Capítulo 1 parte 1 - Servidor web opsu

11
Capítulo 1
Números Reales
Operaciones Básicas
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CONJUNTOS
Cotidianamente encontramo s y mencionamos este concepto para referirnos a diferentes
ámbitos de nuestra vida diaria, ejemplo:
•
Haz escuchado al conjunto de música de rock Metallica,
•
Haz visto la camisa de este conjunto,
•
Jueguen en conjunto,
Pues bien en Matemática es básico este concepto, ya que él nos permite
generar el
conjunto de números reales, el cual va a ser la materia prima de nuestro trabajo.
Son sinónimos de la palabra conjunto un grupo, una colección, un agregado, una
agrupación de objetos o símbolos.
Comúnmente se estila denotar a los conjuntos con letras mayúsculas y a sus elementos con
letras minúsculas, ejemplo:
↔ Escriba el conjunto formado por los días de la semana:
Solución :
Denotemos al conjunto con la letra A, así
A= { domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado }
↔ Escriba el conjunto formado por los días de la semana laborables en la Universidad de
los Andes-Táchira.
Solución :
Denotemos al conjunto con la letra B, así
B= { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes
}
13
Ahora observemos un hecho importante que ocurre con los elementos de los conjuntos:
1. Domingo pertenece al conjunto A, se denota Domingo ∈ A.
♣
2. Lunes pertenece al conjunto A, se denota Lunes ∈ A.
3. Lunes pertenece al conjunto B, se denota Lunes ∈ B.
4. Sábado no pertenece al conjunto B, se denota Sábado ∉ B.
5. Domingo no pertenece al conjunto B, se denota Domingo ∉ B.
↔ Como ejercicio terminar el resto de relaciones.
Ahora, podemos señalar que existen dos maneras o formas para expresar los conjuntos, uno
donde listamos o señalamos uno a uno sus elementos del listado o por extensión y
otro donde asignamos una regla o una propiedad común que cumplan dichos elementos
de la regla o por comprensión; en ambos casos utilizaremos llaves “{ } ” para su
representación. Ejemplo:
↔ Sea A= { Domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado }
Este conjunto esta dado por el listado o extensión ya que se especifica uno a uno sus
elementos.
↔ Sea T= {x / x es un día de la semana
}
Este conjunto esta dado por la regla o comprensión ya que estamos utilizando una
propiedad para señalar los elementos.
Ejercicios
1. Escriba cuatro conjuntos por comprensión.
2. Escriba cuatro conjuntos por extensión.
Según la cantidad de eleme ntos que contengan los conjuntos pueden ser:
14
*conjuntos finitos, aquellos conjuntos cuyo cardinal es un elemento del conjunto de los
números enteros positivos.α
*conjuntos infinitos, aquellos conjuntos cuyo cardinal es infinito.
El cardinal de un conjunto es aquel número entero positivo que representa la cantidad
de elementos que posee dicho conjunto, ejemplo:
↔ Sea A= {Domingo, lunes , martes, miércoles , jueves, viernes , sábado} , decir si es finito o
infinito y además señalar su cardinal.
Solución :
Su cardinal viene representado por el número de elementos que posee, Card ( A) = 7 , por lo
tanto es un conjunto finito.
Con los conjuntos podemos realizar ciertas operaciones, entre ellas señalaremos a la unión
e intersección con conjuntos.
La unión de dos conjuntos A y B, se denota A ∪ B , es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, además también pertenecen los
elementos que estén en A y en B. Ejemplo:
En lenguaje matemático:
A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}
y " ∉ " se lee no pertenece.
El conjunto de los enteros positivos = { 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 K } .
♣
∨ significa " ó ".
♣
α
" ∈ " se lee pertenece
♣
15
♣
Gráficamente con los diagramas de Venn- Euler :
Caso 1
Caso 2
Caso 3
U
U
U
A
A
B
B
B
A ∪ B: Zona rayada
A
A ∪ B = Zona rayada
A ∪ B=A
Caso 1: En la unión están los elementos de A, los de B y los comunes de A y B.
Caso 2: En la unión están los elementos de A o de B, ya que no hay elementos comunes
.............entre ellos.
Caso 3: En la unión están los elementos de A y de B, ya que todo elemento de B es
............elemento de A.
La intersección de dos conjuntos A y B, se denota A ∩ B, es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.
