Ejercicios de cálculo

EJERCICIOS DE
CÁLCULO
José Miguel Gómez Contreras
Universidad Antonio de Nebrija
Índice general
I
EJERCICIOS
2
Inducción
3
Sucesiones
5
Series
9
Complejos
12
Lı́mites de Funciones
14
Continuidad
20
Derivadas
23
Derivadas II
27
Representación de Funciones
32
Teorema de Taylor
34
Integrales indefinidas
36
Integrales definidas
39
II
SOLUCIONES
0.1.
0.2.
0.3.
0.4.
0.5.
Sucesiones . . . . . .
Series . . . . . . . .
Lı́mites de Funciones
Derivadas . . . . . .
Integrales indefinidas
40
.
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1
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41
41
43
44
44
Parte I
EJERCICIOS
2
Inducción
El principio de inducción es una de las técnicas de demostración más utilizadas en matemáticas. Aparece en demostraciones ’sencillas’ como las que
siguen y se ha utilizado para demostrar resultados de gran relevancia en muchas
áreas de las matemáticas. Citemos por ejemplo que en la base de la demostración
de Wiles del Último Teorema de Fermat subyace el principio de inducción.
1. Probar por inducción
n(n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
b) 12 + 22 + . . . + n2 =
6
a) 1 + 2 + . . . + n =
c)
13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2 d)2n ≤ n!
d)
2n ≤ n! si
si
n>3
n>3
e) 17 divide a 3 ∗ 52n+1 + 23n+1
µ
¶ µ
¶ µ ¶
n+1
n
n
f)
=
+
k
k−1
k
g) 1 + 3 + . . . + (2n − 1) = n2
h) 1 + r + . . . + rn =
1 − rn+1
1−r
si
r 6= 0
2. Teorema del binomio
Dados dos números cualesquiera a y b, tenemos
(a+b)n =
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
n µ ¶
n n
n n−1
n n−2 2
n n X n n−j j
a +
a
b+
a
b +. . .+
b =
a
b
0
1
2
n
j
j=0
3. Las torres de Hanoi
Este conocido rompecabezas consiste en disponer palos cilı́ndricos, en uno de
los cuales hay colocados n anillos concéntricos de diámetro decreciente formando
una pirámide. El juego consiste en pasar todos los anillos a otro de los palos,
3
INDUCCIÓN
4
pero sin colocar nunca un anillo sobre otro de diámetro menor. Probar que
podemos acabar el juego con 2n − 1 movimientos.
4. El problema del aprobado general
Encontrar el fallo cometido en la siguiente ’demostración’.
Queremos probar que en la clase de Cálculo, si aprueba un alumno entonces
aprueba toda la clase. Para ello procedemos a demostrar por inducción el siguiente resultado:
”Si la clase tiene n alumnos y aprueba al menos uno, entonces aprueban
todos”
En efecto, si n=1 no hay nada que probar, ası́ que supongamos ahora que el
resultado se cumple para un valor n y probémoslo para el valor n+1 como sigue:
Sean a1 , . . . , an , an+1 los alumnos de la clase, donde supondremos que aprueba
al menos a1 . Considerando el grupo de alumnos a1 , . . . , an podremos aplicar la
hipótesis de inducción para deducir que todos estos alumnos aprueban. Queda
ver que an+1 aprueba, pero esto se hace considerando ahora el grupo de alumnos
a2 , . . . , an+1 y volviendo a aplicar la hipótesis.
Sucesiones
1. Usar la definición de lı́mite para probar que:
a) lim
n−1
=1
n
b)
lim
3n2 − 4n + 2
= 3/2
2n2 − n + 1
c) lim
n3 + 1
=∞
n
2n
n2 − 1
1
=0
e) lim
=2
f ) lim 2
= 1/2
+1
n+1
2n + 3
2. Dar un ejemplo de sucesión que cumpla la condición propuesta o justificar
por qué no existe:
a) Una sucesión monótona creciente convergente a 1
b) Una sucesión creciente y acotada no convergente
c) Una sucesión convergente a 1/2
d) Una sucesión no acotada convergente a 4
3. Estudiar la monotonı́a de las sucesiones siguientes:
d)
lim
n2
a) an = 3 + (−1)n
b) bn =
2n
1+n
c) cn =
n2
−1
2n
4. Probar que las siguientes sucesiones recurrentes son convergentes y calcular su lı́mite:
a) x1 = 0, xn+1 = 1 +
xn
2
b) x1 = 2, xn+1 =
c) x1 = 2, xn+1 = 2 +
1
xn
d) x1 = 1, xn+1 =
e) x1 = 0, xn+1 =
q
√
2 + xn
1
3 − xn
√
2xn
f ) x1 = 2, xn+1 =
1
2
µ
¶
2
xn +
xn
5. Calcular los lı́mites de las siguientes sucesiones (si existen):
(1) an =
(4)
5n2 − 4n + 13
3n2 − 95n − 7
an = 2 + (0,1)n
(2)
(5)
an =
an =
5
8n2 − 3
2n + 5
n + (−1)n
n
(3)
(6)
an =
an =
3n + 7
n3 − 2n − 9
1 − 2n
1 + 2n
SUCESIONES
(7)
(10)
(12)
(14)
(16)
(19)
an =
6
2n + 1
√
1−3 n
n
2n
(25)
an = 81/n
(28)
an =
(36)
(38)
(40)
(42)
(44)
(46)
(48)
1 − 5n4
n4 + 8n3
(9)
an =
n2
n+3
+ 5n + 6
n2 − 2n + 1
1 − n3
(11) an =
n−1
70 − 4n2
µ
¶
µ
¶µ
¶
1
n+1
1
an = (−1)n 1 −
(13) an =
1−
n
2n
n
µ
¶µ
¶
1
1
an = 1 + (−1)n
(15) an = 2 − n
3+ n
2
2
r
µ
¶n
n+1
1
(−1)
2n
(17) an = −
(18) an =
an =
2n − 1
2
n+1
µ
¶
1
π
1
senn
an =
+
(20) an = sen
(21) an =
(0,9)n
2
n
n
an =
(33)
an =
an =
(22)
(31)
(8)
(23)
logn
n1/n
3n
n3
log(n + 1)
√
n
µ
¶n
7
(27) an = 1 +
n
(24)
an =
(26) an = (0,003)1/n
µ
¶n
1
1−
n
µ ¶1/n
3
an =
n
an =
an =
(29)
an =
√
10n
(30)
an =
n2
(32) an = logn − log(n + 1)
(34)
an =
√
n
4n n
(35) an =
√
n
32n+1
µ ¶1/logn
(−4)n
1
an =
(37) an =
n!
n
·µ
¶n ¸
µ
¶n
1
3n + 1
an = log 1 +
(39) an =
n
3n − 1
µ
¶n
µ
¶n
n
1
an =
(41) an = 1 − 2
n+1
n
µ
¶
n2
1
1
an =
sen
(43) an = n 1 − cos
2n − 1
n
n
µ ¶n
p
1
1
n
+√
an =
(45) an = n2 + n
n
3
2
(logn)5
(logn)2 00
(47) an = √
n
n
p
1
√
an = n − n2 − n
(49) an = √
n2 − 1 − n2 + n
an =
√
SUCESIONES
7
√
an =
(52)
an =
(53)
3n2 − n + 4
an =
2n2 + 1
(56)
an =
(59)
(63)
an
(66)
an
(68)
an
(70)
an
(72)
an
(74)
an =
(81)
(82)
(84)
(86)
(51) an =
(54)
p
3
n3 + 2n2 − n
(|a| < 1, |b| < 1)
√
an = √
n
n+1
(55) an =
3n
4n
1 + (−1)n
(58) an = (0,5)n
n
(n − 2)!
(60) an =
n!
(57)
n−1
n
n2
n2
−
(62) an =
−
n
n−1
2n + 1 2n − 1
cosn
1
= nsen
(64) an =
(65) ne−n/2
n
n
n
√
√
µ
¶ 2n−1
8n3 − 1
25n2 + 1 − 9n2 + 1
√
=
(67) an =
2n3 + n + 1
4n2 + 1 − 1
µ
¶n
µ
¶2n
1
2
= 2+
(69) an = 1 +
n
5n
2
µ
¶n
µ 2
¶−n+1
n
2n − n + 1
=
(71) an =
n+5
2n2 − 3n + 2
! 2n−1
Ãr
¶ n2
µ 2
3n+1
3n + 1 n+1
4−n
=
(73) an =
3n2 − 1
4 − 2n
an =
(79)
n
1 + a + a2 + . . . + an
1 + b + b2 + . . . + bn
logn2
n
(n + 1)!
an =
n!
(61)
(78)
n+1−
√
(50)
√
12 + 22 + 32 + . . . + n2
(75) an = n2 e− n
3
n
"
#√n3 −2n+3
q
hp
i n+5
p
n+3
an =
n2 + 3n − 5 − n2 − 5n + 8
1
8n − 3
(3 + 6 + 9 + . . . + 3n)
(80) an = (−1)n
2
n
2n + 5
µ
¶
1
1
1
an = √
+√
+ ... + √
n2 + 1
n2 + 2
n2 + n
¶ n1
µ
¢
n2
1¡
an =
(83) an =
1 + (−1)n+1
2
n +1
2
an =
2
2n
n 8n − 3
(85)
a
=
(−1)
n
3n − 4
2n + 5
µ
¶
1
1
1
an =
+
+
.
.
.
+
(n + 1)2
(n + 2)2
(2n)2
an =
SUCESIONES
8
¶
1
1
1
√ + √
√
+
.
.
.
+
3
n
n
2
3
µ
µ
¶
¶
1
3
n
an = 1 + + + (−1) 1 − +
n
n
n
n
n
an = 2
+
+ ... + 2
n + 1 n2 + 2
n +n
·µ 3
¶n ¸
(−1)n
n + 3n2 + logn
an =
sen
n
n!
µ
(87)
(88)
(89)
(90)
an = n
a1/n + a2/n + . . . + an/n
a>0
n
6. Probar que la siguiente sucesión es convergente:
µ
¶
1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ . . . ∗ (2n − 1)
an =
2 ∗ 4 ∗ 6 ∗ . . . ∗ (2n)
(91)
an =
7. Calcular la relación entre a y b para que
µ
lı́m
n→∞
n+a
n+1
¶3n+a
µ
= lı́m
n→∞
n+3
n+2
¶bn
8. Calcular los siguientes lı́mites (Observar que no hay indeterminaciones):
a)
2
lı́m (cos2nπ)n
n→∞
+3n
b)
lı́m nsennπ
n→∞
Series
1. Sabemos que, salvo el caso de las series geométricas, en general no existen
técnicas elementales para evaluar series. El siguiente ejercicio muestra otra de
estas técnicas elementales para la evaluación de series.
SeanP(an ) y (bn ) sucesiones tales que an = bn − bn+1 ∀n. Probar P
que entonces
an converge si y sólo si (bn ) converge. Además, en este caso,
an =
b1 − limbn
2. Sumar las siguientes series
∞ µ ¶n
∞
∞
∞
X
X
X
X
2
2n+3
1 − 2n
1)
2)
3)
4)
7−n
n
n+1
3
5
3
1
1
1
1
5)
∞
X
2n − 3n+2
5n
1
8)
6)
∞
X
√
n+1−
∞
X
1
√
n
9)
1
n(n + 1)
∞
X
1
1
7)
∞
X
1
2
n(n + 1)(n + 2)
n−1
2
(1 + 2n )(1 + 2n−1 )
10)
∞
X
µ
log
1
¶n
∞ µ
∞
∞
X
X
X
1
n
11)
−
12)
(0,2)
13)
(−7)n
2
1
1
1
¶
µ
∞
∞
X
X
1
4
14)
15)
log 1 − 2
n
(4n
−
3)(4n
+ 1)
2
1
16)
∞
X
n+1
n
e−2n
1
∞
X
∞
X
6
2n + 1
18)
2 (n + 1)2
n
(2n
−
1)(2n
+ 1)
1
1
P
3. De la serie an sabemos que su sucesión de sumas parciales es Sn =
calcular el valor de an y el valor de la serie.
4. Estudiar la convergencia de las siguientes series
17)
1)
5)
∞
X
1
7/2
n
1
∞
X
1
¶
1
n−7/2
2)
∞
X
1
2
n
1
6)
∞
X
n
3)
1/2
∞
X
1
1/2
n
1
7)
∞
X
1
1
9
1
n+3
4)
∞
X
n−1,3
1
8)
∞
X
1
1
√
n n
3n+2
n+4 ,
SERIES
9)
10
∞
X
√
3
1
12)
∞
X
1
15)
∞
X
1
18)
∞
X
1
21)
∞
X
1
24)
28)
10)
n2 − 1
∞
