Plan de estudios

Habilitación de Matemáticas BLOQUE I. NÚMEROS Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1.1. NÚMEROS
1.1.1.
Números naturales. Concepto. Necesidad. Axiomas de Peano. Principio de
inducción. Operaciones binarias: Suma, producto. Teorema de división
euclidea. Propiedad de buena ordenación y propiedad arquimediana. Orden en
N.
1.1.2.
Números enteros. Concepto y operaciones. Propiedades. Divisibilidad.
Teorema de división euclidea. Números primos. Congruencias. Criterios de
divisibilidad. El pequeño teorema de Fermat.
1.1.3.
Los números racionales. Propiedades. Operaciones y orden. Concepto de
sucesión. Cotas, supremos e ínfimos. Límite y convergencia. Progresiones
aritméticas y geométricas.
1.1.4.
Los números reales. Definiciones alternativas. Sucesiones de Cauchy en R.
Teorema del supremo. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Los números
irracionales. Series, concepto, elementos y propiedades. Condiciones de
convergencia de una serie de términos positiva. Criterio de la raíz y del
cociente. Sumas telescópicas. Serie armónica. Series alternadas. Topología de
la recta real. Intervalos, semirrectas, entornos.
Bolas abiertas y cerradas.
Conjuntos abiertos y cerrados. Frontera y Adherencia. Conjuntos compactos.
1.1.5.
Los números complejos. Forma binómica y forma polar. Propiedades,
operaciones y orden. Fórmula de Moivre.
1.1.6.
Necesidad y evolución histórica del concepto de número. Sistemas
aditivos Números egipcios, romanos. Sistemas posicionales. Base de un
sistema de numeración posicional. El sistema decimal hindo-arábigo. Sistema
binario.
1.2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1.2.1.
La resolución de problemas en matemáticas. Ejercicio y problema.
Necesidad y evolución de la matemáticas a partir de la resolución de
problemas. Métodos de resolución de problemas. El Método de Polya.
Heurísticos y recursos en la resolución de problemas.
1.2.2.
Utilización de las nuevas tecnologías en el aula. Calculadora. Recursos
interactivos en la red. Programas Wiris y Geogebra.
1 Habilitación de Matemáticas MÓDULO 2. ÁLGEBRA.
2.1.
Lógica proposicional. Proposiciones simples y compuestas. Conectivos
lógicos.
Cuantificadores.
Tablas
de
verdad.
Tautologías
y
antilogías.
Demostración equivalentes. La demostración del condicional. La demostración
por reducción al absurdo. La demostración delbicondicional.
2.2.
La teoría de conjuntos. Teoría intuitiva de conjuntos. Elementos, propiedades
y operaciones básicas. Paradojas de la teoría intuitiva. Teoría axiomática de
conjuntos.
Axiomas
modernos.
Relaciones
binarias.
Relaciones
de
equivalencia y de orden. Conjunto cociente y conjuntos bien ordenados.
2.3.
Cardinalidad. Conjuntos equipotentes. Conjuntos finitos. Conjuntos infinitos.
Demostración de la infinitud de N. Teorema de diagonalización de Cantor. El
cardinal del continuo. Teorema de Cantor y consecuencias. Hipótesis del
continuo.
2.4.
Estructuras
algebraicas.
Grupos.
Definición.
Operaciones
binarias.
Subgrupos. Subgrupo normal. Grupo cociente. El teorema de Lagrange.
Teorema de isomorfía. Anillos. Definición, características y elementos. Ideales.
Anillos cociente. La identidad de Bezout.
2.5.
Polinomios. Definición, estructura y operaciones. Binomio de Newton.
Teorema de divisibilidad. Raíces de polinomios. Teorema del resto y del factor.
Teoremas acerca de las raíces de un polinomio. Polinomios irreducibles.
Factorización de polinomios. Aplicación del Teorema Fundamental del Álgebra.
2.6.
Ecuaciones algebraicas. Raíces. Ecuaciones polinómicas de grado uno, dos.
Ecuaciones incompletas y bicuadradas. Fórmulas de Cardano -Vietta. Regla de
Ruffini. Aproximación numérica de raíces. Ecuaciones diofáticas. Ternas
pitagóricas. Último teorema de Fermat.
2.7.
Matrices y determinantes. Concepto de matriz, elementos, tipos y
propiedades.
Operaciones
con
matrices.
Estructura
de
las
matrices.
