Ejercicios de físisca

PROBLEMA 1
Con la mano se empujan dos cuerpos sobre una superficie horizontal sin
rozamiento. Las masas de los cuerpos son de 2 Kg y 1 Kg, respectivamente. La mano
ejerce una fuerza de 5 N sobre el cuerpo de 2 Kg.
F
2 Kg
1 Kg
¿ Cuál es la aceleración del sistema ?
Antes de comenzar a plantear el problema es conveniente hacer una
representación de todas las fuerzas que intervienen en el sistema formado por los dos
cuerpos.
F
N1
F12
F21
P1
N2
N2
P2
Siendo F12 la fuerza que ejerce el cuerpo de 2 Kg sobre el cuerpo de 1 Kg, y
F21 la fuerza que ejerce el cuerpo de 1 Kg sobre el de 2 Kg.
Por la segunda ley de Newton, sabemos que se va a verificar que, la suma de
todas las fuerzas que se aplican en el sistema formado por los dos cuerpos va a ser igual
al producto de la masa total que constituye el sistema por la aceleración propia del
sistema.
En nuestro caso el sistema sólo va a tener aceleración horizontal ya que en el
sentido vertical las fuerzas se van a anular una a una ( N1 se anula con P1 y N 2 con
P2 ).Se va a verificar por tanto :
∑F = m×a
F + F12 − F21 = (m1 + m2 ) × a
Por el tercer principio de acción y reacción sabemos que la fuerza que aplica el
cuerpo de 2 Kg sobre el cuerpo de 1 Kg ( F12 ) es igual que la que aplica el cuerpo de 1
Kg sobre el cuerpo de 2 Kg ( F21 ).Por tanto la ecuación resultante queda de la siguiente
forma:
F12 = F21
F = (m1 + m2 )
a = F /(m1 + m2 )
(1)
Sustituyendo los datos del enunciado del problema en la ecuación (1) se obtiene
que la aceleración del sistema es la siguiente:
a = 5 / 3 m / s2
a = 5 N /(2 + 1) Kg = 5 / 3 Kg
¿ Cuál es la aceleración del cuerpo de 1 Kg ?. ¿ Qué fuerza se ejerce sobre
él?. ¿ Cuál es el origen de esta fuerza ?.
Antes de nada vamos a representar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de 1
Kg.
N2
F12
P2
La aceleración del cuerpo de 1 Kg es igual a la aceleración que tiene el sistema
formado por las dos masas.
a2 = 5 / 3 m / s2
La fuerza que se ejerce sobre el cuerpo es la que por la segunda ley de newton
valdrá el producto de la masa de 1 Kg por la aceleración de dicha masa y será en la
dirección horizontal porque en la dirección vertical como las fuerzas se anulan, ( la
normal se anula con el peso ), el cuerpo no se va a mover, no se va a despegar del suelo.
F12 = m2 × a2
F12 = 1 Kg × 5 / 3 m / s 2
F12 = 5 / 3 N
El origen de la fuerza F12 es la fuerza F que hace la mano al cuerpo de 2 Kg. Como
consecuencia de dicha fuerza F, el cuerpo de 2 Kg ejerce otra fuerza F12 sobre el
cuerpo de 1 Kg.
Indicar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de 2 Kg. ¿ Cuál es la
fuerza neta que actúa sobre este cuerpo ?.
N1
F
F21
P1
Siendo:
F: la fuerza que ejerce la mano sobre el cuerpo de 2 Kg.