X
∞
X
2
n3
√
n− n
13)
n2 2−n
√
19)
n+1−
n
√
47)
1
n2 logn
33)
1
50)
1
53)
∞
X
57)
∞
X
1
2n
n
∞
X
3 + cos nπ
2
1
n2 − 5
51)
∞
X
2
∞
X
n2 − 7n + 4
42)
2n
45)
∞
X
en
nn
1
∞ p
X
∞
X
(n!)2 4n
(2n)!
1
1
1
(logn)logn
52)
∞
X
59)
1
∞
X
1
∞
X
1
46)
n2 + 1 − n
∞
n
X
(−1)
55)
n(n + 1)
1
58)
3n
1
49)
1
nlog 2 n
∞
X
2n
nn
1
∞
n
X
(−1)
54)
2n + 1
1
n5
2n + 3n
∞
X
2
38)
1
48)
31)
nlogn + nlog 2 n
3n2 − 2nlog 1/2 n + logn
nn
¢n
logn
√
∞
X
∞
X
n3n
n−1
∞
X
1
1
nlogn
2
1
(a > 0)
n!
27)
∞
X
3n n!
41)
∞
X
¡√
∞
X
34)
1
a n na
∞
X
n2
1
log 2 n
2
∞
X
2n − 1
3n
1
∞
X
30)
37)
nn
44)
∞
X
n3
∞
X
20)
1
1
na log b n
2n + (−1)
n3 − 5n2 + 3n + 7
n2
¡
¢n
2 + n1
17)
23)
2
n
2
2 n
1
n
26)
∞
X
2n n!
1
(logn)−n
n 2
1
sen
1
log n n
∞
X
1
n2
∞
X
n
2
∞
X
sen(nα)
∞
X
n1/2
14)
n−3
1
1
∞
X
logn
2
1
(n + 1)n
∞
X
16)
1
40)
1
∞
X
1
∞
X
n2
n3 + 3n − 7
n2 + 3n1/2 − 7n
n(n + 1)
22)
29)
∞
X
1
∞
X
n − n1/2 + 7
2n + n(n + 1)
1
n
25)
1
log k n
11)
n3 + 1
n −1
n−7/2 + n1/2 − 3n
∞
X
n
n
2
1
∞
X
∞
X
1
36)
43)
√
1
2
∞
X
n!
35)
n
n
1
39)
∞
X
1
∞
X
1
logn
2
2
32)
1
56)
(−1)
∞
n
X
(−1)
1
µ
n
logn
2n3 − 4n + 3
2n + 100
3n + 1
n2n
¶n
SERIES
60)
62)
66)
11
∞
X
1
∞
X
1
∞
X
1
∞
X
(n − 1)!
√
¡
¢
√
3
2
log(2 2) . . . (log(2n 3 n))
n
(−1)
√
n+1
63)
∞
X
sen2 n3
n
(−n)
(n + 1)n+1
n3
1
67)
∞
X
1
61)
∞
X
an n!
1
64)
n1+1/n
(a > 0)
∞
n
X
(−1)
2
1
nn
68)
nlogn
65)
√
∞
X
sen n
1
n3/2
∞
n
X
(−1)
nlog 2 n
2
∞
∞
∞
X
X
X
1
cosnπ
(−2)n
n−1
√
√
70)
71)
72)
69)
n
nlogn
3n
n
n n
1
1
1
2
µ
¶
∞
∞
∞
n
X
X
X
n
1
n + 2n
73)
74)
75)
3n + 1
1 + logn
n2 2n
1
1
1
√
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
n
nlogn
(logn)n
n!
77)
76)
78)
79)
2+1
n
n
n
2
n
(2n
+ 1)!
1
1
1
1
¶
µ
√
q
∞
∞
X
X
√
√
n+1
n+1
n
n+ n− n
80)
(−1)
81)
(−1)
n
+
1
1
1
µ
¶n
¶
∞
∞ µ
X
X
logn
3 6 9
3n
n
82)
(−1)
83)
...
logn2
7 10 13
3n + 4
2
1
5. Sabiendo que
∞
X
1
π2
=
n2
6
1
calcular el valor de las series:
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 + ...
12
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
b) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + . . .
1
2
3
5
6
7
9
a)
A parte de las series geométricas, existen otras series fácilmente sumables, entre ellas destacaremos las series hipergeométricas, las series aritmético-geométricas, las series de Taylor y las series de Fourier. Igualmente, además de la analizada existen otras técnicas, consideradas como elementales, para evaluar series, entre las que destacan el método de Stirling para sumar series de término
racional.
Finalizamos el capı́tulo con un ejemplo de una serie aparentemente sencilla
pero cuya convergencia o divergencia no es conocida
∞
X
1
1
n3 sen2 n
Complejos
1. Calcular:
1)
(3 + 2i) + (7 − 3i)
2)
(1 + i) − (2 − 3i)
4) (1 + i)(2 − 3i)
5)
(3 + 2i)
6)
8) (2i) + (1 − 3i)
9)
(2 + 3i)
(1 − 5i)
10)
12)
1
(1 + i)
17)
(1 + i)2
i234546
20)
13) i3
18)
14) i100
(3 − 2i)(2 + 3i)
3 − 4i
3)
(2 − 3i)
(5 − i)
(3 + 4i)
15) i134567
19)
(3 − i)(4 + i)
7)
i(2 + 3i)
11) (3 + 2i)−1
16)
i−34564
1+i
3
−
i
4−i
((5 + i) − (4 − i)) i5672345893
−10i − i (2−3i)5i
2+3i
2. Calcular el módulo y argumento de los siguientes números complejos:
√
1) 3 + 4i
2)
3−i
3) − 4i
4) (3 + 4i)−1
5) 1 + i
6) (1 + i)5
7) |3 + 4i|
8)
1+i
1−i
3. Calcular las siguientes potencias (Dando la solución en binómico):
√
√
1) (1 + i)20
2) (1 − 3i)5
3) (1 − i)8
4) (2 3 + 2i)5
√
√
5) (2 − 2i)7
6) (1 + 4i)3
7) 4(1 − 3i)3
8) (− 3 − i)7
¶10
µ
h ³
5π
π
π ´i5
5π
+ isen
10)
2 cos + isen
9)
cos
4
4
2
2
4. Escribir los siguientes números complejos en todas sus formas:
√
√
1) − 3 + 3i
2) 1 − 3i
3) 8i
4)
3+i
√
6) − 1 − i
7) − 3 − 3i
8) eiπ/2
5) 4 3 − 4i
12
9)
e2iπ
COMPLEJOS
13
10) e−iπ
11) e3iπ/4
13) cos(π/2) − isen(π/2)
14)
5. Calcular las siguientes raı́ces:
√
√
1) 5 −1
2) 3 −2 + 2i
3)
q
5)
3
1+
√
π
π
+ isen )
4
4
− 3(−cos3iπ + isen3iπ)
12) 2(cos
√
5
1+i
q
3i
4
6)
√
−4 2(1 − i)
7)
√
6
4)
i
s µ
¶
5π
5π
4
16 cos
+ isen
6
6
6. Resolver las ecuaciones siguientes:
1)
4x2 + 9 = 0
2)
x4 = 1
3)
x2 − 8x + 17 = 0
4) x2 − 4x + 5 = 0
5)
x2 + x + 2 = 0
6)
x2 + 2ix − 1 = 0
7) x2 + ix + 1 = 0
8)
x4 + x2 + 1 = 0
9)
x3 − x2 − x − 2 = 0
10) x6 − 9x3 + 8 = 0
11)
x5 − 2x4 + x3 − 2x2 + x − 2 = 0
7. Calcular los números complejos z que verifiquen que z n = z
8. Representar gráficamente:
1) z = −z
2) z = z −1
5) |z| < 1 − Rez
9) z + z = |z|2
3) |z − 1| = 2
6) Rez > 2
7)
4)
|z − 3|
|z + 3|
|z − 1| = |z + 1|
8) |z| < 2
10) z + z = i
9. Calcular los números complejos z que verifiquen que z 2 = z
10. Determinar x, y tales que:
√
1 − 3i
1) x + yi =
2
2) x + yi = |x − yi|
3)
100
X
ik = |x − yi|
k=0
11. Calcular los números complejos
z que verifiquen que z 4 − z = 0
√
1+√3i
12. Comprobar que z = 1− 3i es raı́z cuarta de si mismo. Hallar el resto de
números que verifiquen esto.
Lı́mites de Funciones
1. Estudiar el domino de las siguientes funciones:
q
p
p
2
(1) f (x) = 1 − x
(2) f (x) = 1 − 1 − x2
(3)
(5)
(7)
(9)
p
p
√
√
(4) f (x) = x + 5 − x − 7
√
2x − 1
f (x) = log(logx))
(6) f (x) = 1 − 3x + arcsen
5
p
1−x
f (x) = log 2x3 + 3x2
(8) f (x) = √
x x+2
r
x3
x
f (x) =
(10) f (x) = 2
x−1
x +1
f (x) =
|x + 5| −
|x − 7|
2. Calcular, si existe, el lı́mx→a f (x) en los siguientes casos:
(1)
a = −7
(3)
a=2
f (x) = −x2 + 5x − 2
(5)
a=2
f (x) =
(7)
a = −5
(9)
a=0
(11)
(13)
f (x) = 2x + 5
x+3
x+6
(2)
(6)
x2
(8)
5−x
3
f (x) = √
3x + 1 + 1
a=0
a=∞
f (x) =
f (x) = cos
f (x) =
1
x
a = 12
(4)
a = 1/2
a=5
f (x) =
a = −3
(14)
(15)
a=∞
f (x) =
(2x + 3)3 (3x − 2)2
x5 + 5
(16)
a=∞
f (x) =
2x + 3
√
x+ 3x
(17)
14
f (x) = 3x(2x − 1)
4
x−7
f (x) = (5 − x)4/3
(10) a = 5
(12) a = ∞
x2 − 5x + 1
3x + 7
f (x) = 10 − 3x
f (x) =
f (x) =
a=∞
a = −∞
x−5
x2 − 25
1000x
x2 − 1
f (x) =
f (x) =
2x2 − x + 3
x3 − 8x + 5
2x2 − 3x − 4
√
x4 + 1
LÍMITES DE FUNCIONES
15
x2
√
(19) a = ∞
10 + x x
√
x
f (x) = q
p
√
x+ x+ x
(18)
a=∞
f (x) =
(20)
a=∞
(21)
a = −1
f (x) =
(23) a = −1
f (x) =
x3 + 1
x2 + 1
x2
(22)
x2 − 1
+ 3x + 2
a=5
(24)
√
3
f (x) =
f (x) =
a=2
x2 + 1
x+1
x2 − 5x + 10
x2 − 25
f (x) =
x2 − 2x
− 4x + 4
x2
(37)
x3 − 3x + 2
1
(26) a = 1 f (x) =
x4 − 4x + 3
x−1
1
3
3
a = 1 f (x) =
(28) a = 1 f (x) =
−
1 − x3
x − 1 1 − x3
√
2− x−3
x−8
a = 7 f (x) =
(30) a = 8 f (x) = √
2
x − 49
x−2
√
√
x−1
3− 5+x
√
a = 1 f (x) = √
(32) a = 4 f (x) =
3
x−1
1− 5−x
√
√
1+x− 1−x
a = 0 f (x) =
x
√
√
a = ∞ f (x) = x + 1 − x
√
√
x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6
a = 3 f (x) =
x2 − 4x + 3
p
a = ∞ f (x) = x2 − 5x + 6 − x
p
a = ∞ f (x) = x( x2 − 1 − x)
(38)
a=0
(40)
a=0
(42)
a=0
(25)
(27)
(29)
(31)
(33)
(34)
(35)
(36)
(44)
(46)
(48)
(50)
a=1
f (x) =
sen3x
x
1 − cosx
f (x) =
x2
f (x) =
(39) a = 0
(41)
a=
sen5x
sen2x
senx − cosx
f (x) =
1 − tgx
f (x) =
π
4
1
1
(43) a = ∞ f (x) = xsen
x
x
arcsenx
tgx − senx
(45) a = 0 f (x) =
a = 0 f (x) =
x3
x
arctg2x
x − sen2x
a = 0 f (x) =
(47) a = 0 f (x) =
sen3x
x + sen3x
√
1 − cosx
x3 − 3x + 2
a = 0 f (x) =
(49)
a
=
1
f
(x)
=
x2
x4 − 4x + 3
p
p
a = −∞ f (x) = x2 + x + 1 − x2 − 2x − 1
f (x) = xsen
LÍMITES DE FUNCIONES
16
3. Calcular los siguientes lı́mites (si existen):
(1)
lı́m
x→2
x−2
|x − 2|
(2)
(3)
5
x→0 2x
(5)
4
x→7 (x − 7)2
(7)
1
x→2 x2 − 4
(9)
(10)
(11)
(13)
lı́m
lı́m
(6)
lı́m
(8)
x→0 x2 (x
x2 − 3x + 2
x→0 x3 − 2x2
lı́m (x2 + x3 )log(1 +
x→∞
log(x + 2)
x→−1
x+1
logcosx
x2
1
)
x3
(14)
cos2x − cosx
x→0
sen2 x
(17)
lı́m
e2x − e−2x
x→0
senx
(18)
(19)
ex + 3x3
x→∞ 4ex + 2x2
(20)
(23)
lı́m
x→0
(22)
1
1
−
x senx
(25)
logx
1
−√
x→∞ x
x
(27)
log 1000 x
x→∞
x5
lı́m
lı́m
x4 + x2
x→∞ ex + 1
(16)
lı́m
lı́m x2 e−x
5x + 2logx
x + 3logx
lı́m
lı́m
x→∞
lı́m
x→∞
(15)
(21)
8x − 2x
x→0
4x
(12)
lı́m
lı́m
1
+ 1)
lı́m
lı́m
³
´
sen xx+1
2 +3
³
´
lı́m
x→∞
log 1 + xx+3
2 +7
x→0
xsenx
|x|
3x
x→−5 2x + 10
(4)
lı́m
lı́m
x→0
lı́m
ex − 1
x→0 tg2x
lı́m
lı́m (ex − 1)cosx
x→0
lı́m xcosecx
x→0
(24)
lı́m
x→1
log 5 x
x→∞ x2
(26)
(28)
lı́m
lı́m+
x→0
µq
4. Calcular a para que lı́mx→∞
x
1
−
logx x − 1
e−3/x
x2
¶ ax2x+1
x2 +x+1
x2
= e2
LÍMITES DE FUNCIONES
17
5. Calcular los lı́mites laterales de la función en los puntos indicados:
a) f (x) =
b)
c)
d)
e)
f)
g)
1
x=1
1
1 + e 1−x
½
x
x<1
f (x) =
x=1
x+1 x>1
 2
 x x<2
3
x=2
x=2
f (x) =

