Carta al estudiante I Ciclo 2014

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
ESCUELA DE MATEMATICAS
Carta al estudiante
I Ciclo 2014
Nombre del curso:
Sigla:
Naturaleza del curso:
Número de horas presenciales:
Número de horas estudio independiente:
Horas totales:
Modalidad:
Créditos:
Requisito:
Correquisito:
Precálculo
MA 0001
Teórico- práctico
5
2
7
Semestral
0
Ninguno
Ninguno
Estimada y estimado estudiante
Reciba un cordial saludo de parte de la cátedra MA 0001 deseándole de antemano todos los éxitos
en este ciclo lectivo.
En este documento usted encontrará toda la información relacionada al curso tal como:
metodología, objetivos, contenidos, cronograma, calendario de pruebas, evaluación y bibliografía
sugerida. Le recomendamos realizar una lectura minuciosa del mismo y calendarizar las fechas
importantes.
I.
DESCRIPCIÓN
En este curso se realiza una revisión y profundización de los contenidos en los temas de Álgebra,
Funciones y Trigonometría estudiados en la educación secundaria, potenciando el desarrollo
conceptual de los mismos, su uso procedimental y las habilidades matemáticas de los estudiantes.
Responde a las necesidades de quienes deben cursar Cálculo diferencial e integral pero que
evidencian deficiencias en su formación matemática de secundaria. En la orientación del curso se
pretende fomentar un rol activo del estudiante y un cambio en la posición tradicional del docente,
de manera tal, que funja como un mediador y guía del proceso de interiorización de los
contenidos.
Las dos horas mínimas de dedicación fuera de la clase son fundamentales pues permiten
completar el proceso de aprendizaje que se desarrolla dentro del aula. Usted puede disponer de
ellas con alguna o todas de las siguientes actividades:
1


II.
Horas de consulta: cada profesora o profesor cuenta con un período de atención de
consultas de los estudiantes (de su grupo o cualquiera de la cátedra), adicional a las cinco
horas de clases presenciales, en su respectiva oficina o aula (según se indique
posteriormente). Esta información se la proporcionará el docente y se publicará en la
pizarra del curso, ubicada en el segundo piso de la Escuela de Matemática, así como en la
plataforma Moodle del curso (en la sección Metodología se especifica esto).
Estudiaderos: espacio para la atención de consultas de los estudiantes atendido por
estudiantes avanzados de las carreras que contemplan el curso en cuestión. Usualmente
se desarrollan todos los miércoles a partir de las 9 a.m. bajo la coordinación del CASE de
Ciencias Básicas y la Vicerrectoría de Vida Estudiantil.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Favorecer la adquisición de herramientas conceptuales y procedimentales de Matemática que
permitan al estudiante desenvolverse satisfactoriamente en su primer curso de Cálculo y durante
su formación profesional.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Al finalizar el curso se espera que el estudiante sea capaz de:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Efectuar división de polinomios.
Factorizar en forma completa polinomios en .
Simplificar fracciones algebraicas racionales.
Racionalizar el denominador y el numerador de una expresión algebraica racional.
Efectuar suma y resta con fracciones algebraicas racionales.
Efectuar la descomposición en fracciones parciales de una fracción algebraica dada.
Analizar el signo de una expresión con varios valores absolutos.
Resolver en
ecuaciones lineales, cuadráticas, con un valor absoluto, con un radical,
fraccionarias, polinomiales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
Resolver en
inecuaciones lineales, cuadráticas, con valor absoluto, racionales y
polinomiales, con valor absoluto, exponenciales y logarítmicas.
Determinar el dominio, ámbito, imágenes, preimágenes, intersección con los ejes,
intervalos de monotonía, signos, biyectividad a partir de la gráfica de funciones lineales,
cuadráticas, cúbicas, valor absoluto, racionales, raíz cuadrada, exponenciales, logarítmicas
o definidas a trozos.
Caracterizar las gráficas de las funciones: lineal, cuadrática, cúbica, valor absoluto, racional
y raíz cuadrada, exponencial y logarítmica.
Determinar el dominio máximo de las funciones en estudio.
Determinar el dominio y el criterio de la composición entre dos funciones.
