2) ( ee eg = + - Escuela de Ingenierías Industriales

Escuela de Ingenierías Industriales
Dpto. Matemáticas
1.- Sea el espacio vectorial real R2 . Probar que L y M son subespacios vectoriales de R2 siendo L={(x,y) 2/x+y=0},
M={(x,y) R2/9x-y=0}
a) Hallar un sistema generador de ambos.
b) Hallar ecuaciones paramétricas y no paramétricas de L, M.
c) Justificar en el espacio vectorial (R3,+,. ) que L = { (x,y,z)R3/x-3y+ 8z = 0} es un subespacio vectorial y encontrar
un sistema generador.
d) Sea L subespacio vectorial L=< (2,1,1),(1,2,1),(1,-1,0)(3,3,2) > de R3 determinar una base de L, y sus ecuaciones.
2.- a) Sea E un espacio vectorial y {x1,x2,x3,.....xn} vectores l.i. Demostrar que también son l.i. la familia de vectores
{yi} i=1,2,....,n donde y1=x1+x2+......+xn, y2 =x2+x3+.....+xn, ......... , yn=xn.
b) idem con yn=x1+x2+.....+xn, yn-1=x1+x2+.....+xn-1, y1=x1..
3.- Sea el espacio vectorial real P3[x] de los polinomios de grado 3, probar que B1={1,x,x2,x3} y
B2={(1+x)3,(1+x)2x,(1+x)x2,x3} son bases. Obtener las ecs. del cambio de bases. Hallar las coordenadas del vector
p(x)= 1+2x+3x2+4x3 en la base B2.
4.- Sea P2(t)= polinomios de grado  2, a) Probar que B2={1,(t-1),(t-1)2} es base de P2(t). b) Calcular las ecuaciones del
cambio de base con B1={1,t,t2}. c) Sea L = <1+t2>, M = <2t>. Hallar ecuaciones de L, M.
5.- Sea (R3,+,.. ) y las variedades lineales L y M, donde
L=<(1,3,4),(2,1,2),(3,4,6)> y M= 3x+y=0 . Hallar las ecs. de L, dimensión y base de M.

 y+z=0
6.- Sea E={{xn}/ xiR}
a) ¿Es (E,+,. ) espacio vectorial ?
b) Sea L={{an}/ an=an-1+an-2, n3} probar que es subespacio vectorial. Hallar una base.
7.- De las siguientes aplicaciones de R3R3 comprobar cuales son lineales y determinar la matriz respecto de la base
canónica:
a) f(x,y,z)=(x-1,y+3,z)
b) f(x,y,z)=(y+z,z+x,x+z) c) f(x,y,z)=(x,y,0).
8.- Sea P3[x] = { pol. grado3 con coefs. reales} y sea P1[x] los pol. de grado  1. Se define la aplicación f: P3 P1
f(polinomio)= segunda derivada del polinomio.
a) Probar que es aplicación lineal y hallar su matriz.
b) Obtener matricialmente la derivada segunda del polinomio p(x)=x3+3x2+7x-6.
9.- Hallar la matriz en la base canónica del endomorfismo de R3 del que se sabe
a) Ker(f)= <(1,1,-1)> b) f(1,1,0)= (0,3,0) c) (1,-1,0)  f-1(2 e 1). Hacer un cambio de base y obtener la matriz respecto de
las bases canónicas.
 2 1 4 
 1
0 3  Hallar la matriz respecto de la base de vectores {n1,n2,n3}. donde:
10.- Sea fEnd (R ) / M(f ) 

  1 2 2 
3
n1=e1, e2=n2/2, e3=n1+n3-n2/2.
11.- Sea fEnd ( 2) definido por f(x,y)=(2x-3y,4x) y g la aplicacón lineal de R2R3 definida por g (e1 )  e1  e2  e3
g (e 2  e1 )  2e1 .
Hallar la matriz de gof. Siendo B={ e1, e 2 } base de R2 y B´={ e1, e 2 , e 3 } es base de R3.
12.- Sean los R-espacios vectoriales R3 y R4 y la aplicación f:R3R4 de la que se conoce f(0,1,1) = (1,2,1,2) y
Ker(f)={(x,y,z)/ x-y-z=0}. Se tiene además L 3/ L = <(1,2,3),(2,4,6)>. Se pide: a) Ecuaciones paramétricas, implícitas
y base del Ker(f), Im(f), L, Lker(f) y L+ Ker(f). ¿Es suma directa? b) Hallar las ecuaciones del homomorfismo f
 2 4 2 
 1    . Estudiarlo a) calcular la dimensión de Im(f) para =-2.
13.- Sea el endomorfismo de R / M(f1 ) 


