propiedades en r

4° AÑO
Prof. Mariana Albini
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
CONJUNTOS NUMÉRICOS: Los diferentes conjuntos numéricos han surgido, a través de la
historia, a partir de la necesidad de encontrar resultados a las operaciones aritméticas.
RECORDAMOS: Ley de cierre (o Ley de composición interna): Cuando tomamos dos números de un
conjunto numérico, realizamos con ellos una operación y el resultado pertenece al mismo conjunto
numérico, decimos que esa operación cumple la Ley de Cierre con respecto a dicho conjunto.
ℵ (naturales)
Z (enteros)
0 (cero)
Números negativos
Q (racionales)
ℜ (reales)
F (fraccionarios)
C (complejos)
I (irracionales)
i (imaginarios)
N (naturales): Los números 1, 2, 3, 4, 5,…. reciben el nombre de naturales (o enteros positivos).
Si bien comienzan en el número 1, no tienen fin ya que a cualquier número siempre se le puede sumar “1”
para obtener el siguiente.
Z (enteros): Si a los números naturales le agregamos el 0 (cero) y los opuestos de los naturales (opuesto: el
mismo número cambiado de signo), obtenemos el conjunto de los números enteros. No tienen principio ni
fin.
Q (racionales): Un número racional es el cociente entre dos números enteros (con divisor no nulo).
a
Si a y b son enteros y b ≠ 0, es racional. Al dividir a por b se obtiene la expresión decimal del n° Q.
b
Entonces los números racionales están formados por los enteros (recordar que el denominador puede ser 1 o
que las fracciones pueden ser aparentes, Ej: 3/1 = 3, 12/4 = 3), las fracciones, las expresiones decimales
finitas y las expresiones decimales periódicas (se consideran racionales pues pueden expresarse como
fracciones). No tienen principio ni fin.
I (irracionales): Los números irracionales son aquellas expresiones decimales formadas por infinitas cifras
decimales no periódicas. No pueden expresarse en forma de fracción por lo que no son racionales.
El número π (Pi) = 3,1415926535897932384..., el número e = 2.7182818284590452353602874713526…,
las raíces DE ÍNDICE PAR de números primos, son irracionales.
R (reales): Está formado por la unión de los conjuntos de los números Q e I. No tienen principio ni fin.
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y
radicando negativo y la división por cero.
i (imaginarios): Los Números Imaginarios son aquellos que nos permiten dar un resultado a las raíces de
índice par de radicandos negativos, por ej: − 5 , √−16. Este conjunto numérico se estudiará en 4to año.
Por ahora sólo nos interesa saber que los R (reales) junto con los i (imaginarios) forman el conjunto de los
C (complejos). Durante 3° año, cuando nos encontremos con raíces cuadradas de radicandos negativos,
simplemente indicaremos que el resultado no pertenece al conjunto de los Reales → ∉ R.
La suma es cerrada en N, Z, Q y R
La resta es cerrada en Z, Q y R
La multiplicación es cerrada en N, Z, Q y R
La división es cerrada en Q y R
La potenciación es cerrada en N
Todas las operaciones (excepto la división por cero) son cerradas en C
1
4° AÑO
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C
π
R
− 5
2
i
I
Q
0,2356…..
−2
1/2
- 4/3
0,2
)
1,2
Z
−5
N
12
3
0
-1
-3
-2
Ejemplos:
NÚMERO
7
-1
2/3
-0,12
13
- 12/2
-1,27523….
)
2,34
- 3
20/4
5,22
0
−5
π −4
N
(naturales)
X
Z
(enteros)
X
X
Q
(racionales)
X
X
X
X
I
(irracionales)
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
R
(reales)
X
X
X
X
X
X
X
X
No pertenece a R
X
X
X
X
X
Clasificación de los conjuntos numéricos:
Conjunto finito: conjunto que consta de cierto número de elementos distintos cuyo proceso de conteo
tiene límite.
Conjunto infinito: conjunto que consta de un número indeterminado de elementos distintos.
