Ejercicios resueltos de microeconomía

Los siguientes, son unos ejercicios resueltos de microeconomia, sobre los modelos de duopolios de Bertran y Cournot, ademas de modelos tipo Stackelberg1
Exercise 1 Dos …rmas producen productos homogeneos. Supongamos que P
es el precio del producto. El nivel de produccion de la empresa 1 es denotado
por q1 y el de la empresa 2 por q2 :La producción agregada de la industria es
denotada por Q, Q = q1 + q2 la curva de demanda inversa agregada viene dada
por p =
Q: El costo unitario para la …ma 1 es c1 y el de la …rma 2 es c2
donde > c2 > c1 > 0
a) Si se encuentran en una estructura de mercado competitivo
(sin hacer uso de su poder de mercado)
El problema para la …rma i seria:
max i (qi ) = pqi ci qi = (p ci ) qi
por lo8que
0
si p<ci
<
qi 2 [0; 1) si p=ci
qi =
:
1
si p>ci
y la oferta
agregada
8
0
si p<c1
<
q1 2 [0; 1) si p=c1
Q=
:
1
si p>c1
los exesos
de
demanda
serian:
8
c1 +
si p<c1
<
Z 2 [ 1;
c1 + ) si p=c1
Z=
:
1
si p>c1
ahora el unico precio que genera un equilibrio de mercado es p=c1 con
Q=q1 =
c1 , q2 = 0 y 1 = 2 = 0
b)Competencia a la Cournot
el problema para la …rma i (i=1,2) seria
qi qj ) qi ci qi
i =(
0
=
c
2qi qj = 0 !
ci = 2qi + qj
i
i
remplazando para i=j j=i se obtendria la otra ecuacion de reaccion, para
luego multimplicando alguna por 2 y restarle la otra despejar el equilibrio de
Nasch-Cournot
c1 = 2q1 + q2 ! 2 (
ci ) = 4qi + 2qj
cj = qi + 2qj
2(
ci ) (
cj ) = 3qi
por lo que:
2(
ci ) (
cj )
qi =
3
Ahora
2 c1 )
q1 = 2( c1 )3 ( c2 ) = ( c1 )+(c
3
q2 = 2( c2 )3 ( c1 ) ) = ( c2 ) 3(c2 c1 ) si (
c2 ) > (c2 c1 ) ;
q2 =0 en otro caso
1 [email protected]
1
(
(
c2 ) (c2 c1 )
(
c1 )+(c2 c1 )
2
c1 c2
=
= +c31 +c2
P =
3
3
3
c)Competencia a la Stackelberg, …rma 1 lider
resolviendo para atras, la funcion de mejor respuesta para la …rma 2 seria:
c2 = 2q2 + q1 ! q2 (q1 ) = a c22 q1
remplazando en la funcion de beneicio de 1
q1 + c2 2c1 ) q1
q1 a c22 q1 q1 c1 q1 = 12 (
1 =
(
c1 )+(c2 c1 )
1
0
2q1 + c2 2c1 ) = 0 ! q1 =
1 = 2 (
2
q2 = a c22 q1 = 2(a c2 ) ( 4 c1 ) (c2 c1 ) = ( c2 ) 42(c2 c1 )
(
c2 ) 2(c2 c1 )
si + 2c1 > 3c2
4
! q2 =
0
si + 2c1 3c2
(
c2 ) 2(c2 c1 )
(
c2 ) 2(c2 c1 )
(
c1 )+(c2 c1 )
c2 +2c1
=
=
p =
2
4
2
4
c2 )+6c1 2c2
4(
(
c2 )+2c1 2(c2 2c1 )
2
p=
(
c2 )+2c1
2
si
si
+ 2c1 > 3c2
+ 2c1 3c2
d)Competencia a la Stackelberg, …rma 2 lider
resolviendo para atras, la funcion de mejor respuesta para la …rma 2 seria:
c1 = 2q1 + q2 ! q1 (q2 ) = a c21 q2
remplazando en la funcion de beneicio de 1
q2 a c21 q2 q2 c2 q2 = 12 (
q2 + c1 2c2 ) q2
2 =
(
c2 ) (c2 c1 )
1
0
2q2 + c1 2c2 ) = 0 ! q2 =
2 = 2 (
2
(
c2 ) (c2 c1 )
si
+
c
>
2c
1
2
2
q2 =
0
si + c1 2c2
2 c1 )
q1 = a c21 q2 = 2(a c1 ) ( 4 c2 )+(c2 c1 ) = ( c1 )+2(c
4
(
c1 )+2(c2 c1 )
si + c1 > 2c2
4
! q1 =
a c1
si + c1 2c2
2
(
c2 ) (c2 c1 )
(
c1 )+2(c2 c1 )
+2c2 c1
+c1 2c2 +2c1
1
=4
= a+c
p=
2
4
4
2
La diferencia de tecnologias puede compenzar la debilidad en el mercado de
la …rma seguidora frente a una …rma lider cuando la …rma seguidora cuenta con
unos menores costes de produccion, llegando incluso a quedarse con el mercado
de forma monopolica si la diferencia es lo su…cientemente grande.