En lenguaje matemático:
A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}♠
Gráficamente con los diagramas de Venn- Euler:
Caso 1
Caso 2
Caso 3
U
U
U
A
A
B
B
B
A ∩ B: Zona rayada
A∩ B = ø
Caso 1: La intersección es la parte común entre A y B es decir el área entrelazada.
♣
Lleva este nombre en honor a sus descubridores J.Venn y Leonard Euler.
A
A ∩ B=B
16
Caso 2: No hay parte común entre A y B por tanto su intersección es vacía.
Caso 3: Todo elemento de B es elemento de A por tanto la intersección es B.
Ejercicio:
Sean los conjuntos A y B, halle su unión e intersección.
=B
=A
Solución:
La unión estará conformada por las caritas comunes y no comunes, así
= A∪ B
Mientras que la intersección estará conformada exclusivamente por las caritas comunes:
= A∩ B
♠
∧ significa “ y ”
17
De estos conjuntos de caritas podemos plantearnos una serie de nuevas operaciones:
1. La intersección de las caritas con cabello.
2. La unión de las caritas con lentes.
3. La intersección de las caritas con bigotes.
4. La unión de las caritas con bigotes y lentes.
5. La intersección de las caritas que no tengan bigotes, lentes ni barba.
Solución:
Pregunta 1.
=C
Esto es el único elemento común entre estos conjuntos que poseen esa descripción.
Pregunta 3.
= D
La carita con lentes y bigotes no pertenece a este conjunto ya que solamente se encuentra
en el conjunto B.
Pregunta 4.
=
=E
Quedan como ejercicio las preguntas 2 y 5.
CONJUNTOS ESPECIALES
18
Conjunto vacío, es aquel conjunto que no posee ningún elemento. Se denota como ∅
ó
{ }
y su cardinal es cero ; Card (∅ )=0 .
Ejemplo.
↔ Exprese el conjunto A = { x / x es un venezol ano que viva en el planeta Saturno } por
extensión.
Solución:
Necesitamos escribir uno a uno sus elementos, ¿pero existe algún venezolano que viva en Saturno?
Por supuesto que no, así este conjunto A no posee elementos entonces denotado por extensión nos queda
A=∅ ó A=
{ }.
Conjunto unitario , es aquel conjunto que posee un solo elemento , su cardinal es uno.
Importante ...
No hay que confundir los siguientes conjuntos:
A= { 0
}
es diferente al conjunto A= {
}
ó
A=∅ , ya que el primero
posee un elemento que es el cero , mientras que el segundo no posee
ninguno.
Tampoco hay que confundir a A=
{ }
con A=
{ ∅ } ya que el primero
no posee ningún elemento mientras que el segundo si posee un elemento,
es el vacío.
19
Relaciones entre Conjuntos
Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, (A está incluido en B), si y sólo si todo
elemento de A es elemento de B. Se denota A ⊆ B.
( En lenguaje matemático)
A ⊆ B ↔ ∀x : ( x ∈ A → x ∈ B
)
♣
Ejemplo:
↔ Sea A = { x / x es un día que asisto a clases en el mes de febrero } y sea
B = { x / x es un día del mes de febrero
}
Solución:
Como existen días en el mes de febrero donde no hay clase, ejemplo los sábados y
domingos, entonces es lógico responder que A está incluido en B. A ⊆ B.
Importante:
I)
Todo conjunto es subconjunto de si mismo A ⊆ A .
II)
Para afirmar que A ⊆ B , es suficiente mostrar que todo elemento de A es
elemento de B.
III)
Para afirmar que A ⊄ B (A no es subconjunto de B) es suficie nte mostrar
que al menos un elemento de A no es elemento de B.
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Cuando
A y B son iguales, escribimos A=B.
( En lenguaje matemático)
A = B ↔ ( A ⊆ B ∧ B ⊆ A)
♣
♦
♦
" ↔ ó ⇔ " significa si y solo sí.
"∧ " significa y.
" → ó ⇒ " significa entonces.
20
Ejemplo:
↔ Sea
A = { x / x es un día de la semana
}
y sea
B = { lunes , domingo , martes , miércoles , sábado , jueves , viernes } .
Los conjuntos A y B son iguales ya que poseen los mismos elementos. Obsérvese que, para
la igualdad de conjuntos no importa el orden en que se escriben los elementos, ni el modo
en que se definen los conjuntos, sino que posean los mismos elementos. Así A=B.
