?
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