e) Bertrand
dado que tienen distintos costes de producion la …rma 1 reducira sus precios
hasta una in…nitidecima unidad por debajo del precio de la …rma 2 quedandoce
con todo el mercado
p = c2
donde !+ 0
Q = q1 =
c2 + ; q2 = 0
2
Exercise 2 Industria con N …rmas con productos homogéneos. Suponiendo qi
como el nivel de produccion
de la …rma i para i =1,2....N, con un nivel qagregado
PN
de produccion Q= i=i qi con una curva de demanda dada por P = 100 Q; y
la funcion de costos de producción de…nida por
F + qi2 qi > 0
0
qi = 0
a)Bajo una estructura de mercado Counot y N pequeño (por lo que
Entonces el problema para la …rma i,seria
Q) qi
F + qi2
i = (100
0
Q qi 2qi = 0 ! 100 Q = 3qi ! qi = 1003 Q
i = 100
N
N
P 100 Q
P
qi =
! Q = N 1003 Q ! 3Q + N Q = 100N
3
TCi (qi ) =
> 0)
i=1
i=1
100
100N
3+N
Q = 100N
=
3+N ! qi =
3
100N
300
P = 100 3+N = 3+N
300+100N 100N
3(3+N )
=
100
3+N
b) Si a las empresas se les permite entrar y salir de la industria el numero
de …rmas en equilibrio seria:aquel que hace que el bene…co de cada una de
ellas sea igual a cero
F + qi 2 = 0
i = p (qi ) qi
qi ) qi F = 0
i = (p (qi )
i
!
=
300
3+N
200
3+N
20000
F
N =
100
3+N
100
3+N
=
2
100
3+N
20000
(3+N )2
= (3 + N ) !
p
100 2F
F
3
q
F =0
=F
20000
F
3=N
3
Exercise 3 Siendo la funcion de demanda P=100-0.5(q1 + q2 ) y las funciones
de costos CT1 = 5q1 CT = 0:5q22
a) El equilibrio de Cournot seria:
EL problema para la …rma 1 seria
M ax
0:5 (q1 + q2 )) q1 5q1
1 = (100
0
0:5q2 q1 = 0 ! q1 = 95 0:5q2
1 = 95
EL problema para la …rma 2 seria
M ax
0:5 (q1 + q2 )) q2 0:5q22
2 = (100
0
0:5q1 q2 q2 = 0
2 = 100
q2 = 100 20:5q1
! q1 = 95 0:5 100 20:5q1 ! 4q1 = 380 100 + 0:5q1 , Solution is: 80:0
! q1 = 80
80
q2 = 100 0:5
= 30
2
0:5 (80 + 30)) 80 5 80 = 3200
1 = (100
0:5 (80 + 30)) 30 0:5 302 = 900
2 = (100
b)si las …rmas se unieran en una Coolucion
= (100 0:5 (q1 + q2 )) (q1 + q2 ) 5q1 0:5q22
0
(q1 + q2 ) + 95 = 0 ! q1 + q2 = 95
1 =
0
(q1 + q2 ) + 100 q2 = 0 ! q1 + 2q2 = 100
2 =
q2 = 100 95 = 5 y q1 = 90
p = 100 0:5 (90 + 5) = 52:5
c)¿Si las …rma 1 es lider y la …rma 2 seguidora?
la funcion de mejor respuesta de la …rma 2 seria
q2 (q1 ) = 1002 q1 si q1 100 o q2 =0 en otro caso
la …rma uno maximizaria
0:5 q1 + 1002 q1 q1 5q1 = 70 q41 q1
1 = 100
q1
L = 70
q1 )
4 q1 + (100
L1 = 70 0:5q1
=0
L = 100 q1 0
si =0! 70 0:5q1 = 0 ! q1 = 140 > 100 !
