Ecuaciones diofánticas

E J E R C I C I O S
D E
E C U A C I O N E S
José Antonio Martín A.Triana
obreoteraros.blogspot.com
[email protected]
D I O F A N T I C A S
² - 36 x - 153 y =
ECUACIONES DIOFANTICAS.- 7 x
7x
448
² -36 x - ( 448 + 153 y ) = 0
x = 36 ( 1296 + 12544 + 4284 y )¹/ ² : 14 ;
12544 + 1296 ≡
988 ( módulo 4284 )
4284 = 7 x 9 x 34 x 2 = 63 x 68
988 ≡
13
²≡
43 ( módulo 63 ) ;
988 ≡ 36 ( módulo 68 )
43 ( módulo 63 ) ;
62
²
≡ 36 ( módulo 68 )
62 - 13 = 49 ;
a = ( 68 b - 49 ) : 63 = 37
37 x 63 = 2331 ;
2318
²≡
2331 - 13 = 2318
988 ( módulo 4284 ) ;
1966
²≡
988 ( módulo 4284 )
x = [ 36 ± 2318 ] : 14 = - 163 ; + 168,42 ;
x = [ 36 ± 1966 ] : 14 = + 143 ; - 137,85
soluciones enteras :
x = 143........................ y = 899
X = -163....................... y = 1251
ahora consideramos los factores de 4284 ,
4284 = 36 x 119
988 ≡
4
6-4=2 ;
²≡
16 ( módulo 36 ) ;
988 ≡
16 ( módulo 36 ) ;
6
a = [119 b - 2 ] : 36 = 33 ;
1184 ² ≡
²
36
≡
( módulo 119 )
36
( módulo 119 )
( 33 x 36 ) - 4 = 1184
988 ( módulo 4284 ) ; 3100 ² ≡ 988 ( módulo 4284 )
x = [ 36±1184]:14= 858,57 , - 82 ;
x = [36 ± 3100 ]:14 = 224 ; - 218,85
soluciones enteras :
x = - 82 ....................................... y = 324
x = 224........................................ y = 2240
Igualmente,tomando :
4284 = 28 x 153
988 ≡ 8 ( módulo 28 )
988 ≡ 70 ( módulo 153 )
6 ² ≡ 8 ( módulo 28 )
23 ² ≡ 70 ( módulo 153 )
23 - 6 = 17
a = [153 b - 17 ]: 28 = 136
( 136 x 28 ) - 6 = 3802
3802 ² ≡ 988 ( módulo 4284 ) ;
x = [36 ± 3802 ] = 274,14 ; -269 ;
x=
482 ²≡ 988 ( módulo 4284 )
x = [36 ± 482 ] :14 = 37 ; -31,85
37 ............................................ y =
51
x = - 269............................................. y = 3371
-------------------------------------------------------------ECUACIONES DIOFANTICAS.- 47 x ²- 179 y = 1.137.550
47 x
² - 179 y = 1.137.550 ;
47 x ² = 47 n ;
1.137.550 ≡
47 n
5 ( módulo 179 )
≡ 5 ( módulo 179 )
probamos ,
47
47
47
47
x 4 ≡ 9 ( módulo 179 )
x 8 ≡ 18 ( módulo 179 )
x 76 ≡ 171 ( módulo 179 )
x 80 ≡ 1 ( módulo 179 )
47 x 80 x 5 ≡ 5 ( módulo 179 )
47 x 42 ≡ 5 ( módulo 179 )
n = 42
14 ² ≡ 17 ( módulo 179 ) ;
15 ² ≡ 46 ( módulo 179
los residuos cuadráticos serán sucesivamente ,
17-46-77-10-145-182-42
42 corresponde a 20 ²
159 ² ≡
20
²
≡ 42 ( módulo 179 )
42 ( módulo 179 )
x = 159 ............................ y = 283
x=
20............................. y = - 62,50
igualmente serán soluciones válidas
x = ( 20 ó 179 ) + 179 a
ECUACIONES DIOFANTICAS.- 311 x - 137 y = 10568
10568 ≡ 19 ( módulo 137 ) ;
311 n ≡ 19 ( módulo 137 )
311 x 3 ≡ 111 ( módulo 137 ) ; 311 x 4 ≡ 11 ( módulo 137 ) ;
311 x 36 ≡ 99 ( módulo137 )
311 x 101 ≡ 38 ( módulo 137 ) ; 311 x ( 101 + 137)/2 = 311 x 119 ≡ 19 ( módulo 137 )
X = 11 ;
y=
x = 119 + 137 = 256 ;
193
y = 193 + 311 = 504
x = 119 + (2 x 137 ) = 393 ; y = 193 + (2 x 311 ) = 815
-------------------------------------------------------------------------
ECUACIONES DIOFANTICAS.- 123 x
330.201.002
= 330.201.002
≡ 57 ( módulo 85 )
123- 85 = 38 ;
n
³ - 85 y
³≡
módulo 85
-------------------------------38
1
divid. por 2
19
43
multip.por 3
57
44
44 ( módulo 85 ) ; n = 54 ;
54
³≡
44 ( módulo 85 )
330.201.002 : 123 = 2684.560,99... su raíz cúbica aprox....> 139
54 + 85 = 139 = x................................
