Dos siglos de crecimiento económico chileno: ¿hay etapas?

Dos siglos de crecimiento económico chileno:
¿hay etapas?
José Díaz
Rolf Lüders
Gert Wagner
Pontificia Universidad Católica de Chile, EH Clio Lab *
18-Jul-2008
Draft. Do not quote.
Resumen
El propósito de este trabajo es identificar, por medio de criterios
estadísticos, cambios estructurales y etapas en la evolución económica
de Chile. Se examina el PIB total, per cápita y por trabajador con
diferentes instrumentos estadísticos. Los principales resultados obtenidos son: (1)no parece factible periodizar directamente a partir de
la tasa de crecimiento; (2)distintos filtros (tendencias) proporcionan
diferentes conjuntos de períodos, con extensiones variables; y (3)un
análisis estado espacio no restringido propone un modelo de tendencia
estocástica para los tres indicadores. Tras estimar dicha tendencia se
determinan los años de cambio estructural.
*
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1
Índice
1. Trayectoria del crecimiento chileno y método general
1.1. Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Nota metodológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
2. Técnicas para la identificación de cambio estructural
7
2.1. Método frecuentista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Método bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Criterio para la detección de atípicos . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Análisis del crecimiento anual observado
4. Análisis de tendencia
4.1. ¿Qué es la tendencia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Tendencia determinista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. ¿Cuál es la tasa de crecimiento? . . . . . . . . . . . .
4.2.2. ¿Cuáles son las fases si la tasa de crecimiento es constante? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
13
. 13
. 14
. 15
. 19
5. Tendencia con tasa de crecimiento no determinista
20
5.1. Regresión móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.3. Identificación de quiebres estructurales . . . . . . . . . . . . . 24
6. Modelo estado espacio de la tendencia
27
7. Resultados y conclusiones
29
Referencias
31
2
Un primer paso conveniente al tratar de entender un fenómeno es comenzar por su identificación. En materia de crecimiento económico son el PIB
y sus variantes, per cápita y per trabajador -sus variaciones- los indicadores
que hoy día dominan la descripción agregada del fenómeno. Se trata de medidas definidas y aunque presentan diversas limitaciones, su carácter de amplia
cobertura y su potencial para incorporar aspectos novedosos, han cooperado
a consolidar esta posición dominante. Por otra parte, la construcción de este
indicador para periodos anteriormente no cubiertos provee descripciones del
fenómeno que cubren extensos periodos de tiempo, hasta de varios siglos.
De este modo se ha ido configurando una descripción general de la evolución histórica del crecimiento económico, apreciándose que al entender éste
en términos per cápita, el fenómeno es de data reciente. Sin embargo, y a medida que se ha ampliado la extensión temporal de estos indicadores y pulido
su construcción, la idea inicial de un despegue más o menos repentino, el take
off popularizado por Rostow (1960) ha ido cediendo su lugar a una lectura
más gradual, donde el origen del fenómeno, aunque reciente, podría ubicarse
hasta en la primera mitad del milenio. Pero prevalece el interés por identificar
etapas en el proceso de crecimiento y no ha perdido vigencia la idea de que
a través de la comparación de tales etapas sería posible extraer información
útil para el entendimiento del fenómeno, al menos, para organizar un proceso
de búsqueda de factores que sustenten tales diferencias.
Seguramente es Angus Maddison el autor que ha logrado una cobertura
y clasificación más amplia y exhaustiva del fenómeno, abarcando prácticamente todo el milenio para un amplio espectro de países. La estrategia de
periodización que emplea Maddison se basa en una mezcla de criterios, algunos explícitos mientras pero otros son de carácter más intuitivo. En sus
palabras, periodiza el desempeño mundial “por análisis inductivo e inspección
iterativa de características empíricamente medibles” (Maddison, 1995, p. 59).
El objetivo de las páginas que siguen es explorar la existencia de etapas en
el proceso de desarrollo chileno durante sus dos siglos de vida republicana. Se
3
pretende que tales etapas -subperiodos- sean un reflejo directo de los datos y
que no respondan a una periodificación a priori, sea ésta de índole comercial,
de periodos de paz y guerra, de periodos fijados por la vigencia de estándares
monetarios o países dominantes o cualquier criterio exógeno a la evolución
del indicador.
En otras palabras, se busca una descripción del crecimiento que obedezca
exclusivamente a criterios estadísticos, es decir son el indicador y el instrumento estadístico los encargados de revelar la existencia, o la ausencia, de
etapas y periodos. El desafío más específico es, entonces, comparar y discutir
los resultados que en materia de periodización se obtienen con una batería
de instrumentos estadísticos.
1.
Trayectoria del crecimiento chileno y método general
1.1.
Trayectoria
El crecimiento económico chileno no ha sido sostenido. Una mirada a los
datos representados en el Gráfico 1 permite apreciar la trayectoria irregular
del PIB total y per cápita desde 1810.
El análisis de esta trayectoria ha sido estudiado desde diferentes perspectivas. De Gregorio (2005) y Chumacero y Fuentes (2006) procuran modelar
la dinámica en el período largo, concentrándose en particular en la segunda mitad del siglo XX. Haindl (2006) caracteriza el desarrollo en el siglo XX
utilizando un filtro e identificando varias etapas en el procesos de crecimiento.