Permutaciones cíclicas. Signatura de una permutación. Concepto de
determinante. Elementos, tipos y propiedades. Operaciones con determinantes.
2.8.
Sistemas de ecuaciones. Sistemas de ecuaciones lineales. Elementos, matriz
de coeficientes y matriz ampliada. Discusión y resolución de sistemas de
ecuaciones lineales. Teorema de Rouché y regla de Cràmer. Método de
Gauss. Sistemas no lineales.
2.9.
Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Concepto, Elementos y
propiedades. Subespacios vectoriales. Sistemas generadores. Sistemas
independentes. Bases de subespacios vectoriales. Dimensión de un espacio
2 Habilitación de Matemáticas vectorial. Teorema de la base. Concepto de aplicación lineal. Ecuaciones y
matriz de una aplicación lineal. Núcleo e imagen. Teoremas de isomorfía.
2.10. Diagonalización de matrices. Polinomio característico asociado a una
aplicación lineal. Autovalores y autovectores de una aplicación lineal.
Condiciones necesarias y método de diagonalización.
2.11. Problemas de programación lineal. Función objetivo. Región factible. El
método de los vértices. El Método del Simplex.
2.12. Teoría de Grafos. Concepto, tipos y características básicas de grafos. Matriz
de adyacencia. Grafos eulerianos y hamiltonianos. Mapas y grafos planos.
Diagramas en árbol. Características y propiedades. Problema de los puentes
de Koningsberg, de los cuatro colores, del sobre y del dodecaedro.
2.13. Historia y evolución del álgebra. Nacimiento del álgebra. Álgebra retórica,
sincopada, algebra simbólica. Símbolos y evolución. Evolución histórica de la
resolución de ecuaciones algebraicas. Evolución del álgebra moderna:
Matrices, determinantes, espacios vectoriales y aplicaciones lineales.
3 Habilitación de Matemáticas MÓDULO 3. FUNCIONES.
3.1.
Funciones reales de variable real. Noción de función real de variable real,
elementos y propiedades. Características básicas de las funciones reales de
variable real: Dominio e imagen, simetrías, asíntotas, monotonía y extremos
relativos y absolutos, puntos de inflexión y curvatura. Funciones elementales.
Funciones constantes, lineales, afines, cuadráticas y de proporcionalidad
inversa. Funciones a trozos. Funciones trigonométricas.
3.2.
Función exponencial y logarítmica. Definición de potencia. Base y
exponente. Propiedades de la potenciación. Función potencial y exponencial.
Definición de logaritmo. Base de un logaritmo. Propiedades de los logaritmos.
Función logarítmica.
3.3.
Funciones dadas en forma de tabla. Interpolación polinómica. Extrapolación
de datos.
3.4.
Límites de funciones reales de variable real. Definición, propiedades y
operaciones. Indeterminaciones.
3.5.
Continuidad. Definición de función continua en un punto. Tipos de
discontinuidades. Función continua. Teorema de Bolzano.
3.6.
Derivación en R. Tasa de variación media e instantánea de una función en un
intervalo o punto respectivamente. Recta tangente a una función en un punto.
Concepto de derivada de una función real de variable real en un punto.
Propiedades de las funciones derivables. Función derivada. Derivadas
sucesivas. Derivada de la función potencial, exponencial, logarítmica,
trigonométricas, funciones arco y función potencio-exponencial.
3.7.
Representación gráfica de funciones. El teorema de Taylor. Desarrollo de
una función en serie de potencias. El polinomio y la serie de Taylor. Teoremas
relacionados con el estudio local de funciones. Teorema de Rolle, teoremas del
valor medio y Regla de L'Hôpital. Cálculo de extremos relativos, puntos de
inflexión a partir de la expresión algebraica. Estudio de la monotonía y la
curvatura de funciones a partir de la expresión algebraica. Aplicación a la
representación gráfica de funciones reales de variable real.
3.8.
Integración en R. Partición de un intervalo cerrado y acotado. Definición y
propiedades de las sumas inferiores y superiores sobre particiones de
funciones continuas positivas. Integral superior e inferior de Riemann.
Definición y extensión de la integral de Riemann. Integrales impropias de
primera y segunda especie. Propiedades de la integral de Riemann. Teorema
Fundamental del Cálculo integral.
4 Habilitación de Matemáticas 3.9.
Cálculo de integrales. Antiderivación. Concepto de primitiva y antiderivación.
