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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE INGENIERÍA
Departamento de Ingeniería Mecánica
Ingeniería Civil Mecánica
INGENIERÍA CIVIL EN MECÁNICA
PLAN 2012
GUÍA DE LABORATORIO
ASIGNATURA “RESISTENCIA DE
MATERIALES II”
CODIGO 9509-0
NIVEL 02
EXPERIENCIA C973
“FOTOELASTICIDAD”
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FOTOELASTICIDAD
1. Objetivos
1.1. Objetivos generales

Conocer el principio fotoelástico y sus ventajas como técnica experimental
para determinar la distribución de esfuerzos en un sólido elástico sometido
a carga mecánica.
1.2. Objetivos específicos

Realizar la caracterización del material fotoelástico disponible, usando para
ello la máquina de tracción, el polariscopio y una probeta de sección
regular.

Calcular el factor de concentración de esfuerzos en una probeta con
perforación central, midiendo la tensión mecánica máxima en la zona
regular y perforada. Para esto se usa la técnica de fotoelasticidad.

Describir la distribución de tensión mecánica, en una probeta de sección
variable, utilizando la técnica de medición fotoelástica.

Medir en una probeta fotoelástica de sección variable la distribución de
tensiones. Se debe utilizar la caracterización del material, la celda de carga,
una cámara CCD y el programa de análisis suministrado.
2. Introducción
2.1. Fotoelasticidad
El fenómeno de fotoelasticidad se conoce aproximadamente desde los años 1816,
fue descrito por primera vez por David Brewster, físico Escocés. El fenómeno
puede mostrar la distribución de esfuerzos en un material (birrefringente o uno
cubierto por una película birrefringente).
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Figura 1, Fenómeno fotoelástico producido por tensiones residuales en la
fabricación de un transportador de policarbonato
En la figura 1 se muestran franjas de distinto color que corresponden a distintos
niveles de esfuerzo. Este método permite conocer experimentalmente la
distribución de esfuerzos e incluso analizar la dinámica de las tensiones en cargas
cíclicas o procesos dinámicos de carga.
Antes de describir el fenómeno es necesario repasar ciertos conceptos básicos:
LUZ Y POLARIZADOR LINEAL: La radiación electromagnética tiene propiedades
corpusculares y ondulatorias, desde el punto de vista ondulatorio es posible
entender la radiación como una sobre posición de un pulso eléctrico seguido por
otro magnético, que se alternan de forma cíclica en el espacio-tiempo. Además el
campo eléctrico debe tener una dirección y sentido determinada en el espacio, la
cual, debe ser ortogonal al campo magnético asociado. El plano generado por este
par de intensidades es normal a la dirección de propagación de la radiación como
se ve en la Figura 2.
Figura 2, diagrama de la radiación electromagnética
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Un polarizador es un filtro, que solo deja pasar (idealmente) la radiación eléctrica
perpendicular a su tramado conductor. En la figura 3 se muestra un diagrama que
ejemplifica lo que sucede cuando luz difusa para a través de un polarizador lineal.
Si el polarizador se gira también lo hace la dirección de polarización resultante.
Figura 3, diagrama del efecto de un polarizador sobre el campo eléctrico de
una radiación no polarizada
REFRACCIÓN: La refracción se origina en el cambio de la velocidad de
propagación de la luz, producido por un cambio en el material donde se propaga.
Este cambio de velocidad se describe con un valor adimensional llamado índice de
refracción.
En donde c es la velocidad de la luz en el vacío.
BIRREFRINGENCIA: El fenómeno de fotoelasticidad es el resultado de la