1531 = y
54 + (2x85) = 224 = x...........................12.379.390 = y
54 + (3 x 85 ) = 309 = x.......................... 38.808.769 = y
ECUACIONES DIOFANTICAS.- 30 x
99.912 ≡ 10 ( módulo 22 ) ;
² - 22 y ²
= 99.912
módulo 22
----------------------------30
1
divid.por 3..... 10
15
15 tiene que ser resto cuadrático , módulo 22.
13
²
≡ 15 ( módulo 22 )
99912 : 30 = 3.330,40................... su raíz cuadrada aprox............> 57
( 22 x 7 ) + 13 = 167 ;
X = 167....................... y = 183
obtendríamos el mismo resultado :
99912 ≡
12 ( módulo 30 )
²
≡ 9 ( módulo 30 )
n
módulo 30
------------------------22
1
divid.por 11
2
11
multipl.por 9 18
9
3
²
≡ 9 ( módulo 30 )
x = 167............................. y = 183
otros valores serían:
x = (22 x 9 )+ 13= 211....................y = 237
x = ( 22 x 30 ) + 13 = 673..................y = 783
-----------------------------------------------------------ECUACIONES DIOFANTICAS.- 58 x
⁴ - 39 y = 811
811 : 58 = 13,90 ; raíz cuarta de 13,90...................... 1,93 aprox.
58 - 39 = 19
módulo 39
--------------------------------19
1
divid.por 19.... 1
37
multip.por 31.. 31
16 ó 29
16 elevado a la cuarta potencia es congruente 16 , para módulo 39
16 = x................................ y = 97.443
(16 + 39 ) = 55 = x................................ y = 13.608.601
ECUACIONES DIOFANTICAS.- 7 x
⁴ - 851 y ²
= 34.151
34151 ≡ 111 ( módulo 851 )
851 + 7 = 858
;
851 = 23 x 37
851
------------------------858
1
divid.por 2.... 429
426
" " 3.... 143
142
" " 11..
13
245
" " 13..
1
608
multp.por 111. 111
259
259 ≡
0 ( módulo 37 )
259 ≡ 6 ( módulo 23 )
37⁴ ≡
0 ( módulo 37 )
9⁴ ≡ 6 ( módulo 23 )
37 - 9 = 28
a = (37 b - 28) : 23 = 2 ;
2 x 23 = 46 ;
46 - 9 = 37
x = 37.....................
y = 124
-------------------------------------------------------------
ECUACIONES DIOFANTICAS.- 16 x
233.835.312
⁵ - 817 y ³
= 223.835.312
≡ 188 ( módulo 817 )
módulo 817
--------------------------833
1
divid.por 10.... 165
572
" " 5.... 33
768
" " 11... 3
664
" "
3.... 1
766
multp.por 188.. 188
216
817 + 16 = 833
817 = 43 x 19
216
≡
1 ( módulo 43 ) ;
216
≡ 7
( módulo 19 )
1⁵ ≡
1 - 11 = - 10 ;
1 ( módulo 43 ) ;
11⁵ ≡ 7
( módulo 19 )
a = [ 19 b - (-10) ] : 43 = 2
2 x 43 = 86 ;
86 - ( - 1) = 87
x = 87........................ y = 460