Un conjunto A es un subconjunto propio de B si y sólo si:
i) Todo elemento de A es elemento de B y
ii) A y B no son iguales.
( En lenguaje matemático)
A ⊂ B ↔ ( A ⊆ B ∧ A ≠ B)
Esta relación se escribe A ⊂ B , que se lee “ A es un subconjunto propio de B ”
Ejemplo:
↔ Sea A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 } y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9 ,10, 11, 12, 13, 14 }
Como todo elemento de A está incluido en el conjunto B, y además A ≠ B entonces A ⊂ B.
Ejercicio.
↔ Sean
los
siguientes
conjuntos
A = { x ∈ N / 2x + 3 = 11 − 2x}
y
B = {x ∈ N / 5x + 4 = x + 12}.Verifique cuál de las siguientes relaciones es verdadera
A ⊂ B, A = B, B ⊂ A.
Solución :
Debemos copiar estos conjuntos que están por comprensión a extensión, para así poder
analizar la verdadera relación.
Desarrollamos la expresión que define al conjunto A,
21
2 x + 3 = 11 − 2 x ⇒ 2 x + 2 x = 11 − 3 ⇒ 4 x = 8 ⇒
x=
8
⇒ x = 2 , 2 ∈N
4
Luego, los elementos del conjunto A son:
A = {2}
Desarrollamos la expresión que define al conjunto B,
5 x + 4 = x + 12 ⇒ 5 x − x = 12 − 4 ⇒ 4 x = 8 ⇒ x =
8
⇒ x = 2, 2 ∈ N
4
Luego, los elementos del conjunto B son:
B = {2}
Analizando los elementos de los conjuntos A y B puede concluir que A=B.
Importante...
Para que el conjunto A sea un subconjunto propio del conjunto B, basta que B tenga al menos un elemento
diferente que A. Ejemplo:
ü A = {x / x es una vocal } y B = {x / x es una letra del abecedario },el
conjunto
B
tiene muchos elementos diferentes a los del conjunto A, ejemplo los elementos b,c,d,f,g
entre otros por lo tanto el conjunto A es subconjunto propio del conjunto B.
Para que el conjunto A sea subconjunto del conjunto B, basta que todo elemento de A este
en B. Aquí existe la posibilidad que los conjuntos sean iguales. Ejemplo:
ü A = {1 , 3, 5 , 7 , 9 } y B = {x / x es un número natural impar menor que 10 } ,
como todo elemento de A es elemento de B, entonces A es subconjunto de B.
Para conjuntos finitos se cumple lo siguiente:
† Si A ⊂ B, entonces el cardinal del conjunto A es menor que el cardinal del conjunto B.
A ⊂ B → ( Card A) < ( Card B)
22
1 EJERCICIOS 1.1
En los problemas 1 al 7
sea
A = {a , b , c , d , e , f , g , h } , B = {a , e , i , o , u }
C = {h , i , o , p , q , u , z } y D = {k , l , m , .ñ , r } . Halle el conjunto solución y su cardinal.
1.
A∪ B
5.
( A ∩ D) ∪ A
2.
A∩ B
6.
A∩ B ∩C ∩ D
7.
A∪ B ∪C ∪ D
3.
4.
(A ∩ C) ∪ D
( A ∪ D) ∩ (C ∪ B )
En los problemas 8 al 11 encuentre la expresión más sencilla para los conjuntos dados.
8.
{x / x es un entero
9.
{a , b , c , d } ∪ ø
par } ∪ {x / x es un entero impar }
10. {x / x es un estudiante de B. I. }∪ {x / x es un estudiante de las otras carreras }
{
•
}
11. {x / x es un estudiante de B. I. }∩ x / x es un estudiante del 1er semestre de B. I.
12. Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, ¿es A ∪ B= B ∪ A? ¿ Por qué?
En los problemas 13 al 18 una de las siguientes relaciones es verdadera:
A ⊂ B, A = B, B ⊂ A. Escriba la relación correcta.
13. A = {x ∈ Z/ (x − 2 )(x − 3) = 0 } y B = {x ∈ Z / x = 2} .
49
14. A = {x ∈ Z / x ( x + 4 ) = 0 } y B = {x ∈ Z / x + 4 = 0} .
15. A = {x ∈ Z / x = 18 } y B = {x / x es un entero par } .
16. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 K
}
y
B = {x / x ∈ N}
17. A = { x / x ∈ N
}
y
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7K
18. A = { x / x ∈ N
}
y
B = { x/ x ∈ Z
•
B.I. significa Básica Integral.
