Prog lineal ej 24

Ejercicio 24:
La empresa García, Pérez & Cía. Fabricantes de armas para civiles, ha lanzado al mercado
dos modelos: Z-12 y Z-15. El vicepresidente de la misma, desea saber cuál es la cantidad a
fabricar de cada modelo para obtener su máxima ganancia. La cantidad de horas de
fabricación de cada modelo en cada departamento y la disponibilidad de tiempo en los
cuatro dptos. es la sig.:
MODELO
REQUERIMIENTO
Z-12
12 hs. en dpto. 1
7 hs. en dpto. 2
2 hs. en dpto. 4
Z-15
3 hs. en dpto. 1
4 hs. en dpto. 2
4 hs. en dpto.3
2 hs. en dpto. 4
Las horas disponibles por dpto. son respectivamente del 1 al 4: no más de 24, 28, 16 y 18
hs. La contribución marginal del modelo Z-12 es de $2.000.000- y la del modelo Z-15 es de
$ 6.000.000(Resolución Gráfica)
Max Z: 2 x1 + 6 x2
Sa.
12 x1 + 3 x2 <= 24
7 x1 + 4 x2 <= 28
0 x1 + 4 x2 <= 16
2 x1 + 2 x2 <= 18
x1,x2 >=0
r1) (x1 / 2) + (x2 / 8) = 1
r2) (x1 / 4) + (x2 / 7) =1
r3)
(x2 / 4) = 1
r4) (x1 / 9) + (x2/ 9) = 1
X2
9
8
7
Z = 2x1 + 6 x2
R3
4
K
Logística y Operaciones
Ing. Tasca, Mara G.
2
Programación Lineal - Práctica
4
R1
Pág. 1
X1
9
R2
R4
Punto Optimo: r1 ∩ r3
12 x1 + 3 x1 = 24 (1)
0 x1 + 4 x2 = 16
x2 = 4
en (1)
12 x1 + 3x4 = 16
x1 = 1
Finalmente:
Z = 2x1 + 6x4
Z = $ 26.000.000(Resolución Analítica)
Max Z: 2 x1 + 6 x2
Sa.
12 x1 + 3 x2 <= 24
7 x1 + 4 x2 <= 28
0 x1 + 4 x2 <= 16
2 x1 + 2 x2 <= 18
x1,x2 >=0
PASOS: (Algoritmo Simplex)
1) Estandarizar: llevar las desigualdades a igualdades agregando tantas holguras como
restricciones haya.
Variable de Holgura:
 se agregan para transformar una inecuación a ecuación.
 xh1: es la cantidad a fabricar de un cierto producto h1 que pasa por la restricción 1 y
que insume 1 unidad del recurso b1 por unidad del producto h1.
Max Z = 2x1 + 6 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 + 0 x6
Sa.
12 x1 + 3 x2 + 1 x3 + 0 x4 + 0 x5 + 0 x6 = 24
7 x1 + 4 x2 + 0 x3 + 1 x4 + 0 x5 + 0 x6 = 28
0 x1 + 4 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 1 x5 + 0 x6 = 16
2 x1 + 2 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 + 1 x6 = 18
x1, x2, x3, x4, x5, x6 >= 0
2) Buscar 1 solución básica inicial.
B = (A3, A4, A5, A6)
NB = (A1, A2) entonces
Entonces Z* = 0
Logística y Operaciones
Ing. Tasca, Mara G.
X*= (0, 0, 24, 28, 16, 18)
Programación Lineal - Práctica
Pág. 2
cjB
0
0
0
0
Zj
Cj-Zj
2
A1
12
7
0
2
0
2
B
A3
A4
A5
A6
6
A2
3
4
4
2
0
6
3) Se calcula Y = B –1 * NB
Primero:
B-1 = I, entonces
0
A3
1
0
0
0
0
A4
0
1
0
0
0
A5
0
0
1
0
X*
24
28
16
18
Z*= 0

8
7
4
9
S
E
Y = I x NB implica Y = NB
implica Y =
Demostración
I=
0
A6
0
0
0
1
12
3
7
4
0
4
2
2
1 0
0 1
En la primera tabla
B-1 = (BAD)T
B
B-1= +1 -0
-0 +1
(BAD)T=
1
0
0
1
B=1, implica
B-1 = 1 0
=I
0 1
1
4) Calcular todos los (cj – Zj) para todo vector perteneciente a la NB.
Donde Zj =  ciB x y ij
 Si para todo (cj – Zj) <= 0 implica OPTIMO
 Si (cj – Zj) > 0 implica:
 Sigo iterando
 Se verifica la “Condición de Optimización”, eligiendo el vector entrante a la
base en la próxima iteración.
 Se elige el de > valor, y de existir valores mayores iguales, se elige el de <
subíndice.
Logística y Operaciones
Ing. Tasca, Mara G.
Programación Lineal - Práctica
Pág. 3
5) Se determina el vector que sale de la base calculando los i donde se verifica la
“Condición de Factibilidad”, implica ver cual es el vector saliente de la base en la
próxima iteración. (se elige el menor, y se resultan varios menores iguales se elige el de
mayor subíndice).
6) Se obtiene la nueva solución básica y vuelvo al punto 3).
2
6
0
0
0
0
cjB
B
A1
A2
A3
A4
A5
A6
X*

0
A3
0
1
0
-3/4
0
12
1
12
0
A4
7
0
0
1
-1
0
12
12/7
6
A2
0
1
0
0
¼
0
4
0
A6
2
0
0
0
-1/2
1
10
5
Zj
0
6/4
Z*= 24
Cj-Zj
2
-6/4
E
cjB
2
0
6
0
Zj
Cj-Zj
B
A1
A4
A2
A6
2
A1
1
0
0
0
6
A2
0
0
1
0
0
A3
1/12
-7/12
0
-1/6
1/6
-1/6
0
A4
0
1
0
0
0
A5
-1/16
-9/16
¼
-3/8
11/8
-11/8
0
A6
0
0
0
1
X*

1
5
4
8
Z*= 26
SOLUCIÓN ÓPTIMA:
X = (1, 4, 0 , 5, 0, 8 )
holguras
Z* = $ 26- (en millones)
Conclusión:
Implica fabricar de forma óptima 1 unidad del mod Z12 (x1*) y 4 unidades del mod Z15
(x2*).
Beneficio $ 26.000.000Análisis de las variables de holgura:
X3 = X5 = 0 (correspondiente a dptos. 1 y 3), implica que no hay tiempo libre disponible).
b1
b3
X4 = 5 (correspondiente a dpto. 2, implica que queda tiempo disponible)
b2
X6 = 8 (correspondiente a dpto. 4, implica que queda tiempo disponible)
b4
(cj – Zj), mide la variación que sufre Z* ante incrementos unitarios de la variable xj.
Logística y Operaciones
Ing. Tasca, Mara G.
Programación Lineal - Práctica
Pág. 4
S