Otra aproximación es la de Hausmann y otros (2005) que establecen períodos de aceleración de crecimiento para una muestra de países que incluye
a Chile. Harberger (. . . ), en un estudio de amplia cobertura que incluye a
Chile, identifica períodos de cuatro más años que registran un crecimiento
anual igual a mayor a 5 %.
4
Gráfico 1: Chile: PIB total y per cápita (logs), 1810-2006
1.2.
Nota metodológica
En esta sección se describe brevemente el marco general de análisis. Llamamos Yt a la variable observada en nivel (PIB total, per cápita o por trabajador) e yt a su logaritmo natural (yt = ln Yt ). La primera diferencia de
esta serie es una aproximación a la tasa de crecimiento (∆yt = yt − yt−1 =
ln Yt − ln Yt−1 ). Básicamente, se exploran dos perspectivas:
1. El primer análisis identifica cambios estructurales directamente en la
tasa de crecimiento, ∆yt
2. El segundo análisis modela la serie como la suma de dos componentes:
uno de tendencia (µt ) y otro cíclico. (εt ). Es decir, yt = µt + εt . El
problema, entonces, es la identificación de µt para lo cual se plantean
dos conjeturas:
a) Primera conjetura: la tendencia tiene un crecimiento constante.
5
Esto significa que µt = γ0 + γ1 t, donde t es un índice del tiempo
(t = 1, 2, . . . , T , y γ1 t es la estimación de dicha tasa de tendencia.
La conjetura implica que el objeto de análisis para la periodización
es εt , es decir εt = yt − µt = yt − (γ0 + γ1 t).
b) Segunda conjetura: no hay una tasa de tendencia única para el
período completo, lo que puede reflejarse de dos maneras:
1) Suponer que se conserva el modelo µt = γ0 + γ1 t, pero que
los coeficientes cambian en las distintas etapas identificadas.
En este caso, el objeto de análisis son los coeficientes, especialmente γ1 , en las etapas identificadas por el instrumento
estadístico.
2) La segunda manera otorga un carácter general a la función
que configura la tendencia de modo que µt = f (t, y). Esto
significa que la tendencia es un filtro elaborado con alguna
combinación del índice temporal y de la variable yt . Para la
identificación de las etapas se examina la tasa de variación de
la tendencia, ∆µt .
El contenido de este artículo es el siguiente. La sección 2 explica las técnicas empleadas en este artículo para la identificación de cambio estructural
así como para el tratamiento de atípicos. La tercera sección presenta un análisis del crecimiento anual observado (corresponde al punto 1 indicado en la
sección 1.2). La cuarta sección explora la identificación de cambio estructural
cuando la tendencia es determinista (corresponde al punto 2a indicado en la
sección 1.2). La quinta sección explora la identificación de cambio estructural
en tendencias no deterministas: regresión móvil y filtros (corresponde al punto 2b indicado en la sección 1.2). La sexta sección aplica un modelo estado
espacio para la identificación de la tendencia. Finalmente, se presentan las
conclusiones.
6
La fuente de los datos empleados en este trabajo proviene de Díaz y otros
(2007, 2008).
2.
Técnicas para la identificación de cambio estructural
Supongamos que X1 , . . . , Xn es una secuencia de datos. Los componentes
de esta secuencia pueden ser agrupados en segmentos que, por compartir
características estadísticas (media, varianza), constituyen regímenes, fases
o períodos que finalizan con un cambio estructural (también denominado
ruptura o punto de cambio).
En general, se habla de cambio estructural cuando los parámetros de un
modelo presentan una variación significativa en un período (Hansen, 2001).
Por ejemplo, suponer que la tendencia de una serie es lineal, yt = γ0 +
γ1 t, implica una tasa de crecimiento de tendencia constante (γ1 ). En este
caso, el objetivo de la identificación de cambio estructural es determinar
si efectivamente existe tal constancia. En caso contrario, se establecen los
segmentos en que dicha tasa ha sido diferente.
Si, en cambio, se ha identificado una serie para la tendencia con una
tasa de crecimiento que no es constante, entonces el modelo de referencia es
rt = θ +χt , donde θ es la tasa media de crecimiento y χt es un error aleatorio.
En este caso, la prueba debe identificar segmentos en que esta tasa media es
diferente.
Los segmentos ordenados constituyen un conjunto H = {S1 , . . . , Sk }, con
k − 1 quiebres estructurales (o puntos de cambio). Hay muchos conjuntos
H posibles, incluyendo los casos k = 0 (no hay cambio estructural en la
secuencia) y k = n (cada componente es un régimen). En estos términos,
periodificar consiste en identificar en base a un criterio el conjunto H óptimo.
Para ello se aplican dos métodos de identificación: uno frecuentista y otro
bayesiano.
7
2.1.
Método frecuentista
Bai y Perron (1998, 2003) proponen un algoritmo para la identificación
de las rupturas y las fases. Para cada número posible de rupturas se escoge
aquel conjunto H cuya estimación por mínimos cuadrados produzca el mayor
R2 , y se aplican pruebas secuenciales de k vs. k + 1 rupturas con valores
críticos establecidos por los autores citados.1 El objetivo es determinar si el
ajuste mejora lo suficiente al permitir una ruptura adicional, considerando la
formación de errores. El conjunto H finalmente elegido es aquel que minimiza
el criterio de información bayesiano.
La duración mínima de las fases es dada por un parámetro expresado
como porcentaje del total muestral. El algoritmo está implementado en la
librería strucchange del lenguaje estadístico R.2
2.2.