2
x>2
½
0
x≤0
f (x) =
x=0
sen x1 x > 0
½ 3
x x 6= 1
f (x) =
x=1
0
x=1
½ √
x−4 x>4
x=4
f (x) =
8 − 2x x < 4
½ 2
x − 2x + 2 x < 1
x=1
f (x) =
3−x
x≥1
6. Explicar por qué es incorrecto el uso de la regla de L´Hopital en los
siguientes casos:
(1)
(2)
(3)
e2x − 1
2e2x
= lı́m x = lı́m 2ex = 2
x
x→0
x→0 e
x→0
e
lı́m
senπx − 1
= lı́m πcosπx = π
x→0
x
1
cos1/x
lı́m xcos = lı́m
= lı́m sen1/x = 0
x→∞
x→∞
x x→∞ 1/x
lı́m
x→0
7. Consideremos la función f (x) = √xx2 +1
a) Calcular su lı́mite cuando x → ∞ sin usar L´Hopital
b) Comprobar que no sirve de nada usar L´Hopital en este caso.
8. Determinar
 en que puntos existe el lı́mite de las siguientes funciones:
x < −1
 2−x
x
−1 ≤ x < 1
(a) f (x) =

(x − 1)2 x > 1

 x
x2
(b) f (x) =

8−x
9. Calcular, si existe,
(1)
a = 5+
x<0
1≤x≤2
x>2
el lı́mx→a f (x) en los siguientes casos:
f (x) =
6
x−5
(2) a = 3
f (x) =
1
(x − 3)8
LÍMITES DE FUNCIONES
x−1
x2 (x + 2)
a = −2+
a=0
(5)
a = 5+
f (x) = log(x − 5)
(7)
a = −3
f (x) =
x2 − x + 12
x+3
(8)
(9)
a = −2
f (x) =
x+2
2
x −x−6
(10)
(11)
a=1
f (x) =
x3 − 1
x2 − 1
(13)
a=2
f (x) =
x2 + x − 6
x2 − 4
(15)
a=1
(16)
a=1
(18)
a=0
(20)
a=1
f (x) =
(32)
a=0
f (x) =
(34)
a = −∞ f (x) = x2 ex
(35) a = ∞ f (x) = e−x logx
2
π
(37) a = ∞ f (x) = x3 e−x
a = ( )− f (x) = sec7xcos3x
2
1
1
1
1
a = 0 f (x) = 4 − 2
(39) a = 1 f (x) =
−
x
x
logx 1 − x
(24)
(26)
(28)
(30)
(36)
(38)
(40)
(4)
x−1
x2 (x + 2)
(3)
(22)
f (x) =
18
(6) a = 0
(12)
f (x) =
f (x) =
a = −3
a=1
a=9
f (x) =
f (x) =
f (x) =
(14) a = 0
|x|
x
x2 − x − 12
x+3
x2 + x − 2
x2 − 3x + 2
9−x
√
3− x
1
1
f (x) = √
−
t
t 1+t
1
2
−
x − 1 x2 − 1
√
x
x − x2
√
f (x) =
(17) a = 0 f (x) = √
1− x
1 + 3x − 1
p
π
|x − 2|
f (x) = x3 + x2 sen
(19) a = 2 f (x) =
x
x−2
f (x) =
x9 − 1
ex − 1
(21)
a
=
0
f
(x)
=
x5 − 1
senx
x + tgx
senx
a = 0 f (x) =
(23) a = 0 f (x) =
senx
x3
tgx
logx
a = 0 f (x) =
(25) a = ∞ f (x) =
x
x
loglogx
1 − cosx
a = ∞ f (x) =
(27) a = 0 f (x) =
x
x2
ex − 1 − x
senx − x
a = 0 f (x) =
(29) a = 0 f (x) =
2
x
x3
senx
x
a = 0 f (x) = x
(31) a = ∞ f (x) =
e
log(1 + 2ex )
a = 0+
x + tg2x
x − tg2x
f (x) = xsenx
(33)
(41)
a = 0+
a = 0+
f (x) =
√
xlogx
f (x) = (senx)tgx
LÍMITES DE FUNCIONES
19
µ
(42)
a=∞
x
f (x) = (e + x)
µ
(44)
a=∞
1/x
f (x) =
2x − 3
2x + 5
(43)
a=0
f (x) =
sen2x
x
¶1+x
¶2x+1
µ
¶x3
x+1
2x + 1
2x
µ
µ ¶ x+1
¶x+1
x−1
1
(46) a = 1 f (x) =
(47) a = ∞ f (x) =
x2 − 1
x2
¶ senx
µ 2
x
x − 2x + 3
(48) a = 0 f (x) =
2
x − 3x + 2
µ 2
¶x2
1
x +2
(50) a = 0 f (x) = (1 + senx) x
(49) a = ∞ f (x) =
2
2x + 1
(45)
a=∞
f (x) =
(51)
a=0
f (x) =
(53)
a=1
(55)
a=3
f (x) = logxlog(x − 1)
(54)
µ
¶
1
5
f (x) =
−
x − 3 x2 − x − 6
(56)
a=∞
xcosx − senx
x3
1
f (x) = x x
(57)
(52)
a=0
logx
f (x) = √
3
x
a=∞
a=0
f (x) = xx
1
f (x) = x logx
10. Calcular los valores de a para que exista el lı́mite de f (x) =
en x = −2 ¿Cuánto vale el lı́mite en estos casos?
3x2 +ax+a+3
x2 +x−2
Continuidad
1. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
½
(1)
f (x) =
(2)
f (x) =
½
½
x
x2
x≤1
x>1
−2x + 3
x2
x
2
+1 x≤2
3−x x>2
(3)
f (x) =
(4)
f (x) =
(5)

