COLEGIO CUNDINAMARCA I.E.D. “Desarrollo Humano: Un

COLEGIO CUNDINAMARCA
I.E.D.
“Desarrollo Humano: Un
proyecto de vida”
DATE:
ÁREA: MATEMATICAS
TEACHER: RONALD D. ROZO C.
STUDENT:
GRADE:
NOTE:
Propiedades de la suma
1. Interna: a + b
Los términos a y b se llaman factores y el
resultado, c, producto.
Propiedades de la multiplicación
2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5+5=2+8
1. Interna: a · b
2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)
10 = 10
6 · 5 = 2 · 15
3. Conmutativa: a + b = b + a
NÚMEROS NATURALES
El conjunto de los números naturales está
formado por: N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Con los números naturales contamos los
elementos de un conjunto (número cardinal). O
bien expresamos la posición u orden que ocupa
un elemento en un conjunto (ordinal).
Los números naturales están ordenados, lo que
nos permite comparar dos números naturales:
5 > 3; 5 es mayor que 3.
3 < 5; 3 es menor que 5.
Los números naturales son ilimitados, si a un
número natural le sumamos 1, obtenemos otro
número natural.
30 = 30
2+5=5+2
7=7
3. Conmutativa: a · b = b · a
2·5=5·2
4. Elemento neutro: a + 0 = a
10 = 10
3+0=3
4. Elemento neutro: a · 1 = a
3·1=3
RESTA DE NÚMEROS NATURALES
a-b=c
5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
Los términos que intervienen en una resta se
llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al
resultado, c, lo llamamos diferencia.
Propiedades de la resta
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)
1. No es una operación interna: 2 − 5
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
2. No es Conmutativa : 5 − 2 ≠ 2 − 5
6 + 10 = 2 · 8
SUMA DE NÚMEROS NATURALES
a+b=c
Los términos de la suma, a y b, se llaman
sumandos y el resultado, c, suma.
16 = 16
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
a·b=c
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES
D/d=c
Los términos que intervienen en un división se
llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c,
lo llamamos cociente.
Propiedades de la división
Exponente
5. (34)4 = 316
El exponente de una potencia indica
el número de veces que multiplicamos la
la base, en el ejemplo es el 4.
6. [(53)4]2 = (512)2 = 524
1.División exacta
8. (93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
9. 25 · 24 · 2 = 210
1. a0 = 1
15 = 5 · 3
10. 27 / 26 = 2
1
2. a = a
3. Producto de potencias con la misma base:
2. División entera
7. (82)3 = [( 23)2]3 = (26)3 = 218
am · a n = a m + n
5
2
2 ·2 =2
5+2
=2
7
11. (22)4 = 28
12. (4 · 2 · 3)4 = 244
13. (25)4 = 220
4. Cociente de potencias con la misma base:
17 = 5 · 3 + 2
3. No es una operación interna: 2 / 6
4. No es Conmutativo. : 6 / 2 ≠ 2 / 6
5. Cero dividido entre cualquier número da
cero. : 0 / 5 = 0
6. No se puede dividir por 0.
POTENCIACION DE NUMEROS NATURALES
Una potencia es una forma abreviada
de escribir un producto formado por
varios factores iguales.
14. [(23 )4]0 = (212)0 = 20 = 1
m
n
m-n
5
a /a =a
2 /2 =2
5. Potencia de una potencia:
an · b n = (a · b) n
=2
3
23 · 43 = 83
7. Cociente de potencias con el mismo
exponente:
an / bn = (a : b)n
Ejercicios de potencias
4
Base
La base de una potencia es Él número
que multiplicamos por sí mismo.
En este caso el 5.
5-2
(am)n = am · n
(25)3 = 215
6. Producto de potencias con el mismo
exponente:
1 33 · 34 · 3 = 38
5·5·5·5=5
2
2 . 57 : 5 3 = 54
3 . (53)4 = 512
4
4 . (5 · 2 · 3) = 30
4
15. (272)5 = [(33)2]5 = (36)5 = 330
16. (43)2 = [(22)3]2 = (26)2 = 212
RAIZ CUADRADA
La radicación es la operación inversa a
la potenciación. Y consiste en que dados
dos
números,
llamados
radicando e índice, hallar un tercero,
llamado raíz, tal que, elevado al índice,
sea igual al radicando.
63 / 33 = 23
En
la raíz
cuadrada el índice es 2,
aunque en este caso se omite.
Consistiría en hallar un número
conocido su cuadrado.
La raíz cuadrada de
es exacta cuando
un número, a,
encontramos un
número,
b,
que elevado
al
cuadrado es igual al radicando: b 2 = a.
Raíz cuadrada exacta
La raíz cuadrada exacta tiene de resto
0.
Radicando = (Raíz exacta) 2
PRIORIDADES EN LAS OPERACIONES
Efectuamos las sumas y restas.
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis,
corchetes y llaves..
Son los números
cuadradas exactas.
1.4 Combinación de sumas, restas , productos ,
divisiones y potencias.
3º.Efectuar los productos y cocientes.
23 + 10 / 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 / 4 =
4º.Realizar las sumas y restas.
Realizamos en primer lugar las potencias por
tener mayor prioridad.
1.1 Combinación de sumas y diferencias.
que
poseen raíces
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,
121, 144, 169, ...
Raíz cuadrada entera
Si un número no es cuadrado
perfecto su raíz es entera.
Radicando = (Raíz entera) 2 + Resto
9−7+5+2−6+8−4=
Comenzando por la izquierda, vamos
efectuando las operaciones según aparecen.