anisotropía óptica de algunos materiales transparentes generada por una variación
en el estado de esfuerzo, dicha variación afecta la refracción de la luz perturbando
el índice n de forma que disminuye la velocidad de propagación en un eje óptico
más que en otro, esta anisotropía se denomina birrefringencia, y permite separar
un haz incidente en dos que viajan con distinta velocidad. Un esquema de lo que
sucede con la luz no polarizada dentro de un material birrefringente se muestra en
la figura 4.
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Figura 4, esquema de fenómeno de haz doble en material birrefringente. La
radiación incidente, no polarizada, se divide en 2 haces debido a la
diferencia de índice de refracción dependiendo de la dirección dentro del
material
FOTOELASTICIDAD: Entonces si se transmite luz monocromática polarizada a
través de un material birrefringente sin carga mecánica, y la luz que traspasa la
muestra es polarizada nuevamente por un polarizador lineal a 90° del primero, se
verá la muestra completamente iluminada y de forma homogénea, debido a que el
material se comporta de forma isotrópica. A medida que la muestra es deformada
uniaxialmente, aparecerán franjas de máximos y mínimos de intensidad luminosa
debido al retardo diferenciado de velocidad que sucede en el material. La cantidad
de franjas es proporcional a la carga aplicada. A esta distribución de franjas se le
denomina patrón isocromático. Es posible, si se dispone de una material
conocido, cuantificar la variación de tensión entre una zona y otra, contando las
franjas entre estas. Una variación desde claro a oscuro y nuevamente claro se
puede asociar a una diferencia de tensión mecánica por medio de un proceso de
calibración, a esto se le denomina coeficiente de estrés óptico.
Así es posible contar los bordes y cuantificar la diferencia de tensión entre un
punto conocido de tensión y algún otro en el que se desee conocer la tensión. A
mayor tensión más líneas de isocromáticas se tendrán para un mismo coeficiente
de estrés óptico. Por tanto si se realiza un aumento paulatino de tensión en la
muestra, describiendo la cantidad de líneas que se forman es posible conocer la
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tensión para un punto particular en función de la carga de la muestra. Incluso
describir la distribución de tensiones en la muestra en función de la carga total.
La birrefringencia es una anisotropía basada en la estructura interna del material,
por tanto cada material tiene distintas propiedades fotoelásticas. Las constantes
más relevantes en un material fotoelástico son el módulos de Young (E) y la
constante fotoelástica (C) que indica que tan anisotrópico es el material.
Material
Nombre
Comercial
Araldite CT 200
Araldite 6020
Bakelita ERL
Estándar HEX
C.R.-39
Perspex
Plexiglas
Makrolon
C x 1012
[1/Pa]
57,12
57,7
57,99
53,06
34,8
-4,78
-4,49
79,74
E
[GPa]
3,14
3,1
3,28
3,28
1,96
2,74
2,94
2,55
Resina Epoxica
Resina Epoxica
Resina Epoxica
Resina Epoxica
Allyl diglycol
Polimetacrilato
Polimetacrilato
Policarbonato
Celulosa de
Celuloide
2,03
1,96
nitrato
Celulosa de
Celuloide
20,3
2,45
nitrato
Vidrio
-2,03
68,95
Vidrio
1,45
68,95
Poliuretano
Fotoflex
3479,51
0,69
Poliuretano
Fotoflex
3479,51
3,45
Tabla 1, Valores de modulo E y C de algunos materiales poliméricos y
amorfos usados para ensayos de fotoelasticidad. Estos valores fueron
medidos usando una luz de mercurio verde (5461 Å).
En la tabla 1 se enlistan distintos materiales posibles de usar para ensayos de
fotoelasticidad. El laboratorio de elasticidad dispone de 3 materiales distintos:
Polimetacrilato (Plexiglass), Policarbonato (Makrolon) y Poliuretano de bajo E