 2x + 1
3x
f (x) =

2x − 1
½
½
x<1
x≥1
−2x
x≤2
x2 − 4x + 1 x > 2
x ≤ −1
−1 < x < 1
x≥1
(x − 1)3
(x + 1)3
x<0
x≥0
(6)
f (x) =
(7)

 x+3
3x
f (x) =

4
x≤0
0<x<2
x>2
(8)

− 1


 x−1
0
f (x) =
x



2
x≤0
x=0
0<x<1
x≥1
20
CONTINUIDAD
21
½
(9)
f (x) =
|3x2 − 1|
x2 − 2x + 2
½
(10)
f (x) =
(11)
f (x) =
(12)
f (x) =
(13)
f (x) =
½
(15)
f (x) =
2
f (x) =
e1/x
1+e1/x
sen x1
0
(18)
f (x) =
(19)
f (x) =
x 6= 0
x=0
x 6= 0
x=0
xsen x1
0


f (x) =
x<1
x≥1
0
½
(17)
x 6= 3
x=3
e1/x
1 + e1/x
½
(16)
x2 −9
x−3
1
x
(
f (x) =
x∈Z
x∈
/Z
6
½
(14)
0
x
x≤1
x>1
x 6= 0
x=0
x
e1/x
x<0
x=0
x>0
x + logx
x2
x>1
x≤1
0
 √ 2
x +1
½
½
1
x2
0
−
1
tg 2 x
x 6= 0
x=0
CONTINUIDAD
22
2. Calcular el valor de los parámetros que hacen continua la función:
(1)

 −3senx
asenx + b
f (x) =

cosx
½
(2)
f (x) =
½
(3)
f (x) =
x3
ax2
x ≤ − π2
<x<
x ≥ π2
− π2
π
2
x≤2
x>2
4senx
x
a − 2x
x≤0
x≥0


(4)
f (x) =
(5)
f (x) =
2
x ≤ −1
ax + b −1 < x < 3

−2
x≥3
½
x2 −a2
x−a
8
x 6= a
x=a
3. Probar que la ecuación senx = x − 1 tiene solución real.
4. Probar que la ecuación 2x4 − 14x2 + 14x − 1 = 0 tiene exactamente 4
raı́ces reales.
5. Consideremos una función f : [0, 1] −→ [0, 1] continua, probar que la
ecuación f (x) = x tiene solución en [0, 1]
1
1
1
1
6. Demostrar que la ecuación x−1
+ x−2
+ x−3
+ x−4
= 0 tiene exactamente
3 raı́ces reales.
¡
¢
7. Probar que la ecuación senx = π2 tiene solución en el intervalo π6 , π
8. Un coche recorre 100 kilómetros en 50 bminutos. Probar que en algún
minuto recorrió 2 kilómetros.
xlog 2 x
9. Extender continuamente la función f (x) = (x−1)
2 al intervalo [0, 2]
10. Probar que la ecuación cosx = x tiene alguna solución real.
11. Consideremos las siguientes funciones
x + |x|
f (x) =
2
½
g(x) =
x
x2
x≤0
x≥0
Estudiar la continuidad de las funciones f og y gof
1
12. Consideremos la función f (x) = λx2 −2λx+1
definida en el intervalo [0, 1].
Calcular los valores de λ que la hacen continua.
Derivadas
1. Calcular las derivadas de las siguientes funciones (simplificando las expresiones cuando sea posible):
(1)
f (x) = x6
(4)
f (x) = 6x3 − x2
f (x) = x2/3
(2)
(3)
(5) f (x) =
f (x) = x4 + 3x2 − 6
x3 − x2 + 1
5
x2
f (x) = 2ax3 −
+c
(7) f (x) = 6x7/2 + 4x5/2 + 2x
b
rq
√
√
√
1
x
(9) f (x) = 3x + 3 x +
(8) f (x) =
x
√
(10) f (x) = sen2 x
(11) f (x) = cosx (12) f (x) = cos−2 x
(6)
(13)
f (x) = (x2 + 1)−1/3
(14) f (x) = Ln(x2 − x + 1)
(15)
f (x) = Ln1/2 (senx)
(16) f (x) = e4x
(17)
f (x) = exp(exp(exp(x)))
(19)
f (x) = 3x
(22)
f (x) = sen(x2 + 1)
(24)
f (x) = sen(cosx)
f (x) = xtgx
(20)
5
−2
(28)
f (x) = cos(cosx)
(30)
f (x) = tg(5x )
(32)
f (x) = arcsen(cosx)
(34)
f (x) = arctg(ex )
(36)
f (x) = (1 + 4x3 )(1 + 2x2 )
)
(27)
f (x) = cos(tgx)
(29) f (x) = tg(Ln(x2 + 1))
√
(31) f (x) = arccos x
(33)
(35)
f (x) = arctg
f (x) =
(39)
1+x
1−x
(x + 1)3
x3/2
(37) f (x) = x(2x − 1)(3x + 2)
4
2x
b2 − x2
f (x) = (senx)senx
(25) f (x) = cos(senx)
f (x) = sen (x
f (x) =
(21)
f (x) = sen(ex )
(23)
(26)
(38)
f (x) = exp(3 − x2 )
(18)
f (x) =
23
a−x
a+x
DERIVADAS
24
x3 + 1
−x−2
(40)
f (x) =
(42)
√
f (x) = (a + x) a − x
(44)
2x2 − 1
f (x) = √
x 1 + x2
(46)
f (x) = sen2xcos3x
(48)
f (x) = Ln(tgx)
(50)
f (x) = Lntg(
(52)
(54)
(56)
(58)
(60)
f (x) = (2x2 − 3)2
r
1+x
(43) f (x) =
1−x
(41)
x2
(45)
f (x) =
senx
1 + cosx
(47)
f (x) = Ln(cosx)
r
1 + senx
(49) f (x) = Ln
1 − senx
π x
+ )
(51) f (x) = sen(logx)
4
2
1+x
f (x) = Ln
(53) f (x) = Ln(x2 + x)
1−x
p
f (x) = xlogx
(55) f (x) = log(x + 1 + x2 )
r
1+x
f (x) = log(logx)
(57) f (x) = Ln
1−x
√
2
cosx
1
x
x +1−x
f (x) = Ln √
(59) f (x) = −
+ logtg
2x
2
2sen
2
2
x −1+x
µ
¶1/4
1+x
1
f (x) = xx
(61) f (x) = log
− arctgx
1−x
2
(63)
1
1
x+1
2x − 1
+ √ arctg √
log √
2
3
3
3
x −x+1
¡
¢
2
f (x) = sen (x + 1) (x + 2)
(64) f (x) = sen3 (x2 + senx)
(65)
f (x) = sen(sen(sen(sen(senx))))
(66)
f (x) = sen(6cos(6sen(6cos6x)))
(62)
(67)
(68)
(69)
(70)
f (x) =
senx2 sen2 x
1 + senx
Ã
!
x3
¡ x3 ¢
f (x) = sen
sen senx


x
³
´
f (x) = sen 
x
x − sen x−senx
f (x) =
f (x) = sen2 xsenx2 sen2 x2
2. Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones:
½
2
xe−1/x x =
6 0
(1) f (x) =
0
x=0
DERIVADAS
25
½
tgx
1+x
x 6= 0
x=0
(2)
f (x) =
(3)
f (x) =
(4)

 sen(πx)
2 + x2
f (x) =

1 + e−x
0
1
1 + |x|


(5)
f (x) =
(6)
f (x) =
½
f (x) =
(8)
f (x) =
½
x ∈ R+ − {1}
x=1
x≤0
1
0

½
(7)
xLn(x)
x−1
x ≤ −1
−1 ≤ x ≤ 0
x≥0
sen x1
0
x 6= 0
x=0
xsen x1
0
x 6= 0
x=0
x2 sen x1
0
x 6= 0
x=0
3. Calcular las rectas tangentes y normal a las siguientes funciones en los
puntos indicados:
(1)
f (x) = 3x2 + 8
(2)
f (x) = x4 − 1 P (0, −1)
µ
¶
senx
f (x) = arctg
1 + cosx
(3)
(4)
f (x) = xsenx
x=1
P (0, 0)
x = π/2
4. ¿En qué punto es la tangente a f (x) = x2 − 6x + 8 paralela al eje OX?
5. Consideremos las funciones f (x) = x2 + 1 y g(x) = −x2 , encontrar las
rectas tangentes a ambas.
6. Hallar la derivada n-esima de la función f (x) = x2 ex
7. Sean f, g funciones derivables en x = 0 con f (0) = g(0) = 0, ¿Puede ser
x = f (x)g(x)∀x?
DERIVADAS
26
8. Calcular la función derivada de las siguientes funciones:
(1)

log(−x)



sen(πx)
f (x) =
x

2


3
2
(2)

