evaluación sobre modelo regresión lineal simple

UCV / FACES / EECA / ESTADÍSTICA II / Prof. Amarilis García
EVALUACIÓN CONTENIDO SOBRE MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
JULIO 2012
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EVALUACIÓN SOBRE MODELO REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
La evaluación se compone de tres actividades, asociadas con un componente teórico y otro componente práctico.
EVALUACIÓN SOBRE MODELO REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Actividad
Componente
Objetivo
Puntos
Finalidad
%
Actividad 1
Teórico
5
Formación conocimiento
base.
Actividad 2
Teórico
5
Revisión y consolidación
de conocimiento.
Actividad 3
Practico
10
Aplicación.

Este trabajo, pondrá ser realizado de forma individual o en equipo (máximo de 2 estudiantes)

Fecha de entrega: lunes 30/07/2012.
ACTIVIDAD 1:
Revise el documento “Apuntes de clases Tema 5: Modelo de Regresión Lineal Bivariante” (marco teórico referencial), alojado en
el sitio Web “http://ucveecaregresion.wikispaces.com/”; con la finalidad de identificar los conceptos relevantes y procedimientos de cálculo,
conexos al modelo de regresión lineal bivariante.
Sobre la base del contenido indicado en el párrafo anterior, elabore un resumen, bajo las siguientes pautas:
En la página 1, coloque:
Los elementos esenciales que definen al modelo de regresión lineal bivariante: i) ecuaciones y la interpretación de sus elementos;
ii) supuestos del modelo; iii) estimadores de los parámetros (incluya fórmulas de cálculo) iv) estimador de la varianza y desviación
estándar de la regresión (incluya formulas y su significado).
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En la página 2, coloque el siguiente cuadro-resumen
Elementos esenciales que definen el procedimiento de cálculo de los coeficientes de regresión poblacionales
Parámetro
Cuadro No.1: Estimación por intervalo de los coeficientes de regresión poblacionales
Estimador
puntual Error estándar del estimador Intervalo de confianza
del parámetro
del parámetro
β0
β1
Elementos esenciales que definen los principales contrastes estadísticos asociados con el modelo de regresión lineal bivariante
Cuadro No.2: Principales contrastes estadísticos asociados con el modelo de regresión lineal bivariante
Contrastes de hipótesis para los coeficientes de regresión
poblacionales β0 y β1
contraste
coeficiente
poblacional
Contraste
para β1
Contraste de hipótesis para
de
hipótesis
Contraste de hipótesis para
β0
acerca
del
de correlación
Comente la utilidad de la prueba
(¿Para
que
se
utiliza
el
contraste?)
𝛒
1. Hipótesis
2.
Estadísticos
contraste
de
3. Criterio de decisión
En la página 3, coloque un resumen del Capítulo 11 del Webster (2005, p.322)
En el resumen, debe incluir los elementos contemplados para las páginas 1 y 2 del trabajo que Ud. esta desarrollando.
Nota 1:
No deje de incluir los tópicos iniciados en las siguientes páginas:
Webster, p.328: Mínimos cuadrados ordinarios: La recta de mejor ajuste (incluya figura 11.4)
Webster, p.336: Supuestos del modelo de regresión lineal (incluya figuras: 11.6, 11.7 y 11.8)
Webster, p.341: El error estándar de estimación: Una medida de bondad de ajuste
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Webster, p.353: Intervalos de confianza en el análisis de regresión (puntos A y B)
La estructura de presentación se le deja a Ud., el resumen no deberá exceder de 5 páginas (incluyendo los gráficos).
ACTIVIDAD 2:
Luego de completada la Actividad 1 (revisión y resumen del contenido teórico del tema de regresión lineal bivariante) inicie la Actividad 2;
en la cual se pide responder a las preguntas planteadas, así como, completar la información que falta en cada una de las columnas de las
tablas que se presentan a continuación.
NOTA 2: Las secciones de las tablas sombreadas en gris, están respondidas y se incluyen para que les sirva luego de guía, para la
resolución del problema propuesto en la Actividad 3.