Método bayesiano
El problema del punto de cambio bayesiano es analizado con el modelo
de partición de producto (product partition model ) propuesto por Hartigan
(1990). A diferencia de la metodología anterior que identifica los años de
cambio estructural, este procedimiento entrega la probabilidad de ocurrencia
de dicho cambio para cada año.3 Se denomina bayesiano pues procede por
medio de una modelación teórica a la que se imponen características a priori ;
por iteración se obtienen finalmente las incógnitas buscadas.
Los postulados a priori son los siguientes:
k
1. el conjunto H tiene la probabilidad P (H = {S1 , . . . , Sk }) = K Π c(Si ),
i=1
donde c(S) ≥ 0 es un cohesión y K es elegido de manera que las
probabilidades sumen 1 sobre todos los posibles conjuntos H
1
La función de distribución usada para los intervalos de confianza está en Bai (1997) y
Bai y Perron (2003)
2
El método en detalle en Perron (2006) y Jones y Olken (2005). Su implementación en
R Development Core Team (2007) y Zeileis y otros (2003).
3
Por ejemplo, indica que la probabilidad de cambio en t es x % mientras que la de t + 1
es z %
8
2. los componentes X1 , . . . , Xn son independientes dada una secuencia de
parámetros µi , con Xi ∼ N (µi , σ 2 )
3. la distribución de µij (promedio del segmento que comienza en i + 1 y
σ02
finaliza en j) es N (µ0 , j−i
)
4. las cohesiones son cij = p(1 − p)j−i−1 cuando j < n y cij = (1 − p)j−i−1
cuando j = n
5. la probabilidad de que ocurra un cambio en la posición i es p (independiente para cada i)
6. se define el conjunto ρ = {U1 , U2 , . . . , Un }, donde Ui = 1 indica un
punto de cambio en la posición i + 1. En el inicio, Ui = 0 (para todo
i < n) y Un ≡ 1.
Este modelo tiene cuatro parámetros, p, µ0 , σ02 y σ 2 . Su estimación procede maximizando la función de verosimilitud
L(p, µ0 , σ02 , σ 2 ) =
X
f [X|ρ] f [ρ]
P
donde f [X|ρ] es la probabilidad del conjunto de datos dado el conjunto ρ,
y f [ρ] es la probabilidad a priori del conjunto ρ. El algoritmo emplea cadenas
de Markov mediante métodos de Monte Carlo (MCMC) y en cada paso se
obtiene un valor de Ui desde su distribución condicional, dado el dato y la
segmentación vigente. Luego, la posibilidad (odds) de observar un punto de
cambio en i + j es
P (Ui = 1|X, Uj , j =
6 i)
pi
=
1 − pi
P (Ui = 0|X, Uj , j =
6 i)
Dado un conjunto de segmentos, la estimación de µ̂r (r ∈ ij) es
µ̂r = (1 − w)X̄ij + wµ0
9
σ2
σ02 +σ 2
Pj
X
i+1
y X̄ij = j−i
con w =
Tras cada iteración se actualizan las medias posteriores condicionadas a
la segmentación vigente y es posible recuperar las probabilidades correspondientes.4
Este método está emparentado con los modelos markovianos de cambio de
régimen estudiados, entre otros, por Hamilton (1994, Cap. 22). El algoritmo
está implementado en la librería bcp del lenguaje estadístico R.5
2.3.
Criterio para la detección de atípicos
Los instrumentos estadísticos explicados anteriormente pueden verse afectados con la presencia de valores inusuales o atípicos. Para identificar estos
casos se recurrió al criterio propuesto por Hampel (1985, Tabla 1, estimador
X84) y Wilcox (2001).
Si med(x) es la mediana de los valores xi y mad(x) es la mediana de
las desviaciones absolutas, mad(x) = med (|xi − med(x)|), entonces xi se
considera un atípico si |xi − med(x)| > 2 mad(x)
. Este umbral de aceptación
0,6745
o rechazo está definido por una estimación indirecta de la desviación típica:
.
si la distribución es normal, entonces σ ≈ mad(x)
0,6745
El procedimiento tiene la ventaja de ser, en sí mismo, resistente a la
presencia de atípicos.
3.
Análisis del crecimiento anual observado
En esta sección se examina directamente a la tasa de crecimiento anual
(diferencia logarítmica) del PIB chileno total, per cápita y por trabajador; esta periodicidad es preferida pues cualquier agrupación (decenio, quinquenio)
4
El método es explicado en detalle en Barry y Hartigan (1992, 1993). Son recomendables
Crowley (1997), Erdman y Emerson (2007a) y Loschi y otros (2008).
5
Ver Erdman y Emerson (2007b).
10
sería arbitraria -exógena-, condición que se desea evitar.6
Las series fueron sometidas a una corrección de atípicos con el criterio
explicado en la primera sección de este artículo. Los años identificados con
valores atípicos en la tasa de crecimiento del PIB fueron 1879, 1888, 1903,
1914-16, 1919, 1921, 1923, 1928, 1930-34, 1947-48, 1959, 1973, 1975 y 1982.
Respecto a estos, en el caso del PIB per cápita se agregan 1898, 1910, y 1937,
y en el caso del PIB por trabajador, 1897, 1898, 1900 y 1910. Los valores
así identificados fueron reemplazados por los obtenidos con una interpolación
lineal simple.
