PROBLEMA 10

PROBLEMA 10
Un cuerpo se mantiene en posición mediante un cable a lo
largo de un plano inclinado pulido como se indica en la figura.
DETERMINAR:
A) La tensión del cable y la fuerza normal ejercida por el plano
inclinado sobre él en función del ángulo θ y la masa m
B) Particularizar después para 0, 60º y 90º considerando m=50 kg
*Primero observaremos la figura de análisis de las fuerzas que actúan :
*En este caso la fuerza de rozamiento no es valida
porque el cuerpo no se mueve
*Al estar el cuerpo en equilibrio, es decir, la componente x del peso no es mayor que la
tensión y por lo tanto no se rompe la cuerda, esta será igual a la componente x del peso.
p ⋅ senα = Pt → T − Pt = 0 ⇒ T = senα ⋅ ⋅P ⇒ T = m ⋅ g ⋅ senα
*Para calcular la normal ocurre lo mismo, ambas fuerzas están en equilibrio luego su
suma al tener sentidos opuestas será cero.
P ⋅ cosα = Pn → N − Pn = 0 ⇒ N = cosα ⋅ ⋅P ⇒ N = m ⋅ g ⋅ cosα
-Ahora comprobamos los resultados para α=0º, 60º y 90º
α=0º
T = sen0º⋅50 ⋅ 9.81 ⇒ T = 0
N = cos 0º⋅50 ⋅ 9.81 ⇒ N = 490.5
α=60º
T = sen60º⋅50 ⋅ 9.81 ⇒ T = 424.785
N = cos 60º⋅50 ⋅ 9.81 ⇒ N = 245.25
α=90
T = sen90º⋅50 ⋅ 9.81 ⇒ T = 4905
.
N = cos 90 ⋅ 50 ⋅ 9.81 ⇒ N = 0
• Las unidades tanto de la Tensión como de la Normal están en NEWTONS
PROBLEMA 12
Sea un artilugio como el representado en la
figura. Las poleas no tienen rozamiento y se
consideran con masa nula. Los coeficientes
dinámicos de las masas ma y mc con las
plataformas correspondientes son µa y µc,
respectivamente.
a)Dibújese los diagramas de fuerzas para cada
una de las tres masas ma, mb y mc, indicando
cómo deben aplicarse las leyes de Newton en
cada caso y escríbase las ecuaciones del movimiento correspondientes para cada una de
las masas.
b)Sabiendo que ma = 5 Kg, mb = 10 Kg, mc = 20 Kg, µa = 0.3 y µc = 0.1 y que las masas
ma y mc están unidas por una cuerda inextensible de longitud L. Determínese las
tensiones de las cuerdas y las aceleraciones de las tres masas ma, mb , mc.
c)Coméntese este resultado, viendo la influencia de diversos datos en la aceleración de
la masa mb , tales como, la longitud de la cuerda, la distancia d, los valores de los
coeficientes de rozamiento, las masas ma y mc, ect.
d)Determinar las condiciones que deben existir para que la masa mb descienda con
velocidad constante.
¿ Qué debería ocurrir para que no hubiera movimiento?
e)Si la masa mb se hallase sumergida en un líquido, escríbase en este caso la ecuación
del movimiento correspondiente a dicha masa, comentando las modificaciones que ello
implicaría en la solución del problema.
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a) Según el dibujo 2, el sistema para calcular la tensión, así como las aceleraciones,
quedará de la siguiente manera:
T - FrA = mA . aA
2T –mB g = mB . aB
T – FrC = mC . aC
Despejando las aceleraciones, obtendremos:
.
.
.
aA = (T-µa mA g)/mA
aB = (2T – mB g)/mB
aC = (T - µc mC g)/mC
b) Puesto que tenemos una cuerda inextensible de longitud L, que nos une a las tres
masas, podemos relacionar las longitudes, velocidades y las aceleraciones de la manera
siguiente:
L= xA + 2xB + d + xC
y
dL/dt = 0 ⇒
.
vA+ 2vB + vC = 0
⇒ aA + 2aB + aC = 0
Sustituyendo en las ecuaciones principales:
T/mA - µA g + 4T/mB – 2g + T/mC - µC g = 0
T ( mB mC + 4 mA mC + mA mB ) = g ( µA + µC + 2 ) mA mB mC
T = [g ( µA + µC + 2 ) mA mB mC ] / ( mB mC + 4 mA mC + mA mB )
Introduciendo los valores correspondientes, nos queda:
.
mA = 5 kg
mB = 10 kg
mC = 20 kg
µA = 0.3 µC = 0.1
T = 36.18 N
aA = 4.3 m/s2
aB = -2.56 m/s2
2
aC = 0.88 m/s
d) En el caso de que la masa b descienda con una v = cte ⇒ ab = 0 ⇒ aa = - ac ⇒
IMPOSIBLE
Para que no hubiese movimiento , debería ocurrir lo siguiente :
FrozA > T y FrozC > T
FIGURA 2