1.Raíz exacta: Radicando= (Raíz)2
2
2. Raíz entera: Radicando= (Raíz) + Resto
= 8 + 10 / 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 / 4 =
Seguimos con los productos y cocientes.
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
=9−7+5+2−6+8−4=7
= 26
1.2 Combinación de sumas, restas y productos.
2. Operaciones combinadas con paréntesis
3·2−5+4·3−8+5·2=
(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 / 4) −5 + (10 −
23)=
Realizamos primero los productos por tener
mayor prioridad.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Propiedades de las raíces
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
2º.Calcular las potencias y raíces.
1. Operaciones combinadas sin paréntesis
Cuadrados perfectos
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
Realizamos en primer lugar las operaciones
contenidas en ellos.
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15
Quitamos
paréntesis
operaciones.
realizando
las
1.3 Combinación de sumas, restas, productos y
divisiones.
= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18
10 / 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 / 4 =
3. Operaciones combinadas con paréntesis y
corchetes
Realizamos los productos y cocientes en el
orden en el que los encontramos porque las dos
operaciones tienen la misma prioridad.
[15 − (23 − 10 / 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 ·
3)=
Primero operamos con las potencias, productos
y cocientes de los paréntesis.
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =
Realizamos
paréntesis.
las
sumas
y
restas
de
los
440 − [30 + 6 (19 − 12)] = 440 − (30 + 6 · 7)] =
440 − (30 + 42) =
= 440 − (72) = 368
7. 2{4[7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2=
En vez de poner corchetes
paréntesis directamente:
6. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
= 2{4[7 + 4 (15 − 9)] − 3 (40 − 8)}=
pondremos
= 2[4 (7 + 4 · 6) − 3 (32)] = 2[4 (7 + 24) − 3 (32)]=
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=
2[4 (31) − 3 (32)]= 2 (124 − 96)= 2 (28)= 56
Operamos en los corchetes. = 12 · 7 − 3 + 2
8. 7 · 3 + [ 6 + 2 · (23 / 4 + 3 · 2) – 7 · √ 4] + 9 / 3 =
Multiplicamos. = 84 − 3 + 2=
= 7 · 3 + [ 6 + 2 · (8 / 4 + 3 · 2) – 7 · 2 ] + 9 / 3 =
Restamos y sumamos. = 83
= 21 + [ 6 + 2 · (2+ 6) – 14] +3 =
Ejercicios de operaciones combinadas con
números naturales
= 21 + ( 6 + 2 · 8 – 14) +3 =
1. 27 + 3 · 5 – 16 =
27 + 3 · 5 – 16 = 27 + 15 − 16 = 26
2. 27 + 3 – 45/ 5 + 16=
27 + 3 – 45 / 5 + 16 = 37
3. (2 · 4 + 12) (6 − 4) =
(2 · 4 + 12) (6 − 4) = (8 + 12) (2) = 20 · 2 = 40
4. 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 / 4 =
3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 / 4 = 27 + 8 – 3 = 32
5. 2 + 5 · (2 ·3)³ =
2 + 5 · (2 ·3)³ = 2 + 5 · (6)³ = 2 + 5 · 216 = 2 +
1080 = 1082
= 21 + ( 6 + 16 – 14) + 3 =
= 21 + 8 + 3 = 32
EJERCICIOS DE NÚMEROS NATURALES
1 . Busca el término desconocido
siguientes operaciones:
en las
3 . 125 368
3 . 3 000 000
8 . C a l c ul a r l a s r aí c es :
6 . Escribe en forma de una sola p o t e nc i a :
1 . 327 + ....... = 1.208
3 . (53)4 =
4 . 28.035 / ....... = 623
en las
2 . (30 – ...) / 5 + 4 = 8
7 . (82)3
3 . 18 · ... + 4 · ... = 56
8 . (93)2
4 . 30 – ... / 8 = 25
9 . 25 · 24 · 2 =
3 . Calcular de dos modos distintos las
siguientes operaciones:
1 0 . 27 / 26 =
4.Sacar factor común:
1 . 7 · 5 – 3 · 5 + 16 · 5 – 5 · 4 =
2. 6 · 4 – 4 · 3 + 4 · 9 – 5 · 4 =
3 . 8 · 34 + 8 · 46 + 8 · 20 =
5 . Expresa en forma de potencias:
1 . 50 000
9 . Realiza las siguientes o p e r a c i o n e s
c o m b i n a d a s teniendo en cuenta su
prioridad:
5 . (34)4 =
6 . [(53)4 ]2 =
3 . (6 + 12) / 3
3.
4 . (5 · 2 · 3)4 =
1 . 4 · (5 + ...) = 36
2 . 6 · 59 + 4 · 59 =
2.
2 . 57 / 53 =
3 . 321 · ....... = 32 100
1 . 17 · 38 + 17 · 12 =
1.
1 . 33 · 34 · 3 =
2 . ....... – 4.121 = 626
2 . Busca el término desconocido
siguientes operaciones:
2 . 3 200
1 . 27 + 3 · 5 – 16 =
2 . 27 + 3 – 45 / 5 + 16 =
3 . (2 · 4 + 12) (6 − 4) =
4 . 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 / 4 =
5 . 2 + 5 · (2 · 3)³ =
1 1 . (22)4 =
6 . 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
1 2 . (4 · 2 · 3)4 =
7 . 2{4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
1 3 . (25)4 =
8 . 7 · 3 + [6 + 2 · (23 / 4 + 3 · 2) – 7 · √4] + 9 / 3 =
3 4 0
1 4 . [(2 ) ] =
1 5 . (272)5=
1 6 . (43)2 =
7.
Utilizando
descomposición
números:
1 . 3 257
2 . 10 256
potencias,
haz
la
p o l i n ó m i c a de estos