y (1,0

Ejemplo.-Hallar
R
c
zdx + xdy + ydz sobre el arco de la hélice x = cos(t), y = sin(t) y z = t
que une los puntos (1, 0, 0) y (1, 0, 2π).
Sol.
Tenemos que
x = cos(t) ⇒ dx = − sin(t)
y = sin(t) ⇒ dy = cos(t)
z = t ⇒ dz = dt
∴
zdx + xdy + ydz = t(− sin(t)) + cos(t)(cos(t)) + sin(t)(1)
∴
Z
Z
2π
2
−t sin(t) + (cos(t)) + sin(t) dt =
f ds =
c
0
Z
2π
Z
−t sin(t)dt+
0
2π
Z
cos(t)) dt+
0
2
2π
sin(t)dt =
0
2π
t cos(2t) 2π
t cos(t) − sin(t) 2π
+
0 +
0 − cos(t) 0 = 3π
2
2
Teorema: Cambio de Parametrización para integrales de lı́nea. Sea F un campo vectorial continuo en la trayectoria c : [a, b] → R3 de clase C 1 y sea ρ : [a, b] → R3 una reparametrización
de C.
Si
Z ρ conserva
Z la orientación, entonces
F · ds = F · ds
ρ
ρ
Dem: Por hipótesis, tenemos la aplicación h tal que ρ = c ◦ h.
1
Por la reglaZde la cadena ρ0 = c0 (h(t)) · h0 (t) de modo que
Z
b
[F (c(h(t))] · h0 (t)dt
F · ds =
ρ
a
Cambiando variable s = h(t) se convierte en
Z
Z b1
Z h(b)
0
0
F (c(s)) · c (s)ds = F · ds.
F (c(s)) · c (s)ds =
c
a1
h(a)
Teorema 1. Si en
R
γ
F · dsγ esta parametrizada por g(t) para a ≤ t ≤ b podemos denotar γ −
la curva parametrizada por g − (t) = g(a + b − t) para a ≤ t ≤ b. Es claro que γ − como conjunto,
es igual a γ, pero invierte la orientación es decir de g(b) a g(a). Entonces
Z
Z
F · ds = − F · ds
γ−
γ
Demostración. Como g − (t) = g(a + b − t) ⇒ (g − )0 (t) = −g 0 (a + b − t) se tiene que
Z
Z b
Z a
0
F · ds = −
F (g(a + b − t)) · g (a + b − t)dt
=
−
F (g(s)) · g 0 (s)(−1)ds
|{z}
γ−
a
s=a+b−t
t=a⇒s=b
t=b⇒s=a
Z
−
b
b
Z
0
F (g(s)) · g (s)ds = −
a
F · ds
γ
Teorema de Green
El teorema de Green relaciona una integral doble sobre una región del plano con una integral
curvilı́nea sobre el borde.
Curva de Jordan.-: Es una curva cerrada en el plano que no se corta a si misma.
2
Región simplemente conexa.- Una región D es simplemente conexa si es conexa y el interior
de toda curva de Jordan C contenida en D esta también contenida en D.
Teorema de Green.- Sea D una región simplemente conexa con un borde C (suave) orientado
positivamente. Si el campo
Z vectorial F (x, y) = ZM (x,
Z y)î + N (x, y))ĵ es continuamente diferen∂M
∂N
−
dA
ciable en D tenemos que
M dx + N dy =
∂y
D
D ∂x
Dem: Primero demostraremos Teo. de Green para una región Tipo I. Supongamos que D es
una región Tipo I con borde C.
Z Z
Z
∂M
Comenzamos demostrando que
dx dy =
M dx Como D es una región Tipo I,
D ∂y
C
la frontera C se compone de una porción interior C1 y una porción superior C2 que son las
gráficas de dos funciones φ1 (x) y φ2 (x) respectivamente, en un cierto intervalo a ≤ x ≤ b. En
esta
Z Z situación podemos
Z b calcular
Z φ2 (x) la integral doble
Z b por integración iterada
∂M
∂M
dy dx =
dy dx =
M [x, φ2 (x)] − M [x, φ1 (x)] dx =
∂y
D ∂y
a
a
φ1 (x)
Z
Z b
Z b
Z
Z
Z
M [x, φ2 (x)] dx−
M [x, φ1 (x)] dx =
M dx−
M dx = −
M dx +
a
a
C2−
C1
3
C2
C1
M dx =
Z
−
M dx
C
Z Z
∂N
Vamos a ver ahora que
dx dy =
D ∂x
Consideremos ahora la región como tipo II
Z
N dy
C
Por lo tanto tenemos que:
Z d Z ψ2 (y)
Z d
Z Z
∂N
∂N
N [ψ2 (x), y] − N [ψ1 (x), y] dy =
dx dy =
dx dy =
c
ψ1 (y) ∂x
c
D ∂x
Z
d
Z
N [ψ2 (x), y] dy −
c
d
Z
Z
N [ψ1 (x), y] dy =
c
N [ψ2 (x), y] dy +
c−
1
c2
N [ψ1 (x), y] dy
Z
=
N dy
C
Z Z
∴
D
∂N ∂M
−
dA =
∂x
∂y
Z Z
D
∂N
dx dy −
∂x
Z
M dx + N dy
C
4
Z Z
D
∂M
dx dy =
∂y
Z
Z
N dy −
C
−M dx =
C
Ejemplos:
Compruebe que se verifica el teorema de Green para la integral curvilı́nea
Z
−y dx + x dy donde C es la curva cerrada
t
C1 (t) := (t, 0) ⇒ x = t y = 0 − 1 ≤ t ≤ 1
dx = dt dy = 0
C2 (t) := (cos(t), sin(t)) ⇒
x = cos t y =
sin t t ∈ [0, π]
dx = − sin t dy = cos t
Z
Z
Z
−y dx + x dy =
−y dx + x dy +
−y dx + x dy =
C2
C
Z π C1
(− sin t) + cos t(cos t) =
sin2 t + cos2 t dt = π
Z
1
Z
−1
π
− sin t
0 dt + t − 0 +
Por tanto
0
0
Ahora calculamos esa misma integral usando el teorema de Green. Observese que la curva
frontera es simple y M = −y N = x luego F (x, y) = −yı̂ + x̂ es continuamente deferenciable.
√
El dominio D esta definido por las relaciones 0 ≤ y ≤ 1 − x2 −1 ≤√ x ≤ 1. Aplicamos ahora el
Z 1 Z 1−x2
Z
Z Z
∂
1
∂
x − (−y) =
2 dy dx = 2 (π) = π
teorema de Green −y dx + x dy =
∂y
2
−1 0
C
D ∂x
5