Anexo 20 ¿Filosofía de la Matemática o la Matemática como

Anexo 20
¿FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA O LA MATEMÁTICA COMO FILOSOFÍA?: RELATO DE UNA DECEPCIÓN
DIEGO SOTO MORERA
ASISTENTE PROYECTO 2005-208
Hay dos palabras que han sido
empleadas por los filósofos
muy frecuentemente. Son las
palabras
«consciencia»
«experiencia».
y
Ambas
necesitan una nueva definición,
o más bien ser definidas,
porque en general se emplean
como si su significado fuese
obvio.
Bertrand Russell
Desde su génesis misma, según entiendo, el proyecto ha cargado con un difunto. En un
principio el concepto de Filosofía causó dificultades: más que un abanico de posibilidades,
o bien, un horizonte hacia el cual caminar, se convirtió en un obstáculo para el proyecto.
Incluso, dentro de reuniones posteriores ha estado presente la idea de replantearlo (peor:
desterrarlo, quizás, del título y enviarlo a los confines de ese extraño universo ocupado
por los metamatemáticos). Debo confesarlo: esta idea ha significado para mí causa de
dolor. Este concepto fue el anzuelo con el cual fui seducido por Jesennia Chavarría (2005)
para formar parte de este proyecto. Con el tiempo advertí que su función en el título era
ornamental: esto se expresó en mí a modo de decepción: “el desencanto epistemológico
en matemática” que creía combatir a través del museo fue vivido en carne propia.
Una de las primeras tareas encomendadas durante este año me hizo reflexionar mucho al
respecto de este tema. Me refiero a la elaboración de un informe-inventario de los
trabajos artísticos realizados por los estudiantes de matemática fundamental en el
segundo ciclo del 2006 (confinados a cajas y bodegas), donde, además de presentar el
producto se hiciera una descripción física de la obra, su contenido y estado. Este trabajo
se materializó en una tabla cuyas columnas corresponden, respectivamente a: 1) imagen
de la obra (producto de las sesiones fotográficas que varias personas hemos realizado
sobre las obras); 2) Autor(a) y Título de la Obra (esto implicó un trabajo cruzado entre las
obras físicas y el trabajo de investigación que cada estudiante realizó como base teórica o
plataforma informática para su obra artística); 3) Base Investigativa (esta columna
describe el trabajo escrito que fundamenta la obra: no sólo su contenido, sino, además,
los alcances del mismo. Este trabajo se realizó según la investigación –documental–
presentada por cada estudiante); y finalmente, 4) Descripción física (donde aportamos la
descripción dimensional, así como la técnica empleada en cada una de las obras; además
del estado que presentaban las obras para ese momento).1
Y es que las obras en este trabajo significaron caer en cuenta de la posibilidad de la
caricaturización del saber, quizás, más que del saber: de una ideologización en torno a él,
ideología según la cual, este saber tiene rasgos de generación espontánea: revelación:
descubrimiento. Luego, Einstein, que ya era bastante caricaturesco de por sí, aparece
rascándose la cabeza como quien se rompe el cerebro pensando en aquellas posibilidades
jamás antes consideradas, pero nunca reveladas. Descartes vestido de guerrillero, con un
compás por arma, lucha contra la condición caótica del universo al confinar la forma a los
ejes del cogito ergo sum. Al-khwarizmi paternalmente chineando al Álgebra: ese bebé que
descansa bajo un móvil que tiene por figurillas números enteros: bebé del cual estuvo
preñado, motivo de largas y difíciles horas de parto, pero nunca regalo de una cigüeña.
Pitágoras rayando las paredes de la Hélade con estas ideas que le atormentan, le dolían o
placían, pensando que existe una relación en estos triángulos: probablemente fue
apresado por hacer grafitis en las paredes con un mensaje, a criterio de los
1
En este trabajo se presenta en el Anexo 1 la versión inconclusa, única con la que cuento. La versión final se
encuentra en los documentos digitales del museo en la carpeta del museo: “Trabajos Diego”, si no me falla
mi memoria, donde están presentes mis trabajos dentro del proyecto, al cual, probablemente, estas páginas
serán confinadas.
desconocedores, cifrado en contra de las autoridades helenas. Teano retratada a modo de
anime: se revela ante un modelo patriarcal que define lo femenino como lo no-pensante:
su lucha fue doble: en contra de su propio ingenio, y contra su propia sociedad.
Y es que matemáticas y matemáticos desarrollaron su pensamiento no en un ambiente
solipsista, de ruptura con el mundo circundante, sino, en relación con éste: tensión: crisis.
Es Russell en manifestaciones políticas, encerrado por ideales pacifistas: paz nunca
testimoniada por su relación con los números. De ahí que el mismo Russell (1982) nos
diga, casi con resignación: “Los problemas son viejos; en realidad, tan viejos por lo menos
como Aristóteles” (p. 163); Galois armado, de espaldas a su contrincante, a punto de
morir en duelo de amoroso: ¿serían sus relaciones tormentosas génesis de la teoría de
grupos? ¿Lo fue el suicidio de su padre?; los números guardando silencio, resistiéndose a
revelar lo que en última instancia son: ¿fueron metáfora de Gödel negándose a ingerir
alimentos?; Newton leyendo los textos alquimistas, tratando de descifrar por qué en las
entrañas de la materia obscura yace el oro: por qué lo finito de la materia estaría preñado
de la infinita memoria de Dios: ¿es esto lo que buscaba afanosamente con su cálculo
infinitesimal? ¿Por qué Einstein guardaba una idea de Dios tan cercana a Espinoza? El
mundo brillante de las mentes de estos genios: no es sino el espejo del asombroso,
infinito, injusto y caprichoso esplendor de la noche estrellada ante la cual se maravillara
Kant, de la radiante belleza de la flor en el campo de Goethe, del real maravilloso del
bosque.