F21: la fuerza que el cuerpo de 1 Kg ejerce sobre el cuerpo de 2 Kg.
n P1 : el peso de la masa de 2 Kg.
n N1 : la fuerza normal que se origina como consecuencia del peso P1.
n
n
La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo de 2 Kg será:
Fneta = F − F21 = m1 × a1
Fneta = 10 / 3 N
Fneta = 2 Kg × 5 / 3 N/Kg
PROBLEMA 2
U n a ca j a de ma s a m 1 e s im p u l s a d a po r un a fu e r z a F a p l i c a d a
e n el ex t r e m o de un a cu e r d a ho r i z o n t a l qu e ti e n e un a ma s a m 2
m u c h o me n o r . Si el su e l o es t á pu l i d o , a) de t e r m i n a r la
a c e l e r a c i ó n qu e ad q u i e r e la ca j a y la cu e r d a , b) ¿C u á l es la
f u e r z a ne t a qu e ac t ú a so b r e la cu e r d a ? c ) De t e r m i n a la te n s i ó n
d e la cu e r d a en el pu n t o do n d e és t a es t á su j e t a a la ca j a . d)
C o m o la cu e r d a no pu e d e es t a r to t a l m e n t e ho r i z o n t a l de b i d o a
q u e ti e n e pe s o qu e la cu r v a r í a , ha z la co r r e c c i ó n op o r t u n a y
e s t u d i a co m o af e c t a és t a a la so l u c i ó n de l pr o b l e m a .
m2
F
m1
a)Utilizando la segunda ley de Newton se calcula
directamente la aceleración de los dos cuerpos:
r
r
F
∑ F = m ⋅ a ⇒ F = (m1 + m2 ) a ⇒ a = m + m
1
2
b)Para hallar la fuerza neta de la cuerda nos olvidamos del
bloque y volvemos a usar la según da ley de Newton:
m2
.
f
F
m2
F
m1 + m2
c)Para hallar la tensión de la cuerda en la unión con el
bloque realizamos la misma operación que en el apartado
anterior sustituyendo m 1 por m2 :
r
r
∑ F = m ⋅ a ⇒ f = m2 ⋅ a ⇒ sustituyendo ⇒ f =
f
.
r
r
∑F = m⋅a ⇒ f
= m1 ⋅ a ⇒ sustituyendo ⇒ f =
m1
F
m1 + m2
d)Como la cuerda tiene peso la curvatura hará que las
fuerzas sobre la cuerda formen un cierto ángulo con la
horizontal:
f
F
.
α
β
P2
.
PROBLEMA 4
Las partículas pequeñas esféricas experimentan una fuerza de resistencia
viscosa dada por la ley de Stokes F=6πηrv, en donde r es el radio de la
partícula, v su velocidad y η la viscosidad dinámica del aire o medio fluido
donde caen las esferitas. a) Estimar la velocidad límite de una partícula
contaminante esférica de radio 10-5 metros y densidad ρ=2000 Kg/m3
.Suponer que el aire en reposo y en η = 1.8 ∗ 10 -5 Ns/m2. B) Estimar el
tiempo que esta partícula tarda en caer por una chimenea de 100m de
altura.
Fuerzas de fricción entre un sólido y un fluido:
-5
η=1.8∗10
-5
Ff = k ∗ v
r= 10
5
-5
-9
k= 6π∗1.8∗10- ∗10 = 3.4∗10
-9
Luego : Ff = 3.39 ∗ 10 ∗ v
-15
Las esferas: Volumen: V=4/3πr3= 4/3π10
-12
Masa: m = V ∗ ρ =8/3π∗10
a) La velocidad límite es la velocidad máxima que puede alcanzar un cuerpo, a partir de
ahí la velocidad se hace constante y por lo tanto la aceleración es nula.