Determinar el dominio, el ámbito y el criterio de la función inversa de las funciones en
estudio.
2
15.
Trazar mediante transformaciones (verticales, horizontales, reflexiones, simetrías,
compresiones y elongaciones) gráficas de funciones con criterios: lineal, cuadrático,
cúbico, valor absoluto, racional, raíz cuadrada, exponencial, logarítmica o definidas a
trozos.
Aplicar los conceptos de ecuación de la recta, rectas paralelas y perpendiculares en la
solución de problemas.
Determinar las coordenadas del o los puntos de intersección de gráficas de funciones
algebraica o gráficamente.
Aplicar las seis razones trigonométricas en la resolución de problemas.
Estudiar el dominio, ámbito, imagen, preimagen, intersecciones con los ejes, periodo,
asíntotas, gráfica de las funciones trigonométricas.
Resolver ecuaciones trigonométricas aplicando las propiedades o identidades básicas.
Resolver problemas que involucren las funciones trigonométricas inversas principales.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
III.
CONTENIDOS
TEMA I: NUMEROS REALES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Los subconjuntos de los números reales.
Propiedades de la suma y la multiplicación en .
Orden en .
Valor absoluto y propiedades.
Desigualdades e intervalos.
Operaciones con números reales.
TEMA II: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.
2.
3.
4.
5.
Operaciones: suma, resta, multiplicación (productos notables), división y división
sintética.
Factorización de polinomios en usando los métodos de factor común, diferencia
de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos, inspección, fórmula general,
agrupación y división sintética. Teorema del factor, residuo y de las raíces
racionales.
Suma, resta y simplificación de fracciones algebraicas.
Descomposición en fracciones parciales de una fracción algebraica.
Racionalización.
TEMA III: ECUACIONES E INECUACIONES
1.
2.
Ecuaciones lineales, cuadrática, polinomiales (de grado mayor que 2), racionales,
con un radical y con valor absoluto de la forma
,
.
Inecuaciones lineales, cuadráticas, polinomiales (de grado mayor que 2),
fraccionarias y con valor absoluto.
3
TEMA IV: FUNCIONES
1.
Conceptos básicos de una función: dominio, codominio, ámbito, gráfico, imagen,
preimagen, intersección con ejes, gráfica, función constante, estrictamente
creciente y estrictamente decreciente, intervalos donde la función es positiva o
negativa, mayor o menor que un número dado (todo esto a partir de una gráfica
dada), biyectividad.
Análisis de gráficas de las funciones: lineal, cuadrática, cúbica, valor absoluto,
racional, raíz cuadrada, exponencial y logarítmica.
Dominio máximo de una función real.
Composición de funciones.
Graficación de funciones mediante traslaciones, simetrías, compresiones,
elongaciones, reflexiones.
Función lineal: pendiente, punto de intersección con los ejes, rectas paralelas,
perpendiculares.
Intersección de gráficas de funciones.
Función inversa.
Función exponencial y logarítmica
Propiedades de los logaritmos, fórmula de cambio de base.
Ecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
TEMA V: TRIGONOMETRIA
1.
2.
Razones trigonométricas. Triángulos especiales.
Ángulos en posición estándar. Ángulos coterminales. Medidas de ángulos en grados
y radianes. Ángulos de referencia. Rotación positiva y rotación negativa.
Circunferencia trigonométrica.
Identidades trigonométricas: recíprocas, cofunciones, pitagóricas, periodicidad,
paridad, suma-resta de ángulos y ángulo doble.
Ecuaciones trigonométricas.
Funciones trigonométricas y trigonométricas inversas: concepto, dominio, ámbito,
período, gráficas estándar, intersección con los ejes, concavidad y monotonía.
3.
4.
5.
6.
IV.
METODOLOGÍA
Los contenidos propuestos del tema I así como los que se enuncian a continuación del tema II:
operaciones (suma, resta, multiplicación (productos notables)), factorización de polinomios en
usando los métodos de factor común, diferencia de cuadrados, inspección, fórmula general,
agrupación, fueron estudiados por el estudiante bajo la modalidad de estudio independiente en el
taller virtual diseñado en la plataforma Moodle durante el mes de febrero ofrecido por la Escuela
de Matemática.