La aplicación de la metodología de Bai y Perron (2003) identificó un
cambio estructural en las series del PIB total y per cápita y ningún cambio en
la correspondiente al PIB por trabajador. Los años identificados y el intervalo
de confianza se reportan en la Tabla 1. El resultado es que en losc ais docientos
años consdierados sólo se habría producido un cambio estructural, en el año
1976.
Tabla 1: Cambio estructural en la tasa de crecimiento e intervalos de confianza
Ruptura
2.5 %
97.5 %
Total
1976
1960
1997
PIB
Per Cápita Por Trabajador
1976
1961
1993
-
La metodología bayesiana permite obtener los gráficos 2 y 3 que representan las medias posteriores y las probabilidades de cambio. Como antes, el
PIB por trabajador no registró rupturas
La principal impresión es que las probabilidades de cambio estructural
reflejan muy levemente las fechas señaladas por el método de Bai y Perron
6
El PIB por trabajador sólo considera el período 1854-2006 dado que sólo cuenta con
datos para fuerza de trabajo desde 1854.
11
Gráfico 2: Análisis bcp: diff(ln PIB), 1811-2006
Gráfico 3: Análisis bcp: diff(ln PIB per cápita), 1811-2006
12
(2003). De hecho, la probabilidad de existencia de dicho cambio es inferior a
50 %. Esto implicaría que la evidencia de cambio es bastante débil.
4.
Análisis de tendencia
En la sección anterior no hay una posición previa respecto al proceso estadístico de crecimiento registrado y la variable examinada es directamente
la tasa de crecimiento anual. En esta sección tampoco hay una periodificación previa pero se supone que la serie puede ser descrita de una forma
determinada.
Como se indicó, una serie de tiempo anual puede ser representada como
yt = µt + εt tras tomar logaritmos. µt es la tendencia o señal y εt es un
componente irregular, y ambos son estadísticamente independientes. Una
vez que µt es identificado, el componente irregular se obtiene por diferencia y
es el objeto de estudio de la teoría de las fluctuaciones (Hamilton, 2005). La
identificación de µt se denomina extracción de señales en ingeniería, filtro o
suavizamiento en econometría, y gradación en ciencias actuariales (Proietti
y Luati, 2007), y la discusión sobre la mejor metodología es de larga data
(Klein, 1997).
4.1.
¿Qué es la tendencia?
Según Phillips (2005, p. 405), “nadie comprende realmente las tendencias,
aunque las veamos en los datos económicos.” En opinión de Schumpeter, su
estudio debería constituir el problema central de la economía y la causa de
sus dificultades (Schumpeter, 1930, p. 166).
Originalmente, el término “tendencia” (trend ) designaba a una media móvil que correspondía a la “curva o línea representando los promedios instantáneos sucesivos . . . Cualquier punto en la tendencia será representado por
el promedio de todas las observaciones en el período del cual ese momento
es el punto central; es decir, si una curva muestra un período de p años, el
13
promedio instantáneo en cualquier año es la media de los p años en los que
ese año particular está en el medio” (Hooker, 1901, p. 486).
Hoy en día, tendencia alude a un movimiento secular o de largo plazo.
Kuznets (1961, p. 41) consideraba dos elementos para una definición del
término. En primer lugar, el movimiento sobre cualquier período largo es
sostenido, ocurre repetidamente dentro de segmentos más cortos del período.
En segundo lugar, el movimiento es significativo sólo si las desviaciones de
corto plazo no alteran el ascenso o declinación de largo plazo. En este sentido,
Feinstein y Thomas (2002, p. 21) definen tendencia como “el patrón amplio
de movimiento que es sostenido en la misma dirección en largos períodos de
tiempo . . . ignorando todas las variaciones de corto plazo”.
En la práctica, la tendencia es la mejor descripción estadística posible de
la trayectoria fundamental de una serie (Frickey, 1934). Ella representa cambios de baja frecuencia, en un período mayor que un determinado umbral.
Por ejemplo, OECD (2007) considera usualmente ocho años como el largo
máximo del ciclo de modo similar a la definición atribuida a Burns y Mitchell (1946). Así, si s es el número de observaciones en un año, la tendencia
debe tener fluctuaciones con periodicidad mayor a 8s. Sin embargo, la “tendencia en media” de Granger (1966) incluye todo componente cíclico cuya
longitud de onda (wavelength) excede el largo de la serie de tiempo observada
(Chatfield, 1995, p. 10). Luego, el número de observaciones disponibles debe
ser considerado al definir largo plazo.
4.2.
Tendencia determinista
Supongamos que el desempeño económico chileno se refleja en el modelo
lineal yt = γ0 + γ1 t + ε. Esta conjetura implica que la tasa de crecimiento
de la economía en el largo plazo es constante e igual al coeficiente γ1 , y que
periodizar la economía chilena implica examinar ε.
14
4.2.1.
¿Cuál es la tasa de crecimiento?
La Tabla 2 presenta los resultados obtenidos al estimar por mínimos cuadrados ordinarios las series del PIB total, per cápita y por trabajador (en
logaritmos), considerando diferentes períodos. Nótese que ñas diferencias en
las estimaciones de γ1 en los subperíodos deben comprenderse en el contexto
de las altas tasa de crecimiento registradas en la última década del siglo XX.