El mundo de las relaciones matemáticas aparece en tensión con el mundo, en relación con
él, nunca en su ausencia: no es por tanto revelación, es labor de parto a partir de una
relación primaria. Habría que decir parafraseando al filósofo judío Martin Buber, que la
matemática no se hace a modo de aquel que contempla el infinito océano, sino, se hace
en el acto de mojarse, de dejarse llevar por la marea, siendo revolcado por las olas que
revientan en la orilla, así sea esto, causo del mayor de los temores.2 De esto hablan las
2
El texto de Buber (1970) dice con respecto a la búsqueda del ser del ser humano: “No se conoce al estilo de
quien, permaneciendo en la playa, contempla maravillado a la furia espumeante de las olas, sino que es
menester echarse al agua, hay que nadar, alerta y con todas las fuerzas, y hasta habrá un momento en que
obras producidas por los estudiantes: testimonian una relación con el mundo, relación a
partir de la cual surge ese mundo de relaciones que la matemática dibuja.
Sin embargo el mundo retratado por los estudiantes muestra otra particularidad: no por lo
que dibujan o muestran sus ilustraciones: sino por aquello que ocultan, ignoran, silencian.
Así, a una vez, estas obras revelan y ocultan, hablan y callan, son la luz y la oscuridad que
se la traga. Lo crucial de esta peculiar condición es no perder de vista que ambas
dimensiones, lo dicho y lo silenciado, nos presentan a la construcción del saber
matemático: inscrito dentro de un modelo socio-económico, político y cultural vigente. De
esta manera debemos preguntarnos de cara a estas ilustraciones: ¿qué han ocultado?
¿Qué no nos han dicho? ¿Qué callan?
Un descubrimiento matemático no es nunca una página cerrada: es un texto sobre el cual
se teje continuamente. La solución se lanza sobre un problema anterior a ella, propuesta
mucho antes. Incluso, sobre la misma solución, se escriben otras soluciones que la niegan,
comprueban o reemplazan. Si tuviera que pensar en figuras mitológicas serían como el
Ave Fénix renaciendo de sus cenizas, o bien, el Ouroboros: sepiente que se muerde la cola,
se mata y engendra a sí misma.3 El conocimiento matemático se dobla, se refracta sobre sí
mismo y renace: es por esto movimiento constante. Sin embargo, habría una dificultad en
esta noción: tanto el Fénix como Ouroboros están cerrados sobre sí mismos: son a una vez
la luz, el cristal que la dispersa en polifonía de colores y el lente que los reunifica: todo en
un mismo ente. El conocimiento matemático no se cierra sobre sí mismo: es pluralidad,
relacionalidad de distintos: este es el motor de su creación. Los matemáticos y
matemáticas trabajan sobre trabajos previos, problemas anteriores propuestos por otras
personas y comunidades.
nos parecerá estar a punto de desvanecimiento: así y no de otra manera puede surgir la visión
antropológica” (p. 21).
3
Carl G. Jung (1993) nos dice respecto a esta figura mítica: “El símbolo del ouroboros, la serpiente que se
muerde la cola, probablemente se originó entre los gnósticos ofitas, para quienes simboliza e ciclo del
devenir en su ritmo doble: el desarrollo del Uno en el Todo y el retorno del Todo al Uno… Es también el
símbolo de unificación de los opuestos que lo componen, pues es hermafrodita; y asimismo un símbolo de la
actividad espiritual concentrada por sí misma” (p. 107).
Esta reflexión me hizo reconsiderar el característico repudio que sentía Nietzsche sobre la
filosofía apriorística y abstracta de Kant.4 En una línea contraria a la kantiana, el filólogo
alemán plantea cómo las entrañas participan en el proceso de construcción del
conocimiento. No basta con referirse a ideas apriorísticas que radican en la mente a pesar
del cuerpo. La alusión a las sentidos afirma esto: todo saber se ubica en un cuerpo
sensible a lo que lo rodea; la producción de conocimiento, de conocimiento abstracto
(¿matemático?), no pertenece a un mundo allende al contexto socio-cultural y geográfico,
sino que se inscribe en él, nace de él.5
Esta condición es muy bien testimoniada por la problemática histórica en la cual se
inscribe la Teoría de Conjuntos. Nos llama poderosamente la atención la aproximación
sociológica a la epistemología de las matemáticas realizada por Sal Restivo quien afirma:
“Los objetos con los cuales tratan los matemáticos son las actividades de los matemáticos.
Al construir sobre las operaciones que ya existen, y convertirlas en entidades simbólicas
sobre las que otras operaciones se pueden realizar, los matemáticos son auto-conscientes
de construir sobre las actividades previas realizadas en su comunidad intelectual”
(Sierpinska y Lerman, 1996), por esto, afirma Restivo, las rivalidades y competencias entre
los matemáticos proveen la base sociológica para un estudio epistemológico de las
matemáticas. El conocimiento matemático es siempre relacional y está referido al trabajo
de una comunidad. En su afán de llevar el conocimiento matemático siempre un paso
adelante, los matemáticos repasan y mejoran los pasos previos. Ciertamente, el caso de la
Teoría de Conjuntos evidencia este hecho: la matemática es trabajo sobre el trabajo del
otro: su reino es el de las relaciones: relaciones que dan origen a otra esfera de relaciones.