La dinámica de trabajo para el curso de Precálculo se orientará combinando sesiones teóricas con
prácticas. En las sesiones teóricas se expondrán los contenidos del curso evidenciando su
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importancia en los de Cálculo; las sesiones prácticas serán diseñadas por los profesores de la
cátedra y fomentarán el trabajo en equipo, para propiciar la tolerancia, participación e igualdad
entre sus integrantes así como la comunicación entre estudiantes, estudiante-docente. Esta
dinámica de trabajo demanda al estudiante asistir regularmente al curso, lo cual favorece a que se
involucre en el proceso y los contenidos sean presentados de forma reiterada lección a lección.
Se busca también fortalecer habilidades como la argumentación matemática y el uso de la
tecnología integrando la plataforma Moodle como medio de comunicación asincrónico y las
facilidades que ofrece para prácticas y evaluaciones en línea. El uso de la calculadora estará
supeditado a la corroboración de los resultados obtenidos mediante un desarrollo de los
ejercicios.
Para accesar a la plataforma Moodle debe ingresar a www.moodlenew.emate.ucr.ac.cr y crear un
usuario con una contraseña personal, en caso de no tenerla, siguiendo todos los pasos que se
indican. Posteriormente podrá encontrar el módulo del curso MA 0001 Precálculo en la categoría
Matemática Aplicada. La clave de auto-matriculación será proporcionada por su profesor.
En la plataforma Moodle del curso podrá encontrar material complementario al que se desarrolla
en clases tales como videos, presentaciones, teoría, ejercicios adicionales, foros donde puede
interactuar con otros estudiantes y profesores en la evacuación de dudas, exámenes de ciclos
anteriores y en especial evaluaciones (pruebas cortas) en línea sobre los contenidos del curso.
V.
CRONOGRAMA DEL CURSO
Semana
Febrero
1.
2.
10/3/14 al 14/3/14
3.
17/3/14 al 21/3/14
24/3/14 al 28/3/14
Contenidos
-Subconjuntos de los números reales.
Propiedades de la suma y la multiplicación en .
-Orden en .
-Desigualdades e intervalos.
-Valor absoluto y propiedades.
-Operaciones con números reales.
-Definiciones básicas. Operaciones: suma, resta, multiplicación (productos
notables).
-Operaciones combinadas con polinomios.
-Factorización de polinomios: factor común, productos notables,
agrupamiento, fórmula general.
-División algebraica y división sintética de polinomios.
-Factorización de polinomios en
usando los métodos diferencia de cubos,
suma de cubos, división sintética.
-Teorema del factor, residuo y de las raíces racionales.
-Simplificación de fracciones algebraicas racionales.
-Racionalización del denominador y numerador de una expresión algebraica
racional con radical de índice dos o tres.
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31/3/14 al 4/4/14
7/4/14 al 11/4/14
14/4/14 al 18/4/14
21/4/14 al 25/4/14
28/4/14 al 2/5/14
5/5/14 al 9/5/14
12/5/14 al 16/5/14
12/5/14 al 16/5/14
19/5/14 al 23/5/14
26/5/14 al 30/5/14
2/6/14 al 6/6/14
2/6/14 al 6/6/14
9/6/14 al 13/6/14
9/6/14 al 13/6/14
16/6/14 al 20/6/14
23/6/14 al 27/6/14
30/6/14 al 4/7/14
-Suma, resta de fracciones algebraicas racionales
-Descomposición en fracciones parciales.
-Análisis del signo de una expresión con varios valores absolutos
-Resolución de ecuaciones lineales, cuadráticas, polinomiales (de grado mayor
que 2), racionales, con un radical y con valor absoluto de la forma
,
.
-Resolución de inecuaciones lineales, cuadráticas, polinomiales (de grado
mayor que 2), fraccionarias y con valor absoluto de la forma
.
Hasta aquí los contenidos del I Parcial
SEMANA SANTA
SEMANA UNIVERSITARIA
-Conceptos básicos de una función: dominio, codominio, ámbito, gráfico,
imagen, pre-imagen, intersección con ejes, gráfica, función constante,
estrictamente creciente y estrictamente decreciente, intervalos donde la
función es positiva o negativa, mayor o menor que un número dado (todo esto
a partir de una gráfica dada).