Integrales inmediatas. Integrales por cambio de variable, por fracciones simples
y por partes. Regla de Barrow. Cálculo de áreas entre funciones y volúmenes
de revolución.
3.10. Integración numérica. Método de los trapecios y método de Simpson.
Integrales gamma y beta. Propiedades.
3.11. Desarrollo y evolución histórica del análisis y sus propiedades. Fórmulas y
funciones. Recta tangente, pendiente y fluxiones. La controversia NewtonLeibtniz. La formalización del siglo XVIII y XIX. Lagrange y Gauss.
5 Habilitación de Matemáticas MÓDULO 4. GEOMETRÍA.
4.1.
Figuras en el plano Euclídeo. Definición del plano Euclídeo. Polígonos. Tipos
de polígonos, elementos y propiedades. Área y perímetro. Circunferencia.
Elementos
y
propiedades.
Área
del
círculo
y
longitud
de
la
circunferencia.Ángulos y rectas en la circunferencia.
4.2.
La geometría del triángulo. Tipos y propiedades. Teorema de Pitágoras.
Puntos y rectas notables del triángulo.
4.3.
Proporciones y medidas. Concepto de magnitud. Razón y proporción.
Media, tercera y cuarta proporcional. La proporción aurea. Sucesiones de
Fibonacci. El número de oro. Presencia en la naturaleza y en las
configuraciones artísticas y culturales.
4.4.
Semajanzas. Proporcionalidad de segmentos. Relación de semejanza. Figuras
semejantes. Razón. Teorema del cateto y de la altura. Teorema de Tales.
Relación entre el área o el volumen de figuras o cuerpos semejantes.
Traslación, homotecia y simetría en el plano y en el espacio.
4.5.
Razones trigonométricas. Definición de seno, coseno, tangente, cotangente,
secante y cosecante. Propiedades y cálculo. Igualdad fundamental de la
trigonometríca. Fórmulas de adición. Razones trigonométricas del ángulo doble
y mitad. Funciones arco.
4.6.
Resolución de triángulos. Resolución de triángulos rectángulos. Teorema del
seno y del coseno. Condiciones para la formación de un triángulo. Aplicaciones
a la resolución de triángulos cualesquiera.
4.7.
Movimientos.
Características y propiedades. Frisos, mosaicos y rosetas.
Teselaciones. Movimientos en el espacio. Presencia en la Naturaleza y en el
Arte.
4.8.
Poliedros. Elementos y características. Teorema de Euler.
Principales
poliedros. Prismas y pirámides. Características. Poliedros regulares y
semiregulares. Áreas laterales y volúmenes. Sólidos arquimedianos.
4.9.
Cuerpos en el espacio. Definición y propiedades. La esfera, el cilindro y el
cono. Características y propiedades. Cálculo de volúmenes y de áreas laterales
y totales. Superficies y volúmenes de revolución.
4.10. Espacio Afín. Definición y propiedades. Subespacios afines. Variedades
afines. Bases y dimensión. Coordenadas. Ecuaciones de la recta y del plano en
el espacio. Incidencia y paralelismo.
4.11. Cónicas y cuádricas. Formas bilineales.
Definición y propiedades. Matriz
asociada a una forma bilineal. Cónicas. Tipos e invariantes. Forma canónica.
Clasificación. Las cónicas como cortes de un cono con un plano. Fórmas
cuadráticas. Propiedades y clasificación de las formas cuadráticas.
6 Habilitación de Matemáticas 4.12. Geometría diferencial de curvas. Curvas regulares. Curvatura y torsión de
una curva. Triedro de Frenet.
Orientación.
Geometría diferencial de
superficies. Superficies regulares. Plano tangente. Primera y segunda forma
fundamental. Curvatura normal. Líneas de curvatura.
4.13. Geometrías no euclídeas. Quinto postulado de Euclides. Características de
las geometrías no euclideas. Teoremas sobre la suma de ángulos de
triángulos. La geometría hiperbólica. La geometría elíptica. Geometría esférica.
Triángulos esféricos.
4.14. La Geometría fractal. Dimensión. Propiedades y características. Formación a
partir de la recursividad y autosemejanza. Triángulo de Sierpinski. Conjunto de
Cantor. Copo de nieve y Conjunto de Mandelbrot. Aplicaciones a otros campos
del conocimiento.
