TEMA I Señales y sistemas de tiempo discreto Señales en tiempo

II. Análisis de señales en tiempo
discreto.
TEMA I
Señales y sistemas de tiempo
discreto
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Introducción.
Señales de tiempo discreto.
Sistemas de tiempo discreto. Sistemas lineales e
invariantes en el tiempo (LIT).
Propiedades de los sistemas LIT.
Representación de sistemas LIT.
Transformada de Fourier (TF)
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
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Señales en tiempo discreto
• Muestra unitaria (impulso en tiempo discreto):
0, n ≠ 0
1, n = 0
δ ( n) = 
−∞ < n< ∞
• Escalón unitario:
• Su dominio es el conjunto de enteros.
• No está definida para valores no enteros, pero
es incorrecto pensar que es cero si n no es
entero!
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Ejemplos de secuencias (1)
• Las señales en tiempo discreto se representan
mediante secuencias.
• Una secuencia de números x, en la cual el nésimo miembro de la familia es x(n), se denota
formalmente como:
x = {x (n)}
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1, n ≥ 0
u( n) = 
0, n < 0
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Ejemplos de secuencias (2)
• Es posible expresar cualquier secuencia como una
suma de muestras unitarias escaladas y
desplazadas. Sea la secuencia p(n) en la figura
siguiente:
α
• u(n) está relacionado con δ(n):
u ( n) =
α-4
n
∑ δ (k )
k = −∞
(1.1)
α2
Entonces,
δ (n) = u(n) − u(n − 1)
α5
0
p(n) = α-4.δ(n+3) + α0.δ(n) + α2.δ(n-2) + α5.δ(n-5)
(1.2)
Y en general, para cualquier secuencia x:
x ( n) =
∞
∑ x (k ) ⋅ δ (n − k )
(1.3)
k = −∞
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Ejemplos de secuencias (3)
• Exponencial real: x ( n) = Aα
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Ejemplos de secuencias (4)
n
• Note que para r entero:
j (ω + 2πr ) n
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• Esto nos indica que para las secuencias
exponenciales complejas o sinusoidales
reales, solamente es necesario considerar
frecuencias en un intervalo de longitud 2π.
x ( n ) = e (σ + j ω 0 ) n
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jω n
Ae 0
= Ae 0
A cos[(ω 0 + 2πr )n + φ ] = A cos(ω 0 n + φ )
• Senoidal: x (n) = A cos(ω 0 n + φ )
• Exponencial compleja:
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Operaciones con señales discretas
Operaciones con secuencias:
•
•
•
•
•
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Combinación de Desplazamiento y Reflexión (inversión
en el tiempo):
La señal y(n) = x(-n - α) puede obtenerse de dos modos:
(a) Se desplaza x(n) a la derecha α unidades para obtener
x(n - α) y luego se refleja esta nueva señal para obtener
x(-n - α) .
(b) Se refleja x(n) para obtener x(-n) y luego se desplaza a
la izquierda α unidades esta nueva señal para obtener
x(-n - α).
Suma:
x + y = {x(n) + y(n)} (muestra a muestra)
Producto:
x . y = {x(n) . y(n)} (muestra a muestra)
Multiplicación por un escalar:
α.x = {α.x(n)}
Retardo o desplazamiento:
y(n) = x(n –n0) , n0 entero
y(n) es la versión desplazada de x(n).
Reflexión:
y(n) = x(–n)
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En ambos casos, una muestra de x(n) ubicada en el índice
original n estará ubicada en un nuevo índice nN, dado
por n = -nN - α.
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Secuencias periódicas (1)
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Secuencias periódicas (2)
• En el caso de secuencias exponenciales
complejas y suinusoidales reales periodicas:
• Una secuencia x(n) es periódica con periodo N
si:
(1.4)
x(n) = x(n+N)
Para todo n.
• N debe se necesariamente un entero!
jω n
jω ( n + N )
e 0 =e 0
A cos(ω 0 n + φ ) = A cos(ω 0 n + ω 0 N + φ )
Esto requiere que:
ω0N = 2πk, con k entero
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(1.5)
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Secuencias periódicas (3)
Secuencias periódicas (4)
Ejemplo:
Calcular el periodo de las siguientes señales:
Cuando se combina la condición (1.5):
ω0N = 2πk, con k entero
Con el hecho de que:
x(n) = cos(πn/4),
y(n) = cos(3πn/8)
z(n) = cos(n)
j (ω 0 + 2πr ) n
jω n
= Ae 0
A cos[(ω 0 + 2πr )n + φ ] = A cos(ω 0 n + φ )
Ae
Se concluye que existen solamente N frecuencias
distintas para las cuales las secuencias
correspondientes son periódicas con periodo N.
