Solucionario Congruencia de triángulos

SOLUCIONARIO
SGUICEG027MT22-A16V1
Congruencia de triángulos
1
TABLA DE CORRECCIÓN
GUÍA PRÁCTICA
CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
Ítem Alternativa
Habilidad
1
D
Comprensión
2
C
ASE
3
C
ASE
4
E
Comprensión
5
E
Comprensión
6
E
Comprensión
7
E
ASE
8
B
ASE
9
A
Aplicación
10
B
ASE
11
E
ASE
12
D
ASE
13
C
ASE
14
A
Aplicación
15
C
Aplicación
16
E
ASE
17
C
ASE
18
B
ASE
19
A
ASE
20
B
ASE
21
C
ASE
22
E
ASE
23
A
ASE
24
B
ASE
25
D
ASE
2
1. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Comprensión
Analizando cada alternativa:
La alternativa A no es siempre verdadera, ya que los triángulos tienen solo un ángulo y un
lado congruentes.
La alternativa B no es siempre verdadera, ya que los triángulos tienen solo un ángulo y un
lado congruentes.
La alternativa C no es siempre verdadera, ya que los triángulos tienen dos ángulos
congruentes (y el tercero también), pero no se indica información acerca de los lados (solo
podría establecerse que son semejantes).
La alternativa D es siempre verdadera, ya que pueden darse dos situaciones: Si son los
catetos respectivamente congruentes, como el ángulo entre ellos es recto en ambos
triángulos, entonces se puede aplicar el criterio LAL. Por otro lado, si es un cateto y la
hipotenusa respectivamente congruentes, como el ángulo opuesto al mayor de ellos (la
hipotenusa) es recto en ambos triángulos, entonces se puede aplicar el criterio LLA.
La alternativa E no es siempre verdadera, ya que los triángulos tienen solo un ángulo
congruente.
Por lo tanto, la alternativa D es siempre verdadera.
2. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
P
En la figura, se esquematizan los ángulos interiores del
triángulo PQS. Recordar que los segmentos MN, NR y
MR son medianas del triángulo PQS, por lo que lo
dividen en cuatro triángulos congruentes. Como el
segmento PR es perpendicular al segmento QS, se tiene
que (α + β) = 90°. Luego:
β β
M α
α
2β
α
α
N
2β
β β
α
Q
α
α
R
α
S
3
I)
Verdadera, ya que los tres lados son respectivamente congruentes y el orden de los
vértices se corresponden en ambos triángulos (orden de ángulos para ambos triángulos
es α – α – 2β).
II) Falsa, ya que el orden de los vértices en el segundo triángulo no se corresponde con el
orden en el primer triángulo (orden de ángulos para ∆MPR es 2α – β – β, en tanto para
∆RNP es
β – 2α – β). Para que fuera correcta debería decir  MPR   NPR o
 MPR   NRP.
III) Verdadera, ya que los tres lados son respectivamente congruentes y el orden de los
vértices se corresponden en ambos triángulos (orden de ángulos para ambos triángulos
es β – 90° – α).
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
3. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como Δ DEF es isósceles en D, entonces FD  DE . Dado que EH  HF , FD  DE y
DH es un lado común, entonces Δ DHF  Δ DHE. Como DH cae sobre el punto medio de
EF y parte desde el ángulo ubicado en el vértice D, entonces también es altura de Δ DEF.
La medida de los segmentos y de los ángulos se esquematiza en la figura adjunta, luego:
F
α
H
β
β
α
D
I)
E
Verdadera, ya que son ángulos que se encuentran frente a lados homólogos en
triángulos congruentes.
II) Verdadera, ya que  FHD y  DHE son ángulos que se encuentran frente a lados
homólogos en triángulos congruentes, luego son congruentes. Como además son
adyacentes, entonces cada uno de ellos mide 90º.
4
III) Falsa, ya que solo se cumpliría si el Δ DEF fuera triángulo rectángulo en D, lo que no
se menciona ni en el enunciado ni en la figura.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
4. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Comprensión
Como el triángulo ABC es isósceles en C, entonces AC  BC , lo que implica que el
triángulo ABC tiene un eje de simetría que pasa por el vértice C y por el punto medio del
lado AB . Entonces, los elementos secundarios relacionados con ese vértice y con ese lado
coinciden en un mismo segmento. Esta condición no se cumple para los otros lados y los
otros vértices del triángulo. Luego:
I)
Falsa, ya que si los lados AB y CB no son iguales, entonces los triángulos ABD y
CBD no son congruentes.
II)
Falsa, ya que no existen datos para determinar si los triángulos son isósceles.
III)
Falsa, ya que si los lados AB y CB no son iguales, entonces la bisectriz no coincide
con la altura.
Por lo tanto, ninguna de las proposiciones es siempre verdadera.
5. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Comprensión
En un rectángulo, las diagonales forman 2 pares de triángulos isósceles congruentes entre
sí. Luego:
I)
Verdadera, ya que  AED   BEC
II)
Verdadera, ya que  DEC   AEB
III)
Verdadera, ya que  CAD   ACB
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
5
6. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Comprensión
Considerando que en el rombo las diagonales son perpendiculares entre sí y bisectrices de
los ángulos, siendo además los ángulos opuestos iguales, entonces se forman 4 triángulos
rectángulos congruentes. Luego:
I)
Verdadera, ya que los vértices están en el orden es el correcto.
II)
Verdadera, ya que los vértices están en el orden es el correcto.
III)
Verdadera, ya que las diagonales son perpendiculares.
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
7. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como  ADE   EDC,  DEA   CED y el segmento DE es un lado en común,
entonces por el criterio ALA se cumple que  DEC   DEA. Luego, DC  DA .
Como  ADE   EDC, DC  DA y el segmento DB es un lado en común, entonces por
el criterio LAL se cumple que  DBC   DBA.
Por lo tanto, la alternativa que es siempre verdadera es la E.
6
8. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como  EBA   DCE, entonces AB = EC = 5, EA = ED = 6 y EB = DC = 8, además de
 AEB   EDC,  BAE   CED y  EBA =  DCE = . Luego:
I)
Falsa, ya que CB = EB – EC = 8 – 5 = 3.
II) Falsa, ya que solo ocurriría si  AEB fuera congruente con  DCE, lo que no
necesariamente se cumple.
III) Verdadera, ya que  AEB +  BAE +  EBA = 180°   AEB +  CED +  = 180°
  AED = 180° – 
Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.
9. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Por suma de ángulos interiores, se puede determinar en el triángulo del enunciado que el
ángulo entre m y b mide 80º. Además, por la desigualdad los ángulos opuestos, se cumple
que b < m < p.
Existen cuatro criterios de congruencia: LLL, ALA, LAL y LLA. Luego:
A) Se puede aplicar el criterio LLA, ya que tienen dos lados congruentes y el ángulo
opuesto al mayor de ellos es congruente.
B) NO se puede aplicar el criterio ALA, ya que el lado entre 60º y 80º debería medir b.
C) NO se puede aplicar el criterio LAL, ya que el ángulo entre m y p debería medir 40º.
D) NO se puede aplicar el criterio LAL, ya que el ángulo entre b y p debería medir 60º.
E) NO se puede aplicar criterio de congruencia, ya que el ángulo frente a b debería medir
40º.
Por lo tanto, el triángulo que es siempre congruente con el de la figura, se encuentra en la
alternativa A.
7
10. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
En un hexágono regular, todos sus lados y sus ángulos interiores son congruentes. Además,
las tres diagonales que pasan por el centro son congruentes entre sí, y las seis diagonales
que no pasan por el centro son congruentes entre sí. Luego, analizando cada una de las
alternativas:
Alternativa A: Δ AFE  Δ CBA
Verdadera, ya que AF  EF  AB  BC pues corresponden a lados del hexágono, y
 AFE   CBA pues corresponden a ángulos interiores del hexágono. Entonces, por el
criterio LAL, los triángulos son congruentes.
Alternativa B: Δ PAC  Δ ABE
Falsa, ya que si bien los tres ángulos son congruentes, los lados respectivos no lo son (por
ejemplo, el lado AC corresponde a la hipotenusa en el Δ PAC, y es distinto al lado EB que
corresponde a la hipotenusa en el Δ ABE). Entonces, los triángulos no son congruentes.
Alternativa C: Δ ABR  Δ CBR
Verdadera, ya que AR  CR pues R es punto medio de AC , AB  BC pues corresponden
a lados del hexágono y el lado BR es común. Entonces, por el criterio LLL, los triángulos
son congruentes.
Alternativa D: Δ FPE  Δ QPE
Verdadera, ya que el triángulo FQE es equilátero y P es punto medio de FQ . Entonces EP
divide al triángulo FQE en dos triángulos congruentes.
Alternativa E: Δ APF  Δ CRQ
Verdadera, ya que ambos son “mitades” de triángulos equiláteros congruentes
(Δ FQA  Δ QBC). Entonces los triángulos son congruentes.
Por lo tanto, solo es falsa la congruencia Δ PAC  Δ ABE, alternativa B.
8
11. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Como
ABCD
Geometría de proporción
ASE
rectángulo,
DP  PQ  QR  RC
D
y
│
P
AR  BP , entonces Δ ADP  Δ AQP  Δ BQR  Δ BCR,
por el criterio LLA.
R
C
│
Q
Entonces, AD  AQ  BQ  BC . Luego:
B
A
I)
Falsa, ya que si bien los triángulos son congruentes, el orden en que se mencionan los
vértices no corresponde.
II) Verdadera, ya que  ADR =  AQB = 90º y AD  AQ . Además, como  PQR es
isósceles rectángulo, entonces  DRA =  RAD =  BAR = 45º. Luego, por el criterio
ALA, los triángulos son congruentes.
III) Verdadera, ya que PQ  RC , AD  AQ  BC y  PQA =  RCB = 90º. Luego, por
el criterio LAL, los triángulos son congruentes.
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
12. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como Δ ABD  Δ CDB y el triángulo ABD es
isósceles en B, entonces el triángulo BDC es
isósceles en D. Luego, se pueden establecer las
siguientes congruencias de lados y de ángulos:
D