Todos los conjuntos numéricos son infinitos.
Conjunto discreto: un conjunto discreto es aquel en el cual, entre cada uno de los elementos consecutivos
del conjunto no puede haber otro elemento. N y Z son conjuntos discretos.
Conjunto denso: un conjunto denso es aquel en el cual, entre cada uno de los elementos consecutivos del
conjunto hay infinitos elementos. Q, R y C son conjuntos densos.
2
4° AÑO
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REPASAREMOS ALGUNOS CONCEPTOS Y PROPIEDADES:
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN en R
o Propiedad uniforme: si a ambos miembros de una igualdad se suma, resta, multiplica o divide un mismo
número real, la igualdad no varía.
Ejemplos:
1 2
1 1 2 1
5 5
= ⇒ + = + ⇒ =
2 4
2 3 4 3
6 6
SUMA:
MULTIPLICACIÓN:
RESTA:
DIVISIÓN:
1 2
1
2
3
3
= ⇒ ∗ 3= ∗ 3⇒
3=
3
2 4
2
4
10
10
o
1 2
1 1 2 1
1 1
= ⇒ − = − ⇒ =
2 4
2 3 4 3
6 6
1 2
1 3 2 3
5 5
= ⇒ : = : ⇒ =
2 4
2 5 4 5
6 6
Propiedad cancelativa: si en ambos miembros de una igualdad se suma, resta, multiplica o divide el
mismo nº real, éste puede cancelarse.
Ejemplos:
SUMA:
1
2 2
2
1 2
+
= +
⇒ =
2
5 4
5
2 4
RESTA:
1
2
1 2
− 3= − 3⇒ =
2
4
2 4
MULTIPLICACIÓN:
DIVISIÓN:
1 3 2 3
1 2
* = * ⇒ =
2 5 4 5
2 4
1 3 2 3
1 2
. = . ⇒ =
2 5 4 5
2 4
o Propiedad conmutativa: Conmutar implica modificar el orden de los números. Esta propiedad NO se
cumple para todas las operaciones.
SUMA:
1
1
+ 5= 5+
2
2
La suma es conmutativa en R
RESTA:
1
1
− 3≠ 3−
2
2
La resta NO es conmutativa en R
MULTIPLICACIÓN:
DIVISIÓN:
1
1
* 2 = 2*
2
2
1 3 3 1
7 6
: ≠ : ⇒ ≠
2 7 7 2
6 7
La multiplicación es conmutativa en R
La división NO es conmutativa en R
3
4° AÑO
Prof. Mariana Albini
o Propiedad asociativa: Esta propiedad establece que cuando se opera con tres o más números reales, el
resultado es siempre es el mismo independientemente de su agrupamiento. Esta propiedad NO se
cumple para todas las operaciones.
37 37
1 2 1 1  2 1
SUMA:  +  + = +  +  ⇒
=
30 30
 2 5 3 2  5 3
La suma es asociativa en R
7 13
1 2 1 1 2 1
RESTA:  −  − ≠ −  −  ⇒ −
≠
30 30
 2 5 3 2  5 3
La resta NO es asociativa en R
3
3
 1 3 2 1 3 2
MULTIPLICACIÓN:  *  * = *  *  ⇒
La multiplicación es asociativa en R
=
35 35
2 5 7 2 5 7
35 5
 1 3 2 1 3 2
DIVISIÓN:  :  : ≠ :  :  ⇒
≠
12 21
2 5 7 2 5 7
La división NO es asociativa en R
LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y la resta: la multiplicación es
distributiva con la suma y la resta tanto a derecha como a izquierda.