a=0
⇒
∑F=m∗0=0
-12
∑ F = mg − Ff = 0 ⇒ mg = k ∗ v ⇒ VL = mg/k = (8/3) π ∗ 10
= 2.42 ∗ 10--2 m/s
=
-9
9.81/ 3.39 10 =
0.087 km/h
b) Hay que encontrar la ecuación que nos liga la velocidad con la posición
F − kv = m dv/dt
⇒ dv/(F − kv) = dt/m
Integrando ⇒
dv/(v -F/k) =- dt (k/m)
Ln ( v − F/k )
(multiplicando ambos términos por -k) ⇒
v
=
vo
−k/m ∗ t
t
=
0
-(k/ m)* t
=Ln ( v − vL ) − Ln (v0 − vL ) = k/m ∗ t ⇒ ( v − vL ) / (v0 − vL ) = e
Despejando la velocidad:
-(k/ m)* t
V= VL + (V0 − VL) ∗ e
Se observa que el termino k/m es muy grande y para tiempos muy pequeños la
velocidad alcanza un valor constante:
-(k/ m)* t
K/m = 404.9 s-1 ⇒ e
⇒ 0; el término de la exponencial se anula y por lo
tanto se puede considerar la velocidad constante. VL = 2.42 ∗ 10--2 m/s
Como el espacio que tiene que recorrer es : X = 100 m
X = v ∗ T ⇒ T= X / v ⇒
T = 100 / 2.42 ∗ 10-2 =
4132 Segundos
PROBLEMA 6
El protagonista de “Top Gun” está haciendo unas maniobras aéreas con su caza a
reacción con una rapidez constante de 1000 km/h. Determinar:
a) Si realiza un rizo con R=4000m. ¿Cuál sería el peso del piloto en la parte superior
e inferior del rizo si tuviese en ese mismo momento una balanza para pesarse?
b) Si estos pilotos de combate están entrenados para resistir aceleraciones de hasta 7g
(para aceleraciones mayores perderían la consciencia), ¿cuál es el radio de giro
mínimo del rizo que puede hacer con su avión?. Sol.: a) 0.966 P y 2.966 P ( P = peso
en reposo), b) 1123m ó 1310m.
PLANTEAMIENTO:
El problema nos pide el peso aparente del piloto en dos puntos de la trayectoria, que no
es más que la fuerza normal en dichos puntos, es decir, la fuerza que ejerce el asiento
sobre el piloto, y que como vemos en la figura 2, será diferente en la parte superior que
en la inferior.
v= 1000 km/h
g
2
a= v/ R
R=4000m.
2
a= v / R
v= 1000 km/h
g
En la parte superior de la trayectoria, las únicas fuerzas que actúan en sentido vertical
son el peso y la normal, y ambas se dirigen hacia abajo, es decir, la fuerza neta se dirige
en esa dirección. Por tanto, según la 2ª Ley de Newton tenemos:
ΣF
= ma _ Nsup + mg = m (v2 /R) _ Nsup = m _(v2 /R) – g _
Como vemos en la expresión, si la velocidad fuese pequeña nos quedaría un valor
negativo y no tendría sentido, por lo que sabemos que para rizar el rizo es necesaria
una velocidad elevada.
•
En la parte inferior de la trayectoria, actúan las mismas fuerzas en sentido vertical,
el peso y la normal, pero en ésta caso tienen sentido contrario, por lo que la fuerza
neta hacia arriba será Ninf – mg, la cual produce una aceleración centrípeta.
Aplicando la 2ª Ley de Newton para la dirección radial se tiene:
ΣF
SOLUCIÓNES:
= ma _ Ninf - mg = m (v2 /R) _ Ninf = m _(v2 /R) + g
a) Si sustituimos ahora el radio de giro y la velocidad (m/s), tendremos:
Nsup = m _( (277,8)2 / 4000) – 9,8 _ _ Nsup = 9,49m N.
Ninf = m _( (277,8)2 / 4000) + 9,8 _ _ Ninf = 29,09m N.
Vemos que el peso aparente es menor en la parte superior. Comparemos con el peso
del piloto en reposo:
Prep=mg
Nsup/Prep= 9,49m/9,8m= 0.967 _ Nsup = 0,967P
Ninf/Prep= 29,09m/9,8m= 2,968 _ Ninf= 2,968P
b) El radio mínimo de giro lo hallaremos considerando la aceleración máxima como
7g, y sabremos que para cualquier radio menor del obtenido, el piloto perdería la
consciencia.
•
•
En un giro horizontal
<
a = 7g (v2 /R) = 7g
R = (277,8)2 / 7g
R = 1123 m.