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Secuencias periódicas (5)
2πk
,
N
k = 0,1,2,..., N − 1
• Estas propiedades de las secuencias senoidales
y exponenciales complejas constituyen la base
para la teoría y el diseño de algoritmos
computacionales para el análisis de Fourier en
tiempo discreto.
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Altas y bajas frecuencias en secuencias
exponenciales y sinusoidales
• Por ejemplo, el conjunto de frecuencias
ωk =
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La interpretación de altas y bajas frecuencias
en tiempo discreto es algo diferente a la de
tiempo continuo:
• Si ω0 se incrementa de 0 a π, la sinusoide
oscila más rápidante
• Si ω0 se incrementa de π a 2π, la sinusoide
oscila más lentamente.
Ej: veamos gráficamente que sucede con
x(n) = cos(ω0 n) para ω0 = 0, π/8, π/4, π,
15π/8,7π/4, 2π
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Medidas de señales discretas:
ω0 = 0 ó
ω0 = 2π
SD =
Suma Discreta:
ω0 = π/8 ó
ω0 =15π/8
∑ x ( n)
(1.6a)
n = −∞
SA =
Suma Absoluta:
ω0 = π/4 ó
ω0 = 7π/4
∞
∞
∑ x ( n)
(1.6b)
n = −∞
Suma Acumulativa:
s C ( n) =
∞
∑ x (k )
(1.6c)
k = −∞
ω0 = π
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Medidas de señales discretas:
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Simetría:
• Secuencias con simetría par:
Energía de una secuencia
(señales aperiódicas):
ε=
∞
∑ x ( n)
2
(1.6d)
n = −∞
Valor promedio:
Potencia de una secuencia:
(señales periódicas):
x av
P=
1
=
N
1
N
xe(n) = xe(-n)
• Secuencias con simetría impar o antisimétricas:
xo(n) = - xo(-n)
N −1
∑ x ( n)
(1.6e)
n= 0
N −1
∑ x ( n)
(1.6f)
n= 0
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(1.9)
De donde se puede obtener, usando las propiedades
de simetría (¿cómo?):
xe(n) = 0.5x(n) + 0.5x(-n)
xo(n) = 0.5x(n) - 0.5x(-n)
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(1.8)
• Partes par e impar de una secuencia:
x(n) = xe(n) + xo(n)
2
(1.7)
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(1.10)
(1.11)
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Sistemas de tiempo discreto
Sistemas lineales
Sea un sistema definido por:
• Un sistema de tiempo discreto se define
matemáticamente como una transformación o un
operador que mapea una secuencia de entrada x(n)
en una secuencia de salida y(n):
y(n) = T[x(n)]
Si y1(n) es la respuesta del sistema a x1(n) y y2(n) es la
respuesta del sistema a x2(n), un sistema es lineal si y
sólo si:
y(n) = T[x(n)]
•
T[ax1(n) + bx2(n)] = aT[x1(n)] + bT[x2(n)]
= ay1(n) + by2(n)
(1.12)
Representación gráfica:
x(n)
(principio de superposición)
y(n)
T[ ]
para constantes arbitarias a y b.
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Sistemas lineales
• Esta propiedad implica que si h(n) es la respuesta
a δ(n), entonces h(n-k) ser’a la respuesta a δ(n-k).
si además el sistema es lineal, entonces (1.13) se
transforma en:
∞
∑ x(k )T [δ (n − k )]
k = −∞
y ( n) =
∞
∑ x (k )h
k
( n)
k = −∞
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• Sea un sistema con respuesta y(n) a una entrada
x(n). Este sistema es invariante al desplazamiento
si para todo k entero, una secuencia x1(n) = x(n-k)
produce una respuesta y1(n)=y(n-k).
 ∞

y (n) = T  ∑ x (k )δ (n − k )
 k = −∞

y ( n) =
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Sistemas invariantes al desplazamiento
(invariantes en el tiempo)
La propiedad anterior sugiere que un sistema lineal
puede caracterizarse completamente mediante su
respuesta a la muestra unitaria:
• Sea h(k) = T[δ(n - k)] (respuesta a un impulso que
ocurre en n=k), entonces:
Usando (1.12):
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y ( n) =
(1.13)
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∞
∑ x (k )h(n − k )
(1.14)
k = −∞
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Cálculo de la suma de convolución –
ejemplo.
