Lección 3: Ecuación de Ondas Unidimesional

MMII_L3_c1: Lección 3: Ecuación de Ondas: Problema de Cauchy
En esta lección se estudia la ecuación de ondas de dimensión 1 espacial. La
ecuación de ondas de dimensiones espaciales superiores quedan como un
ejercicio voluntario para alumnos interesados.
La ecuación de ondas es la más sencilla y representativa de las ecuaciones
hiperbólicas. Su importancia radica en que es el ejemplo con el que vamos a
estudiar a fondo de los fenómenos de ondas. Aunque la aplicación mas conocida
es la de las vibraciones de una cuerda elástica, su aplicabilidad se extiende a
cualquier problema de ingeniería que responda al modelo matemático (Problemas
de ondas).
Otro tema de la lección es que por primera vez se van a introducir condiciones de
contorno, lo que nos llevará a la definición del Método de las Imágenes que
también se utiliza para los otros tipos de ecuaciones diferenciales.
En esta clase se introduce el estudio del Problema de Cauchy de la ecuación de
ondas, en realidad la obtención de la solución (Fórmula de D’Alambert) puede
verse como un ejercicio de la lección anterior.
Se completa la clase estudiando si el Problema de Cauchy es un modelo bien
planteado e interpretando gráficamente la solución. También se considera
brevemente en que consiste la aplicación y la significación de los términos.
La bibliografía básica son los apuntes de “Métodos Matemáticos II
”, y el libro “Ecuaciones de la Físico-Matemática” de Tijonov-Samarski.
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1
Estas notas son solo una ayuda, que ni pretender ni pueden sustituir a la asistencia a
clase, donde se desarrollan los conceptos, se aclararán las dudas y se subsanaran
posibles erratas, y a la consulta de la bibliografía recomendada.
Ecuación de ondas homogénea
Nos ocuparemos en esta clase del problema de Cauchy (PCH) homogéneo de la
ecuación de ondas unidimensional (EO1D), una sola dimensión en x, definido por la
ecuación:
−c 2 ⋅ u xx + utt = 0, ∀x ∈ ℜ, ∀t > 0.
La ecuación puede representar el desplazamiento vertical, u(x,t), de una cuerda
vibrante de longitud infinita, sometida a una tensión, T = c2.
El PCH(EO1D) viene definido por la EO1D y las condiciones iniciales siguientes:
−c 2 ⋅ u xx + utt = 0 ,∀x∈ℜ,∀t∈ℜ+
u(x,0)=f(x),∀x ∈ℜ,
u t (x,o)= g(x),∀x ∈ ℜ,
De forma simplificada con ayuda de la teoría de operadores lineales: LO de la
EO1D, B1 de la condición inicial en u, y B2 de la condición inicial en ut, PCH(EO1D):
LO u = F ; B1u = f ; B2u = g .
La ecuación de ondas es el prototipo de ecuación hiperbólica. Nos restringiremos
sin perder generalidad al caso de c>0.
La proyección de las curvas características (PCC) se obtiene resolviendo:
φt2 − c 2 ⋅ φ x2 = (φt − cφ x ) ⋅ (φt + cφ x ) = 0 ⇒ x ± ct = cte , cuya representación gráfica es:
t
t
x-ct=x0
x+ct=x0
x
x
Haciendo el cambio de variable independiente (CVI):
ξ =x+ct ⎫
⎬
η =x-ct ⎭
Su forma canónica (FC) es:
u ξη = 0
Integrando obtenemos la solución general de la EO1D:
u(ξ ,η ) = ϕ (ξ ) + ψ (η )
Deshaciendo el CVI, la solución general de la EO1D es:
u(x,t)=ϕ (x+ct)+ψ (x-ct)
ϕ ( x) + ψ ( x) = f ( x)
Imponiendo las condiciones iniciales:
ϕ´( x) −ψ ´( x) =
g ( x)
c
Integrando la segunda ecuación y entrando en la primera:
x
1
k
ϕ ( x) −ψ ( x) = ⋅ ∫ g ( s )ds + .
c 0
c
Sumando y restando esta ecuación con la primera ecuación resultante de la
imposición de las condiciones iniciales, se obtiene:
x
ϕ ( x) =
f ( x) 1
k
+ ⋅ ∫ g ( s ) ⋅ ds +
2
2c 0
2c
ψ ( x) =
f ( x) 1
k
− ⋅ ∫ g ( s ) ⋅ ds −
2
2c 0
2c
x
Tomando los argumentos de la función de la solución general, obtenemos la solución
particular del PCH:
x + ct
1
1
u ( x, t ) = ⋅ ( f ( x + ct ) + f ( x − ct )) + ⋅ ∫ g ( s)ds , ∀x∈ℜ,∀t>0
2
2c x −ct
La expresión se denomina Fórmula de D´Alambert (FD’A), solución del
PCH(EO1D) o de la cuerda infinita.