1. Repaso de conceptos básicos
Dada las siguientes ecuaciones, correspondientes al modelo de regresión lineal, simple:
µy/x = β0 + β1X......... (1)
Y = µy/x + ε.............. (2)
Y = β0 + β1X + ε....... (3)
Responda a cada uno de los siguientes planteamientos:
1.1. La ecuación (1) se corresponde a la ecuación de una recta. ¿Qué representa el término β1 en esta ecuación?
1.2. ¿Cómo se interpreta el valor de Y en términos de la ecuación (2)?
1.3. ¿Qué representa el término ε en la ecuación (3)?
2. Complete la información que proporciona la siguiente tabla, con respecto a las estimaciones puntuales mínimos cuadrados
¿Cómo se define?
¿Cómo se interpreta?
a. Estimador puntual del parámetro β0
b.Estimador puntual del parámetro β1
c. Estimador puntual del valor medio de la
variable dependiente, cuando el valor de la
variable independiente es Xo
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3. Supongamos que se cumplen los supuestos del modelo; es decir:
a. Para cualquier valor dado de xi; los términos de error εi son variables aleatorias con media 0.
b. Para cualquier valor dado de xi; los términos de error εi , tienen una varianza
misma varianza denotada por σ2 (σ12 = σ22 = ⋯ σ2i = ⋯ = σ2 ).
σ2i que no
dependen de xi; y todos los εi tienen la
c. Para cualquier valor dado de xi; las variables aleatorias, εi , se distribuyen normal, εi ~ N(0,
constante.
σ2 ),
con media cero y varianza
d. Cualquier valor del término de error εi es estadísticamente independiente de cualquier otro valor εj, con i ≠ j (se espera que la
correlación entre εi y εj sea igual a 0).
Sobre la base del cumplimento de estos supuestos, complete la información de la siguiente tabla:
Símbolo ¿Cómo se define?
a. Error
Que representa
Representa la estimación puntual de σ2
cuadrático
medio
Representa la estimación puntual de σ
b. Error estándar
de SST
Representa la cantidad total de variación que muestran los
valores observados de Y.
d. Suma de cuadrados SSE
Representa la ccantidad de variación en los valores de y que no
se explica mediante la variable predictora.
c. Suma
total
cuadrados
debido al error
e. Suma de cuadrados SSR
debido a la regresión
f. Relación entre SST,
SSE y SSR
g. Coeficiente
de
𝑅2
determinación
Nota: En algunos textos SST, SSE y SSR se denotan por SCT, SCE y SCR respectivamente.
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4. Con respecto a los procedimientos de inferencia en el marco del modelo de regresión lineal simple, complete la información de las
siguientes tablas:
4.1. Con respecto a la estimación por intervalo
¿Cómo se define?
¿Cómo se interpreta?
Estimación
por
intervalos
del
coeficiente de regresión poblacional :
β1
a. Estimación por intervalos del
coeficiente
de
poblacional : β0
regresión
Se espera con un 100(1-α)%, de confianza, que el
valor medio de la variable dependiente y, cuando el
valor de la variable independiente es xp, (  y / xp ) este
b. Intervalo de confianza para el
valor medio de y, cuando la
variable independiente es xp
(IC para  y / xp )
entre los valores obtenidos para el límite inferior y el
límite superior del intervalo.
4.2. Con respecto a los contrastes de hipótesis
Contraste para:
Hipótesis
a. β1
H0 : β1 = 0
H1 : β1 ≠ 0
b. β0
H0 : β0 = 0
H1 : β0 ≠ 0
c. ρ0
H0 : ρ = 0
Estadístico
b1
S b1
b0
S b0
Criterio de decisión
¿Que nos permite evaluar?
~ t n−2; α/2
~ t n−2; α/2
r √n−2
√1 −r2
~ t n−2; α/2
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Contraste para:
Hipótesis
Estadístico
Criterio de decisión
¿Que nos permite evaluar?