Suma de Convolución y sistemas LIT
y ( n) =
∞
∑ x(k )h(n − k )
k = −∞
• Sea un sistema con h(n) = anu(n), con a<1.
Encuentre la respuesta y(n)=h(n)*x(n) a la entrada
x(n) = u(n)-u(n-8).
• A la ecuación (1.14) se le denomina suma de
convolución. (1.14) indica que un sistema lineal
invariante en el tiempo (linear time-invariant system –
LTI) ó LIT puede caracterizarse completamente por su
respuesta al impulso. En este caso, y(n) es el resultado
de la Convolución de x(n) y h(n) y se escribe:
• Solución: Se debe construir la suma de convolución.
En las siguientes laminas se muestra el proceso:
Primero se obtiene x(k) y h(k). Luego se obtiene h(-k)
y se le desplaza n unidades para obtener h(n-k). Se
realiza la multiplicación x(k).h(n-k) y se acumula el
resultado para obtener la muestra n-esima de y(n).
Se continua desplazando h(n-k) hasta obtener todas
las muestras de y(n)
y(n) = x(n)*h(n)
• Se puede demostrar que la convolución es conmutativa,
es decir:
x(n)*h(n) = h(n)*x(n)
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Cálculo de la suma de convolución – ejemplo.
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Cálculo de la suma de convolución – ejemplo.
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Combinación de sistemas LIT:
Conexión en Cascada
x(n)
h1(n)
h2(n)
Combinación de sistemas LIT:
Conexión en paralelo
y(n)
h1(n)
x(n)
x(n)
h2(n)
x(n)
h1(n)
y(n)
x(n)
Los 3 sistemas representados arriba son equivalentes
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S=
y ( n) ≤ B y < ∞
∑ h(k ) < ∞
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• Un sistema es causal si su salida para cualquier
n = n0 depende solamente de la entrada para
n ≤ n0. Esto implica que si x1(n) = x2(n) para
n ≤ n0 entonces y1(n)=y2(n) para n ≤ n0. Es decir, el
sistema es no anticipativo
• Un sistema LIT es estable si su respuesta al
impulso es sumable absolutamente, es decir,
si:
∞
y(n)
Causalidad
• Un sistema es estable si para toda entrada
acotada x(n) éstre produce una salida
acotada y(n), es decir si
entonces
h1(n) + h2(n)
Los dos sistemas representados arriba son equivalentes
Estabilidad
x ( n) ≤ B x < ∞
y(n)
h2(n)
y(n)
h1(n)* h2(n)
+
• Un sistema LIT es causal si y solo si:
h(n) = 0,
(1.15)
n<0
(1.16)
k = −∞
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51
Estabilidad y causalidad - Ejercicios
•
•
Estabilidad y causalidad - Ejercicios
2. Promedio móvil:
Determine si el sistema con respuesta al
impulso
h(n) = anu(n)
es estable y causal
M2
1
y ( n) =
∑ x (n − k )
M 1 + M 2 + 1 k = − M1
3. Acumulador:
y ( n) =
Encuentre la respuesta al impulso de los
siguientes sistema y determine si son
estables y causales.
1. Retardo ideal:
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4. Diferencia hacia adelante:
y(n) = x(n+1)-x(n)
5. Diferencia hacia atrás:
y(n) = x(n)-x(n-1)
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• Los sistemas cuya respuesta al impulso tiene
un número finito de muestras no nulas se
denominan sistemas con respuesta al
impulso de duración finita (finite-duration
impulse response – FIR)
53
• Una subclase de sistemas LIT de importancia
práctica consiste en aquellos sistemas para
los cuales la entrada x(n) y la salida y(n)
satisfacen una ecuación en diferencias de la
forma:
• Los sistemas cuya respuesta el impulso es
finita en duración se denominan sistemas con
respuesta al impulso de duración infinita
(infinite-duration impulse response – IIR)
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Ecuaciones en diferencias lineales con
coeficientes constantes.