A LA DERECHA
Con la SUMA:
Con la resta:
5 5
1 2 5 1 5 2 5
 + . = . + . ⇒ =
6 6
2 3 7 2 7 3 7
5
5
1 2 5 1 5 2 5
=−
 − . = . − . ⇒ −
42
42
2 3 7 2 7 3 7
A LA IZQUIERDA
Con la suma:
Con la resta:
5 1
. +
7 2
5 1 2 5 1 5 2
5
5
. −  = . − . ⇒ −
=−
7 2 3 7 2 7 3
42
42
2 5 1 5 2
5 5
= . + . ⇒ =
3 7 2 7 3
6 6
También es posible aplicar la propiedad distributiva en estos casos:
5 1 10 2
11
1 2 5 1 1 5 1 1 2 5 2 1
+ − − =−
 − . +  = . + . − . − . ⇒
14 6 21 9
63
 2 3 7 3 2 7 2 3 3 7 3 3
Propiedad distributiva de la división con respecto a la suma y la resta: la división es distributiva con la
suma y la resta SÍ a derecha pero NO a izquierda.
A LA DERECHA
Con La Suma
49 49
1 2 5 1 5 2 5
=
 + : = : + : ⇒
30 30
2 3 7 2 7 3 7
Con La Resta
7
7
1 2 5 1 5 2 5
=−
 − : = : − : ⇒ −
30
30
2 3 7 2 7 3 7
A LA IZQUIERDA
Con la suma
Con la resta
5 1 2 5 1 5 2
30 5
: +  ≠ : + : ⇒
≠
7 2 3 7 2 7 3
49 2
5 1 2 5 1 5 2
30 5
: −  ≠ : − : ⇒ −
≠
7 2 3 7 2 7 3
7 14
4
4° AÑO
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POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES
LA REGLA DE LOS SIGNOS DE LA POTENCIACIÓN
2
BASE + EXPONENTE PAR → RESULTADO +
9
3
Ej:   =
4
2
BASE + EXPONENTE IMPAR → RESULTADO +
27
3
Ej:   =
8
2
BASE - EXPONENTE PAR → RESULTADO +
9
 3
Ej:  −  =
4
 2
BASE - EXPONENTE IMPAR → RESULTADO -
27
 3
Ej:  −  = −
8
 2
3
2
3
CONCLUSIONES:
El EXPONENTE PAR SIEMPRE hace que el resultado sea POSITIVO
El EXPONENTE IMPAR conserva el signo de la BASE
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE (se suman los exponentes)
2
5
3
2 2 2
2
  ⋅  ⋅  =  
3 3 3
3
2+ 5+ 3
2
= 
3
10
COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE (se restan los exponentes)
2
5
3
2 2 2
2
  :  :  =  
3 3 3
3
2 − 5 −3
2
= 
3
−6
POTENCIA DE POTENCIA (se multiplican los exponentes)
m
3
n×m
 2 n 
    =  2 
 3  
3


  2  2   2  2×3  2  6
Ej:     =   =  
 3    3 
3


PROPIEDAD ASOCIATIVA: solo con respecto a la multiplicación y división
2
2
2
2
2
2
2
1
 1 1
1 1
1
  ⋅  =  ⋅  =   =
36
 2 3
 2 3
6
2
2
9
1 1
1 1
 1 3
3
  :  =  :  =  .  =   =
4
 2 3
 2 3
 4 1
4
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: solo con respecto a la multiplicación y división
2
2
2
2
2
1 1 1
1 1
1 1
 ⋅  =   ⋅  = ⋅ =
4 9 36
 2 3
 2 3
2
1 1 1 9 9
 1 1
1 1
 :  =   :  = : = ⋅ =
4 9 4 1 4
 2 3
 2 3
5
4° AÑO
Prof. Mariana Albini