! > 0 ! 100 = q1 ! = 70 50 = 20
q1 = 100 ! q2¡ = 0
5 100 = 4500
1 = 50 100
4
Exercise 4 Suponga que hay mas de 2 …rmasque establecen su producion en
forma secuencial y que todas tienen unidades idénticas de costos dadaspor c, la
N
P
curva de demanda inversa es P=a-Q con a>c 0 y Q= qi
i=1
el problema para la …rma N seria:
Q) qN cqN
N = (a
a c
0
N
= a Q qN c = 0 ! qN =
el problema para la …rma N-1 seria:
PN 1
PN 1
a c
qi
i=1
=
a
q
N 1
i
i=1
2
PN
1
i=1
qi
2
qN
1
=
a c
2
cqN
1
PN
=
1
2
a c
PN 2
PN 1
= 12 a c
qN 1 = 0 ! qN 1 = a 2 c
i=1 qi
el problema
0 para la …rma N-2 seria:
PN 2
PN 2
a
PN 2
a c
qi
a c
qi
i=1
i=1
@
=
a
c
q
N 2
i
i=1
2
2
1 2
2
0
j
=
2
1 N j
2
i=1
PN
a
1
i=1
qi qN
qi
2
c
PN
2
qi
i=1
2
PN 2
c
i=1 qi qN 2
PN 3
PN 2
qi
a c
i=1
c
qN 1 = 0 ! qN 2 = 2
i=1 qi
2
la …rma j seria:
Pj
c
i=1 qi qj
Pj 1
Pj
q
a c
i=1 i
c
q
q
=
0
!
q
=
j
j
i=1 i
2
2
a
a
= 12
el problema para
1 N j
a
j = 2
0
N 2
qi
2
0
N 1
=
1
i=1
1
A qN
el problema para la …rma 2 seria:
1 N 2
(a c q1 q2 ) q2
2 = 2
N 2
= 21
(a c q1 2q2 ) = 0 ! q2 =
el problema para la …rma 1 seria:
1 N 1
(a c q1 ) q1
1 = 2
0
1
N 1
= 12
(a c q1 q1 ) = 0 ! q1 =
remplazando hacia adelante
a c
a c
2
q2 = a 2 c
2 = 4
0
1
a
2
q3 = a 2 c
3
q3 = (1=2) (a
qj =
a c
2
Pj
c
+ a4 c
2
=
1
2
(a
a c
2
1
2
c) 1
q1
2
a c
2
1
4
= (a
c) (1=8)
c)
1
i=1
qi
2
qj = 12 (a c) 1
haciendo j=i
qi = a2i c
=
1
2
1+
(a
1 j 1
2
=
Pj
1
i=1
c) 1
1
2
(a
c)
i
(1=2)
1 j 1
2
b)la produccion de la industria esta dada por
5
=
1
2
= (a
(a
c) 1
c)
1 j
2
1
2
j
( 12 )
1=2
1
1
Q=
N
P
qi =
i=1
c)
limN !1 (a
N
P
i=1
a c
2i
c) 1
= (a
c)
N
P
i=1
1 N
2
= (a
1 i
2
= (a
c) (1
6
c)
0) = a
1
2
N +1
( 21 )
1=2
c
= (a
c) 1
1 N
2
BONO:En una industria con comportamiento secuencial de 3 periodos, con
una demanda inversa dada por P=120-Q, y una produccion gratuita
Utilizando las formulas del punto 4
1 N
y
Q = (a c) 1
qi = a2i c
2
con:
a = 120; c = 0; N = 3
se tiene que los niveles de producion respectivos son
q1 = 12022 0 = 30
q3 = 12023 0 = 15
q1 = 1202 0 = 60;
1
1
P = 120 1
1 23 = 120 8 = 15
7