Ecuaciones de Segundo Grado Ing. José Alberto Salgado Coussin

Ing. José Alberto Salgado Coussin
Ecuaciones de Segundo Grado
Matemáticas
Ecuaciones de Segundo Grado
Las Cónicas
Concepto de Excentricidad
Ecuación de Segundo Grado
• Son ecuaciones de segundo grado aquellas en
las que la incógnita aparece al menos una vez
elevada al cuadrado (x2 ).
• Ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1
Solución de Ecuaciones de Segundo Grado
Como vimos en la descripción, cualquier ecuación de segundo
grado se puede expresar de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c serán números enteros (positivos o negativos).
* Para ello bastará obtener el denominador común (si hay
denominadores), para eliminarlo y pasar todos los términos al
primer miembro.
* Sabemos que una vez conseguida dicha forma, las dos "posibles"
soluciones de la ecuación son:
Solución de Ecuaciones de Segundo Grado
*Así la ecuación del ejemplo inicial: 3x2 - 4x + 1 = 0, tendrá por
solución lo siguiente:
* Y así 1 y 0.33 son las dos soluciones o raíces de la ecuación.
Ejercicios
x2/2 = x/2 + 3
3x2 = 12
x2 - 2x -1 = 0
x2 -1/4 = 0
4x2 - 4x +1 = 0
3x2 - 3x = x – 1
4x2 - 2x - 4 = 0
y = 3x2 - 4x + 1
Problemas de Aplicación
1. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado
de mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como
resultado 7.
2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24
años la edad del padre será el doble de la del hijo.
¿Cuántos años tiene ahora cada uno?
3. Un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en
1 cm. cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm. . Calcular
dimensiones y el área del rectángulo inicial
.
Las Cónicas
Las Cónicas
•
El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga,
Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar
un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían
estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos
perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses,
parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo,
recto u obtuso, respectivamente.
•
Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un
tratamiento de las mismas que se aproxima mucho a aquélla. Los
resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta
que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la
geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio,
haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas
negativas, con las restricciones que esto impone.
Circunferencia
• Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano
que se encuentran a una distancia fija llamada radio, de un punto
dado, llamado centro.
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
• Ecuación de la circunferencia
Considérese la circunferencia centrada en O (a, b) y de radio r . La
condición para que un punto X(x, y) se encuentre en la misma es:
d(X, O) = r, es decir:
Simplificación : (x - a)2 + (y - b)2 = r 2
Ejemplo
Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que
contiene al punto (-2, 3).
Así la ecuación es:
x2 - 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = 13
x2 + y2 - 2x - 2y - 11 = 0
x2 + y2 - 2x - 2y - 11 = 0
Ejercicios
1. Hallar los puntos de intersección de la recta
x + 2y + 1 = 0 y la circunferencia
2.Hallar las tangentes a la circunferencia
x2 + y2 - 2x + 3y - 18
3.Hallar los puntos de intersección de dos circunferencias
cuyas ecuaciones son
x2 + y2 - 2x + 4y - 11 = 0 y x2 + y2 + x + y - 8 = 0
Hecho por:
Sandra Nogueda Zequeida
4010