  1 2 1 
3
b) Determinar el ker(f) y la Im (f).
Curso 2012-2013
1
Matemáticas I Tema 2
Aplicaciones lineales y matrices
Escuela de Ingenierías Industriales
14.- Sea f el endomorfismo de
3
Dpto. Matemáticas
 f (e1 )  e1   e 2  e3

dado:  f (e 2 )  2 e1  e 2  e3

 f (e3 )  e1   e 2  3e3
Determinar 
para que sea máxima
dim(Ker(f)).
15.- Sea P3[x] el espacio vectorial de los polinomios de grado  3, a) Probar que{1,1+x,1+x+x2,1+x+x2+x3 } es base de
P3[x] . b) Hallar la matriz de fEnd(P3) /  p(x)P3[x] f(p(x))= p''(x) respecto de dicha base.
c) Determinar Ker(f) e Im(f).
d) Resolver con y sin ayuda matricial la ecuación f(q(x)) =6x+8.
16.- En R3 se consideran los vectores  n 1=(0,1,1), n 2 =(1,0,1), n 3=(1,1,0) y f un homomorfismo que cumple:
1/ Si v  L  n1, n2  f(v)  v .
2/ n 3  Ker(f) .
Se pide:
a) Ecuaciones de f. b) Base del Ker(f) e Im (f). c) Sea M=<(-2,1,-1)>. Hallar f(M).

17.- En el espacio vectorial R3 se considera la base e1, e2, e3} y la aplicación lineal f: R3 → R3 definida por :
f(e1 )  e2  e3 . f(e2 )  e1  e3 . f(e3 )  e2  e3 .
Hallar a) expresión de f respecto de B. b) Conjunto de
vectores invariantes por f. c) Determinar las ecuaciones de Ker(f), Im(f), ¿existe f-1?. d) Sea L  e1  e2 
determinar las ecuaciones de f(L) e) Determinar las ecuaciones de f en la base

B1  u, v, w
 donde
u  e1 , v  e1  e 2 , w  e1  e 2  e 3 .
18.- Sea M el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos sobre R, y sea E el conjunto de las matrices
a
bc 

de la forma:
con a,b,c  R Se pide: a) Probar que es un espacio vectorial y probar que
 bc
a 

 1 0   0 1   0 1  
B  
, 
, 
  es una base de E. b) Hallar la matriz del homomorfismo f: E E definido:
 0 1    1 0   1 0  
a
bc 
0
2b  c 


f( 
)

 en la base B.
a 
0
 bc
  2b  c

c) Hallar las ecuaciones del núcleo y de la imagen en dicha base.
19.- Sean los espacios vectoriales P3[x] de los polinomios de grado menor o igual que tres y M2 de las matrices
cuadradas de orden dos con sus respectivas bases canónicas. Se considera la aplicación lineal:
a

f(ax 3  bx 2  cx  d) = 
 c-b
b-d 

0

se pide a) matriz de f en las bases citadas. b) Determinar el núcleo y la imagen de f.
20.- Sea V4, V3 espacio vectorial reales de dimensiones 4,3 respectivamente. Sean las bases:
B4 = { e1,e2,e3,e4} y C3 = {e1,e2,e3} y sea f: V4  V3 /
 1
 -1
M(f) = 
 2

 -2
-1
2
-1
1
a) Localice el N(f) y la Im(f), facilitando una base de cada uno de ellos.
b) Hallar la matriz de f respecto de
B´ y de C´ con

1 
1 

1 

1 
respecto de B4 y C3.