(Fotoflex).
Para la realización de las experiencias se usara Policarbonato por poseer un
modulo de Young intermedio y un índice C relativamente alto.
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2.2. Concentración de esfuerzos
La concentración de esfuerzos es un efecto localizado en configuraciones
geométricas particulares. Algunas de sus causas pueden ser: una grieta
superficial, el proceso de maquinado o a la selección de radios de ensamble muy
cerrados, entre superficies no concordantes. Se constata así que la presencia de
cierto tipo de singularidades geométricas desfavorecen el desempeño resistente
de piezas y componentes mecánicos, por esta razón deben ser eliminadas o
corregidas al momento de su diseño.
Un punto asociado a una concentración de esfuerzo es una singularidad
geométrica que altera la distribución del esfuerzo en sus cercanías. Normalmente
se define el factor de concentración de esfuerzo como un indicador del incremento
de esfuerzo en la concentración de esfuerzos. Para la obtención de estos factores
se utiliza normalmente el método de la fotoelasticidad. El factor concentración de
tensiones se define como:
Donde
es el esfuerzo nominal de la probeta en la zona de la perforación y
es el esfuerzo máximo real, medido en la probeta. Esta medición
normalmente se realiza utilizando el método fotoelástico, recubrimientos frágiles o
galgas extensométricas, entre otros.
Un caso particular de concentrador de esfuerzos es una perforación circular
pasante en una placa de sección rectangular constante. La placa es sometida a
una carga axial, como lo muestra la figura 5:
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a
Concentración de
tensiones
d
e
Figura 5, diagrama de distribución de esfuerzos en una placa perforada
sometida a tracción uniaxial.
Este tipo de solicitación produce un esfuerzo uniforme a una cierta distancia del
orificio, pero en la vecindad del orificio se genera una redistribución no uniforme de
esfuerzos. En particular, en los bordes internos del orificio se genera una
concentración de esfuerzos que sobrecargan la placa muy por encima de la carga
promedio de la zona que se obtendría por los métodos tradicionales de cálculo de
esfuerzos.
a)
b)
c)
Figura 6, a) y b) diagrama de la comparación de distribución de esfuerzos en
una placa perforada sometida a tracción uniaxial. c) fotografía de fenómenos
fotoelástico en una probeta perforada.
Así, el esfuerzo
de la pieza de sección rectangular constante sin perforación
(figura 6 a) queda definida por:
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
Donde:
P
A
“P” es la carga aplicada en los extremos y en forma paralela al largo
de la probeta
“A” área de la sección perpendicular al largo de la probeta
“e” es el espesor de la placa
“d” es el ancho de la placa
Así,
A=e*d
Notar que este esfuerzo se mantiene así a una cierta distancia del orificio, donde
éste no tiene efecto mecánico sobre la distribución los esfuerzos.
En la zona de la perforación (figura 6 b) el esfuerzo nominal “o“ de la pieza
perforada queda definida por:
O 
Donde:
P
Ar
“P” es la carga aplicada en los extremos y en forma paralela al largo
de la probeta
“Ar” área de la sección reducida de la probeta (área de sección total
de la probeta menos el área de la perforación), así:
O 
Donde:
P
e(d  2a)
“e” es el espesor de la placa
“d” es el ancho de la placa
“a” es el radio de la perforación
En la perforación, por el medio de la observación fotoelástica, una vez identificado
el esfuerzo máximo“max“ (figura 6 b), los coeficientes de concentración de
tensiones Kt y Kt’ son determinados con las siguientes ecuaciones:
Kt 
 max
O
K '
t