CUADRADO y CUBO DE UN BINOMIO: como la potencia NO es distributiva con respecto a la
adición y sustracción, se aplica la misma propiedad que con los números racionales:
2
2
3
3
a c c
a c 
a
 +  =   + 2⋅ ⋅ + 
b d d 
b d 
b
2
2
2
3
3
a c c
a c 
a
 −  =   − 2⋅ ⋅ +  
b d d 
b d 
b
2
2
a c c
a c 
a
a c
 +  =   + 3 ⋅   ⋅ + 3. ⋅   +  
b d  d 
b d 
b
b d
3
2
2
2
a c c
a c 
a
a c
 −  =   − 3 ⋅   ⋅ + 3. ⋅   −  
b d  d 
b d 
b
b d
3
Ejemplos:
2
2
2
1 3 3
1 3 9
1
1 3
1
1)  −  =   − 2 ⋅ ⋅ +   = − +
=
2 4 4
4 4 16 16
2 4
2
2
2
2
5
1 5 5
1
5
25
1
1 
2)  x +  =  x  + 2 ⋅ x ⋅ +   = x 2 + x +
2
3 2 2
9
3
4
3
3 
3
3
2
2
3
2 1 1
8
4 1
2 1 1 8 2 1 1 343
2 1
2
2 1
3)  +  =   + 3 ⋅   ⋅ + 3. ⋅   +   =
+ 3. . + 3. . + =
+ + + =
3 2 2
27
9 2
3 4 8 27 3 2 8 216
3 2
3
3 2
3
3
2
2
3
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1 
1  1
4)  x −  =  x  − 3 ⋅  x  ⋅ + 3. x ⋅   −   = x 3 − x 2 + x −
3
2 3  3
8
4
6
27
2
2 
2  3
EXPONENTE NEGATIVO (se invierte la base y se eleva al mismo exponente positivo)
2
1)  
3
−3
3
27
3
=  =
8
2
 1
2)  − 
 3
−2
3) (− 4 )
= (−3) = 9
2
−1
1
 1
=  −  = −4
 4
EXPONENTE FRACCIONARIO (el denominador del exponente se transforma en el índice de la raíz y
el numerador en el exponente del radicando)
Si el exponente es positivo:
n
 a m m  a 
  =  
b
b
3
n
3
 22
2
Ej:   = 2   =
3
3
2
8
27
Si el exponente es negativo:
a
 
b
•
−
n
m
n
 b m
b
=  =m 
a
a
n
2
Ej:  
3
−
3
2
3
3
 32
3
=  =2   =
2
2
2
27
8
Ejemplos:
3
 1  −4  1  5   1  4
a)  −  ⋅  −   :  −  =
 2   2    2 
3
3
 1  −4+5   1  4  1 1   1  4  1  3  1  4  1  3−4
 − 
 :  −  =  −   :  −  =  −  :  −  =  −  = −
 2  2
 2
 2    2 
 2 
  2 
2
2
( ) (y )
1

1
b)  ⋅ x −1 ⋅ y 3  =   x −1
2

2
2
3 2
=
6
4° AÑO
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4

c)  x 3 y + 4 
3

2
3
1
d)  x +  =
2
2
1
f)  
 4
−
1
2
−
16
4
 16 6 2 16 3
⋅  x3 y − 4 =
x y − x y + x 3 y − 16 =
3
3
3
 9
1 2 3
9
x + x+
4
2
4
3
1 1 
e)  − x  =
3 2 
1 1
1
1
− x + x2 − x3
27 9
6
8
1
= 42 = 4 = ± 2
PROPIEDADES UTILIZADAS:
a) Potencia de potencia, suma y diferencia de potencias de igual base
b) Distributiva de la potencia con respecto al producto y potencia de potencia
c) Distributiva doble del producto con respecto a la suma y la resta, potencia de potencia, cancelativa,
producto de potencias de igual base
d) Cuadrado de un binomio
e) Cubo de un binomio
f) Exponente fraccionario y negativo
RADICACIÓN DE FRACCIONES. DEFINICIÓN.