B = e'1 ,e'2 ,e'3 ,e'4 , C = n'1 ,n'2 ,n'3 .
Siendo
e'1  e 1  2e 2  3e 3 , e'2  2e 1  3e 2  5e 3  4e 4 , e'3  3e 1  5e 2  e 3  e 4 ,
e'4  e 1  e 2  5e 3  7e 4 , n'1  n1  2n3 , n'2  2n1  n3 , n'3  2n2 .
c) Obténganse bases en V4
diagonales 1. (M(f)=I)
Curso 2012-2013
y
V3 en que la matriz asociada tenga ceros en los elementos no diagonales y en las
2
Matemáticas I Tema 2
Aplicaciones lineales y matrices
Escuela de Ingenierías Industriales
Dpto. Matemáticas
 1
21.- Sean V=(R3,+,. ), y U=M2(R) con la base canónica: 



 0
Sea
W=(P3(t),+,. )
con
la
base
 x1 - x2
x2

f (x 1 , x 2 , x 3 )  
{ 1,t,t2,t3}.
Sean
0   0
,
0   0
f,
g
1   0
,
0   1
aplicaciones/
0   0
,
0   0
f:V  U,
0  

1  
g:U  W
definidas
t
x2
 Sea g(A) = (1,t).A.   .

2

x2  x3 
t 
a) Probar que f y g son lineales. b) Hallar las matrices asociadas a f y a g respecto de las bases dadas y obtener
sus rangos. c) Obtener Ker(f) e Im(f). Idem con g.
d) Hállese la matriz asociada a g0f, su rango, núcleo y la imagen.
2
-1
 m-2
2
m
2
 2m 2m + 2 m + 1
22.- Sea f  End( 3) / M(f)  





a) Clasificar f según los valores de m.
b) Calcular Ker(f), Im(f) para m=1.
c) Idem con m=100.
1 
 3 1
 1 -1 1 
23.- Sea f: R R aplicación lineal con: M(f) = 
 con   .
  1
1 


1 
 1 
a) Estudiar f según los valores de . b) Para  = 1 obtener el Ker(f) e Im(f).
c) Si L={(x1,x2,x3,x4)  4/ x1+x2=0, x3=0} obtener f(L).
4
3


24.- .- Sea el espacio afín A3 con sistema de referencia O, e1 , e2 , e3 , se considera otro sistema de referencia


R' = A, v1 , v2 , v3 con v 1  e 1  e 2 , v 2  e 2  e 3 , v 3  e 1  e 3 y A(1,0,0). Hallar las fórmulas del cambio de
sistema de referencia, las coordenadas del punto P(2,3,4) y las ecs. del plano x+y+2z=2 respecto de R'.
25.- a)Sea M2 el conjunto de las matrices cuadradas de orden dos. Comprobar que A=(M2,V4,) es e. afín. Siendo:
a
a 
(A,B)=(a11-b11) e 1+(a12-b12) e 2+(a21-b21) e 3+(a22-b22) e 4. con A=  11 12 
a21 a22 
b11 b12 
 y V4 e.v. real de dimensión
b21 b22 
y B= 
0 0 
 1 0
1 1 
 , M1= 
 , M2= 
,
0 0 
0 0 
0 0 
b)Comprobar que R={M0,M1,M2,M3} es un sistema de referencia del e.afín con: M0= 
1 1 
1 1
3 7 
 , M4= 
 . Hallar las coordenadas de M= 
 en el sistema de referencia R.
1 0 
1 1
6 8 
M3= 
x1 - x2 + x3 = 0
. Sea A(2,3,4,1), hallar las ecs.
x1 + x2 - 2x3 = 0
26.- En R4 se considera el subespacio vectorial F de ecs. implícitas 
implícitas y paramétricas de A+F.
27.- Sean Mn el R-e.v. de las matrices cuadradas de orden n definimos la aplicación de Mn x Mn  R
n
n
A.B = traza(A.Bt)=   aijbij .
Probar que es un producto escalar.
i=1 j=1
28.- Sea V2 con el p.e. canónico y sea W=C[-1,1]={ f:[-1,1]R,
1
f.g =
2
1
 f(x).g(x)dx .
f
funciones reales continuas}. Sea
Sea :V2W / (a,b)=a+b 3 t. Probar que  es
Probar que W es un E. Euclídeo.
1
ortogonal.
29.- Probar que en un e.v. euclídeo V se cumple:
xyz
2
 x
2
 y
2
 z
2
 2x.y  2y.z  2x.z

30.- Sea V3 el R-e.v.e. de dimensión 3. Sea
f(3e2 ) = e1  e2  2e3
Curso 2012-2013
x, y, z  V
B = e1, e2, e3