A modo de ilustración, el Gráfico 4 presenta los resultados de la estimación MCO del PIB total cuando se considera el rango temporal 1810-2006,
mostrando el comportamiento del residuo (ε).
Gráfico 4: Estimación de tendencia PIB total, 1810-2006
La estimación por MCO presenta diferentes problemas, como la sensibi15
Tabla 2: Tasa de crecimiento de tendencia: MCO, 1810-2006 y subperíodos
(1)
1810-2006
(2)
1860-2006
(3)
1940-2006
11.56
(565)
0.0304
(170)
0.99
11.62
(289)
0.03
(97)
0.98
10.56
(84)
0.0364
(48)
0.97
11.85
(610)
0.0151
(88)
0.97
11.99
(335)
0.014
(51)
0.94
11.32
(80)
0.018
(21)
0.87
PIB por trabajador 1854-2006
γ0
13.51
(723)
γ1
0.0157
(74)
2
R Aj.
0.97
13.52
(656)
0.0156
(68)
0.97
13.37
(156)
0.0168
(24)
0.89
Período
PIB
γ0
γ1
R2 Aj.
PIB per cápita
γ0
γ1
R2 Aj.
Prueba t entre paréntesis
16
lidad ante atípicos. Para enfrentar esta dificultad se emplean las siguientes
metodologías robustas de estimación:
1. Mínimos Cuadrados Ponderados: emplea como ponderador el cuadrado
de los residuos obtenidos por MCO
2. Mínima Desviación Absoluta: minimiza la suma de los residuos en valor
absoluto. Es una regresión por cuantiles en que se predice el cuantil 0.5
condicional de la variable dependiente. Ver Koenker y Hallock (2001)
y Koenker (2005). Es equivalente a la “línea resistente” de Velleman y
Hoaglin (1981).
La Tabla 3 presenta los resultados de estimaciones para el período 18102006 empleando MCO, Mínimos Cuadrados Ponderados (MCP) y Mínima
Desviación Absoluta (MDA).
La estimación de γ1 es ligeramente sensible al método de estimación. Para
evaluar esta sensibilidad es posible comparar el coeficiente obtenido por MCO
con los que se obtendrían al estimar regresiones por cuantiles. El gráfico 5
muestra los resultados del ejercicio.
Gráfico 5: Regresión por Cuantiles: γ1 : PIB total, per cápita y por trabajador
Aunque es claro que el estimador MCO difiere de los obtenidos por el
procedimiento de los cuantiles, el rango posible está bastante acotado. Mientras en el caso del PIB total está entre 2.9 % y 3.2 %, para el PIB per cápita
y por trabajador está entre 1.4 % y 1.6 %.
17
Tabla 3: Ln PIB, 1810-2006: estimaciones robustas
Período
(1)
MCO
(2)
MCP
(3)
MDA
11.56
(565)
0.0304
(170)
0.99
11.41
(205)
0.0314
(80)
0.97
11.57
11.85
(610)
0.0151
(88)
0.97
11.87
(276)
0.0146
(46)
0.91
PIB
γ0
γ1
R2 Aj.
0.0302
PIB per cápita
γ0
γ1
R2 Aj.
11.84
0.0149
PIB por trabajador 1854-2006 1854-2006 1854-2006
γ0
13.51
13.56
13.48
(723)
(276)
γ1
0.0157
0.0145
0.0161
(74)
(28)
2
R Aj.
0.97
0.83
Prueba t entre paréntesis
18
4.2.2.
¿Cuáles son las fases si la tasa de crecimiento es constante?
Si se acepta como conjetura que la tasa de crecimiento de la economía
chilena es constante en el largo plazo y que corresponde a la obtenida por el
método MCO, entonces la periodificación debe realizarse en base al residuo
que se obtiene de la estimación. Este residuo es una aproximación a ε.
Al aplicar el método de Bai y Perron (2003) para detectar cambio estructural en ε se identifican tres quiebres en el PIB total, y cuatro en el PIB per
cápita y por trabajador. Los años detectados se reportan en la Tabla 4.
Tabla 4: Cambio estructural en el residuo MCO e intervalos de confianza
2.5 %
Rupturas
97.5 %
PIB
1875
1914
1964
1878
1918
1977
1882
1919
1981
PIB per cápita
1847
1870
1927
1925
1848
1878
1930
1977
1856
1879
1932
1986
PIB por trabajador
1884
1927
1950
1959
1889
1930
1952
1974
1891
1932
1955
1979
El Gráfico 6 señala los cambios estimados en el PIB total.
19
Gráfico 6: Periodización en base a ε del PIB total
5.
Tendencia con tasa de crecimiento no determinista
Como se indicó en la primera sección, se explorará la conjetura de que no
hay una tasa constante para todo el período bajo estudio.
5.1.
Regresión móvil
Para una exploración preliminar se efectúa una regresión móvil (rolling
regression) al PIB total. El ejercicio consiste en estimar el modelo yt =
γ0 +γ1 t+ε considerando tres ventanas temporales (12, 25 y 50 años) móviles.
Es decir, en el año k se estima el modelo considerando la información de los
períodos 1 a k; en el año k + 1 se emplea la información del período 2 a
k + 1, y así sucesivamente. EL procedimiento permite observar cambios en el
coeficiente γ1 . El Gráfico 7 muestra los resultados obtenidos.
Es claro que el coeficiente depende de la ventana temporal considerada:
20
Gráfico 7: Regresión movil:γ1 PIB total, 12, 25 y 50 años
a mayor longitud se obtienen coeficientes más similares en cada iteración.