4
Recuerdo la famosa frase lanzada a en contra de la abstracción por Nietzsche (1997): “Un pueblo se
extingue cuando confunde su deber con el concepto de deber en general. Nada arruina más profunda, más
intensamente que todo deber «impersonal», que todo sacrificio ante el Moloc de la abstracción. –¡Qué el
imperativo categórico de Kant no se haya sentido como moralmente peligroso!... ¡Sólo el instinto propio del
teólogo lo protegió!–” (p. 18). Cabe recordar que el teólogo es en Nietzsche la más baja manifestación de la
decadencia humana.
5
Nos parece acertada la afirmación de Ángel Ruiz (2003): “En todo esto no se debe olvidar que la creación
de conceptos matemáticos e, incluso, la percepción de objetos empíricos que sustentan estos conceptos,
depende mucho de nosotros: nuestro ojo, nuestra mente, condiciona lo que vemos… En esta condición, en
lo que somos, participan factores biológicos y físicos pero también sociales (culturales e históricos)” (p. 593).
Es válida la observación de Lákatos (1976): “Los matemáticos son falibles y sus productos,
incluyendo conceptos y demostraciones, nunca pueden ser considerados finales y
perfectos, sino que requieren de renegociaciones cuando emergen nuevos desafíos o
significados” (De Faria, 2008: 24).
Esta peculiar condición del conocimiento matemático está ausente de los trabajos
elaborados por los estudiantes: los matemáticos, si bien representan con sus atuendos
formas de estar e inscribirse en el mundo, aparecen por lo general solos: en una
habitación, en un parque, en una hoja completamente en blanco: nunca vemos a dos de
ellos dialogando entre sí: Pitágoras no aparece discutiendo con Newton, Gödel
debatiendo con Gilbert, Russell, o a este último con Glottob Frege. Las imágenes
desarrolladas por estudiantes de matemática de la UNA recrean la idea de que el reino de
la matemática es el de la soledad cognitiva, el aislamiento epistemológico, pero nada más
alejado de esta condición que el conocimiento matemático. Sin embargo, el aporte crucial
es que surjan estos hechos. Los trabajos donde los estudiantes recrean su imaginario en
torno a los escenarios, actores, actrices y utilería que rodean a la creación de conceptos y
teorías matemáticas posibilitan este tipo de reflexiones y análisis: no son sólo un intento
por desarrollar actividades recreativas. No, son un sensor, un termómetro, pulso si se
quiere del ambiento ideológico sobre el cual los estudiantes construyen su conocimiento:
ambiente que debe afrontar el educador(a) de las matemáticas: ambiente que él mismo
podría estar ayudando a reproducir y legitimar, el cual, puede ser nocivo para sus
intereses.
¿Qué importancia puede tener para un educador(a) elaborar un diagnóstico del ambiente
ideológico sobre el cual sus estudiantes cimientan la construcción de su conocimiento
matemático? Ruiz y Chavarría (2003) aportan una respuesta muy pertinente en esta línea:
“Esto, en particular, tiene implicaciones significativas en la Educación Matemática. No es
lo mismo partir de matemáticas como verdades absolutas y siempre infalibles, que afirmar
su vulnerabilidad y su estrecha relación con el resto de ciencias naturales y su colocación
dentro de contextos históricos y sociales precisos. Es relevante afirmar su naturaleza
histórica, su rostro humano, y, por lo tanto, incidir positivamente en la percepción y el
aprendizaje de las matemáticas” (p. 363). La Educación Matemática se construye como
una disciplina inter-pluri-trandisciplinaria: lejos de un posicionamiento epistemológico
ecléctico, es un área de construcción desde, por y para múltiples enfoques: matemático,
social, cultural, histórico, filosófico, psicológico, pedagógico, entre otros. De esta forma, el
profesional en Enseñanza de la Matemática debe formarse en matemática, ciencias
sociales, naturales y pedagógicas. Su labor es compleja: puede (o al menos debería
considerar) a través del arte producido por sus estudiantes (quienes toman a la materia
que les incumbe como temática artística) elaborar un paisaje del imaginario de los
estudiantes y luchar en aras de la transformación de aquellas concepciones que puedan
ser un obstáculo para el desarrollo y construcción de ciertos conceptos.
Esto implicaría apropiarse de una nueva noción: más allá de la filosofía de la matemática
en tanto pregunta ontológica sobre o acerca de una estructura epistemológica (¿Qué es la
matemática?: Pregunta con la cual atormenté a todos los profesores y profesoras durante
mi primer año de carrera, hasta que decidí no molestar más y buscar por mi cuenta),
aparece la matemática como filosofía. ¿Qué significa esto? En un sin número de artículos
aparece la crítica a una visión platónica de las matemáticas: sin embargo, deberíamos
reconsiderar la noción filosófica de Platón, quien, a criterio de Foucault (1996):
A partir del Platón (Alcíbiades) se plantea la siguiente cuestión: ¿qué precio tengo
que pagar para tener acceso a la verdad? Este precio está inscrito en el sujeto
mismo bajo la forma de ¿qué trabajo debo realizar sobre mí mismo?, ¿qué
elaboración debo hacer de mí mismo? ¿qué modificación del ser debo efectuar
para poder acceder a la verdad? (p. 67).
