Modelo difusion advección para remolinos

Modelo de advección
advección-difusión para remolinos
2ª reunión del proyecto CANOA
Maricel Auladell, ICM-CSIC
Índice
• Importancia de los remolinos
• Modelo advección difusión
– Velocidad radial
– Estabilidad, coeficiente de difusión
• Datos de boyas
• Resultados
• Conclusiones
Importancia de los
remolinos
• Los remolinos son un importante mecanismo
de transporte de propiedades como calor,
sal, masa, momento y vorticidad, sin olvidar
las propiedades químicas (gases) y
biológicas (nutrientes).
• Este transporte se da tanto en la dirección
horizontal como en la vertical. Es por eso
que vemos importante hacer un modelo que
pueda predecir la evolución del remolino.
Modelo de
advección-difusión
• A partir de las ecuaciones de momento en
coordenadas cilíndricas e isopicnas.
∂ur uθ ∂ur
∂ur ∂φ
uθ2 ∂τ zr 1 ∂ (rτ rr ) 1 ∂τ θr
∂ur
+
+u
+
+w
=
+ fu + +
+
∂t
r
∂r
r ∂θ
ρ
∂ρ
∂r
θ
r
∂z
r
∂r
r ∂θ
∂uθ
ur uθ ∂τ zθ 1 ∂ (rτ rθ ) 1 ∂τ θθ
∂uθ uθ ∂uθ
∂uθ
1 ∂φ
+
+ ur
+ wρ
=−
− fu r +
+
+
+
∂r
r ∂θ
r ∂θ
∂t
∂ρ
r
∂z
r ∂r
r ∂θ
Donde: - r, θ, ρ, y t, son las coordenadas radial, axial, isopicna y temporal
-uθ, ur, w ρ = dρ dt son las velocidades tangenciales, radiales y diapicnas
- φ = p / ρ + gz es el potencial de Montgomery
- τ ij es el estrés (la fuerza de fricción), f parámetro de Coriolis
Modelo de
advección-difusión
• Llegamos a la ecuación:
∂ω 1 ∂ 2 (Krω )
∂ω
=
+ ur
∂r r ∂r 2
∂t
• La velocidad angular inicial la
idealizamos como un cilindro circular,
⎧ω0 , r ≤ a
ω ( r , t = 0) = ⎨
⎩ 0, r > a
a0 es el radio inicial
ω0 es la velocidad angular inicial
Velocidad radial
• Consideramos las escalas de tiempo local y
advectiva relativamente largas. Hay un
balance casi permanente entre la fuerza de
Coriolis y el estrés radial.
1 ∂ (r τ rθ )
f ur =
r ∂r
• Recordando parametrización del estrés y la
aproximación sólido-rígido
τ rθ = K h ∂uθ ∂r
;
r ∂uθ ∂r = uθ
Velocidad radial
t=10 days
t=100 days
t=10 days
t=100 days
1
t=10 days
t=100 days
t=10 days
t=100 days
1
ur = cω
0.4
0.4
0.2
0
ω/ω0
ω/ω
0
0.8
0.8
• Obtenemos
que la velocidad
radial es
0.6
función
de la velocidad0.6angular:
0.2
0
50
r (km)
100
0
0
50
r (km)
100
• La constante se obtiene a partir de
observaciones: en el caso del anticiclónico
Solución
del modelo
para
se vio
la tendencia
de una
de el
lascaso
boya a
ciclónico
y anticiclónico
moverse
hacia
el centro de remolino desde
un radio de 15 km a un radio de 5 km en
- Sin
velocidad
(izquierda)
-5s-1
unos 100
días
para unaradial
ω0= 3x10
- Con velocidad
radial
m (derecha)
c ≅ 40
Estabilidad
• Para que un remolino se forme debe
cumplir la condición de estabilidad inercial
∂ω ⎞
⎛
ΩΩ sb = ⎜ f + 2ω + r
⎟( f + 2ω ) ≥ 0
∂r ⎠
⎝
• El producto del la vorticidad total y la
vorticidad del sólid-rígido deber ser igual o
superior a cero.
• Esta condición nos determina el valor
mínimo del coeficiente de difusión K.
Estabilidad
remolino ciclónico
∂ω/∂r≅0
Inestable si
ω>0
∂ω/∂r <0
(f+2ω)(f+2ω+r∂ω/∂r) < 0
r
remolino anticiclónico
Los anticiclónicos son
estables si cumple la
condición:
f
ω<
2
ω<0
∂ω/∂r ≅0
∂ω/∂r >0
r
Estabilidad
• Para un remolino con
ω0 = 3 10-5 s-1,
r0 = 25 km
para K= 25 m2s-1
inestable y para
K=30 m2s-1 es
estable a tiempo t=4
días (que es el
periodo del
remolino).
Datos
• Tenemos datos de dos remolinos al
sur de Gran Caniara,
– el primero de un anticiclónico con el
seguimiento de tres boyas a diferentes
distancias del centro del remolino a 100
m de profundidad,
– El segundo es de un ciclónico con sólo
dos boyas, colocadas similar al anterior.
Resultados
Anticiclónico (izquierda) con
r0 = 30 km, ω0 = 3 10-5 s-1 y K = 20 m2 s-1
Ciclónico (derecha) con
r0 = 25 km, ω0 = 1.6 10-5s-1 y K = 25 m2 s-1
Conclusiones
• La ecuación de advección-difusión de
la velocidad angular predice
razonablemente bien la evolución de
los remolinos formados al sur de las
islas Canarias.
• A tiempos largos parece no ajustarse
tan bien, posiblemente debido a las
interacciones que sufren dichos
remolinos con otras estructuras.
Gracias por su atención