-Análisis de gráficas básicas: lineal, cuadrática, cúbica, valor absoluto, racional,
raíz cuadrada, exponencial y logarítmica.
-Graficación de funciones mediante traslaciones, simetrías, compresiones,
elongaciones, reflexiones.
-Dominio máximo
-Función inversa
-Función composición
-Función lineal: pendiente, punto de intersección con los ejes, rectas paralelas,
perpendiculares.
-Intersección de gráficas de funciones.
-Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
-Resolución gráfica de inecuaciones que involucran funciones exponenciales y
logarítmicas.
Hasta aquí contenidos para II Parcial
-Razones trigonométricas
-Circunferencia trigonométrica y funciones trigonométricas
-Identidades trigonométricas
-Ecuaciones trigonométricas
-Funciones trigonométricas inversas
Hasta aquí los contenidos del III Parcial
Nota: el desarrollo de este cronograma depende del avance de cada grupo aunque se procurará
cumplir lo propuesto.
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Feriados y fechas especiales
 Viernes 11 de abril: Batalla de Rivas
 14 de abril al 19 de abril: Semana Santa
 21 de abril al 26 de abril: Semana universitaria (sí hay lecciones pero no evaluaciones)
 Jueves 1 de mayo: Día Internacional del Trabajo
VI.
EVALUACIÓN
El desempeño del estudiante se valorará considerando los siguientes rubros:
RUBRO
PORCENTAJE
Tres pruebas parciales
65%
Prácticas
Tres pruebas cortas
Diario matemático
Total
10%
10%
15%
100%
A continuación se detallan cada uno de los rubros:
PRUEBAS PARCIALES (65%)
Se encuentran programadas tres pruebas parciales cuyos porcentajes están distribuidos de la
siguiente forma: 20% las dos pruebas con menor nota cada una y 25% la prueba con mayor nota.
En la tabla se muestra las fechas de cada prueba y su reposición.
I Parcial: M 30 abril 1 p.m
Reposición I Parcial: S 10 mayo 8 a.m
II Parcial: S 14 junio 1 p.m Reposición II Parcial: M 25 junio 1 p.m
III Parcial: M 9 julio 1 p.m
Reposición III Parcial: V 11 julio 8 a.m
Ampliación: V 18 julio 8 a.m
Suficiencia: M 25 junio 8 a.m
DISPOSICIONES PARA LA REALIZACIÓN DE LAS EVALUACIONES:
Al asistir a cualquier evaluación debe considerar los siguientes aspectos:
 Las pruebas son de cátedra y su resolución es en forma individual.
 Debe presentar alguna identificación válida (cédula, licencia de conducir o carné
universitario con fotografía, vigente) de lo contrario no podrá efectuar la prueba.
 La resolución de la prueba es en un cuaderno de examen (no se permiten hojas sin grapar)
y debe usar bolígrafo de tinta azul o negra.
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 No está permitido que el estudiante utilice su celular o cualquier otro medio de
comunicación electrónico durante las pruebas. Cualquier intento de copiar en la misma
será sancionado de acuerdo con lo que estipula el reglamento correspondiente.
 Solamente se permitirán calculadoras científicas básicas o de menor potencia, es decir, no
está permitido el uso de calculadoras programables, teléfonos celulares ni tabletas.
 El estudiante debe presentarse puntualmente el día del examen en el aula que fue
asignada a su grupo y expuesta en la pizarra de MA 0001. No se permiten los cambios de
grupo, todo estudiante debe realizar las evaluaciones en el grupo en que está
matriculado.
PRUEBAS DE REPOSICIÓN:
Aquellos estudiantes con ausencia justificada a un examen de cátedra tales como enfermedades
(con justificación médica), o choques de exámenes (con constancia del coordinador respectivo), o
casos de giras (reportados por escrito) y con el visto bueno del órgano responsable, podrán
solicitar realizar el examen de reposición. Para esto el proceso que se sigue es el siguiente:
 Completar el formulario de solicitud de reposición (se adquiere en la secretaría de la
Escuela de Matemática o se descarga de la plataforma Moodle del curso), adjuntar la
respectiva constancia y depositarla en el casillero del coordinador de MA 0001.