La persona es, en esta línea platónica (más aún: socrática), incapaz de acceder a la verdad
en tanto no haya realizado una labor, una transformación de sí mismo: de su actitud ante
el mundo, los otros y ante sí mismo; un cambio en sus costumbres, hábitos, ademanes,
dietas: un cambio en la forma en la cual afronta su vida cotidiana. Diríamos ahora: una
persona no puede acceder a la verdad en tanto no haga una revaloración del imaginario
ideológico (sistema de creencias y estructura de concepciones) sobre la cual cimienta su
comprensión de las cosas. Lo que se discute actualmente en contra de la visión platónica
de las matemáticas es el concepto de verdad misma en cuanto “objetos matemáticos
universales (con existencia) al margen de la voluntad y la construcción humanas” (Ruiz y
Chavarría, 2003: 360). No obstante, parece pertinente recuperar el sentido filosófico de
Platón: la matemática como una actitud filosófica ante el mundo sugiere que si yo no
consigo, dentro de relaciones humanas (entre ellas las pedagógicas), cambiar muchas de
mis concepciones, actitudes y creencias ante las mismas matemáticas me veré impedido
de desarrollar adecuadamente mi capacidad para resolver problemas de una determinada
índole. Es decir, la “verdad” matemática se me niega, en tanto una persona no logra un
trabajo de transformación sobre sí misma: eso es la matemática como filosofía: un trabajo
sobre sí mismo, no una consideración epistemológica sobre la naturaleza de un
conocimiento.
El ejercicio sugerido por Eduardo Chaves y Jessenia Chavarría en torno a la creación de
obras artísticas permite este tipo de reflexiones: ¿la noción de soledad cognitiva presente
en las obras artísticas realizadas por los estudiantes de matemática evidencian
determinadas corrientes ideológicas que han incidido sobre su proceso en la Escuela de
Matemática de la UNA? O bien, la noción de construcción matemática como relación con
el mundo reflejada por estos mismos estudiantes, ¿qué incidencia ha tenido en su
desarrollo, en sus hábitos de estudio, en su forma de comprensión de su labor, de la labor
de sus profesores, de las temáticas que analiza? Mi trabajo en torno a estas obras me
llevó a este tipo de reflexiones a lo largo del semestre anterior.6 No obstante, el lector
advertirá una cuestión no abordada, una incógnita no despejada: una vez que un
educador(a) de las matemáticas ha realizado un construcción del ambiente ideológico, un
esquema del sistema de creencias que comparten sus estudiantes (y que afrontará en
6
Parte importante para las siguientes consideraciones se reúnen en el Anexo 2: Exorcismo de una decepción.
Ahí trato cómo mi corto paso por el CIDE aportó algunas consideraciones que me permitieron madurar mi
reflexión a partir de las obras propuestas por los estudiantes de Matemática Fundamental y que fueron
incluidas en el trabajo de Puertas Abiertas. Sugiero su lectura como un paso previo al siguiente apartado,
pero es sólo una sugerencia. Permite llevar mi línea de reflexión a lo largo del semestre: y creo que fue eso
lo que se me pidió informar.
clases): ¿qué puede hacer para transformarlo? Otra actividad del Museo lanza una
respuesta.
“PUERTAS ABIERTAS” O LA CRÍTICA SOCIO-POLÍTICA DESDE EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO: RELATO DE
UNA FANTASÍA
Cada año la Universidad Nacional abre sus puertas (de ahí el título con el cual se presenta)
para ofrecerse o exhibirse a la comunidad de educación media del país como un espacioposibilidad
para
la
construcción
del
futuro:
casa
donde
pueden
formarse
profesionalmente. La UNA fue visitada durante una semana por estudiantes de educación
media provenientes de muchos sectores. La fecha pactada para la Escuela de Matemática
fue el 18 de Abril durante la tarde.7 Esta actividad fue un espacio perfecto o ámbito ideal
para que muchas de las reflexiones que había a este entonces (de mi parte: cada una de
las discusiones que preceden a este apartado y que forman parte del Anexo 2), fueran
materializadas en una actividad: no significa esto que sirvieran a modo de monólogo,
exposición, depósito de verdades, sino que, sin mencionar discurso, la presentación por sí
misma pudiera provocar estas discusiones en el interior de cada uno de nuestros
visitantes. Además, sería un espacio para probar la factibilidad de montar una sala de
museo: costos, trabajo, personal requerido, logística, entre otros.
ANTECEDENTES: DE UN MUSEO ITINERANTE Y CIEN AÑOS DE SOLEDAD
Entre una ruptura amorosa y una severa gripe terminó para mí el año 2007: la Navidad y
el Año Nuevo son de por sí fechas donde la melancolía se sepulta con toneladas de papel
de regalo, comida, licor, viajes, reuniones familiares (existen excepciones donde se
alcanza, a través de alguna de estas actividades, cierto grado de profundidad emocional).
Recuerdo que en medio de esa crisis existencial retomé a los clásicos griegos de la
tragedia: Sófocles, Esquilo, Eurípides: sus desgarradoras historias, en especial Antígona,
7
Debemos recordar que esta es la otra cara de un proceso llevado a cabo por no pocas escuelas, entre ellas
la Escuela de Matemática, donde es la universidad quien va a los colegios. El Museo también ha
representado a la Escuela de Matemática en este tipo de actividades, lo cual, le ha permitido a su vez,
recolectar información valiosa de diversos sectores del país.
me devolvieron a Latinoamérica: La Hojarasca de García Márquez que trata un tema
similar al del entierro de los desgraciados hijos de Edipo, y por supuesto, ésta me devolvió
a Cien años de soledad. La leí no para sacar ninguna conclusión, tampoco por placer: esta
vez significó asombro y nada más (experiencia del real mágico). Me quedó plasmada en la
mente una imagen: Veinte años después, frente al pelotón de fusilamiento, el coronel
Aureliano Buendía habría de recordar la tarde en que su padre lo llevó a conocer el hielo
(más o menos así comienza la novela).