Luego, se requiere un criterio exógeno para determinar la extensión de la
ventana, y si esta es fija o variable.
Un camino para explorar la conjetura de que no hay una tasa constante
para todo el período es conservar el modelo lineal µt = γ0 + γ1 t, pero considerando que los coeficientes cambian en distintas etapas. (ventanas) En este
caso, el objeto de análisis son los coeficientes, especialmente γ1 , y las etapas
identificadas se reportan en la primera parte de la Tabla 6.
5.2.
Filtros
Otro camino para explorar la conjetura de que no hay una tasa constante
configura a la tendencia como un filtro elaborado con alguna combinación
del índice temporal y de la variable yt , µt = f (t, y). El objeto de análisis
para la identificación de cambio estructural es ∆µt , la tasa de variación de la
tendencia. La identificación del componente µt es compleja y no existe una
21
solución definitiva (Canova, 1998; Zarnowitz y Ozyildirim, 2001). A continuación se reporta un conjunto representativo de filtros usualmente empleados
en el tratamiento económetrico de series de tiempo y en el análisis exploratorio de datos. Aunque los métodos son conocidos y están implementados
en diferentes paquetes estadísticos (Balcilar, 2007, por ejemplo), se presenta
una breve explicación de cada uno de ellos.
1. Polinomio global. La tendencia se estima con una regresión de yt sobre
un polinomio de grado k del índice temporal (t = 1, 2, . . . , T ). Es decir,
P
µt = ki=0 γ̂t ti , donde γ̂i son los coeficientes estimados de la regresión.
El grado del polinomio se selecciona considerando la mínima suma de
errores absolutos al cuadrado. Para el PIB total y per cápita, k = 4;
para el PIB por trabajador, k = 6.
2. Filtro de Hodrick-Prescott, λ = 100. Es el filtro propuesto por Hodrick y Prescott (1997), basado en Whittaker (1923) y Leser (1961). Se
obtiene de la solución al problema de minimizar εt = yt − µt sujeto a
PT
2
una condición en la “suavidad” de µt . El problema es MTin
t=1 εt +
{µt }t=−1
PT
2
λ t=1 [(µt+1 − µt ) − (µt − µt−1 )] . λ es un multiplicador lagrangeano y
el parámetro de suavizamiento; 100 es la opción usual para series anuales. Según Artis y otros (2003, p. 26) este valor implica que el filtro
retiene fluctuaciones en períodos mayores a veinte años.
3. Filtro de Hodrick-Prescott, λ = 6. Como antes, pero con λ igual a seis.
Muchos investigadores han buscado el parámetro óptimo para datos
anuales y mensuales. Hodrick y Prescott (1997) trabajaron con series
trimestrales usando λ = 1,600, reteniendo fluctuaciones en períodos
mayores a diez años. Por tanto, para datos anuales λ debe estar entre
6 y 7 (Ravn y Uhlig, 2002; Maravall y del Río, 2007).7
7
Esta tendencia es similar a la obtenida con el filtro de Baxter y King (sin pérdida de
datos en los extremos de la serie) y con el filtro de Christiano y Fitzgerald (suponiendo
una raíz unitaria). Ver Baxter y King (1999) y Christiano y Fizgerald (2003).
22
4. Polinomio local. Es una regresión no paramétrica, donde ninguna clase
de forma funcional es impuesta a la serie y el conjunto de datos es
inseparable de la construcción del modelo (Engster y Parlitz, 2006,
p. 42). En el punto focal t0 y considerando una ventana de vecinos
próximos (bandwidth), se ajusta la ecuación yi = a + b1 (ti − t0 ) +
b2 (ti − t0 )2 + ... + bp (ti − t0 )p + ei minimizando la suma de residuos
P
al cuadrado ponderada ni=1 wi e2i . La ponderación w es un kernel y el
valor ajustado en t0 es a (Yatchew, 1998; Fox, 2000). En este caso, µt es
una curva formada por la secuencia de coeficientes a estimados en cada
punto focal. Siguiendo el criterio propuesto por Mills (2003, p. 117) se
emplean un polinomio local de grado tres y un kernel Gaussiano. Para
el PIB total y per cápita se consideraron quince datos vecinos, mientras
que para el PIB por trabajador se consideraron doce.
5. Suavizamiento exponencial. La tendencia es una media móvil ponderada exponencialmente de las observaciones presentes y pasadas de yt . Es
P
j
decir, µt = α ∞
j=0 (1 − α) yt−j . Esta expresión puede ser simplificada
en forma de media ponderada µt = αyt + (1 − α)µt−1 o en forma de
corrección de errores µt = µt−1 + α(yt − µt−1 ) (Hamilton, 1994). Para
1 P1819
el cálculo se supuso que µ0 = 10
1810 yt y α = 0,18. Esto implica que
la tendencia es similar a una media móvil de diez años, de acuerdo a la
regla α = N 2+1 , donde N es el número de años de una media móvil. Ver
Gardner (2006).