Sistemas FIR y Sistemas IIR
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∑ x (k )
k = −∞
y(n)=x(n-nd)
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n
N
∑a
k =0
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M
k
y ( n − k ) = ∑ br x ( n − r )
r =0
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(1.17)
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Ejemplo: El sistema acumulador
y ( n) =
n
∑ x (k )
• En el caso anterior, N=1, a0=1, a1=-1, M=0, b0=1
• Sin información adicional, una ecuación en
diferencias como (1.17) no especifica únicamente la
relación E/S de un sistema. Como en las ecuaciones
diferenciales, existe una familia de soluciones.
• En general, a una solución yp(n) que satisfaga (1.17)
se le puede agregar una solución yh(n) de la
ecuación homogénea (es decir, (1.17) con el lado
derecho igual a 0) y esta suma será también una
solución de 1.17.
k = −∞
y ( n) = x ( n) +
n −1
∑ x (k )
k = −∞
• Para n – 1:
y (n − 1) =
n −1
∑ x (k )
k = −∞
• Por lo tanto,
y ( n) = x (n) + y (n − 1)
y ( n) − y ( n − 1) = x ( n)
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Representación de sistemas LIT causales
mediante ecuaciones en diferencias (1)
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Representación de sistemas LIT causales
mediante ecuaciones en diferencias (2)
• Si lo anterior se satisface (1.17) nos dará la
relación E/S al reescribirla así:
• Un sistema que satisfaga (1.17) será LIT y
causal sólo si se elige adecuadamente la
componente homogénea. En este caso, se
requiere que el sistema esté inicialmente en
reposo, es decir, si x(n) = 0 para todo n < n0
entonces y(n) = 0 para todo n < n0.
M
b
ak
y (n − k ) + ∑ k x (n − r ) (1.18)
k =1 a 0
r =0 a 0
N
y ( n) = − ∑
• Para sistemas FIR: N=0
• Para sistemas IIR: N>0
• Ejemplo: hallar la respuesta al impulso de
sistema LIT causal definido por:
y(n)=a.y(n-1) + x(n)
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59
Representación de señales y sistemas de
tiempo discreto en el dominio de la
frecuencia (1)
Representación de señales y sistemas de
tiempo discreto en el dominio de la
frecuencia (2)
• Esta propiedad permite que los sistemas LIT
puedan representarse en términos de
sinusoides o exponenciales complejas
(Representación de Fourier).
• La representación en el dominio de la
frecuencia de una señal o sistema puede
proporcionar en muchos casos una forma
matemáticamente más simple para manipular
la información acerca de la señal o el sistema.
• Una propiedad fundamental de los sistemas
LIT es que la respuesta en régimen
permanente a una entrada sinusoidal es
también sinusoidal de la misma frecuencia,
con amplitud y fase determinadas por el
sistema.
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Respuesta de un sistema de tiempo
discreto a una entrada exponencial
compleja
y ( n) =
jω
H (e ) =
∞
∑ h(k )e
− jωk
(1.19)
• Entonces,
y (n) = H (e jω )e jωn
∑ h(k )e ω
= e jω n
61
k = −∞
(1.20)
j ( n− k )
k = −∞
∞
∑ h(k )e
• H(ejω) describe los cambios en amplitud
compleja de una exponencial compleja de
frecuencia ω.
− jω k
k = −∞
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• Si definimos
• Si a un sistema de tiempo discreto se le
aplica una secuencia de entrada x(n)=ejωn
para -∞ < n < ∞, entonces, usando la suma
de convolución:
∞
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Respuesta en frecuencia
Respuesta en fase y retardo de grupo
• H(ejω) describe los cambios en amplitud
compleja de una exponencial compleja de
frecuencia ω.
• A H(ejω) se le denomina respuesta en frecuencia
del sistema con respuesta al impulso h(n).
• H(ejω) es compleja y puede expresarse bien en
forma rectangular o polar:
H (e jω ) = H R (e jω ) + jH I (e jω )
H (e jω ) = H (e jω ) e j arg[ H ( e
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jω
)]
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Ejemplo – Respuesta en frecuencia (1)
• arg[H(ejω)] = respuesta en fase
• A veces es conveniente referirse al retardo de
grupo en lugar de la fase:
Retardo de grupo = −
∂
arg[ H (e jω )]
∂ω
{
}
(1.21)
• Note que H(ejω) es una función continua de ω y
que además es periódica de periodo 2π
(recuerde que ej(ω+2π)k = ejωk).
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Ejemplo – Respuesta en frecuencia (2)
• Hallar la respuesta en frecuencia de un sistema
definido por
1, 0 ≤ n ≤ N − 1
h(n) = 
0, en otros casos
• Las gráficas para N= 6 de h(n), H(ejω) y arg[H(ejω) ] se
muestran a continuación.