De cara a su muerte el singular héroe de García Márquez recuerda el hielo: más que eso:
recuerda la caravana gitana que periódicamente asaltaba Macondo y la llenaba de
asombro y fantasía: espejos donde la luz propia era reflejada en las formas más
exuberantes y extrañas: el gordo aparecía flaco, el larguirucho pequeño y regordete; polvo
negro que estallaba al contacto con el fuego; vidrios encantados capaces de dilatar o
alargar las dimensiones de los objetos vistos a través de ellos, pero que retornaban a su
forma habitual una vez que miraban sin el cristal circular; piedras mágicas que al ser
arrastradas por los calles del pueblo sacaban de las casas ollas, sartenes: todo artefacto
metálico en general quedaba adherido a la gran piedra; astrolabios, daguerrotipos e
instrumentos para hacer oro a partir del plomo. Melquíades era el artífice, el mago, el
brujo capaz de despertar el asombro en la mente fantasiosa de José Arcadio Buendía,
quien, con todas sus fuerzas, intentaría hasta la saciedad con una fotografía corroborar la
existencia de Dios, sin nunca lograrlo, así como no lograría en vida descifrar los
pergaminos de Melquiades donde su historia y la de su descendencia estaba escrita. Con
todas estas cosas las tiendas de las caravanas gitanas asombraban con sus artefactos y
gentes espectaculares: causaban tal impresión que el hielo contenido en un baúl de la
tienda, y que podía ser visto por unos pocos pesos, fue lo que recordó el coronel Buendía
en el instante de su muerte. ¿Cómo habría sido ver un pueblo como Macondo asaltado
por una caravana gitana? ¿Qué tiene que ver todo esto con la actividad A puertas abiertas
de la UNA?
Me fue encomendad la tarea, a principios de este año, de imaginar la forma en la cual
podríamos exponer los alcances logrados por el Museo: por supuesto, lo que tenía a mano
en aquel entonces era el asombro, mejor: el deseo de encontrarme en un Macondo
asaltado por la magia de las caravanas gitanas, sus gentes salidas de leyendas, sus
artefactos sacados de la misma cabeza de Mefistófeles. Luego, qué mejor forma de
compartir o contagiar el asombro de este arte exuberante que son las matemáticas, sino
no es a través de una caravana. La idea fue mejorada gracias a la asesoría que
amablemente nos brindó la artista Diana Herrera: ella resumió este concepto en una
neologismo: Trasnformate: era el deseo de los alquimistas hecho palabra. En aquel
entonces, finales de Marzo (viernes 21), aplicaríamos esta idea a una exposición que se
realizaría en un colegio fuera del Valle Central. Sin embargo, a principios de Abril la
Escuela de Matemática encargó la actividad A puertas abiertas al Museo: seríamos los
encargados de motivar, de encantar, de asombrar: seríamos los gitanos.
DE
LA ACTIVIDAD:
¿Y
ESTO QUÉ TIENE QUE VER CON
MATEMÁTICAS? O LA HISTORIA
DE LA
MATEMÁTICA COMO TERAPIA EPISTÉMICA
La semana de la presentación coincidió con la Feria Internacional de las Artes, la cual,
tomó las calles y parques del centro de Alajuela y junto a estos, a los artistas alajuelenses:
entre ellos Diana Herrera. Recuerdo haberme reunido con Diana una mañana para hablar
de la exposición mientras repartíamos volantes a los asistentes sedientos por arte y
talleres. El espacio de la presentación estaba determinado: Aula 11 de la Escuela de
Química, un espacio de 6.5 m X 9.5 m. A su vez la temática estaba definida: se hablaría del
Álgebra, Al-khwarizmi sería nuestro invitado especial, volveríamos a los días del ábaco y,
además, se reconstruiría la región que dio luz al álgebra: Medio Oriente. También la
metodología estaba prevista: el aula sería dividida en tres aposentos mediantes cortinas,
en uno Eduardo se ocuparía de la Historia y, a su vez, de técnicas didácticas; Jessenia
abordaría la historia y método de suma con ábaco; y finalmente, con base en un video
(más bien un montaje de imágenes y audio) elaborado por Eduardo Chaves se haría una
introducción a los estudiantes y visitantes de la sala.
Mi labor parecía ser sencilla: encargarme de la búsqueda o elaboración de la utilería
escenográfica necesaria para hacer una sala temática a propósito de Medio Oriente. Una
primera propuesta era confeccionar elementos que representaran objetos de esta región
de modo que pudieran ubicarnos en ella. Sin embargo había una dificultad: si bien en
teatro se busca esta (meta)representación a través de la cual una persona es llevada a un
ambiente, una sala de museo buscaría el propósito inverso: aportar elementos físicos a
través de los cuales la región se le manifiesta, viene a la persona. Si quería lograr el efecto
de una caravana gitana (y a este propósito se ajustaba muy bien el Medio Oriente)
debíamos apostar por objetos reales. Para mi suerte sabía quién disponía de una amplia
gama de elementos del Medio Oriente: mi colega Denia Murillo: su vínculo a las
tradiciones de la fertilidad y danza del vientre le han dejado una hermosa colección de
telas, almohadones, lámparas, indumentaria de danza, ropas, abalorios, entre otros, que
permitirían recrear habitaciones islámicas donde solo haría falta seducir con las dinámicas
y presentaciones la imaginación de las y los visitantes: el ambiento estaba servido
(sumado a esta peculiaridad, las cortinas aportadas por la profesora Chavarría, al mezclar
una gama amplia de colores, tonalidades claras y oscuras, permitían recrear la idea de
puestos de tiendas de un mercado de Medio Oriente). En el siguiente cuadro intentamos
reconstruir la experiencia, a su vez aportamos algunas consideraciones para trabajos
posteriores que consideramos pertinentes. No seguiremos un orden en específico.