6. Suavizamiento por mediana 4253H, doble. Es un procedimiento tradicional de análisis exploratorio de datos que consiste en calcular sucesivas medianas a la serie original. El algoritmo comienza con una
mediana de cuatro datos, seguida por otra de dos, otra de cinco y otra
de tres. Se eliminan zonas “planas” con promedios ponderados. Luego
se calculan residuos entre la serie suavizada y la serie original y todo el
procesos se repite sobre los residuos. Por último, los residuos suavizados
23
son sumados a los valores suavizados obtenidos la primera vez. Detalles
en Velleman y Hoaglin (1981, p. 171) y Velleman (1982, p. 147).
7. Filtro Butterworth. Es un método usado en ingeniería eléctrica para
el procesamiento de señales, y su empleo en economía fue sugerido
por Pollock (1999, 2000). La versión del dominio temporal del filtro es
1
ψ
i 1+L
1−L
2n −1
, donde L es el operador de rezago, n es el orden del
1+
filtro y ψ es un parámetro usado para variar la frecuencia de corte que
delimita el rango de los elementos cíclicos. En este trabajo, el orden
del filtro es dos y la frecuencia de corte es diez. Debe notarse que el
filtro de Hodrick-Prescott es equivalente al de Butterworth basado en
la función seno. Más detalles en Gómez y Bengoechea (2000, App. B)
and Gómez (2001).
8. Tendencia intrínseca. Corresponde al residuo entre los datos y y funcioP
nes modales intrínsecas (imfj ): µt = xt − nj=1 imftj . Estas funciones
son obtenidas de un proceso llamado descomposición modal empírica
propuesto por Huang y otros (1998). Una buena explicación del algoritmo en Magrin-Chagnolleau y Baraniuk (1999) y Wu y otros (2007).
La Tabla 5 reporta estadísticos descriptivos para las series y los filtros
calculados.
5.3.
Identificación de quiebres estructurales
Con la aplicación del procedimiento de Bai y Perron (2003), el principal resultado es que las periodificaciones son dependientes del filtro que se
emplee (ver Tabla 6). Si usamos como referencia las fechas obtenidas con el
modelo lineal (regresión móvil), observamos que algunos años se repiten en
los filtros. No obstante, no hay manera de discriminar entre los conjuntos de
periodificaciones así obtenidos.
24
Tabla 5: Tendencias estimadas del PIB total, per cápita y por trabajdor:
promedios y desviaciones típicas de la primera diferencia
Simple Average
0,0310
0,0324
0,0311
0,0310
0,0319
0,0302
0,0310
0,0317
0,0310
Standard Deviation
0,0645
0,0082
0,0135
0,0231
0,0064
0,0176
0,0287
0,0117
0,0121
Ln Per Capita GDP
Global Polyn.
HP100
HP006
Local Polyn.
Expon. Smooth.
T4253H
Butterworth
IT
0,0157
0,0165
0,0158
0,0157
0,0164
0,0154
0,0157
0,0164
0,0157
0,0645
0,0079
0,0130
0,0226
0,0060
0,0164
0,0282
0,0119
0,0176
Ln Per Worker GDP
Global Polyn.
HP100
HP006
Local Polyn.
Expon. Smooth.
T4253H
Butterworth
IT
0,0167
0,0165
0,0165
0,0166
0,0163
0,0156
0,0167
0,0167
0,0167
0,0717
0,0083
0,0119
0,0239
0,0077
0,0174
0,0300
0,0099
0,0045
Ln GDP
Global Polyn.
HP100
HP006
Local Polyn.
Expon. Smooth.
T4253H
Butterworth
IT
25
Tabla 6: Quiebres estructurales e intervalos de confianza: diferentes tendencias para el PIB total, per cápita y por trabajador (Bai y Perron)
Trend Estimates
Linear Model
Global Poly
HP100
HP006
Local Poly
Exp. Smooth.
T4253H
BW
EMD
Total
2.5 % BP
1837 1838
1844 1879
1927 1930
1971 1974
1838
1894
1941
1974
1838
1899
1930
1958
1905
1838
1893
1939
1974
1837
1861
1926
1951
1834
1892
1928
1957
1838
1902
1933
1945
1839
1895
1948
1977
1839
1906
1935
1977
1933
1839
894
1940
1977
1839
1899
1934
1976
1839
1898
1933
1977
1839
1906
1935
1977
Per Capita
97.5 % 2.5 % BP 97.5 %
1845
1838 1839 1849
1864 1879 1880
1880
1926 1930 1931
1931
1975
1971 1974 1975
1845
1896
1949
1978
1860
1907
1941
1982
1960
1844
1895
1941
1978
1848
1901
1958
1988
1850
1900
1940
1981
1883
1907
1938
1983
Per Worker
2.5 % BP 97.5 %
1929 1930 1931
1973 1974 1975
1838
1895
1974
1839
1897
1977
1844
1898
1978
1875
1897
1971
1876
1898
1984
1898
1901
1985
1838
1897
1971
1839
1911
1977
1859
1912
1979
1908
1934
1954
1981
1915
1938
1963
1989
1960
1838
1900
1939
1974
1960
1976
1839
1901
1940
1977
1977
1990
1845
1902
1943
1978
1990
1913
1935
1962
1984
1912
1940
1962
1984
-
1953
1891
1966
1977
1911
1977
1996
1925
1979
1838
1867
1926
1976
1839
1868
1927
1977
1941
1972
1928
1978
1911
1939
1960
1976
1905
1932
1953
1981
1874
1904
1940
1962
Nota: Para EMD del PIB toal, el intervalo de confianza es 0.5-99.5 %
26
1911
1933
1962
1984
1876
1905
1941
1963
1914
1941
1963
1985
1913
1938
1964
1989
1879
1906
1943
1965
6.