Finalmente el estudiante debe enviar un correo electrónico al coordinador del curso para
confirmar el recibido de su solicitud.
 La solicitud será aprobada siempre y cuando esta cumpla con lo establecido en el
Reglamento de Régimen Académico Estudiantil (Capítulo VI, artículo 24). Por tal motivo se
publicará tres días antes de la prueba de reposición el listado y condición de las solicitudes
tramitadas tanto en la pizarra informativa como en el sitio Moodle del curso.
CALIFICACIÓN DE PRUEBAS:
Es importante considerar que toda la normativa de evaluación del curso se rige según lo
establecido en el capítulo VI del Reglamento de Régimen Académico Estudiantil. Algunos aspectos
relevantes de este son:
 Cada prueba le debe ser entregadas a más tardar diez días hábiles después de haberse
efectuado, de lo contrario, el estudiante podrá presentar reclamo ante la dirección de la
Escuela de Matemática.
 La pérdida comprobada por parte de su docente de cualquier prueba le da derecho a una
nota equivalente al promedio de todas las evaluaciones del curso o a repetir la prueba
según el criterio suyo.
 Si considera que la prueba ha sido mal evaluada, tiene derecho a solicitar a su docente, de
forma oral, aclaraciones y adiciones sobre la evaluación, en un plazo no mayor de tres días
hábiles posteriores a la devolución de esta. En el caso extremo de no ponerse de acuerdo
el profesor y el estudiante en cuanto a la calificación, éste último podrá apelar ante el
Director de la Escuela de Matemática en los tres días hábiles siguientes, aportando una
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solicitud escrita razonada y las pruebas del caso. El Director, con asesoría de la Comisión
de Evaluación y Orientación, emitirá su resolución escrita a más tardar siete días hábiles
después de recibida la apelación.
PRÁCTICAS (10%)
Consisten en tres compendios de ejercicios correspondientes a los contenidos que serán
evaluados en cada prueba parcial. Las mismas se asignarán con antelación.
Práctica Fecha de entrega
1
L 21/4 o K 22/4
2
J 5/6 o V 6/6
3
L 30/6 o K 1/7
PRUEBAS CORTAS (10%)
Las tres pruebas cortas tienen la finalidad de valorar el progreso que ha tenido el estudiante
respecto al aprendizaje de los contenidos y la preparación para la prueba parcial. Se espera que las
prácticas sean un punto de referencia para el estudiante sobre estas evaluaciones.
La primera prueba corta se realizará en línea en la plataforma Moodle del curso y las otras dos
serán presenciales.
Las pruebas cortas no se reponen salvo que el estudiante presente una justificación válida (las
mismas para justificar la ausencia a un parcial). En este caso se procede a no tomar en cuenta
dicha prueba corta en el cálculo del porcentaje a dicho rubro.
Prueba corta Fecha de aplicación
1 (en línea)
L 28/4 y K 29/4
2 (presencial)
L 9/6 al V 13/6
3 (presencial)
L 30/6 al V 4/7
DIARIO MATEMÁTICO (15%)
El estudiante debe realizar un registro clase a clase de aspectos como: estrategias personales,
exploraciones, definiciones personales o descubrimientos sobre los contenidos, además puede
plasmar ¿qué aprendió nuevo y antes no sabía?, ¿qué lo confundió en la clase?, ¿qué podría hacer
el docente para ayudarle a comprender mejor los contenidos?, ¿qué fue de su agrado en la clase
de hoy? ¿qué fue lo que menos le agradó?. Para esto puede utilizar un cuaderno, un folder, entre
otros recursos (a conveniencia y creatividad del estudiante), escrito a mano o en computadora.
Del porcentaje destinado a este rubro se asignará un 5% a la entrevista con un estudiante
avanzado de la carrera (preferiblemente) en la que se encuentra empadronado que ya haya
cursado el curso de Cálculo respectivo sobre su experiencia en dicho curso. Si la misma fue exitosa
o no, debe cuestionarse sobre todos los aspectos que influyeron para obtener dicho resultado.
Esta entrevista debe grabarse completamente para luego entregar una copia mientras que en el
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diario deben incluirse los aspectos más relevantes para luego hacer una breve exposición ante el
grupo.