(x + 3)2




x2 − 3



0
f (x) =
2
x



1

cos x−1



2x − 3
x<1
−1 ≤ x ≤ 2
2<x<3
x≥3
x ≤ −2
−2 < x ≤ −1
−1 < x < 0
0<x≤1
1<x≤2
x>2
9. Sea g función derivable con g(0) = g 0 (0) = 0, probar que la función
½
g(x)sen x1 x 6= 0
f (x) =
0
x=0
es derivable en x = 0 y calcular f 0 (0)
10. Calcular la derivada n-esima de la función f (x) =
√1
1+x
Derivadas II
1. Calcular los parámetros de las siguientes funciones para que se verifiquen
las condiciones impuestas:
(1) f (x) = x2 + 2x + a, tiene un mı́nimo en x = 8
(2) f (x) = x2 + bx + c, pasa por el punto (−2, 1) y tiene un punto extremo
en x = −3
(3) f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, tiene un máximo en (0, 4) y un mı́nimo en
(2, 0)
(4) f (x) = x3 +bx2 +cx +d, tiene un mı́nimo en x = 1, un punto de inflexión
en x = 3 y pasa por (1, 0)
(5) f (x) = ax3 + bx2 + cx + d pasa por (−1, 1) y tiene tangente horizontal
en el punto de inflexión (0, −2)
2. Encontrar los extremos relativos de las siguientes funciones, indicando
cuales de ellos son absolutos (si los hay):
√
(2) f (x) = t 4 − t
(1)
f (x) = x2 (x2 − 4)
(3)
f (x) =
(5)
f (x) = 2secx + tgx
(6)
f (x) = 4 − |t − 4| x ∈ [1, 6]
½
2 − x2 0 ≤ x ≤ 1
f (x) =
2 − 3x 1 < x ≤ 3
(7)
4x
−1
x2
(4) f (x) = sen2 x + cosx x ∈ [0, 2π)
x ∈ (0, 2π)
(8)
f (x) = x − senx x ∈ [0, 2π]
(9)
f (x) = x2 − 4
(a) x ∈ [−2, 2]
(d) x ∈ [−2, ∞)
(b) x ∈ [−2, 2)
(e) x ∈ [2, ∞)
(c) x ∈ (−2, 2]
(f ) x ∈ (2, ∞)
3. Determinar las cuales de las siguientes funciones satisfacen las hipótesis
del teorema del valor medio:
(a) f (x) = x2/3
x ∈ [−1, 8]
(b) f (x) = x4/5
27
x ∈ [0, 1]
DERIVADAS II
(c)
f (x) =
28
p
x(1 − x) x ∈ [0, 1]
½
(d) f (x) =
x 0≤x<1
0
x=1
4. Probar que la ecuación x2 − cosx = 0 tiene exactamente 2 soluciones.
5. Probar que la ecuación x3 −4x+2 = 0 no puede tener 2 soluciones distintas
en el intervalo (2, 3)
6. A las 4 de la tarde un coche pasa a 70 km/h por el kilómetro 400 de
la autopista A6, 10 minutos después pasa por el kilómetro 425 a 80 km/h. Le
para la policı́a por exceso de velocidad ¿Tiene razón la policı́a? (La velocidad
máxima es de 120 km/h)
7. Probar que la ecuación ex = 1 + x tiene una única solución.
8. Probar que las siguiente funciones tienen un único cero en el intervalo
indicado:
(a) f (x) = x3 +
4
+7
x2
(−∞, 0)
√
1
+ 1 + t − 3,1 (−1, 1)
1−t
1
(c) f (x) = secx − 3 + 5 (0, π/2)
x
9. Probar las siguientes inecuaciones:
(b) f (t) =
a) |senx − seny| ≤ |x − y| ∀x, y ∈ R
x
< log(x + 1) < x ∀x > 0
x+1
x
∀x ∈ (0, 1)
c) x ≤ arcsenx ≤ √
1 − x2
b)
10. Demostrar las siguientes igualdades sin usar las igualdades trigonométricas:
a) arctg
senx
x
=
1 + cosx
2
³ π π´
∀x ∈ − ,
2 2
π
∀x ∈ (−1, 1)
2
11. Existe una generalización para la determinación de los extremos relativos
y puntos de inflexión de una función que afirma lo siguiente:
b) arcsenx + arccosx =
Consideremos un función f derivable un número suficiente de veces
en un punto x0 con f 0 (x0 ) = 0. Supongamos que la primera derivada
que no se anula en x0 es de orden par (impar), entonces la función
tiene un máximo en x0 si esta derivada es negativa y un mı́nimo si
es positiva (tiene un punto de inflexión)
DERIVADAS II
29
Por desgracia no se sabe nada si todas las derivadas existentes en el punto
x0 son nulas.
Estudiar como ejemplo que sucede con el punto x = 0 en la funcion
½
2
e−1/x x 6= 0
f (x) =
0
x=0
12. Estudiar el crecimiento y curvatura de la función f (x) = log(x12 +1)
13. Un avión inicia su despegue a las 14:00 para efectuar un vuelo de 2.500
millas. El avión llega a su destino a las 7:30. Explicar por qué hay al menos dos
instantes de tiempo en los que su velocidad fue de 400 millas/h
14. Probar que si
a1
a2
an
a0
+
+
+ ... +
=0
1
2
3
n+1
entonces la ecuación
a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn = 0
tiene solución en el intervalo [0, 1]
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
1. Encontrar dos números que sumen 20 y cuyo producto sea máximo.
2. Encontrar dos números con suma 18 y de modo que el producto de uno
de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.
3. Deseamos vallar un campo rectangular de dimensión máxima con una
valla de longitud 100 m. Calcular las dimensiones del campo.
4. Calcular la longitud mı́nima de una valla que permita vallar un campo
rectangular de 3600m2 .
5. Deseamos construir barriles cilı́ndricos con una capacidad de 160 l. Calcular sus dimensiones para que el coste de la chapa sea mı́nimo:
a) Si los barriles no tiene tapa
b) Si los barriles tienen tapa
6. Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una
circunferencia de radio 12 cm.
7. Probar que entre los rectángulos de igual perı́metro, el de mayor área es
el cuadrado.
8. Probar que entre los rectángulos de igual área, el de menor perı́metro es
el cuadrado.
9. Probar que la suma de un número positivo y su recı́proco es como poco
2.
10. La velocidad de la luz en dos medios distintos es, respectivamente, v1
y v2 . Sabiendo que la luz viaja entre dos puntos empleando el mı́nimo tiempo
posible, probar la ley de refracción, que recordemos afirma que
v1
seni
=
senr
v2
DERIVADAS II
30
siendo i y r los ángulos de incidencia y refracción respectivamente.
11. Dos pasillos de anchuras respectivas A y B se encuentran formando un
ángulo recto ¿Cuál es la longitud máxima que puede tener una escalera de mano
para poder ser trasladada horizontalmente de una pasillo al otro?
12. Con 4 metros de alambre deseamos construir un cı́rculo y un cuadrado de
modo que el área total sea máxima, ¿cuáles serán las dimensiones de las figuras?
13. Calcular el punto de la gráfica de la función f (x) = 4 − x2 más cercano
al punto (1, 0)
14. Un cartel rectangular debe tener márgenes superior e inferior de 6 cm
y márgenes laterales de 4 cm. El área opupada por la impresión debe ser de
500 cm2 . Determinar las dimensiones del cartel de modo que su área total sea
mı́nima.
DERIVADAS II
31
15. Un bote sale de un muelle a las 14:00 viajando hacia el sur a una velocidad
constante de 20 km/h. Otro bote que viaja en dirección este a 15 km/h llega al
muelle anterior a las 15:00. Determinar el momento en el que los botes estuvieron
más próximos.
Representación de
Funciones
Realizar un estudio analı́tico de las siguientes funciones para representarlas
gráficamente:
(1)
x4 − 12x3 + 48x2 − 64x
(2)
x3 − 3x2 + 3
(3)
√
x
x2
+2
x2 − 2x + 4
4senx
(6)
x−2
x2 + 1
cosx
(7) senxcosx x ∈ (0, 2π)
(8)
x ∈ (0, 2π)
1 + senx
x
x ∈ (0, 2π)
(10) sen2 x + senx x ∈ (0, 2π)
(9)
2 + cosx
ex
3 2
9 1/3 2
(11)
(12)