• Solución: sustituyendo h(n) en (1.13):
1 − e − jω N
H (e ) = ∑ e
=
1 − e − jω
k =0
sen(ωN / 2) − j ( N −1)ω / 2
=
e
sen(ω / 2)
jω
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N −1
− jω k
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Transformada de Fourier (1)
Transformada de Fourier (2)
• Como H(ejω) es una función periódica de ω, se puede
representar mediante una serie de Fourier, que es de
hecho la representación dada por (2.13), donde los
coeficientes de Fourier corresponden a los valores de la
respuesta al impulso h(n). Por lo tanto, es posible hallar
h(n) mediante la fórmula usada para hallar los
coeficientes de Fourier:
1
h(n) =
2π
π
∫ H ( e )e
jω
jω n
dω
−π
∞
∑ h(n)e
− jω n
X (e ) =
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1
x ( n) =
2π
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Transformada de Fourier (2)
π
∫π H (e
jω
jω
) X (e )e
jω n
(1.24)
π
∫π X (e
jω
)e jωn dω
(1.25)
−
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Si ωco = π/2
dω
69
1, ω ≤ ω co
H ( e jω ) = 
0, ω co < ω ≤ π
|H(ejω)|
−
jω
jω
Y (e ) = H (e ) X (e )
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π
-π
(1.26)
-2π -(2π-ωco)
-ωco
-ωco
2π-ωco
2π
arg[H(ejω)]
• Nota: (1.26) se puede obtener formalmente tomando la
transformada de (1.14).
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− jω n
Hallar la respuesta al impulso del filtro ideal pasa-bajo en
tiempo discreto, definido por:
• Por lo que:
jω
∑ x ( n) e
Ejemplo – Transformada inversa (1)
• (1.25) puede interpretarse como una superposición de
exponenciales complejas de amplitud incremental.
Entonces, para un sistema LIT (por el principio de
superposición) la salida será la superposición de las
respuestas incrementales a cada exponencial. Como
cada secuencia se obtiene al multiplicar por H(ejω):
1
y ( n) =
2π
∞
n = −∞
(1.22)
(1.23)
n = −∞
12/08/02
jω
• y la transformada inversa como
• donde
H ( e jω ) =
• Las ecuaciones (2.16) y (2.17) constituyen el par de
transformadas de Fourier para la secuencia h(n)
siempre y cuando la serie en (2.17) converja.
• Para una secuencia general x(n), se define la
transformada de Fourier como
70
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Ejemplo – Transformada inversa (2)
Propiedades de simetría de la T.F.
• Solución:Usando la ecuación de la transformada
inversa de Fourier (2.19):
1
h(n) =
2π
ω co
∫ω e
−
jω n
dω =
co
Secuencia
x(n)
1. x*(n)
2. x*(-n)
3. Re[x*(n)]
sen(ω co n) sen(πn / 2)
=
πn
πn
• Gráfica de h(n):
Transformada de Fourier
X(ejω)
X*(e-jω)
X*(ejω)
Xe(ejω) [parte conj. simétrica de X(ejω)]
4. jIm[x*(n)]
5. xe(n) [parte conj.
Xo(ejω) [parte conj. antisim. de X(ejω)]
Re[ X(ejω)]
simétrica de x(n)]
6. xo(n) [parte conj.
jIm[ X(ejω)]
antisim. de x(n)]
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12/08/02
Propiedades de simetría de la T.F.
para secuencias reales (1)
Secuencia
x(n)
Secuencia
x(n)
X(ejω)= X*(e-jω)
11. Cualquier x(n) real
Re[X(ejω)]=Re[X(e-jω)]
12. xe(n) [parte par de x(n)] Re[ X(ejω)]
13. xo(n) [parte impar de x(n)] jIm[ X(ejω)]
Im[X(ejω)]= - Im[X(e-jω)]
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arg[X(ejω)]= - arg[X(e-jω)]
(la fase es impar)
(la parte imaginaria es impar)
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|X(ejω)|= |X(e-jω)|
(la magnitud es par)
(la parte real es par)
9. Cualquier x(n) real
Transformada de Fourier
X(ejω)
10. Cualquier x(n) real
(la transformada de Fourier es
conjugada simétrica)
8. Cualquier x(n) real
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Propiedades de simetría de la T.F.
para secuencias reales (2)
Transformada de Fourier
X(ejω)
7. Cualquier x(n) real
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75
Teoremas de la transformada de Fourier (2)
Teoremas de la transformada de Fourier (1)
Secuencia
1.