C

x
y
y
 

A
I)
x

x
B
Falsa, ya que según las relaciones indicadas en el dibujo, el perímetro de cada triángulo
(2 x  2 y )
es (2x + y), en cambio la mitad del perímetro del cuadrilátero es
= (x + y).
2
9
II) Verdadera, ya que ADB  CBD  AD // BC y DBA  BDC  AB // DC .
Entonces, como el cuadrilátero ABCD tiene las dos parejas de lados opuestos paralelos,
es un paralelógramo.
III) Verdadera, ya que ADB  CBD por la congruencia, y  BAD   ADB por ser el
triángulo ABD isósceles. Entonces  BAD   CBD.
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
13. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como PTS y QTR son dos triángulos rectángulos isósceles en T, congruentes entre sí, y
STR es un triángulo equilátero, entonces  TPS =  PST =  RQT =  TRQ = 45°,
 STP =  QTR = 90° y  TSR =  RTS =  SRT = 60°.
Entonces,  PTQ = 360° –  QTP = 360° – (90° + 90° + 60°) = 360° – 240° = 120° y
 QPT =  TQP = 30°. Luego:
I)
Falsa, ya que  PSR =  PST +  TSR = 45° + 60° = 105° y  PTQ = 120°.
II) Verdadera, ya que al dividir ambos triángulos por su eje de simetría se forman
triángulos congruentes entre sí.
III) Verdadera, ya que
3
3
3
3
·  QPS = · ( QPT +  TPS) = · (30° + 45°) = · 75° = 45° =  TPS.
5
5
5
5
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
10
14. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Si Δ QRP  Δ DFE , entonces es posible afirmar que:
 QPR   DEF
 PRQ   EFD
 RQP   FDE
Luego,  FEH = 180º – 86º = 94º
15. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de Proporción
Aplicación
Si ABC  DEF , entonces AB = DE.
Aplicando teorema de Pitágoras, al triangulo rectángulo FED, se tiene que un cateto vale el
triple del otro, luego el valor de la hipotenusa es 15 10 , entonces EF = 15 10 .
16. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de Proporción.
ASE
Como  FGJ   JHI, entonces FG  FJ  JH  JI y JG = HI =
JG = JH + HG
2  JH = JH + 1
(Reemplazando)
(Despejando JH )
2  JH – JH = 1
JH ·


2 1 = 1
JH =
1
2 1
JH =
1
2 1

2 1 2 1
JH =
2 1
(Racionalizando)
11
2  JH . Luego:
Luego, JG = HI =
2  JH =
2


2 1  2  2
Por lo tanto, la medida de HI es 2  2 .
17. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como ABCD y PQRS son cuadrados, entonces Δ DPA  Δ AQB  Δ BRC  Δ CSD.
PA 4
 , entonces PA = 4k y AQ = 3k, con k constante de proporcionalidad.
AQ 3
Luego, BQ = PA = 4k. Dado que Δ AQB es rectángulo en Q, entonces por trío pitagórico
AB = 5k.
Como
Como el perímetro del cuadrado ABCD mide 2 cm, entonces AB =
Luego, AB = 5k =
Entonces PA =
2 1
 cm.
4 2
1
1
k=
.
2
10
4
3
3 7
4
cm y AQ =
cm  PQ =    
cm.
10
10
 10 10  10
 7  14
Por lo tanto, el perímetro del cuadrado PQRS mide  4   
cm.
 10  5
12
18. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como el triángulo ABE es isósceles en E, entonces AE  EB . Además,  ABE   DBC,
por lo cual AB  DB , BE  BC y AE  DC .
Luego, nombrando a AE = EB = DC = CB = p y AB = DB = m.
Entonces, DE = (DB – EB) = (m – p), y los perímetros quedan representados por:
Perímetro  DBC = DB + DC + CB = m + p + p = m + 2p = 18 cm
Perímetro ABCDE = AB + AE + DE + DC + CB = m + p + (m – p) + p + p = 2m + 2p = 26 cm
Esto significa que el perímetro del polígono es m cm mayor que el perímetro de cada
triángulo. Como la diferencia entre ambos perímetros es (26 – 18) = 8 cm, entonces
m = 8cm. Reemplazando en cualquiera de las dos expresiones, por ejemplo en el perímetro
del triángulo, es posible determinar que (8 + 2p) = 18  2p = (18 – 8) = 10  p = 5 cm.
Por lo tanto, el segmento DE mide (8 – 5) = 3 cm.
19. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como  EFI   HFG, entonces  IFE   GFH, y dado que EG es un segmento recto,
entonces  IFE =  GFH = 90º. Luego,  EFI y  HFG cumplen con la relación métrica
30º/60º/90º.
Es decir, si EI = HG = a, entonces EF = HF =
a
a 3
y FI = FG =
. Luego, la razón
2
2
a 3 a