max
Si se considera, inicialmente, que la placa es continua (sin orificio), a partir del
principio de Saint-Venant se propone el siguiente modelo primario de solución:
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El que sustituido en la ecuación de compatibilidad:
 
1 
1  2   2 1  1  2 
 2 

0
 2


r r r  2  r 2 r r r 2  2 
 r
Genera la siguiente ecuación diferencial ordinaria:
1 d
4  d 2 f 1 df 4 f 
 d
0
 2  2 

 2
r dr r  dr
r dr r 2 
 dr
G. Kirsch, en 1898, desarrolló una solución para esta ecuación, que satisface la
ecuación de compatibilidad, la que ha sido confirmada varias veces mediante
medidas de deformación y ensayos fotoelásticos.
 
a
3a 4a 

  1    1 

 cos 2 
2  r  
r
r 

2
r
4
2
 
2
4
2
a
3a 

   1    1 
 cos 2 
2  r  
r 

2
4
2
4
  (r , )   r2   2
En las figuras 7 y 8, la explicación gráfica de estos parámetros se muestra. En
donde los efectos de la perforación son despreciables el esfuerzo
está
determinado por:

Si
se incrementa muy por sobre
P
2be
, θ se hace pequeño, así:
  0  cos 2  1
r  a 
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a2
0 
r2
a4
0
r4
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P
b
b
σmax
m
y
n
a
θ
r
σθ(-)
σr(+)
σ(r,θ)
x
P
Figura 7, Diagrama de esfuerzos lejos de la perforación, zona regular
De esta forma, lejos del orificio
Por el contrario, en la periferia del orificio, particularmente cuando r = a y
:
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De esta forma, en los puntos m y n la tensión alcanza los siguientes valores:
Figura 8, Gráfico del esfuerzo radial y tangente relativos en función de r/a, un
valor adimensional
En la Figura 8 en la vecindad de la perforación se muestra la evolución de los
esfuerzos radial y tangente, desde el punto n en la figura 7 hacia el borde exterior,
justo cuando
. En el borde de la perforación cuando
se observa
el máximo de esfuerzo tangente y mínimo de esfuerzo radial.
Entonces utilizando la solución propuesta por G. Kirsch, la concentración de
esfuerzos puede llegar a triplicar el esfuerzo de la zona regular, lejos del orificio.
Según esta solución aproximada, el coeficiente de concentración de tensiones
puede llegar a Kt’=3, situación que habría que verificar experimentalmente.
2.3. Variación de esfuerzos en una probeta de sección variable.
En una probeta de sección variable, como la que se muestra en la figura 9, se
tiene que la tensión varía en función de la longitud. En este caso particular se tiene
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máxima tensión en y=0 y una disminución paulatina a medida que se recorre el eje
central.
La forma de la curva es elíptica, su ecuación es:
Figura 9, Esquema de probeta de sección variable (elíptica).
Entonces para calcular el área de la sección transversal en función de la
coordenada y se tiene:
Finalmente se tiene que la tensión en función de la altura y, desde el origen o,
tiene la forma:
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La gráfica de esta relación en función de la altura para una fuerza de 100[N] y
considerando un espesor de 5,45[mm] es:
Figura 10, Gráfico del esfuerzo en función de la posición a lo largo del eje
para una probeta de sección variable descrita en la Figura 10 y bajo las
condiciones de carga descritas.
La gráfica de la figura 10 muestra la evolución de la tensión mecánica a lo largo
del eje central indicado en la figura 9. En esta distribución de esfuerzos se tiene un
máximo de esfuerzo en y=0[mm] igual a 1,02 [MPa] y el mínimo de esfuerzo en
y=109[mm] de 0,23 [MPa].
Esta es la metodología simple de calcular la distribución de esfuerzo mecánico y
podemos corroborar el cálculo por medio de experimentación, usando el montaje
fotoelástico y la probeta disponible.
3. Montaje experimental
El sistema de ensayos fotoelásticos está compuesto por los siguientes equipos y
dispositivos:
a) Fuente de luz: Esta fuente genera luz blanca difusa, eventualmente se
puede agregar un filtro para simplificar el diagrama fotoelástico.
(preferentemente color verde)
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b) Polarizador primario: Este polarizador se dispone a continuación de la
fuente lumínica, en el eje óptico, de manera de polarizar la luz de la lámpara
en una dirección conocida y arbitraria.
c) Probeta fotoelástica y prensa: Justo después del polarizador primario se
dispone de una prensa de tracción, esta permite montar una probeta
fotoelástica alineada con el eje óptico y aplicar tensiones mecánicas en la
probeta. Esta prensa dispone de una celda de carga que permite medir la
tensión mecánica total aplicada.
d) Polarizador segundario o analizador: Este dispositivo está dispuesto en