2.
3.
4.
5.
6.
12/08/02
x(n)
x(n)
y(n)
ax(n) + by(n)
x(n - nd)
e-jωo x(n)
x(-n)
Secuencia
x(n)
Transformada de Fourier
X(ejω)
X(ejω)
Y(ejω)
aX(ejω) + bY(ejω)
e-jωnd X(ejω)
X(ej(ω-ωo))
X(e-jω)
X*(ejω) si x(n) es real
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j
8. x(n)* y(n)
X(ejω) Y(ejω)
9. x(n) y(n)
1
2π
Teorema de Parseval:
∞
1
∑
2
π
n = −∞
∞
1
x ( n) y * ( n) =
∑
2
π
n = −∞
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12/08/02
2
x ( n) =
π
∫
π
∫π X (e
jθ
Teorema de
modulación
)Y (ej (ω −θ ) )dθ
−
2
X ( e jω ) d ω
−π
π
∫π X (e
jω
)Y * (e jω )dω
−
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REPASO:
Secuencias periódicas
En general, para que:
• En la literatura se encuentran tablas de pares
de transformadas de Fourier (secuencia –
Transformada de Fourier) para las señales
fundamentales ( impulso unitario, escalón,
exponencial, tren de impulsos, coseno y
otras que aparecen con frecuencia en
problemas prácticos).
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dX (e jω )
dω
7. nx(n)
Tablas de pares de transformadas
de Fourier para señales discretas
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Transformada de Fourier
X(ejω)
jω ( n + N )
=e 0
A cos(ω 0 n + φ ) = A cos(ω 0 n + ω 0 N + φ )
e
jω 0 n
sean periódicas, se debe cumplir que:
ω0N = 2πk, con k entero
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12/08/02
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REPASO: Suma de Convolución y
sistemas
LIT
∞
REPASO
Operaciones con señales discretas
y ( n) =
∑ x(k )h(n − k )
Combinación de Desplazamiento y Reflexión (inversión
en el tiempo):
La señal y(n) = x(-n - α) puede obtenerse de dos modos:
(a) Se desplaza x(n) a la derecha α unidades para obtener
x(n - α) y luego se refleja esta nueva señal para obtener
x(-n - α) .
(b) Se refleja x(n) para obtener x(-n) y luego se desplaza a
la izquierda α unidades esta nueva señal para obtener
x(-n - α).
• A la ecuación (2.8) se le denomina suma de
convolución. (2.8) indica que un sistema lineal
invariante en el tiempo (linear time-invariant system –
LTI) ó LIT puede caracterizarse completamente por su
respuesta al impulso. En este caso, y(n) es el resultado
de la Convolución de x(n) y h(n) y se escribe:
En ambos casos, una muestra de x(n) ubicada en el índice
original n estará ubicada en un nuevo índice nN, dado
por n = -nN - α.
• Se puede demostrar que la convolución es conmutativa,
es decir:
x(n)*h(n) = h(n)*x(n)
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• Un sistema LIT es estable si su respuesta al
impulso es sumable absolutamente, es decir,
si:
∞
S = ∑ h(k ) < ∞
12/08/02
EL-500020 Proc. Digital de Señales - DIP UNEXPO Bqto - L. Tarazona
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M
b
ak
y ( n) = − ∑
y (n − k ) + ∑ k x (n − r )
k =1 a 0
r =0 a 0
Estabilidad en en
sentido Entrada
acotada-salida
acotada
• Para sistemas FIR: N=0
• Para sistemas IIR: N>0
• Esto se cumple siempre y cuando el sistema
esté inicialmente en reposo
n<0
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12/08/02
N
• Un sistema LIT es causal si y solo si:
h(n) = 0,
y(n) = x(n)*h(n)
Representación de sistemas LIT causales
mediante ecuaciones en diferencia
REPASO: Estabilidad y Causalidad
k = −∞
k = −∞
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83
REPASO: Transformada de Fourier
• Para una secuencia general x(n), se define la
transformada de Fourier como
∞
jω
X (e ) =
∑ x ( n) e
− jω n
(1.18)
n = −∞
• y la transformada inversa como
1
x ( n) =
2π
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π
jω
jω n
X
(
e
)
e
dω
∫
(1.19)
−π
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