4.15. Espacio euclideo. Elementos, características y cálculo del producto escalar.
Cálculo del ángulo entre dos rectas o entre una recta y un plano secante.
Cálculo de la distancia entre un plano y un punto exterior. Paralelismo y
ortogonalidad en el espacio. Desigualdad de Cauchy-Schwarz y desigualdad
triangular. Aplicaciones del producto escalar. Distancia entre una recta y un
punto exterior o entre dos rectas paralelas. Producto vectorial. Aplicación al
cálculo del área de un triángulo. Elementos, características y cálculo del
producto mixto. Cálculo del volumen de un tetraedro. Cálculo de la recta
perpendicular a dos rectas que se cruzan.
4.16. Desarrollo y evolución histórica de la geometría. Los elementos de
Euclides. La trigonometría. La geometría diferencial. Las geometrías no
euclideas.
7 Habilitación de Matemáticas MÓDULO 5. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.
5.1.
Población y muestra. Elección de muestras. Condiciones de representatividad
de una muestra. Métodos de muestreo aleatorio y no aleatorio. Interpretación y
tendenciosidad.
5.2.
Tablas y gráficas estadísticas. Variables unidimensionales. Concepto de
tabla de frecuencias para datos agrupados y sin agrupar. Frecuencia absoluta,
relativa, acumulada absoluta, acumulada relativa y porcentaje. Marca de clase
en datos no agrupados. Representación gráfica de muestras. Diagrama de
barras, de sectores, histograma, polígono de frecuencias. Inter
5.3.
Tipos de parámetros estadísticos. Variables unidimensionales. Concepto de
frecuencias para datos agrupados y sin agrupar. Parámetros de posición
central. Parámetros de posición no central. Parámetros de dispersión absoluta.
Parámetros
de
dispersión
relativa.
Parámetros
de
forma.
Variables
bidimensionales. Frecuencias conjuntas y marginales Principales parámetros
estadísticos de distribuciones bidimensionales.
5.4.
Estadística bidimensional. Regresión lineal y correlación. Cálculo e
interpretación del coeficiente de correlación lineal. Rectas de regresión lineal.
Estimaciones mediante la recta de regresión.
5.5.
Combinatoria. Recuento. Diagrama de árbol y de contingencia. Regla de la
multiplicación Números factoriales y combinatorios. Permutaciones, variaciones
y combinaciones.
5.6.
Fenómenos aleatorios y probabilidad. Concepto de fenómeno aleatorio.
Espacio muestral de un experimento aleatorio. Sucesos. Tipos, propiedades y
operaciones con sucesos. Sigma álgebra de un experimento aleatorio. Espacio
probabilizable. Diferentes conceptos de probabilidad. Función de probabilidad.
Propiedades de la función de probabilidad. Espacio probabilístico.
5.7.
Experimentos
aleatorios
por
fases.
Probabilidad
condicionada.
Independencia de sucesos. Teoremas de la probabilidad compuesta, total y
Bayes..
5.8.
Distribuciones
de
probabilidad
de
variable
discreta.
Elementos
y
características. Distribución de Bernouilli, Binomial, Poisson y geométrica.
Parámetros de esperanza y varianza. Teoremas de aproximación a la normal.
5.9.
Distribuciones de probabilidad de variable continua. Elementos y
características. Distribución de uniforme, exponencial y normal. Parámetros de
esperanza y varianza. Tipificación y variable normalizada. Normal estándar.
Teorema central del límite y ley de los grandes números. Distribuciones chicuadrado, t de student y F de Snedecor. Teorema de Fisher.
8 Habilitación de Matemáticas 5.10. Estimación puntual paramétrica. Estimadores. El error cuadrático medio.
Estimadores insesgados y consistentes. Propiedades deseables. Método de los
momentos y de máxima verosimilitud para obtener estimadores.
5.11. Intervalos de confianza. Concepto y propiedades. Significación y potencia.
Aplicación del teorema Central del Límite. Principales intervalos de confianza.
Cálculo del tamaño muestral mínimo para una cierta significación.
5.12. Contrastes de hipótesis de tipo paramétrico.
Tipos, elementos y
propiedades.Hipotesis nula y alternativa. Región crítica y de aceptación.
Principales modelos básicos de tests de hipótesis.
5.13. Evolución histórica de la probabilidad y estadística. La formalización de los
juegos de azar. Axiomatización de Kolmogorov. Modernización de la
estadística a partir de Fisher y Pearson.
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