}
}
50
LOS NUMEROS NATURALES
Es el conjunto esencial para construir los núme ros reales, él nos permite el proceso del
conteo, a partir de este se forman los demás conjuntos. Se denota con la letra N y está
integrado por los siguientes elementos:
N =
{ 1, 2 , 3, 4, 5 , 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11 , ... }
, tiene infinitos elementos, por tanto su cardinal
es infinito.
Observe lo
que sucede al aplicar las operaciones básicas con los elementos de este
conjunto, con la adición:
•
2+3 = 5, 5 ∈ N; 10+20 = 30, 30 ∈ N. Cualquiera sean los números naturales que se
operen con la suma, siempre nos dará un número natural.
Con la sustracción:
•
7 − 5 = 2, 2 ∈ N;
Observe
25 − 8 = 17, 17 ∈ N; pero 19 − 25 = −6, y − 6 ∉ N.
que no siempre que se restan dos números
naturales da como resultado otro número natural, como sí
ocurre con la adición. Para subsanar este escollo fué creado
el conjunto de los números enteros.
LOS NUMEROS ENTEROS
Resultan por la unión de los naturales, sus recíprocos♣ y el cero. Se denotan con la letra Z,
nombre extraído de la palabra alemana Zhalen que significa entero, sus elementos son:
Z = { ..., −5,−4,−3,−2,−1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,...
},
es un conjunto que tiene
positivos y negativos, es infinito y de cardinal infinito.
♣
El recíproco de un número es el mismo número pero de signo contrario.
elementos
51
Veamos qué sucede al aplicar las operaciones básicas con los elementos de este conjunto:
•
2+3 = 5, 5 ∈ Z; 10-20 = -10, -10 ∈ Z. Es decir, cualquiera sea los números enteros que
se operen con la adición o sustracción, siempre nos dará un número entero.
•
2 × 3 = 6, 6∈ Z; − 5 × 7 = -35, -35 ∈ Z. Es decir, siempre que se multipliquen dos
números enteros nos da como resultado otro número entero.
•
4
= 2,
2
2 ∈ Z;
− 10
= −5,
2
− 5 ∈ Z pero
9
= 4,5 ∉ Z.
2
Observe que no siempre al dividir dos números enteros da
como resultado otro número entero, como sí ocurre con la
adición, sustracción y multiplicación. Para subsanar este
escollo fué creado el conjunto de los números racionales.
LOS NUMEROS RACIONALES
Se definen como aquellos números que se pueden expresar como el cociente (o razón) de
dos números enteros. Este conjunto se denota con la letra Q y se describen por comprensión
de la siguiente manera:

p
Q=  x / x =
q

con p , q ∈ Z

y q ≠ 0

52
También se puede definir a los números racionales como un número decimal periódico o
finito.
Además, existen otros números que no se pueden expresar como cociente de dos números
enteros. Problema que surgió al tratar de encontrar el valor de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo cuyos catetos tenían longitud igual a uno (1).
2
1
1
2
2
2 no se puede copiar como razón
de dos números enteros.
Al aplicar el teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados de las longitudes de los dos
lados menores de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la longitud del lado
mayor”.
c 2 = a 2 + b 2 ⇒ c 2 = 12 + 12 ⇒ c = 2 ,
La irracionalidad consistía en no poder expresar tal número como una fracción o como
razón de dos números enteros. Es decir:
2 ∉Q .
A estos números los llamaremos números irracionales , su conjunto será denotado con
la letra I.
El término matemático irracional proviene de la palabra latina irratio, la cual tiene su
origen en la palabra griega alogos, por ser un número no expresable como cociente de dos
números enteros, cuyo significado contrasta con el lenguaje ordinario donde irracional
significa algo ilógico o incomprensible.
Una de las características de esos Números Irracionales es que su representación en forma
decimal es infinita y no es periódica.
53
Entre algunos de sus elementos encontramos:
± 2 = ± 1,4142136 ...
♦
± e = ± 2,71828182 45...
± π = ± 3,14159263...
Por lo anterior expuesto, se deduce que los números racionales no “agotan” la existencia de
los números posibles, por cuanto el problema planteado por la escuela Pitagórica (y otros
problemas surgidos posteriormente), no admiten solución en el Conjunto de los Números
Racionales. De allí que nuevamente es obligante “ampliar” el campo numérico y dar paso
al Conjunto de los Números Irracionales.