el eje óptico del montaje, justo después de la probeta fotoelástica. Éste
permite girar la dirección de polarización, y por tanto, cambiar desde campo
claro a oscuro.
e) Punto de observación y soporte de cámara CCD: Finalmente se
encuentra, detrás del polarizador segundario, el punto de observación.
Desde este lugar se puede observar el fenómeno, analizar las líneas y
registrar los cambios en la probeta. También dispone de un soporte que
permite poner una lente para amplificar zonas de interés o utilizar una
cámara CCD para registro de imágenes y el posterior procesamiento de
éstas.
Mordaza y prensa de
tracción
Polarizador secundario
Polarizador primario
Celda de carga
Pedestal soporte
cámara web
Indicador análogo de
tensión mecánica
Figura 11. Polariscopio
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En la Figura 11 se muestra el polariscopio del departamento de Ingeniería
Mecánica de USACH, donde se indican los componentes principales ya descritos.
4. Procedimiento experimental
4.1. Caracterización material fotoelástico (Poliuretano)
a)
Seleccionar probeta regular de sección constante, fabricada de poliuretano.
b)
Medir área transversal de la probeta (largo x ancho).
c)
Instalar la probeta en la prensa de tracción utilizando las mordazas de tipo
pasador. Sin someter la probeta a tracción.
d)
Utilizar un juego de masas que permita variaciones de 50 en 50[g] entre 0 y
900 [g].
e)
Girar el analizador hasta obtener campo oscuro, es decir lograr la mínima
intensidad de la luz en el contorno de la probeta, mirando desde el punto de
observación. Registrar el color en el centro de la probeta, zona homogénea.
f)
Aplicar una fuerza de tracción pequeña, 50[gf], y registrar en una tabla el
color asociado, realizar este proceso aumentando la carga de 50 en 50 [g] hasta
los 900[g]. No superar la fuerza máxima de 1 kgf.
g)
Confeccionar una tabla con la información de σ[MPa] y color asociado en la
zona regular de la probeta.
4.2. Ensayo concentrador de tensiones
Para la verificación empírica de la solución de G. Kirsch se dispone de una
probeta con perforación central, previamente “demarcada”, para facilitar la lectura
de colores cuando sea sometida a tracción. El sector de observación y análisis de
la placa será el tercio intermedio, cercano al orificio, dado que es en esa zona
donde se genera la coloración más visible y clara, asociada a la distribución
inusual de tensiones que genera la presencia de la perforación.
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Debe elegir al menos 3 punto de observación distintos, círculos pequeños, para
los cuales registrara el color observado y la posición geométrica de este con
respecto a un sistema cartesiano con origen en el centro de la perforación.
Además debe registrar los colores y posición de al menos 5 puntos en la línea
horizontal contigua al borde de la perforación, con el objetivo de describir el
comportamiento de la distribución de tensiones desde el borde de la perforación
hasta el borde exterior de la probeta.
Puntos de
observación de
tensiones
y
r
θ
(r,θ)
r
x2  y2
x
 y
   arctg  
x
Entonces, se construirá una tabla comparativa de valores de esfuerzos, una a
partir de los esfuerzos calculados con las fórmulas de Kirsch y otra a partir de los
esfuerzos obtenidos por la observación de colores en los puntos “demarcados”.
Estos dos valores se deberán comparar y analizar para corroborar o refutar la
valides de las solución de Kirsch.
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4.3. Ensayo de probeta de sección variable usando análisis de imágenes.
Previo a comenzar con el procedimiento experimental se debe medir la magnitud
promedio de esfuerzo necesario para generar un cambio completo de color
utilizando una probeta regular fabricada en policarbonato. A este parámetro se le
denomina K [MPa].
Luego de este paso preliminar se procede como sigue:
a)
Seleccionar la probeta de sección variable.
b)
Posicionar probeta entre la sujeción de la celda de carga y la sujeción
superior fija del polariscopio, ajustándola entre los pasadores y las fijaciones.
c)
Conectar DAQ al modulo de celda de carga. (Cuando se conecta el sistema
de adquisición de datos, el indicador análogo queda desconectado, por lo que no
se podrán obtener lecturas). En esta condición ajustar cero en la medición de
esfuerzo.
d)
Girar los polarizadores para obtener campo oscuro e instalar la cámara
digital en el soporte.
e)
Conectar los cables USB de la cámara y sistema de adquisición de datos NI
USB 6009.
f)
Abrir programa de Matlab y ejecutarlo (FotoelasticidadADQ.m).
g)
Esperar que la cámara termine el ciclo de ajuste (aproximadamente 10[s]) y