IH
FI  HF
2

 2
pedida se puede plantear
EG EF  FG a a 3

2
2
Por lo tanto, al amplificar por
2
IH
3 1
3 1


, queda
.
a
EG 1  3
3 1
13
20. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como  MNQ   NMP y MQ  QN , entonces MP = QN = 3 y MQ = PN = 4 (por trío
pitagórico). Además, MR  RN y PR  RQ .
Sea MR = RN = a y PR = RQ = b, entonces (a + b) = 4. Además, aplicando Teorema de
Pitágoras en el  RQN, se cumple que (3² + b²) = a².
Resolviendo el sistema planteado resulta:
(3² + b²) = a²  a² – b² = 9  (a – b)(a + b) = 9  (a – b) =
Luego, (a + b) + (a – b) = 4 +
9
9

( a  b) 4
9
25
25
 2a =
 a=
4
4
8
Por lo tanto, el valor del segmento MR es
25
.
8
21. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como  PQR   TQS, y ambos son isósceles rectángulos, entonces PQ = TQ = 1 cm y PR
= RQ = TS = SQ =
2
cm. Luego, TR = (TQ – RQ) =
2

2
1 
 cm. Dado que PRTU es un


2


rectángulo, entonces UP  TR y UT  PR .
Por lo tanto, el perímetro del rectángulo PRTU mide
 2
2
2
2
 = 2 cm.
(PR + UP + UT + TR) = 
1

1

2
2
2
2


Por lo tanto, el perímetro del rectángulo PRTU mide 2 cm.
14
22. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como ABCD es un cuadrado de lado 2, entonces su diagonal AC vale 2 2 . Por otro lado,
dado que DPC es un triángulo isósceles en C, entonces DC = PC = 2.
Luego, QC = (AC – AQ) = ( 2 2 – 2).
Dado que  DCP   BAQ, entonces AQ  PC y AP  QC .
Luego, PQ = (PC – QC) = (2 – ( 2 2 – 2)) = (2 – 2 2 + 2) = (4 – 2 2 )
Por lo tanto, el valor de PQ es (4 – 2 2 ).
23. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
T
Sean  y  ángulos interiores del  MNT, isósceles en T, y

considerando que  MNT   NSR y MN // RS , resulta:
Por la suma de ángulos interiores en el  MNT   + 2 = 180º (1)
Por paralelismo,  SRT   NMT  2 =  (2)
Reemplazando (2) en (1)   + 2·2 = 180º  5 = 180º   =
180º
= 36º
5
Entonces, según (2),  = 2 · 36º = 72º
Según la figura, el ángulo RMN es adyacente con el ángulo NMT ().
Por lo tanto, el ángulo RMN mide (180º – ) = (180º – 72º) = 108º.
15
M
R




 N

S
24. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
(1) Tienen sus tres ángulos respectivamente congruentes. Con esta información, no es
posible determinar si los triángulos son congruentes, ya que solo se puede determinar
que los triángulos son semejantes.
(2) Tienen sus tres lados respectivamente congruentes. Con esta información, sí es posible
determinar si los triángulos son congruentes, ya que corresponde a la definición del
criterio LLL.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
25. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
(1)
Geometría de proporción
ASE
AD // CB y AD  CB . Con esta información, es posible determinar que
 ADC   BCD, ya que si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos e iguales es
un paralelógramo, y en todo paralelógramo una diagonal lo divide en dos triángulos
congruentes.
(2) AC // DB y AC  DB . Con esta información, es posible determinar que
 ADC   BCD, ya que si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos e iguales es
un paralelógramo, y en todo paralelógramo una diagonal lo divide en dos triángulos
congruentes.
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.
16