FOTOGRAFÍA
NOTAS Y APUNTES
Acá nos encontramos en la división de los
aposentos. Cabe resaltar que el personal
requerido para este proceso debe ser lo más
numeroso posible. Además se requiere de
una visita previa al lugar de montaje de
modo que se planifique el ensamblaje de la
escenografía. Las condiciones y tamaño de
la sala fueron óptimos, en futuros trabajos
sería un espacio ideal para trabajar.
Esta corresponde a la sala donde trabajó
Jessenia Chavarría con estudiantes en la
historia y suma con ábaco. Entre los
elementos utilizados: rotafolios, cuadros
elaborados en los trabajos de Matemática
Fundamental, pupitres. Quizá al recrear la
condición de aula se perdió un poco la
mística misma de la actividad, no obstante,
el misterio de sumar con el ábaco así como
la disposición de elementos creó un
ambiente propicio. La foto inferior muestra
a un grupo de estudiantes de colegio que
nos visitó esa tarde admirando los cuadros
mientras otros se adentran en los misterios
de otra sala.
El tercer aposento correspondía al de
historia de Al-khwarizmi y el Álgebra. La
disposición fue más circular, quizá con esto
se rompió un poco la jerarquía que la
disposición de la sala anterior establecía. La
primera fotografía muestra a Eduardo
Chaves encargado de esta sala, así como al
primer grupo de visitantes que corresponde
a estudiantes de la carrera. Los grupos de
estudiantes
que
nos
visitaron
se
mantuvieron en un número no mayor a seis
personas lo que facilitó el proceso: un
máximo de ocho personas podría haber
albergado cada sala.
El recurso didáctico empleado corresponde
al franelógrafo: al cual Eduardo Chaves hizo
alusión: permitió una exposición en tres
dimensiones que podía saltar de la pizarra
hacia las manos de los visitantes, lo cual hizo
la sala muy interactiva.
La imagen inferior muestra un problema de
cálculo de áreas a través de ecuaciones. La
actividad permitió, según lo corroboran las
risas de la visitante de la esquina inferior,
abordar una temática común en secundaria
de manera amena y no amenazante, donde
el elemento histórico sirve de base a la
construcción de la teoría.
Debido a su carácter introductorio, la
primera sala fue la más rica en elementos
escenográficos. Corresponde además a la
sala donde se proyectó el montaje realizado
por Eduardo.
El ambiente recreó la cercanía cara-a-cara
que una región desértica posibilita, acá lo
creamos con la oscuridad, las velas y el
incienso. Esta fue la sala donde se trabajó el
aspecto socio-político de la matemática, así
como una crítica a la naturalización de
Medio Oriente como una zona violenta por
parte de los medios de comunicaciones, por
esto el nombre del montaje audio-visual:
Verdad y Prejuicio.
En la imagen inferior un grupo de
estudiantes es invitado a una actividad, la
cual,
plantea
la
desnaturalización
de
aquellas concepciones que guardan con
respecto a la matemática: es el propio
imaginario puesto en duda. En esto se
incluyó
la
caracterización
y
desnaturalización de un escenario cuna de
la matemática: Medio Oriente.
La tabla anterior intenta precisar algunas consideraciones a partir de la actividad.8 Este
apartado lo subtitulamos: ¿Y esto qué tiene que ver con la matemática? Esta pregunta no
fue lanzada por ninguno de nuestros visitantes: al parecer todos captaron y fueron
capaces de aprehender el papel socio-político que incide en la construcción del
conocimiento matemático, esto a través del aporte, metodología y enfoque histórico que
acompañó la actividad. Un docente de la escuela, tras ver el montaje audio-visual, fue
quien lanzó la pregunta. Por su puesto, admiró el montaje fuera de su contexto, de su
ubicación en la actividad que retratamos anteriormente. Sin embargo, tampoco se puede
ir al extremo de pensar que la caracterización socio-cultural de una región política y
económicamente importante a lo largo de la historia de la humanidad, como lo es Medio
Oriente, es completamente ajena al saber matemático. Incluso actualmente, la arremetida
de los medios de comunicación contra esta región significa una arremetida, dentro del
imaginario ideológico, en contra de todo lo que esta cultura representa: significa sepultar
los cimientos de la matemática misma. En esto juega un papel crucial el sistema de
creencias de cada quien.
El Cuaderno de investigación y formación en Educación Matemática número cuatro dedica
muchas de sus páginas al apartado de Creencias y Matemáticas.9 La idea principal de estos
artículos tiende a evidenciar la relación cíclica o recíproca que existe entre el sistema de
creencias así como la estructura de concepciones que tienen, tanto estudiantes como
profesores, sobre la matemática y su desenvolvimiento en el aprendizaje de las
matemáticas. De Faria (2008) amplia esta noción al establecer, siguiendo a GómezChacón, que las creencias: “Son estructuras cognitivas que permiten al individuo organizar
y filtrar las informaciones recibidas, y que van construyendo su noción de realidad y su
visión del mundo. Constituye un esquema conceptual que filtra las nuevas informaciones
8
Además, debemos tener en mente las limitaciones de una tabla: no dicen qué hay oculto entre líneas. Ese
día tuvimos una demora importante debido a que el aula fue destina por la mañana a olimpiadas lo cual, nos
obligó a trabajar contra reloj; esto implicó renunciar al almuerzo; la visita fue poca: cuatro grupos nos
visitaron y salieron muy contentos. La colaboración por parte de estudiantes, docentes y conserje de la
Escuela fue crucial en el éxito de la actividad y en la sobrevivencia de los encargados.