(x − 1)2/3
(13)
x (x − 7)
2
x −9
4
14
π π
2π 2π
]
(15) tgx − 4x x ∈ (− , )
(14) x + sen2x x ∈ [− ,
3 3
2 2
senx
x
−x
x
(16) 2 +
(17) e + e
(18) xe
x
(4)
2x5/3 − 5x4/3
(5)
(19)
log(4 − x2 )
(20)
x3
x2 + 1
(21)
xlogx
Las siguientes gráficas representan la derivada de una función (de hecho de
muchas funciones), representar gráficamente dicha función
32
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
33
Teorema de Taylor
1. Calcular los polinomios de Taylor siguientes:
(1)
f (x) = x−2
(2)
(4)
f (x) = ex n = 6 a = 1
senx
f (x) = x
n=3 a=0
e
f (x) = ex cosx n = 4 a = 0
(5)
f (x) = log(cosx) n = 3
(6)
f (x) = esenx
(7)
f (x) = tgx
(3)
(8)
(9)
n=4
a=1
n=4
n=3
a=0
a=0
a=0
x
f (x) = e log(1 + x) n = 4 a = 0
senx
f (x) =
n=2 a=0
1+x
(10)
f (x) = exp(exp(x)) n = 3
(11)
f (x) =
2x + 1
x(x + 1)
n=3
a=0
a=1
3. Calcular las series de Maclaurin de las siguientes funciones:
(1)
f (x) = x4 − 2x3 − 5x + 4
(2)
f (x) = ex − e−x
(3)
f (x) = xex
(4)
f (x) =
(5)
f (x) = cosecx
log(x2 + 1)
x2
Z
x
√
(Usar que cosecx =
0
4. Calcular los siguientes lı́mites usando Taylor:
(1)
lı́m
x→0
arctgx
√
x
(2)
lı́m
x→0
arcsenx
x
34
1
)
1 − t2
TEOREMA DE TAYLOR
(3)
lı́m √
x→0
35
tg 2 x − arcsenx2
1 + x2 − cosx − 65 log(1 − x)
5. Sumar las siguientes series:
(1)
∞
X
(−1)n+1
1
(4)
∞
X
2n
3n n!
0
1
n
4 n
(5)
(2)
∞
X
(−1)n+1
1
∞
X
(−1)n
0
4n
9n (2n)!
1
n
5 n
(6)
∞
X
1
n
2 n!
0
(3)
∞
X
0
1
(n + 2)n!
6. Aproximar los siguientes números con un error menor del indicado:
(1)
cos(1)
error = 0,001
(3)
exp(−0,25)
error = 10−7
(2)log(2)
error = 10−4
(4) sen(1/2) error = 10−5
√
7. Consideremos la función f (x) = x + 1,calcular
su polinomio de Mclaurin
√
de grado 3 y usarlo para aproximar el valor de 1,02. Estimar el error cometido.
8. Usando la función
r
1+x
f (x) = log
1−x
aproximar el valor de log(3) con un error menor que 10−3
9. Calcular la serie de Mclaurint de la siguiente función:
½
2
e−1/x x 6= 0
f (x) =
0
x=0
NOTA Observar que dicha serie sólo aproxima a la función en el origen.
Integrales indefinidas
Para hacer más accesible el estudio del cálculo de primitivas hemos dividido
los ejercicios en distintas partes, teniendo en cuenta el tipo de integral que
consideramos. Esto no quiere decir que los ejercicios propuestos no puedan ser
resueltos de forma distinta a la considerada aquı́, lo que sucederá sobre todo
con los cambios de variable.
Además, aunque la solución final deberı́a ser la misma con independencia
del método seguido, puede suceder que no sea sencillo darse cuenta que dos
soluciones aparentemente distintas son de hecho la misma. De nuevo, suelen
darse estos casos en integrales que precisan de cambios de variable, ya que
generalmente se opta por no deshacer los cambios al dar la solución, con lo que
distintos cambios pueden llevar a soluciones ”distintas”.
Por ello, en las soluciones daremos el cambio (o los cambios) con el que
hemos resuelto la integral, la integral (casi siempre racional) a la que se llega y
la solución de ésta.
INTEGRALES ”INMEDIATAS”
Las siguientes integrales son inmediatas o se convierten en inmediatas mediante simples manipulaciones. Algunas de las integrales se pueden resolver por
otros procedimientos (en general cambios de variable que las reducen a integrales racionales) y suele ser frecuente no observar que dichas integrales son casi
inmediatas, optando por el camino más largo (y más cómodo).
Z
Z
Z
dx
2
4x
(1)
tg xdx
(2)
e dx
(3)
xlogx
Z
Z
dx
x3
√
√
dx
(5)
(4)
1 + x8
x−1+ x+1
√
Z
Z √
3
x − 2 x2 + 1
x + arcsenx
√
√
(6)
dx
(7)
dx
4
x
1 − x2
Z
Z
Z
dx
ex
x2
dx
(9)
(10)
dx
(8)
1 + x2
1 − cosx
2 + ex
36
INTEGRALES INDEFINIDAS
Z
(11)
Z
(13)
37
Z
dx
xlogxlog(logx)
tgxdx
(12)
Z
(14)
cotgx
Z
p
arctgx
dx
1 + x2
log(senx)dx
Z
senx − cosx
dx
senx + cosx
Z
Z
dx
27x2 + 30x + 3
√
dx
(18)
3
2
3x + 5x + x − 1
x−x
Z
Z
dx
senxcosx
√
√
(20)
dx
−2x2 + 3x
2 − sen4 x
√
√
Z
Z p
Z
cos x
1+ x
dx
√
√
(22)
dx
(23)
dx
x2 + x + 1
x
x
Z
tg 3 xdx (PISTA: tg 3 x = tgx(1 + tg 2 x) − tgx)
cosxsen3 xdx
(15)
(17)
(19)
(21)
(24)
Z
(25)
dx
cos4 x
(16)
(PISTA: 1 = sen2 x + cos2 x)
INTEGRACIÓN POR PARTES
Z
Z
5
(26)
x logxdx
Z
(29)
√
(27)
xlog xdx
log(x +
(30)
p
1+
x2 dx
(41)
(43)
(33)
(36)
Z
(31)
arcsenxdx
Z
2
x sen2xdx
xex
dx
(1 + x2 )2
(34)
Z
(37)
3
x5 ex dx
log(senx)
dx
sen2 x
Z
x
xarctgxdx
(39)
dx
(40)
x4 log 2 xdx
sen2 x
µ
¶
Z
Z
2x
2
x sen(logx)dx
(42)
arcsen
dx
1 + x2
Z
Z
2
x3 e−x dx
(44)
e3x (x3 − 5x2 + 6x − 1)dx
Z
(45)
logxdx
Z
arctgxdx
Z
arcsen2 xdx
Z
(38)
(28)
Z
Z
(35)
e cosxdx
Z
2
Z
(32)
Z
x
Z
3x
xe cos2xdx
(46)
arctgex
dx
ex
(Hacer el cambio ex = t)
INTEGRALES INDEFINIDAS
38
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Z
(47)
Z
(49)
Z
(51)
Z
(53)
Z
(55)
Z
(57)
Z
(59)
Z
(61)
Z
(63)
Z
x+1
dx
2
x +x+1
(48)
x
dx
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
2x + 3
dx
(x − 2)(x + 5)
Z
x2 + 1
(50)
dx
(x + 1)2 (x − 1)
Z
dx
(52)
x(x + 1)(x2 + x + 1)
x
dx
(x − 1)2 (x2 + 2x + 2)
Z
dx
x2 + 3x − 2
(54)
dx
2
3
(1 + x )
(x − 1)(x2 + x + 1)2
Z
dx
2x3 − 4x − 8
(56)
dx
x2 − 5x + 6
(x2 − x)(x2 + 4)
Z 4
8x3 + 13x
x − x3 − x − 1
dx
(58)
dx
(x2 + 2)2
x3 − x2
Z
x2 + 3x − 4
3x + 5
dx
(60)
dx
x2 − 2x − 8
x3 − x2 − x + 1
Z
8x2 + 6x + 6
x2 − 2
dx
(62)
dx
x3 − 3x2 + 7x − 5
x3 (x2 + 1)2
Z
x2 + 1
9x − 23
dx
(64)
dx
2
2
2
(x − 1)(x + 2)
x − 5x + 6
Z
(65)
(66)
(69)
(70)
x4 + 6x3 − 7x2 − 4x − 3
dx
x3 − 2x2 + x − 2
Z
Z
Z
3
dx
−2x + 4
dx
(67)
(68)
dx
3
4
2
x +1
1+x
(x + 1)(x − 1)2
Z 3
x + 8x + 4
dx Escribir x3 + 8x + 4 en potencias de (x − 1)
(x − 1)100
Z
Z 4
x2 + 2
x − 2x2 + 4x + 1
dx
(71)
dx
x(x − 1)(x + 2)
x3 − x2 − x + 1
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Z
(72)
dx
senx
Z
(73)
dx
cosx
Z
(74)
dx
2 + cosx + senx
INTEGRALES INDEFINIDAS
39
Z
(75)
Z
sen8xcos2xdx
(76)
sen8xsen2xdx
(78)
sen2 xcos4 xdx
(80)
Z
(77)
Z
Z
(79)
Z
Z
(84)
Z
(86)
Z
(88)
Z
(90)
Z
(93)
Z
(96)
Z
(99)
sen4 xcos5 xdx
Z
sen3 xdx
Z
sen3 x
sen2 x
dx
(83)
dx
cos6 x
cos4 x
Z
1
x
x
dx
(85)
senxsen sen dx
sen4 xcos4 x
2
3
Z
senxcosx
dx
(87)
dx
9 − sen2 x
sen4 x + cos4 x
Z
senx
dx
dx
(89)
2
1 + 4cos x
1 + tgx
Z
Z
dx
1 − cosx
sen2 x
(91)
dx
(92)
dx
4 + 5cosx
1 + cosx
cos4 x
Z
Z
sen3 x
senx
dx
(94)
tg 3 xdx
(95)
dx
cosx
1 + cosx + cos2 x
Z
Z
dx
sen5xcos4xdx
(97)
sen6 xdx
(98)
senxcos4 x
Z
dx
dx
√
(100)
cos3 x
1 − cosx
Z
cos4 xdx
(81)
cos8xcos2xdx
(82)
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES
Z r
(101)
(104)
(106)
(108)
(110)
Z
Z
x
dx
dx
√
dx
(102)
(103)
x+1
x1/2 − x1/4
x 1−x
√
Z
Z
1+36x−2
dx
p
√
dx
(105)
√
3
2
2
x 4 + x2
(x − 2) − x − 2
√
Z √
Z
6
x + 2 x5
dx
√
√
dx
(107)
√
6
3
2
x 25 − x2