El problema de Cauchy de la ecuación de ondas como un modelo bien planteado.
Vamos a demostrar que el PCH(EO1D) está bien planteado. Para lo que
tendremos que demostrar la existencia, unicidad y continuidad de la solución respecto
de los datos. Este estudio se hace en el marco de la Formulación Fuerte (FF), es decir,
se buscan soluciones u∈C2 (en los ejemplos que se verán a lo largo de la lección, no se
cumplirán las condiciones de la FF que aquí estamos considerando, pero serán válidas
desde el punto de vista de la Formulación Débil (FD), lo que se comentará en clase).
Aunque se puede comprobar la existencia y unicidad del PCH(EO1D) utilizando
el ThCK, vamos a establecer condiciones más amplias e incluiremos el estudio de la
continuidad de la solución respecto de los datos.
•
Existencia: Fijándonos en la Fórmula de d’Alambert, bastará que f ∈ C2
y que g∈ C1 para asegurar la existencia de solución.
•
Unicidad: Por reducción al absurdo, supongamos que v1, v2 que son dos
soluciones del PCH: Definiendo el cambio u1 = v1 – v2, se verificará:
Lu1 = Lv1 − Lv 2 = 0
B1u1 = B1v1 − B1v 2 = f − f = 0
B2 u1 = B2 v1 − B2 v 2 = g − g = 0
El sistema sólo tiene la solución trivial, por lo que v1 = v2.
•
Continuidad de la solución respecto de los datos, ∀t∈[0,T]:
Para pequeñas variaciones en los datos:
{ f ( x) − f
*
}
( x ) < δ , g ( x ) − g * ( x ) < δ , ∀x ∈ ℜ ,
corresponden pequeñas variaciones en la solución:
x + ct
1
1
1
*
*
*
g ( s) − g * ( s ) ds
u − u ≤ f ( x + ct ) − f ( x + ct ) + f ( x − ct ) − f ( x − ct ) +
∫
2
2
2c x −ct
Que se ha obtenido a partir de la desigualdad triangular. En esta última expresión,
aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral, resulta:
u − u* ≤
δ
2
+
δ
2
+
δ
x + ct
∫
2c x −ct
ds ≤ δ ⋅ (1 + T ) ≤ ε , para lo que basta tomar δ ≤
ε
1+ T
.
Interpretación gráfica de la solución
Es interesante la interpretación geométrica de la solución bajo el punto de vista de
la teoría de ondas. La solución puede verse como dos ondas formadas a partir de las
perturbaciones iniciales con la mitad de la intensidad cada una, una mitad se desplaza
hacia la derecha y la otra mitad hacia la izquierda, con velocidades c y –c.
Consecuentemente, la solución se puede separar en dos partes: u1 que se desplaza a la
izquierda y u2 que se desplaza a la derecha:
u1
f ( x + ct ) 1
+
2
2c
x + ct
f ( x − ct ) 1
u2 ( x, t ) =
−
2
2c
x − ct
u1 ( x, t ) =
∫
u2
g ( s )ds
0
∫
g ( s ) ds
0
Suponiendo f≠0, g=0 ⇒la solución será u =
f ( x + ct ) f ( x − ct )
+
, el valor de la
2
2
solución sólo depende de los valores iniciales de f (f es constante a lo largo de la PCC).
⎧utt − c 2 u xx = 0, ∀x ∈ ℜ, ∀t > 0
⎪
Ej1_L3_c1: ⎨
⎧0∀x < 0
c
1,
g
0,
f
=
=
=
⎨
⎪
⎩1∀x ≥ 0
⎩
La PCC es: x ± t = k. Aplicando la FD’A: u =
1
1
f (x + t) + f (x − t) .
2
2
La solución en cada punto será la suma de los valores de f en los puntos iniciales
de las PCC que pasen por el punto considerado. Así se distinguen 3 zonas, el valor en
cada zona es el siguiente:
t
u
2
=
1
2
u1 = 0
u3 = 1
x
La solución se obtiene considerando los puntos de las dos PCC que pasan por el
punto considerado, así distinguiremos tres zonas:
x= -t
•
Zona 1: las dos PCC: x ± t = x0 < 0, como f = 0 ⇒ u = 0
•
Zona 2: si las dos PCC: x + t = x0 >0, x+t = x0<0 , como f = 1 ⇒ u = 1.
•
Zona 3: PCC: x ± t = x0 >0 : u =
t
1
1
1
1
1
f ( x + t ) + f ( x − t ) = ⋅ 0 + ⋅1 =
2
2
2
2
2
x= t
u
1
1/2
t=t1
x
x= - t1
x= t1
x