Teoría básica de aplicaciones.

APLICACIONES DE LAS ED DE
PRIMER ORDEN
CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICIÓN.
desintegración radioactiva, crecimiento poblacional, ley de
absorción.
DILUCIONES
FISICAS
• Existe en el mundo que nos rodea, cantidades
cuya rapidez de crecimiento o decrecimiento
varia en forma proporcional con la misma
cantidad.
• Su modelo matemático corresponde con:
 dx
  k ( x  c)
 dt
 x(t0 )  x0
Desintegración radioactiva
• Si Q es la cantidad de material radioactivo en el
instante t, entonces
dq
  kq
dt
• Donde 𝑘
representa la constante de
desintegración y se llamará tiempo de vida medio
al necesario para que una cantidad q0 se
q
trasforme en 0
2
Ley de enfriamiento de Newton
• Un cuerpo a una temperatura T y inmerso en
un medio de tamaño infinito y a una
temperatura constante Tm ( no varia
considerablemente en el tiempo) , el
enfriamiento de este cuerpo se comporta de
acuerdo a la ley:
dT
  k T  Tm 
dt
Ley de absorción de Lambert
• La tasa de absorción de la luz con respecto a
una profundidad 𝑥 de un material traslucido
es proporcional a la intensidad de la luz a una
profundidad 𝑥.
dI
  kx
dx
CRECIMIENTO DE POBLACIONES
• La razón de crecimiento depende de la
población presente,
• Si 𝑃(𝑡) es la población en un instante de
tiempo en un periodo corto entonces:
dP
 kP
dt
PROBLEMAS DE DILUCIÓN
• Una solución es una mezcla de un soluto, que
puede ser solido, liquido o gaseoso en un
solvente liquido o gaseoso.
• La soluciones pueden ser liquidas si disuelve
un solido o un liquido en un liquido o gaseosas
si se disuelve un gas en un gas.
• Tasa de acumulación = tasa de entrada –tasa
de salida
Ejemplo
Una barra de metal esta a una temperatura de
100
constante
elFlugar es un cuarto a una
temperatura constate de 0F . Si después de 20
minutos la temperatura de la barra es de 50F
hallar: a) el tiempo que tarda la barra en llegar a
una temperatura de 25F b) Temperatura de la
barra después de 10 minutos.
Ejemplo
• Un tanque de 100 Gl de capacidad esta
inicialmente lleno de agua. Agua pura entra al
Gl
tanque a una tasa de 1 min y al mismo tiempo
una salmuera que contienen 1 de libra de sal
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por galón fluye dentro del tanque a una tasa
Gl
de 1 min
La mezcla perfecta sale del tanque a
Gl
una tasa de 2 min
Hallar la cantidad de sal en el
tanque.
Ejemplo
• Un tanque con la suficiente capacidad
inicialmente tiene 100 Gl de agua. Agua pura
Gl
entra al tanque a una tasa de 2 min y al mismo
tiempo una salmuera que contienen de libra
de sal por galón fluye dentro del tanque a una
Gl
tasa de 3 min
La mezcla perfecta sale del
Gl
tanque a una tasa de 1 min
Hallar la cantidad de
sal en el tanque.
Ejemplo
• Un cuerpo se sumerge en un medio donde se
observa que la temperatura del medio y la del
cuerpo tienen una relación lineal y la
temperatura del medio no permanece constante.
La temperatura del cuerpo 𝑇 depende de la
temperatura del medio 𝑇𝑚 , se observa que
cuando el cuerpo está a 0 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 el medio está
a 65 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 y cuando el medio está a
20 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 el cuerpo está a 64 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠, se sabe
que el cuerpo en 𝑡 = 0 está a 300 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠.
Hallar una expresión que mida la temperatura del
cuerpo en cualquier instante 𝑡.
Ejemplo
• Un cuerpo pesa 40 kgf y se lanza desde una
m
altura de 50 m con una rapidez de 2
. Si la
s
resistencia del aire es proporcional a la rapidez
de descenso del cuerpo. Se sabe que la
m
rapidez límite es de 60 .
s
• Encontrar la expresión de la rapidez del
cuerpo en cualquier instante de tiempo.
• La expresión para la posición del cuerpo en el
tiempo 𝑡.