Es necesario destacar que al operar con los números irracionales, usamos a menudo
números racionales como valores aproximados. De allí que cualquier expresión decimal
infinita no periódica se puede “cortar” en alguna cifra, obteniéndose una aproximación
racional de la misma.
Ejemplos:
↔
2 = 1,4142136... se puede aproximar por : 1,4 ó 1,41 ó 1,414 etc...
Mientras más cifras decimales se consideren, más cercano se estará del número irracional
dado.
↔ π = 3,14159263...
se puede aproximar a la fracción
22
ya que es igual a
7
3,142857142857...
La diferencia esencial entre los números racionales y los irracionales se advierte en su
representación decimal. Cuando un número irracional se presenta por medio de decimales,
los
♦
decimales
continúan
indefinidamente,
sin
presentar
un
patrón
La raíz cuadrada de un número primo siempre es un número irracional.
Número primo es aquel que es divisible solamente por el mismo y por la unidad.
repetitivo
54
( π = 3,14159263... ). En cambio, los números racionales expresados en forma decimal son
finitos o presentan un patrón llamado período (
)
1
= 0,166666... ≅ 0,16 ).
6
LOS NUMEROS REALES
Este conjunto resulta al unir al conjunto de los números racionales con el conjunto de los
números irracionales. Se denota con la letra R.
El siguiente cuadro nos hace una excelente referencia del comportamiento de los conjuntos de números antes
descritos:
Q= Números Racionales
Z = Números Enteros
N= Números
Naturales
=R
I = Números Irracionale s
De este cuadro podemos señalar lo siguiente:
•
Todo número natural es un número entero.
•
Todo número entero es un número racional.
•
Todo número entero es un número real.
•
Todo número racional es un número real.
•
Todo número irracional es un número real.
55
•
No todo número entero es un número natural.
•
Un número real es irracional o es racional.
•
No todo racional es entero.
•
Todo número irracional no es entero.
•
Ningún número natural es irracional.
•
Ningún número irracional es racional a la vez.
Para reforzar este aprendizaje, haremos un símil del cuadro con otro ejemplo más concreto.
Los alumnos de Educación por régimen de
semestre y de anualidades
Los alumnos de la Carrera
Educación Básica Integral
Los alumnos del Primer
Semestre de Educación
Básica Integral
= ULA- Táchira
Los alumnos de Comunicación Social,
Administración y Medicina.
•
Como ejercicio, establezca todas las posibles relaciones entre estos conjuntos.
Analizando los cuadros anteriores podemos concluir que todo número natural es
subconjunto propio de los números enteros (N ⊂ Z ), todo número entero es subconjunto
propio de los números racionales (Z ⊂ Q ) y todo número racional es subconjunto propio
de los números reales (Q ⊂ R ).
56
Además, los números racionales unidos con los números irracionales dan los números
reales (Q ∪ I = R)
y la intersección del conjunto de los
números racionales con el
conjunto de los números irracionales es igual al conjunto vacío (Q ∩ I = ∅ ), esto quiere
decir que un número real o es un número racional o irracional, pero nunca puede ser las
dos cosas a la vez.
AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES
El sistema de los números reales es un conjunto no vacío (R) dotado de las operaciones
llamadas adición y multiplicación denotados por ( + ) y (
.
), que satisface los siguientes
axiomas que a continuación se especifican:
Sean tres números cualesquiera que pertenecen a los números reales: a, b, c ∈ R
Para la adición
1. Propiedad conmutativa
ü a +b = b+a,
ejemplo
2+1= 1+2 ⇒ 3=3.
2. Propiedad asociativa
ü
(a + b ) + c = a + (b + c )
, ejemplo (1+2)+3 = 1+(2+3) ⇒ 3+3 = 1+5 ⇒ 6 = 6.