x5 (1 + x)
Z p
Z
x3
√
5 + 4x − x2 dx
(109)
dx
1 + 2x − x2
Z
dx
√
dx
(x − 1) x2 − 2
INTEGRALES INDEFINIDAS
40
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES
Z
(111)
dx
x
e +1
Z
(112)
arctgex
dx
ex
Parte II
SOLUCIONES
41
42
0.1.
Sucesiones
SOLUCIONES AL EJERCICIO 5
(1) 5/3 (2) ∞ (3) 0 (4) 2 (5) 1 (6) -1 (7) ∞ (8) -5 (9) 0
(10) ∞ (11) −∞ (12)
√ Diverge (13) Diverge (14) 1/2 (15) 6
(16) 0 (17) 0 (18) 2 (19) ∞ (20) 1 (21) 0 (22) 0 (23) ∞
(24) 0 (25) 1 (26) 1 (27) e7 (28) e−1 (29) 1 (30) 1 (31) 1
(32) ∞ (33) 0 (34) 4 (35) 9 (36) 0 (37) e−1 (38) 1
(39) e2/3 (40) e−1 (41) 1 (42) 1/2 (43) 0 (44) 1/2 (45) 1
1−b
(46) 0 (47) 0 (48) 1/2 (49) -2 (50) 0 (51) 2/3 (52) 1−a
(53) 3/2 (54) 1 (55) 0 (56) 0 (57) 0 (58) 0 (59) ∞ (60) 0
(61) 0 (62) -1/2 (63) 1 (64) 0 (65) 0 (66) 1 (67) 2 (68) 1
(69) ∞ (70) e4/5 (71) ∞ (72) e−1 (73) 1 (74) 2−1/3 (75) 1/3
(76) 0 (77) 0 (78) ∞ (79) 3/2 (80) diverge (81) 1 (82) 1
(83) diverge (84) 0 (85) diverge (86) 0 (87) ∞ (88) diverge
a−1
(89) 1 (90) 0 (91) loga
0.2.
Series
SOLUCIONES AL EJERCICIO 4
1) y 2) Armónica convergente
3) Armónica divergente
4) Armónica convergente
5) y 6) Diverge por el criterio necesario o porque
es una armónica divergente
P∞
7) Diverge por comparación por cociente con 1 n1
8) Armónica convergente
P∞ 1
9) Diverge por comparación por cociente con 1 n3/2
P∞ 1
10) Converge por comparación por cociente con 1 n3/2
P∞
11) diverge comparación por cociente con 1 n1
P∞ 2
12) diverge por criterio necesario o por comparación por cociente con P
1 n
∞
13) diverge por criterio necesario o por comparación
por
cociente
con
1 1
P∞ 1/2
14) diverge por comparación por cociente con 1 n
P∞
15) diverge por criterio necesario o por comparación por cociente con 1 n
16) diverge por criterio necesario o por criterio del cociente o por criterio de
la raı́z
17) y 18) converge por cociente o raı́z
19) Se puede usar cociente o raı́z, pero los lı́mites
P∞ no son tan claros como en
otros casos. Si se prefiere, se puede mayorar por 1 2n
2n que converge claramente
por cociente o raı́z
20) Se puede hacer de varios modos, quizás lo más rápido sea usar el criterio
de la raı́z para obtener que converge si y sólo si a < 1 (el caso a = 1 en el que
el criterio no decide es claramente divergente)
43
21) Converge, tras multiplicar y dividir por
de la expresión
P∞el conjugado
1
radical usamos comparación por cociente con 1 n3/2
P∞
22) diverge por comparación por cociente con 1 n1
23) converge por cociente
24), 25), 26), 27), 28), 30, 31) y 32) son casos particulares de 33), lo que no
quita que se puedan resolver individualmente de manera más rápida o sencilla
29) converge por raı́z
33) Si (a < 0) o (a = 0, b ≤ 0) diverge por no cumplir el criterioP
necesario. En
∞
1
los demás casos podemos aplicar condensación obteniendo la serie 1 2n(a−1)
,
nb
convergente para (a > 1) y divergente para (a < 1) por cociente o raı́z. En el
caso (a = 1) resulta una serie armónica y por tanto convergente si y sólo si
(b > 1). Resumiendo, la serie converge en los casos (a > 1) o (a = 1, b > 1)
P∞ log2 n
34) diverge por comparación por cociente con
(el lı́mite queda
2
n
un poco complicado para hacerlo por L´Hopital, pero es muy sencillo de hacer
teniendo en cuenta las relaciones de orden entre polinomios y logaritmos)
35), 36) y 37) Son casos particulares de 61)
38), 39), 40), 42), 43) y 44) convergen por raı́z o cociente
41) diverge por criterio necesario, cociente o raı́z
46) Diverge por Raabe
P∞
47) converge absolutamente por estar mayorada por 1 n12 al tomar valores
absolutos
P∞
48) Converge por comparación por cociente con 1 n12
49) Multiplicando y dividiendo por elPconjugado obtenemos que la serie
∞
diverge por comparación por cociente con 1 n1
P∞
50) Converge por comparación por cociente con 1 n12
51) Converge usando el criterio de aglomeración P
y luego raı́z. P
∞ 1
∞
52) Converge por comparación por cociente con 1 logn
1 n2
n3 o con
53) Converge por raı́z
54) Converge condicionalmente
55) y 56) Convergen absolutamente
57) Converge por raı́z
P∞ 5
58) converge por estar mayorada por 1 2nn
59) Converge absolutamente
60) Diverge aplicando cociente y jugando con los logaritmos
61) Aplicando cociente obtenemos que converge para a < e y diverge para
a > e (¿y para a = e?)
62) Converge condicionalmente
P∞
63) converge por estar mayorada por 1 n12
64) Converge condicionalmente
65) Converge absolutamente
66) Converge absolutamente
67) Diverge usando aglomeración y luego criterio necesario
68) Converge absolutamente
P∞ 1
69) Diverge por comparación por cociente con 2 logn
P∞ 1
70) Diverge por estar minorada por 1 n
44
71)
72)
73)
74)
75)
76)
77)
78)
79)
80)
81)
82)
83)
0.3.
Converge absolutamente
Converge absolutamente
Converge por raı́z
P∞ 1
Diverge por comparación por cociente con 2 logn
Converge por ser suma de dos series convergentes
P∞ 1
Converge por comparación por cociente con 1 n3/2
P∞ 2
Converge por estar mayorada por 1 2nn
Converge por raı́z
P∞
Diverge por comparación por cociente con 1 n1
Converge condicionalmente
Diverge por criterio necesario
Converge absolutamente
Converge por Raabe
Lı́mites de Funciones
SOLUCIONES AL EJERCICIO 2
(1) -9 (2) -26 (3) 4 (4) 0 (5) 5/8 (6) -2 (7) 5/2 (8) 16
(9) 3/2 (10) 1/10 (11) No existe (12) 0 (13) ∞ (14) 0 (15) 72
(16) 2 (17) 2 (18) ∞ (19) 0 (20) 1 (21) 0 (22) No existe
(23) -2 (24) No existe (25) 1/2 (26) No existe (27) No existe
(28) 1 (29) No existe (30) 0 (31) 3/2 (32) -1/3 (33) 1 (34) 0
(35) -1/3 (36) -5/2 (37) -1/2 (38) 3 (39) 5/2 (40) 1/2 (41) -1/2
(42) 0 (43) No existe (44) 1/2 (45) 1 (46) 2/3 (47) -1/4
(48) 1/4 (49) 1/2 (50) -3/2 (Cuidado: No se puede dividir numerador
y denominador por x, hay que dividir por −x. ¿Por qué?)
SOLUCIONES AL EJERCICIO 3
(1) No existe (2) 0 (3) No existe (4) No existe (5) ∞ (6) ∞
(7) No existe (8) −∞ (9) ∞ (10) 1 (11) 1 (12) log2
(13) -1/2
2
(14) 5 (15) -3/2 (16) 0 (17) 4 (18) 1/2 (19) 1/4 (20) 0
(21) 0 (22) 1 (23) 0 (24) 1/2 (25) 0 (26) 0 (27) 0 (28) 0
SOLUCIONES AL EJERCICIO 9
(1) ∞ (2) ∞ (3) −∞ (4) −∞ (5) −∞ (6) No existe
(7) No existe (8) -7 (9) -1/5 (10) -3 (11) 3/2 (12) 6 (13) 5/4
(14) -1/2 (15) 1/2 (16) 3 (17) 2/3 (18) 0 (19) No existe
(20) 9/5 (21) 1 (22) 2 (23) ∞ (24) 1 (25) 0 (26) 0 (27) 1/2
(28) ∞ (29) -1/6 (30) 0 (31) 1 (32) -3 (33) 0 (34) 0 (35) 0
(36) 3/7 (37) 0 (38) ∞ (39) 1/2 (40) 1 (41) 1 (42) e (43) 2
(44) e−8 (45) 0 (46) 1/4 (47) 0 (48) 3/2 (49) 0 (50) e
(51) -1/3 (52) 0 (53) 0 (54) 1 (55) 1/5 (56) 1 (57) e
45
0.4.
Derivadas
SOLUCIONES AL EJERCICIO 1