ajustar la altura y posición lateral para lograr encuadrar en el centro de la imagen
la zona relevante de la probeta para el ensayo.
h)
Presionar INTRO, el programa en la zona regular requiere el ancho y
espesor de la probeta, estos datos deben ser ingresados por teclado.
i)
El programa requiere la constante de calibración del material K[MPa].
j)
Luego la zona regular en la fotografía debe ser demarcada , se debe ser
muy cuidadoso en este proceso, ya que el patrón de longitud se calibra aquí.
k)
Al presionar nuevamente INTRO el programa comienza a adquirir imágenes
y procesar su contenido, mostrando la curva de esfuerzo en función de la posición
vertical a partir del origen en la zona regular de máximo esfuerzo.
Cada vez que se quiera observar la curva de distribución de esfuerzos se debe
presionar INTRO para que el programa realice el proceso de medición.
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5. Temas para interrogación
5.1
Fundamentos de la fotoelasticidad como método experimental, sus alcances,
ventajas y campos de aplicación.
5.2
La determinación del mapa tensional de una pieza mecánica y su importancia
como factor de la ingeniería de diseño.
5.3
Determinación de esfuerzos a través del análisis fotoelástico
6. Estructura del Informe
Las consideraciones generales que debe tener presente para la elaboración del
informe son:
 Redactado en tercera persona, hoja tamaño carta escrita por ambas caras en
Arial 11 y margen justificado.
 Las faltas ortográficas e incoherencias en la redacción, disminuirán su
calificación.
Estructura sugerida:
Portada, la primera página (de presentación) debe indicar nombre de la actividad,
NOMBRE Y CORREO de los integrantes (quienes asistieron al laboratorio y
trabajaron en la confección del informe ), sección de laboratorio ( por ejemplo 0- L36), Nombre del Profesor(a), fecha de realización de la actividad.
Resumen del contenido del informe: no más de 1/3 de página, donde se señale
brevemente lo realizado en la experiencia.
Objetivos de la experiencia: deberán indicarse con claridad los objetivos del
informe, sean estos generales, específicos, o ambos, según corresponda.
Metodología experimental: descripción de la secuencia de actividades y
consideraciones principales realizadas durante la experiencia, con especial énfasis
en el detalle de aquellos aspectos claves para el buen desarrollo de la experiencia.
Características técnicas de equipos, instrumentos e instalaciones: Se deberá
anotar todos los datos referentes al tipo de instrumentos y equipos usados como la
marca, escala de medición, sensibilidad, montaje, preparación, unidades de
lectura, etc.
Presentación de datos: los datos constituyen la información que se obtiene
directamente de la experiencia, y a partir de los cuales, se trabaja las etapas
consecuentes. Los datos deberán presentarse tabulados, con claridad tal que se
“lean” directamente y no se “interpreten” a criterio del lector.
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Presentación de resultados: a partir de los datos tomados se obtienen los
resultados, y sobre estos últimos se realiza el análisis. Al igual que los datos, los
resultados deberán presentarse tabulados, con claridad tal que se comprendan
correctamente y no se “interpreten” a criterio del lector. ¡No desarrolle cálculos!,
sólo indique cómo los obtuvo y que fórmulas utilizó
Análisis y Conclusiones: constituye la parte más importante del informe, pues
aquí se pone de manifiesto el grado de compresión, asimilación y propuesta que el
alumno logró en la experiencia. En las conclusiones deben basarse en los datos
tomados y los resultados calculados. Por lo tanto, el alumno deberá esmerarse
para resolver correctamente este punto.
Apéndice:
a.1. Una breve introducción teórica.
a.2. Desarrollo de tema a solicitar por el profesor.
7. Bibliografía
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Timoshenko y Goodier: “Teoría de Elasticidad”, Ed. Mc Graw-Hill.
Frocht: “Photoelasticy”, Ed. Wiley (2 tomos).
Berrocal “Elasticidad”.
Fred Seely: “Curso superior de resistencia de materiales”.
Tuppeny y Kobayashi: “Análisis de tensiones”, Ed. URMO.
Astorga Patricio: “Análisis de elementos curvos”.
Página
20
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PAUTA DE EVALUACIÓN
ITEM
PUNTOS
1. Resumen del contenido del informe
0,2
2. Objetivos de la experiencia
0,2
3. Metodología experimental
0,6
4. Características técnicas de equipos, instrumentos e
instalaciones
0,5
5. Presentación de datos
0,5
6. Presentación de resultados
1,0
7. Análisis y Conclusiones
2,0
8. Apéndice
0,5
Redacción
0,5
Punto base
1,0
TOTAL
Página
21
7,0