Se realizarán tres entregas del diario matemático durante todo el ciclo. La entrevista descrita
anteriormente debe estar incluida para la primera o segunda entrega. El docente lo solicitará en
alguna de las fechas que se indican a continuación, según corresponda el horario de clases:
Entrega
Semana
1
J 3/4 al K 8/4
2
L 26/5 al V 30/5
3
L 23/6 al V 27/6
REPORTE DE LA NOTA DE APROVECHAMIENTO (NA)
La nota de aprovechamiento será el resultado de la suma de los porcentajes obtenidos por el o la
estudiante en cada uno de los rubros descritos anteriormente. Esta nota se expresa en una escala
de 0 a 10, redondeada a la unidad o media unidad más próxima, de acuerdo con los criterios del
Reglamento de Régimen Académico Estudiantil (artículos 25 y 28), los cuales se indican a
continuación:
 Si
el estudiante gana el curso con calificación NA redondeada a la media más
próxima, los casos intermedios como 7.25 se redondean hacia arriba, es decir, 7.5
 Si
, el estudiante tiene derecho a realizar el examen de ampliación, en
el cual se debe obtener una nota superior o igual a 7 para aprobar el curso con nota 7, en
caso contrario su nota será 6.0 o 6.5, según lo obtenido como calificación en el curso.
 Si
pierde el curso.
VII.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Arias, F. & Poveda, W. (2011). Matemática Elemental. Editorial UCR.
Blanco, R. (2007). Geometría. CONARE-Proyecto RAMA. www.diagnostico.emate.ucr.ac.cr
Díaz, P. (2007). Números Reales y Fundamentos de Álgebra. CONARE-Proyecto RAMA.
www.diagnostico.emate.ucr.ac.cr
Jiménez, J. (2007). Funciones. CONARE-Proyecto RAMA. www.diagnostico.emate.ucr.ac.cr
Jiménez, J. (2003). Ejercicios de Matemática Elemental. 2ª Edición. Escuela de Matemática.
Universidad de Costa Rica.
Kline, M. (1998).
Matemáticas para los estudiantes de Humanidades. Fondo de Cultura
Económica. México.
Sancho,
V.
&
Sancho,
L.
(2007)
Trigonometría.
CONARE-Proyecto
RAMA.
www.diagnostico.emate.ucr.ac.cr
10
Stewart, J. & Redlin, L. & Watson, S. (2007). PRECÁLCULO. Matemáticas para el cálculo. Quinta
edición. Editorial Thomson. México.
Swokowski, E. & Cole, J. (2002). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Décima
edición, México: Thompson Editores.
Zill, D. & Dewar, J. (2000). Álgebra y Trigonometría. México: McGraw- Hill.
Atentamente,
Lic. Daniel Mena González
Coordinador MA 0001
Correo electrónico: [email protected]
Casillero: 112 (2° piso Escuela de Matemática)
Oficina: 251 Escuela de Computación e Informática
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Grupo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Horario
L 07:00-09:50
J 07:00-08:50
L 11:00-12:50
J 11:00-13:50
L 13:00-15:50
J 13:00-14:50
L 14:00-16:50
J 15:00-16:50
L 19:00-21:50
J 19:00-20:50
K 07:00-08:50
V 07:00-09:50
K 13:00-14:50
V 13:00-15:50
K 16:00-18:50
V 17:00-18:50
K 19:00-21:50
V 19:00-20:50
Aula
209 CS
209 CS
330 CS
226 IN
442 CE
442 CE
314 DE
314 DE
214 CS
214 CS
303 CS
303 CS
114 IN
104 MI
202 AG
202 AG
301 CS
301 CS
Horarios
I Ciclo 2014
MA 0001 Precálculo
Docente
Correo electrónico
Graciela Ordoñez Gutiérrez
[email protected]
Daniel Mena González
[email protected]
Kattia Rodríguez Ramírez
[email protected]
Daniel Mena González
[email protected]
Silenne Fernández Rodríguez
[email protected]
Adrián Sánchez Godínez
[email protected]
Yoilyn Rojas Salazar
[email protected]
Karen Sánchez Duarte
[email protected]
Karen Sánchez Duarte
[email protected]
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