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Entre sus artículos tenemos: Edison De Faria: Creencias y Matemáticas; Edwin Chaves, Mario Castillo y
Ronny Gamboa: Creencias en los procesos de aprendizaje de las matemáticas; Federico Mora y Hugo
Barrantes: ¿Qué es matemática? Creencias y concepciones en la enseñanza media costarricense.
sobre la base de las procesadas anteriormente, cumpliendo la función de organizar la
actividad social del individuo y permitiéndole realizar anticipaciones y juicios acerca de la
realidad” (p. 19).
La persona ignora cómo ha llegado a estas creencias, aunque lo ha hecho a través del
hábito y la convivencia, las ha introyectado de tal forma que ha naturalizado una
concepción de mundo. Concepción del mundo vendría a ser un marco categorial a través
del cual el individuo aprehende, organiza, jerarquiza y estructura la realidad en la medida
en que se relaciona con ella. Se perciben, aunque en realidad sólo a través de procesos de
contextualización se puede tomar consciencia de ellas, a modo de ideas, nociones o
categorías apriorísticas derivadas del ser mismo de las cosas: eso ha sido así siempre, está
en la naturaleza de las cosas. Es decir, se les da el rango de naturalismo ontológico
aunque, en realidad, sean el producto de una construcción social que se legitima a través
de determinadas prácticas sociales institucionalizadas (familia, escuela, gobierno, etc.). A
partir de estas categorías se juzga el mundo según su escala de valores: se juzga lo nuevo.
Si bien, hasta cierto grado tales categorías son necesarias para la sobrevivencia, impiden u
obstaculizan actitudes que permitan afrontar nuevas problemáticas. Son, de esta manera,
un filtro a través del cual se organiza y capta todo nuevo conocimiento.
En lo referente a la enseñanza matemática De Faria (2008) hace una observación
pertinente: “las creencias se refieren a las ideas asociadas a: actividades y procesos
matemáticos; la manera de concebir el quehacer matemático; los sujetos que ejercen la
actividad matemática; la enseñanza y el aprendizaje de esta ciencia” (p. 20). Al respecto,
Barrantes (2008) muestra, gracias al alcance de su investigación de campo sobre este
tema, algunas de las creencias en educación media que vienen a corroborar las
conclusiones del profesor Edison De Faria Campos:

Los problemas matemáticos tiene una y solo una respuesta correcta.

Existe una única manera correcta para resolver cualquier problema; usualmente la
regla que el profesor más recientemente ha mostrado en clase.

Los estudiantes corrientes no pueden esperar entender matemáticas; solo esperan
memorizarla y aplicarla cuando hayan aprendido mecánicamente y sin entender.

La matemática es una actividad solitaria realizada por individuos en aislamiento.

Los estudiantes que han entendido las matemáticas que han estudiado podrán
resolver cualquier problema que se les asigne en menos 5 minutos o menos.

La matemática aprendida en la escuela tiene poco que ver con el mundo real.

Las pruebas formales son irrelevantes en el proceso de descubrimiento o invención
(p. 51-52).
En esta investigación de Hugo Barrantes saltan a la luz algunas de las conclusiones a las
cuales es posible llegar mediante un análisis de los trabajos que los estudiantes de la
carrera de matemática elaboraron en el 2006, a saber (la que mencionamos
anteriormente): la matemática como una construcción solipsista. De esta manera,
propuesta como actividad escolar, no sólo brinda una oportunidad de tomar las paredes
de un colegio y llenarlo con la cariturización de aquello que se considera más solemne: el
mundo matemática, sino que permitiría a cada departamento, en nuestro caso al de
matemática, elaborar un diagnóstico del sistema de creencias y la estructura de
concepciones de su alumnado. En esta misma línea debería ayudar el Museo: hacer que
los estudiantes saquen a la luz aquellas categorías que han internalizado y operan, a modo
de creencias, como obstáculos de su aprendizaje. El Museo tendría o bien, mejor:
aportaría a la comunidad costarricense un “espacio terapéutico” donde cada persona
puede “hacer conscientes” aquellas categorías que operan como obstáculos cuando
intenta construir nuevos saberes; y una vez concientizados: relativizarlos y re-encausarlos
hacia la aprehensión de actitudes que faciliten o propicien un desarrollo adecuado de sus
capacidades cognitivas: sería la transformación sobre sí mismo que Platón sugiere como
paso previo a la verdad; es decir: con ello hacemos de la matemática una filosofía de vida.
La actividad de Puertas abiertas fue un escenario propicio para llevar a cabo esta labor. A
propósito del montaje audio-visiual, nombrado Mi Verdad, Mi Prejuicio, se invitó a los
estudiantes a un ejercicio sencillo. Sentados en el suelo, en un ambiente oscuro
(iluminado por velas, cubierto por incienso), los estudiantes fueron llevados a un viaje
interior, guiado por ciertas preguntas destinadas a hacer emerger las creencias sobre las
cuales se apropian de nuevos conocimiento. Se les preguntó primero que visualizaran
algún tema o concepto visto en sus clases de matemática, algo que el profesor escribiera
en la pizarra, una imagen de un libro, de su propio cuaderno (¿quizá un gráfico, quizá una
ecuación, sería una esfera, un triángulo, un logaritmo, una función?: lo que fuera). Una
vez lograda esta imagen mental, se le indicaba al grupo que pensaran o intentaran
imaginar a la persona que inventó o logró crear dicho concepto: cuál era su sexo, qué
edad tenía, de qué color tenía la piel, dónde estaba cuando llegó a esta conclusión.