H1 : ρ ≠ 0
d. Prueba
para
modelo
regresión
simple
F, H0 : β1 = 0
el
H1 : β1 ≠ 0
de
Ver Notas 1:
MSR
F(observado)= MSE
MSR (Cuadrado medio
de la regresión). MSE
(Cuadrado medio de los
errores); donde
MSR = SSR / Total de
variables
independientes
Rechazar H0 ,
Se usa para evaluar
la
Si el F(modelo) es mayor significancia de la relación de la
que F(α,1,n−2)
regresión entre la variable x y la
variable y. Para el caso de la
regresión lineal simple, esta
Nota: para una α dada, con prueba es otra forma de probar:
1 y n-2 grados de libertad H : β = 0
0
1
en
el
numerador
y
H1 : β1 ≠ 0
denominador
respectivamente.
MSE = S 2
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ACTIVIDAD 3:
Revise nuevamente los resultados obtenidos en las actividades 1 y 2, haga las correcciones del caso (si fuese necesario)
En este punto, ya se dispone del conocimiento necesario para resolver un problema sencillo. Se le pide
Seleccione dos variables, identificando el contexto en donde han sido definidas (útil para la interpretación de resultados al aplicr el modelo
de regresión lineal bivariante).
Aplique el modelo de regresión lineal simple, a los datos que Ud. Ha seleccionado. Realice los cálculos, con sus correspondientes
interpretaciones. Analice e interpretar los resultados.
1. Sobre la base de los datos seleccionados por Ud. se pide:
1.1. Grafique los puntos (xi; yi), es decir el diagrama de dispersión de los datos; denomínela Grafica No.1. Comente sobre el tipo de
patrón que sugiere la gráfica.
1.2. Pruebe la siguiente hipótesis. H0 : ρ = 0 ; H1 :ρ ≠ 0. ¿Cómo interpreta estos resultados?
Nota: Pruebe la hipótesis correspondiente con un alfa 0.05
2. Si se supone que el modelo de tipo lineal, Y = β0 + β1X + ε , puede ser utilizado (asumimos que se cumplen todos los supuestos);
complete la información solicitada en el siguiente cuadro:
Calcule
6
b0
7
b1
8
ŷi = b0 + b1 xi
10
𝑆2
11
12
¿Que representa el(los) valor(es)
obtenido(s)? ¿Para qué se utiliza?
S
1
x̅ 2
S b0 = √ +
n
Sxx
7
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Calcule
13
Sb21 =
S2
SSxx
15
b  t
b  t
16
Variación total: ∑n1(yi − y̅ )2
denotada por : SCT
17
Variación
explicada:
∑n1(ŷi − y̅ )2 denotada por :
SCR
18
Variación
inexplicada:∑n1(yi − ŷi )2
denotada por : SCE
19
𝑅2
14
¿Que representa el(los) valor(es)
obtenido(s)? ¿Para qué se utiliza?


0
n2; / 2
* Sb0
1
n2; / 2
* Sb1
20
MSR
21
MSE
22
F= MSR/MSE
NOTA: Recuerde incluir las fórmulas que agilicen los cálculos
3. Especifique la recta de regresión mínimo cuadra. ¿Se puede decir que el modelo es adecuado para explicar el comportamiento de Yi
en términos de los valores Xi? Justifique su respuesta.
4. Realice los siguientes contrastes de hipótesis:
a) Contraste de hipótesis para 𝛃𝟏
Hipótesis
8
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H0 : β1 = 0
H1 : β1 ≠ 0
b) Contraste de hipótesis para 𝛃𝟎
Hipótesis
H0 : β 0 = 0
H1 : β0 ≠ 0
Nota: Pruebe las hipótesis correspondientes con un alfa 0.05. Recuerde interpretar los resultados
5. ¿Qué dice este modelo sobre la relación entre las variables? Justifique su respuesta.
Referencias bibliográficas
García, A. (2012, 22 Julio). Apuntes de clases. Tema 5: Modelo de Regresión Lineal Bivariante. Caracas, Venezuela: Universidad Central
de Venezuela. Recuperado el 22 de Julio de 2011, de http://ucveecaregresion.wikispaces.com/
Webster, A. (2005). Estadística aplicada a los negocios y a la economía (3era. ed.). Bogotá: Irwin-Mc Graw-Hill
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