B.O. si fEnd(V3) y cumple
f(3e1 ) = 2e1  2e2  e3
f(3e3) = e1  e2  e3 , localizar ,, para que la matriz f sea ortogonal.
3
Matemáticas I Tema 2
Aplicaciones lineales y matrices
Escuela de Ingenierías Industriales
Dpto. Matemáticas


31.- Sea V3 el -e.v.e. de dimensión 3. Sea B = e1, e2, e3 base de V3/ e1.e1=1, e1 .e2 =1, e3.e3 =2, e1 .e2 =0 y el vector ,
2e 2 - e 3 es ortogonal a los vectores , e1 y e2 . Se pide :
a) Matriz del producto escalar respecto de B. b) Una base


ortonormal de V3. c) Matriz del p.e. respecto de la base B1  v1, v2, v3 donde v1  e1 , v2  e2  e3 , v3  e1  e2  e3 .
32.- Sea E3 el R-e.v.e. de dimensión 3, donde se tiene:
y

 3 1 1   1


x.y=(x1,x2,x3) 3 1 0
 y2


 3 0 1   y3


 . Hallar las normas de (3,2,1), (6,3,2), (-1-8,0).


1
33.- Probar que p(x).q(x) =  p(x).q(x)dx es un p.e. en P3[x].
0
Hallar el ángulo formado por 3x2+7 y x3-6x+2, hallar la norma de x.
34.- Dado P1[x], y el p.e. del problema anterior se pide a) Matriz del p.e. referida a la base {1,x}. b) ángulo formado
por x+2 y 2x+4. c) proyección ortogonal de x+3 sobre x+2. d) Obtener una B.O. a partir de {1,x}.
35.- Define producto escalar (p.e.) Escribe las ecuaciones del producto escalar. En un e.v. con p.e. (E V. euclídeo) ¿como se
introducen los conceptos de ángulos, normas y distancias? En el e.v. R2 se tienen el p.e. f(x,y)=3x1y1+x1y2+x2y1+3x2y2 con
x=(x1,x2) e y=(y1,y2). Si u=(2,3) y v=(1,2) obtener ángulo formado por u y v. Obtener la distancia entre u y v. Subespacio
ortogonal a u+v.
36.- Define espacio afín, sistema de referencia afín, coordenadas afines, ecuaciones del cambio de sistemas de
referencia. Pon ejemplos. En el plano afín se consideran el Sistema de Referencia R={0,i,j} siendo i=(1,0), j=(0,1)
y se considera otro sistema de referencia S={A, i,j} siendo A=(1,1) si una recta tiene de ecuación x+2y=8 respecto de
R ¿Cuál será su ecuación respecto de S?
37. Estudia para qué valores de R la siguiente matriz M es matriz de un producto escalar en R3.
1 0 2 
Si para =5, M es la matriz de un producto escalar y dados los vectores u=(1,0,1) y


M   0 2 1 
 2 1  


se pide:
a) distancia entre u y v.
v= (-1,1,0)
b) ángulo formado por ambos vectores. c) subespacio ortogonal al vector u+v.
38.- Sea la aplicación lineal f: R3→ R4 de la que se sabe que f(2,0,0)=(2,4,6,-8), f(2,2,0)=(4,4,4,2) y (1,1,1) Ker(f).
a) Obtener la matriz de f respecto de las bases canónicas. b) estudiar el Ker(f) e Im(f).
c) Si L=<(1,0,0), ((1,0,-1)> obtener f(L). d) Obtener f-1(3,4,5,-3).
39.- Dado un producto escalar en un espacio vectorial definir norma asociada al p.e. señalar cual de las dos expresiones
siguientes es cierta:
a)
x.y  x  y
x, y  V
b) probar que si a.b=0 (ortogonales)
b) x  y  x  y
se cumple:
a b
2
 a
2
40.- Sea V un e.v. euclídeo y sea B= {u1,u2,u3} una base de V
base. Sea x=u1-2u2, y=u2-u3. Calcular:
a) norma de ambos vectores. b) distancia entre ambos vectores.
c) subespacio ortogonal a x, y subespacio ortogonal a y.
Curso 2012-2013
4
x, y  V
 b
y
2
a, b  V .
1

M  0

1
0
1
0
1

0
2

matriz del p.e. respecto de esa
Matemáticas I Tema 2
Aplicaciones lineales y matrices