REGLA DE LOS SIGNOS DE LA RADICACIÓN
RADICANDO + INDICE PAR → RESULTADO + y -
Ej:
RADICANDO + INDICE IMPAR → RESULTADO +
Ej:
RADICANDO - INDICE IMPAR → RESULTADO -
Ej:
3
3
4
16
2
=±
81
3
8
2
=
27 3
−
64
4
=−
125
5
RADICANDO - INDICE PAR → RESULTADO NO ∈ Q
2
Ej:
2
9
9
 a
−
= no existe ningún número R tal que  −  = −
16
16
 b
CONCLUSIONES:
Si el INDICE es IMPAR el resultado conserva el signo del RADICANDO
Si el INDICE ES PAR 1) RADICANDO + DOBLE RESULTADO + y –
2) RADICANDO - NO TIENE SOLUCIÓN EN R
7
4° AÑO
Prof. Mariana Albini
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Las PROPIEDADES son las mismas que para la radicación de números racionales
RAIZ DE RAIZ
m n
a m× n a
=
b
b
16 2×2 16 4 16 4 16 2
=
=
=
=
81
81
81 4 81 3
Ej:
PROPIEDAD ASOCIATIVA (CON RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE): solo con respecto a la
multiplicación y división
n
a n c n a c
⋅
=
⋅
b
d
b d
Ej:
4 25
4 25
25 5
⋅
=
⋅
=
=
9 16
9 16
36 6
n
a n d n a d
:
=
:
b
c
b c
Ej:
4 16
4 16
4 25
25 5
:
=
:
=
⋅
=
=
9
25
9 25
9 16
36 6
PROPIEDAD ASOCIATIVA (CON RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE): solo con respecto a la
multiplicación y división
n
m
m
a n c mxn  a   c 
⋅
=   ⋅ 
b
d
b d 
m
a n c mxn  a   c 
:
=   : 
b
d
b d 
n
3
2
Ej:
1 3 2 6 1  2
⋅
=   ⋅ 
3 5
3  5 
Ej:
1 3 2 6 1  2
1 5
:
=   :   = 6   . 
3
5
3  5 
 3  2
m
3
2
3
2
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: solo con respecto a la multiplicación y división
n
a c n a n c
⋅ =
⋅
b d
n d
Ej:
9 16
⋅
=
25 4
9
16 3 4 6
⋅
= ⋅ =
25
4 5 2 5
n
a c n a n d
: =
:
b d
n
c
Ej:
9 4
:
=
25 16
9
4 3 2 3 4 6
:
= : = ⋅ =
25 16 5 4 5 2 5
EXPRESIÓN DE UNA RAÍZ COMO EXPONENTE FRACCIONARIO
1
1
a  a 2
= 
b b
2  22
= 
3 3
Ej:
3
3
3
a
 a 2
  = 
b
b
Ej:
3
2
 22
  = 
3
3
SIMPLIFICACIÓN DE ÍNDICE Y EXPONENTE
4
Si el índice y el exponente son pares:
4
a
a
=
  =
b
b
4
Ej:
4
1 1
1
  = =
2 2
2
4
1 1
 1
−  = − =
2 2
 2
4
Si el índice y el exponente son impares:
=
=
Ej:
−
8
= −
4° AÑO
Prof. Mariana Albini
EXTRACCIÓN DE FACTORES FUERA DEL RADICAL
Con números:
28 = 4.7 = 4 . 7 = 2 7
3
81 3 81 3 3.27 3 ⋅ 3 3 3 3 3
=
= 3
= 3 =
16 3 16
2.8
2⋅ 2 2 2
Con letras:
a 5 .b 3 = a 2 .a 2 .a.b 2 .b = a 2 . a 2 . a . b 2 . b = a.a. a .b. b = a 2 .b. a.b
Método práctico:
Para la a:
5 2
queda 1
1
2
salen 2
Para la b:
3
2
queda 1
1
1
a2. a
sale 1
b. b
a 2 b. a.b
INTRODUCCIÓN DE FACTORES DENTRO DE UN RADICAL
Esta operación es la inversa de la extracción de factores fuera del radical. Para introducir factores dentro del
radical; se eleva los factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice de
la raíz, está cantidad se escribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical si lo hubiera, y
finalmente se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical.
Ejemplos:
2
1 2
2 1
2 1
.
. =
= . .  =
3 3
3 3
3 9
13
. 8 =
2
5 a2
4
2
27
3
3
a =
1
1
8.  = = 8. = 1 = 1
8
2
4
( )
a.5 4. a 2
4
= 4 a.625.a 8 = 4 625.a 9
9