En un giro vertical, en la parte inferior: En este caso la aceleración aparente que
lleva es la suya más la de la gravedad:
a + g = 7g
(v2 /R) + g = 7g
v2 /R = 6g
_
R = (277,8)2 / 6
en la parte superior la aceleración aparente es siempre menor (a-g)
R = 1310 m.
PROBLEMA 7
La estación espacial Columbus coprotagonista de la película``2001una odisea en el
espacio´´ es semejante aun inmensa rueda de carro antiguo que rota sobre si
misma para generar sobre los astronautas una gravedad artificial que les permita
moverse andando por el suelo de forma análoga a como lo harían en la Tierra. La
comunicación entre las distintas plantas se hace con ascensores que se desplazan
por el interior de los radios de la rueda.
a)Averigua como debe ser la relación entre la velocidad de rotación y el radio de la
estación para generar sobre el piso exterior una gravedad artificial igual a la de la
tierra.
b)Si los ascensores se mueven uniformemente, encuentra una formula que exprese
el peso del pasajero en función del tiempo al descender en él.
c)Razona lo que le pasaría al pasajero si al descender en el ascensor se rompiera la
cuerda que lo sustenta.
a)
∑ F =ma
N = mw2 R
c
Al tener que generar una fuerza similar a la de la gravedad entonces:
N = mg
Igualando las dos ecuaciones de la normal y despejando la velocidad :
mg = mw 2 R
w2 R = g
w=
g
R
b)
P = mg '= mw 2 r
Como describe un movimiento rectilineo:
r = R − vt
P = mw2 (R − vt) =
P=
mg '
( R − vt )
R
mg '
( R − vt )
R
c)
∑ F = ma
( M + m ) g '− T = ( M + m ) a
T =0
( M + m ) g '− 0 = ( M + m ) a
g ' = a = w 2 ( R − vt )
Si se rompe la cuerda la tensión será cero
PROBLEMA 8
Sabiendo que el perímetro terrestre mide aproximadamente 40000 Km,
que la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre es de
aproximadamente 9.81 m/s2 y que la constante de gravitación universal es
G = 6.67·10-11 en el sistema internacional, determinar:
a) La masa de La Tierra
b) Dimensiones y unidades de G
c) El radio de órbita que tendría un satélite geoestacionario (periodo = 24 h)
d) Calcular la velocidad del satélite geoestacionario y compararla con la
velocidad de la superficie terrestre
e) La aceleración de la gravedad en la posición del satélite geoestacionario
f) En el interior del satélite geoestacionario se está ingravido (peso aparente
= 0)
y sin embargo, la fuerza de la gravedad no es despreciable. ¿Por qué?
Perímetro = 40000 km ‡ 2∏R=40·106
g = 9.81 m/s2
G = 6.67·10-11
R= 6366.2·103 m
MASA DE LA TIERRA
G·M·m/R2=m·g
M=g·R2/G=5.96·1024 Kg
DIMENSIONES Y UNIDADES DE G
Unidades ‡ [G] =[F]·m2 /kg2 =(Kg·m/seg2 )·m2 /kg2 =m3 /kg·seg2
=kg-1 ·m3 ·seg-2
[F]=kg·a=kg·m/seg2
Dimensión ‡ G =[F]·l 2/m2 =m·l·f-2·l2·m-2 =m-1·l3·t-2
RADIO DE ÓRBITA
G·M·m/r2=m·v2/r
v=2·∏·R/T
G·M/r2= (2·∏·r/T)2/r=4∏ 2·r/T2 ‡ r3=G·M·T2/4∏ 2
r =42203·10 3 m
VELOCIDAD SATELITE Y TIERRA
Vtierra= S/t=2·∏·R/T=463m/seg =1666km/h
Vsatelite=S/t=2·∏·Restacionario/T=11048km/h =3069m/seg
ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD EN EL SATÉLITE
gsatélite =G·M/r 2
‡
g(R/rsatélite)2 =0.222m/seg2