(1)
(6)
(9)
5x4 (2) 2/3x−1/3 (3) 4x3 + 6x (4) 18x2 − 2x (5)
6ax2 − 2b x (7) 21x5/2 + 10x3/2 + 2 (8) 18 x−7/8
√
1
1
1
√3 + √
(10) 2senxcosx (11) 2√cosx
3 2 − x2
2 x
3
3x2 −2x
5
x
−1/2
(12)
(16)
(18)
(21)
(24)
(26)
(29)
(15) cotgxLn 2 (senx)
−2cos−3 x (13) − 13 (x2 +1)−2/3 (14) x22x−1
−x+1
4x
4e
(17) exp(exp(exp(x)))exp(exp(x))exp(x)
−2xexp(3 − x2 ) (19) 3x Ln3 (20) tgxxtgx−1 + lnxsec2 xxtgx
cosx(senx)senx (Ln(senx)+1) (22) 2xcos(x2 +1) (23) ex sen(ex )
−cos(cosx)senx (25) −sen(senx)cosx
−10x−3 sen4 (x−2 )cos(x−2 ) (27) −sen(tgx)sec2 x (28) sen(cosx)senx
2xsec2 (Ln(x2 +1))
1
(32) −1
(30) Ln55x sec2 (5x ) (31) 2√x−x
2
x2 +1
(33)
1
1+x2
2
(37)
2(9x +x−1)
(41)
8x(2x2 −3)
(45)
1
1+cosx
2
sen2x
2x+1
x2 +x
1
1−x2
x2
1−x4
(48)
(53)
(57)
(38)
(42)
(46)
2cos2xcos3x − 3sen2xsen3x
1
cosx
(49)
(54)
(58)
3(x+1)2 (x−1)
(36)
2x5/2
4x3 (2b2 −x2 )
2a
(39) − (a+x)2
(b2 −x2 )2
a−3x
1
√
(43) (1−x)√
2 a−x
1−x2
(35)
(50)
1 + logx
2
− √1+x
2
1
cosx
(51)
4x(1+3x+10x3 )
x4 −2x3 −6x2 −2x+1
(x2 −x−2)2
1+4x2
x2 (1+x2 )3/2
(40)
(44)
(47)
cos(logx)
x
−tgx
(52)
2
1−x2
|
(56) xlogx
(60) xx (logx + 1)
¡
¢
((x + 1)(2x + 5)) cos (x + 1)2 (x + 2)
(55)
(59)
√ 1
1+x2
1
sen3 x
(62) x31−1 (63)
3(2x + cosx)sen2 (x2 + senx)
cos(sen(sen(sen(senx))))cos(sen(sen(senx)))cos(sen(senx))cos(senx)cosx
1296cos(6cos(6sen(6cos6x)))sen(6sen(6cos6x))cos(6cos6x)sen6x
(61)
(64)
(65)
(66)
0.5.
ex
1+e2x
(34)
Integrales indefinidas
(1)
(5)
(7)
(9)
(12)
(15)
tgx − x
1 4x
e
4
(2)
(3) log|logx|
1
(4) arctgx4
4
(x + 1)3/2 − (x − 1)3/2
arcsen2 x
(6)
− (1 − x2 )1/2
3
2
4 5/4 24 17/12 4 3/4
x − x
+ x
(8) x − arctgx
5
17
3
− cotgx − cosecx
(10) log(2 + ex )
(11) log|log(logx)|
1
arctg 2 x
2
1
sen4 x
4
(13)
(16)
− log|cosx|
(14)
− log(senx + cosx)
2 3/2
log (senx)
3
46
√
3log(3x3 + 5x2 + x − 1)
(18) − 2log|1 − x|
¶
µ
¶
µ
2
4x − 3
1
sen2 x
√
(19)
arcsen
(20)
arcsen
3
3
2
2
µ
¶
√
√
2
2x + 1
4
√
(21) √ arctg
(22) 2sen x
(23)
(1 + x)3/2
3
3
3
(17)
(24)
(27)
(29)
(31)
tg 3 x
x6
tg 2 x
− log|cosx|
(25)
+ tgx
(26)
(6logx − 1)
2
3
36
cosx + senx
ex
(28) x(logx − 1)
2
µ
¶
2 2
8
16
1
log x − logx +
x3/2
(30) xarctgx − log(1 + x2 )
3
9
27
2
p
p
p
xarcsenx + 1 − x2
(32) xlog(x + 1 + x2 ) − 1 + x2
(35)
x2
x
1
cos2x + sen2x + cos2x
2
2
2
p
xarcsen2 x − 1 − x2 arcsenx + x
(37)
− cotgxlog(senx) − cotgx − x
(39)
− xcotgx + log|senx|
(41)
x3
[3sen(logx) − cos(logx)]
10
(43)
2
1
− e−x (x2 + 1)
2
(33)
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
3
ex
(x3 − 1)
3
ex
(36)
1+x
(34)
−
(38)
x5 2
2
2 5
log x − x5 logx +
x
5
25
125
(40)
(44)
x2
1
1
arctgx + arctgx − x
2
2
2
(42)
e3x (
xarcsen
2x
− log(1 + x2 )
1 + x2
x3
10x 13
− 2x2 +
− )
3
3
9
e3x
((39x − 5)cos2x + (26x − 12)sen2x)
169
arctgex
1
+ x − log(1 + e2x )
−
ex
2
1
1
2
1
log(x2 + x + 1) + √ arctg √ (x + )
2
2
3
3
log|(x − 2)(x + 5)|
1
3
− log|x + 1| + 2log|x + 2| − log|x + 3|
2
2
1
1
+ log|x2 − 1|
x+1 2
−
1 1
1
(x − 1)2
8
+ log 2
− arctg(x + 1)
5 x − 1 50
x + 2x + 2 25
47
(52)
¯
¯
¯ x ¯
2x
¯
¯ − √2 arctg 1 +
√
log ¯
¯
1+x
3
3
(53)
x(3x2 + 5) 3
+ arctgx
8(x2 + 1)2
8
(54)
(55)
5x + 2
1
(x − 1)2
8
2x + 1
+
log
+ √ arctg √
3(x2 + x + 1) 9
x2 + x + 1 3 3
3
¯
¯
¯x − 3¯
¯
log ¯¯
x − 2¯
x2 (x2 + 4)
x
+ 2arctg
2
(x − 1)
2
(56)
log
(57)
4log(x2 + 2) +
3
2
2(x + 2)
(62)
(63)
(64)
(65)
(66)
(67)
(68)
x2
1
+ 2log|x| − − 2log|x − 1|
2
x
1
1
4
log|x + 1| − log|x − 1| −
2
2
x−1
3
x−1
5log|x − 1| + log(x2 − 2x + 5) + 11arctg
2
2
(59) x + 4log|x − 4| + log|x + 2|
(61)
(58)
(60)
5
5/2x2 + 1
5logx − log(x2 + 1) + 2 2
2
x (x + 1)
√
2
1 x−2
1
2
x
log|x − 1| − log(x2 + 2) +
arctg √ +
9
9
15
2 12 x2 + 2
5log|x − 2| + 4log|x − 3|
x2
3
+ 8x + 5log|x − 2| + log(x2 + 1) − 4arctgx
2
2
√
1
2x − 1
log|x + 1| − log(x2 − x + 1) + 3arctg √
2
3
√
√
√
√
2
√
√
x + 2x + 1
2
2
2
√
log
+
arctg( 2x + 1) +
arctg( 2x − 1)
2
8
4
4
x − 2x + 1
1
x−1
3
1
1
1
−
−
97
97 (x − 1)
96 (x − 1)96
log(x2 + 1) + arctgx − 2log|x − 1| −
13
1
11
1
−
99
99 (x − 1)
98 (x − 1)98
¯
¯
¯ (x + 2)(x − 1) ¯
¯
¯
(70) log ¯
¯
x
¯
¯
¯x − 1¯
2
x2
¯
¯
+x−
+ log ¯
(71)
2
x−1
x + 1¯
¯
¯
Z
¯1 − t¯
1
dt
¯
¯
=
log
(72) [t = cosx] =
¯1 + t¯
t2 − 1
2
(69)
−
48
¯
¯
¯1 + t¯
dt
1
¯
¯
(73) [t = senx] =
= log ¯
1 − t2
2
1 − t¯
Z
√
2
x
t+1
(74) [t = tg ] =
dt = 2arctg √
2
2
t + 2t + 3
2
µ
¶
µ
¶
1 cos10x cos6x
1 sen10x sen6x
(75) −
+
(76)
+
2
10
6
2
10
6
µ
¶
1 sen6x sen10x
−
(77)
2
6
10
Z
t9
2t7
t5
(78) [t = senx] = t8 − 2t6 + t4 dt =
−
+
9
7
5
µ
¶
3
1
sen2x sen 2x
(79)
x−
+
6
2
3
Z
t3
(80) [t = cosx] = t2 − 1dt =
−t
3
3x sen4x sen2x
(81)
+
+
8
32
4
Z
t5
t3
(82) [t = tgx] = t4 + t2 dt =
+
5
3
Z
2
1−t
1
1
(83) [t = cosx] =
dt = 3 −
4
t
3t
t
Z 6
4
2
t + 3t + 3t + 1
1
t5
3
(84) [t = tgx] =
dt
=
−
+
3t
+
t
+
t2
t
5
3
x
3
5x
3
7x
3
11x
(85)
cos − cos
− cos
+ cos
2
6 10
6
14
6
22
6
√
√
Z
dt
2
2 2t
(86) [t = tgx] =
=
arctg
2
9 + 8t
12
3
Z
t
1
(87) [t = tgx] =
dt = arctg(tg 2 t)
1 + t2
2
Z
dt
1
(88) [t = cosx] = −
= − arctg(2t)
2
4t + 1
2
Z
dt
1
1
1
(89) [t = tgx] =
= log|1 + t| − log(1 + t2 ) + arctg(t)
(1 + t2 )(1 + t)
2
4
2
Z
1
1
x
2dt
= log|3 + t| − log|3 − t|
(90) [t = tg ] =
2
9 − t2
3
3
Z
x
1
dt
(91) [t = tg ] =
= − − arctgt
2
2
2
t (1 + t )
t
Z
3
t
(92) [t = tgx] = t2 dt =
3
Z
49
Z
(93)
[t = cosx] =
Z
(94)
(95)
t2 − 1
t2
dt =
− logt
t
2
t3
t2
1
dt
=
− log(1 + t2 )
1 + t2
2
2
Z
2t + 1
dt
2
= − √ arctg √
[t = cosx] = −
2
t +t+1
3
3
[t = tgx] =
cosx cos9x
−
2
18
5
1
3
1
(97)
x − sen2x + sen4x + sen3 2x
16
4
64
48
Z
1
1 1
1
dt
(98) [t = cosx] = −
= − 3 − − log|t − 1| + log|t + 1|
4
2
t (1 − t )
3t
t
2
2
Z
dt
1
1 1
1 1
(99) [t = senx] =
=−
− log|1 − t| +
+
(1 − t2 )2
41−t 2
41+t
(96)
−
+log|1 + t|
√ Z du
dt
= [t = tgu] = 2
=
senu
t 1 + t2
¯
¯
√ Z
√
¯1 + z ¯
dz
¯
¯
= [z = cosu] = − 2
= − 2log ¯
1 − z2
1 − z¯
Z
2t2
1
1
x
2
]=
dt =
−
+
(101) [t =
x+1
(1 + t)2 (1 − t)2
2(1 − t) 2(1 + t)
¯
¯
¯1 − t¯
1
¯
+ log ¯¯
2
1 + t¯
Z
2
dt = −log|1 − t2 |
(102) [t2 = 1 − x] = −
1 − t2
Z
4t2
4
(103) [x = t ] =
dt = 2t2 + 4t + 4log|t − 1|
t−1
Z
18t3 + 6t2
(104) [t6 = x − 2] =
dt = 6t3 + 12t2 + 24t + 24log|t − 1|
t−1
Z
1
cost
1
(105) [x = 2tgt] =
dt =
4
sen2 t
4sent
Z
¡
¢
2t5 + t3
(106) [x = t6 ] = 6
dt = 3 t4 − t2 + log(1 + t2 )
2
1+t
Z
5
3
3
1
(107) [x = sent] =
dt = − cotgt
3
25
sen2 t
25
Z p
Z
sen2t
9
2
(108)
)
9 − (x − 2) dx = [x − 2 = 3sent] = 9 cos2 tdt = (t +
2
2
(100)
√
x
[t = tg ] = 2
2
Z
√
50
−2x2 − 5x + 19 p
7
x−1
1 + 2x − x2 + √ arcsen √
6
3 2
2
√
√
Z
1
dt
2
2(t − 1)
(110) [t =
]=− p
=−
arcsen
x−1
2
2
2 − (t − 1)2
¯
¯
Z
¯ t ¯
dt
¯
= log ¯¯
(111) [t = ex ] =
t(t + 1)
t + 1¯
Z
arctgt 1
arctgt
x
(112) [t = e ] =
dt = −
+ log(1 + t2 )
2
t
t
2
(109)