Modelo estado espacio de la tendencia
En las secciones previas se examinaron los resultados obtenidos a partir
de imponer una conjetura a la estructura de la información. A continuación se
propone describir la dinámica no observada de la serie de tiempo e identificar
así la tendencia. Para ello se estima un modelo de tendencia lineal local
definido como
yt
= µt + ε t
, εt ∼ NID(0, σε2 )
µt+1 = µt + vt + ξt , ξt ∼ NID(0, σξ2 )
vt+1 = vt + ζt
, ζt ∼ NID(0, σζ2 )
Este modelo estado espacio tiene una ecuación de observación y dos ecuaciones de estado: una para el nivel (µt ) y otra para la pendiente o deriva
(drift, vt ). Este último componente es el equivalente a la tasa de crecimiento
de tendencia que intentamos identificar.
Naturalmente, con este procedimiento es también posible construir un
filtro ad hoc imponiendo restricciones a las varianzas. En esta sección se
busca estimar todos los parámetros para determinar así la estructura más
apropiada para la tendencia.
Siguiendo a Durbin y Koopman (2001) y a Commandeur y Koopman
(2007), los valores iniciales µ0 y v0 , así como las varianzas pueden ser estimadas por máxima verosimilitud con una metodología de inicialización difusa. Los resultados obtenidos por medio de los programas Ox/SsfPack y
de las librerías StructTS y sspir de R (Ripley, 2002; Dethlefsen y LundbyeChristensen, 2006) se presentan en la Tabla 7.
Puesto que la varianza de la observación y de la pendiente son iguales a
cero, entonces el modelo implícito es ∆yt = v1 + ξt , que puede reescribirse
P
como yt = µ1 + v1 (t − 1) + t−1
i=0 ξi (ξ0 = 0). A diferencia del modelo lineal
yt = γ0 + γ1 t + ε, el modelo identificado implica una tendencia estocástica y
27
Tabla 7: Estimación estado espacio
σε2
σξ2
σζ2
v1
Total
0
0.004165
0
0.03102
PIB
Per Cápita
0
0.004147
0
0.01567
Por Trabajador
0
0.005112
0
0.01671
el término de error depende del tiempo (Mills, 2003, p.54). Además, aunque
E(yt ) = µt = γ0 + γ1 t, en el modelo con tendencia estocástica σy2 = tσξ2 .
Lo anterior se confirma al realizar la prueba de Dickey-Fuller para detectar raíz unitaria: para las tres series no es posible rechazar la hipótesis de
presencia de raíz unitaria (ver Tabla 8).8
Tabla 8: Prueba de raíz unitaria
φ
Prueba t
Prob*
Total
-0.096
-3.000
0.13
PIB
Per Cápita Por Trabajador
-0.107
-0.193
-3.201
-3.979
0.08
0.01
Dado que la tendencia es estocástica, para su estimación se emplea la
formulación estado espacio presentada en esta sección con las siguientes características: yt representa a la primera diferencia de la serie analizada y
σζ2 = 0. Esto implica que se estima un modelo de nivel local.
La Tabla 9 presenta las varianzas estimadas, lo que confirma que el modelo
subyacente es ∆yt = v1 + ε. La tabla 10 reporta los cambios estructurales
8
La prueba consiste en examinar, con los valores apropiados, el coeficiente φ de la
regresión ∆yt = α + φyt−1 + βt + Et . Una visión crítica a las pruebas en Chumacero
(2000).
28
identificados en la tendencia estocástica estimada.9
Tabla 9: Modelo de tendencia estocástica: varianzas estimadas
PIB
PIB per cápita
PIB por trabajador
7.
σε2
σξ2
0.004167
0.004164
0.005139
0
0
0
Resultados y conclusiones
En las páginas previas se utiliza una batería de instrumentos estadísticos con el fin de periodizar el crecimiento económico de Chile desde 1810
en adelante, considerando como indicadores al PIB total, per cápita y por
trabajador. Los resultados obtenidos son los siguientes:
1. No parece factible periodizar directamente a partir de la tasa de crecimiento
2. Distintos filtros (tendencias) proporcionan diferentes conjuntos de períodos, con extensiones variables
3. El análisis con el modelo estado espacio no restringido propone un
modelo de tendencia estocástica para los tres indicadores
4. Tras estimar dicha tendencia se identifican los siguientes años de cambio
estructural: para el PIB, 1881, 1918, 1951 y 1984; para el PIB per
cápita, 1881, 1918 y 1984; y para el PIB por trabajador, 1881, 1930 y
1952
9
Para la identificación de los cambios se consideró sólo el período 1860-2006 debido a
las características de la construcción del PIB. Ver Díaz y otros (2007)
29
Tabla 10: Modelo de tendencia estocástica :cambios estructurales
2.5 %
Rupturas
97.5 %
PIB
1879
1914
1949
1977
1881
1918
1951
1984
1885
1920
1961
1986
PIB per cápita
1879
1914
1974
1881
1918
1984
1884
1921
1990
PIB por trabajador
1876
1928
1946
1881
1930
1952
1897
1933
1963
30
Esta investigación tiene al menos dos posibles extensiones. La primera
es considerar como criterio para identificar fases a la variación de las tasa
de crecimiento. La segunda es realizar un análisis comparativo con otras
economías.
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