3. Elemento neutro♣
Existe un único 0, para cada a,
( En lenguaje matemático)
∃ 0 ( único ) ∈ R , ∀a ∈ R , de modo que :
ü
a +0 = 0+ a = a
Ejemplo, 4+ 0 = 0+ 4 = 4
Para utilizar el lenguaje matemático debemos señalar que los símbolos ∀, ∃ son cuantificadores, el
primero significa “ para todo elemento” y el segundo “existe un elemento “
♣
57
4. Elemento inverso o inverso aditivo
Para cada a, existe un único (-a),
( En lenguaje matemático)
∀a ∈ R, ∃ − a (opuesto ) ∈R , de modo que :
ü a + ( −a ) = −a + a = 0
Ejemplo, 4+(-4) = - 4+ 4 = 0
Para la multiplicación
5. Propiedad conmutativa
ü a ⋅b = b⋅ a,
ejemplo
2.1= 1.2 ⇒ 2=2.
6. Propiedad asociativa
ü (a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c ) , ejemplo (1.2).3 = 1.(2.3) ⇒ 2.3 = 1.6 ⇒ 6 = 6.
7. Elemento neutro
Existe un único 1, para cada a,
( En lenguaje matemático)
∃1 ( único ) ∈ R , ∀a ∈ R , de modo que :
ü
a ⋅1 = 1⋅ a = a
Ejemplo, 4.1 = 1.4 = 4
8. Elemento inverso o inverso multiplicativo
(
)
Para cada a, existe un único a −1 ,
( En lenguaje matemático)
∀a ∈ R, excepto el cero, ∃ a − 1 (inverso ) ∈ R , de modo que :
ü a. a − 1 = a −1.a = 1 , con a −1 =
Ejemplo, 4.( 4 −1 ) = 4 -1 . 4 =
1
a
1
⋅4 =1
4
58
Única propiedad que relaciona la adición con la multiplicación,
9. Propiedad distributiva,
ü a.(b + c ) = a.b + a.c
Ejemplo:
2 (3 + 5 ) = 2 × 3 + 2 × 5 ⇒ 2 ( 8 ) = 6 + 10 ⇒ 16 = 16
Axiomas de orden:
10. Para cada a ∈ R, entonces puede ocurrir solamente uno de los siguientes casos:
a>0 ;
a<0
;
a = 0. ( Principio de tricotomía)
11. Para cada a y b en R, con a > 0 y b > 0 , entonces a + b > 0
y
a.b > 0.
Ejemplo,
Sea 2 > 0
y 5 > 0 , entonces 2 + 5 = 7 y 7 > 0, además 2 × 5 = 10 y 10 > 0 .
12. Para cada a y b en R, con a > b , si y solo si a − b > 0.
Ejemplo,
Si 5 > 2 , entonces 5 − 2 = 3 y 3 > 0 .
59
Axioma de completitud
13. Si A ⊂ R y A está acotado superiormente, entonces A tiene supremo.
Ejemplo: El intervalo A = ( 1 , 3 ) está acotado superiormente por el tres, tiene supremo y es
el número tres.
Este es uno de los axiomas más importante en el
cálculo moderno, este axioma del supremo le da un
carácter analítico al cuerpo de los números reales; es
la materia prima en el análisis matemático, es la
esencia en la demostración de muchos otros teoremas
más complejos.
Haciendo una comparación con respecto a una nación, los axiomas son la constitución
nacional que regirá al país de las operaciones básicas, es decir para resolver problemas
aritméticos podremos basarnos en estos cuando los necesitemos.
Esos 13 axiomas que cumple el conjunto de los números reales, solamente los cumple él ya
que los naturales, enteros, racionales e irracionales solamente cumplen parte de ellos.
Analizando el conjunto de los números naturales, cumple los axiomas siguientes:
Para la adición:
1. La conmutatividad,
2. La asociatividad,
Para la multiplicación:
3. La conmutatividad,
4. La asociatividad,
5. Elemento neutro,
6. Distributividad,
7. Axiomas de orden 11 y 12.
60
El conjunto de los números enteros, cumple los axiomas:
Para la adición:
1. La conmutatividad,
2. La asociatividad
3. Elemento neutro,
4. Inverso aditivo,
Para la multiplicación:
5. La conmutatividad,
6. La asociatividad.
7. Elemento neutro,
8. Distributividad,
9. Axiomas de orden 10, 11 y 12.
El conjunto de los números racionales, cumple los axiomas:
Para la adición:
1. La conmutatividad,
2. La asociatividad,
3. Elemento neutro,
4. Inverso aditivo,
Para la multiplicación:
5. La conmutatividad,
6. La asociatividad.
7. Elemento neutro,
8. Inverso multiplicativo,
9. Distributividad,
10. Axiomas de orden 10, 11 y 12.