No era de sorprender: la mayoría llegaba a la conclusión de un hombre mayor, blanco,
encerrado en una habitación con una candela, jorobado sobre sus papeles: ¿qué más
alejado de un estudiante de educación media en Costa Rica que esta imagen? La
percepción del creador, del genio matemática es un otro distinto: adulto, europeo y
solitario. Siendo así: ¿cuál es mi condición de cara a las matemáticas?, ¿no sería, el hecho
de que “yo sea distinto a esta imagen”, una forma de justificar o naturalizar mi miedo, mi
repudio, mi dificultad con las matemáticas? Este imaginario pudo, aunque no fue el caso,
ser contrastado con las prácticas de estudio y comprensión de las matemáticas de estos
estudiantes de manera que pudiera lograrse un análisis cruzado: creencias y hábitos
intelectuales, e intentar una correlación (esto será parte de actividades futuras).
La mayoría de artículos que correlacionan creencias y aprendizaje-enseñanza de la
matemática, evidencian las creencias pero no proponen o exponen formas de abordar
estos sistemas de creencias de manera que la energía empleada en reproducir dichos
imaginarios, epistémicamente enajenantes, pueda re-encausarse hacia la construcción de
prácticas amigables con la aprehensión de conocimientos matemáticos. El Museo, según
lo ha demostrado con su trabajo, tiene las herramientas para emprender este tipo de
camino: tiene a su mano la historia como vehículo de transformación. Por eso lo
proponíamos así: LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA COMO TERAPIA ESPISTÉMICA: ¿qué es la historia,
como rama de las ciencias sociales, sino un método de redención de la memoria social (en
nuestra caso: de la memoria epistémica)? Recuerdo en este sentido a Herbert Marcuse
(2003):
Olvidar es también perdonar lo que no debe ser perdonado si la justicia y la
libertad han de prevalecer. Tal perdón reproduce las condiciones que reproducen
la injusticia y la esclavitud: olvidar el sufrimiento pasado es olvidar las fuerzas que
lo provocaron –sin derrotar esas fuerzas. Las heridas que se curan con el tiempo
son también las heridas que contienen el veneno. Contra la rendición al tiempo, la
restauración de los derechos de la memoria es un vehículo de liberación, es una de
las más notables tareas del pensamiento (p. 215).
Las heridas que se curan con el olvido guardan en sí mismas el veneno: obstaculizan el
paso hacia lo nuevo (la apropiación de nuevos conocimientos, por ejemplo). Es acá donde
la memoria funciona como vehículo de liberación, de desnaturalización de aquellas
concepciones o creencias que impiden el desarrollo epistémico adecuado. Otros campos
culturales, a través del método histórico han logrado desnaturalizar creencias
fuertemente arraigadas en el imaginario social y causas de enajenación y sujeción:
siempre han existido pobres, noción desmentida por estudios de antropología social que
permiten considerar la pobreza como una condición socialmente producida y no como un
estado ontológico; la política y la ciencia son cosa de hombres: noción que atraviesa casi
toda la historia de la cultura Occidental y fue desnaturaliza gracias a una lectura histórica
feminista que desmiente aquellas concepción que establecen una biyección entre
construcción racional del Estado y masculinidad.
Análogamente, en matemática, la historia es vehículo de liberación de aquellas creencias
nocivas para las facultades humanas que el saber matemático desarrolla: no desmiente
acaso aquella visión solipsista que impregna el saber matemático; no niega también una
visión patriarcalista aún anidada en muchas posiciones del área; acaso no nos ayuda a
erradicar aquellas creencias que hacen del saber matemático una verdad infalible,
acabada, eterna, perfecta, inmutable y revelada, a la cual, únicamente adultos, casi
ancianos, caucásicos, pueden adentrarse; ¿no provee la historia el espacio para evidenciar
que muchos problemas matemáticos requirieron muchos siglos de fracasos, pruebas,
errores y decepciones para llegar a soluciones, o bien, que en muchos casos tales
soluciones no han sido posibles aún?; ¿no muestra la historia de la matemática que
muchas de las personas entregadas a este rama del conocimiento dieron hasta sus vidas
por una pasión, por amor, por el encanto que encontraron en los números? La historia de
la matemática es la herramienta de una enseñanza de la matemática comprometida con
el desarrollo de las facultades humanas que este saber busca potenciar, para transformar
aquellas creencias que impiden este desarrollo. Creencias anidadas tanto en estudiantes
como docentes.
De ahí que la apropiación e incorporación de la historia de la matemática en el aula como
proceso simultáneo al aprendizaje de conceptos y a la resolución de problemas (y
ejercicios) matemáticos, es crucial, según lo he visto a lo largo de mi proceso en el Museo,
en sus tres funciones: a) diagnóstica: en tanto permite evidenciar, sacar a la luz las
creencias sobre las cuales los estudiantes aprehenden y aprenden; b) terapéutica: en
cuanto revierte el papel nocivo que de dichos sistemas de creencias tienen dentro del
desarrollo de las facultades cognitivas al deslegitimar el carácter natural de estas
creencias; c) reconquista de la capacidad de asombro: la historia debería lograr una “reerotización” de las nociones matemáticas, nos referimos con esto a una apropiación de las
nociones matemáticas no desde la amenaza de examen sino desde el carácter lúdico del
espacio socio-cultural dentro del cual muchas de estas nociones han surgido.
Mi reflexión, conciencia y experiencia (esas palabras que según Russell precisan
definiciones) a lo largo del Museo me ha llevado a estas consideraciones: y es que la
historia ha sido para mí un espacio terapéutico a través del cual he podido revertir o reencauzar muchas de las nociones y creencias que afectaban mi desarrollo cognitivo. No
obstante, el trabajo de parte del equipo logístico ha devenido en los últimos tiempos un
esfuerzo fragmentado (debido a la carga académica de cada uno de los integrantes): si la
actividad A Puertas Abiertas se hubiera planeado de una manera más conjunta
(comprendo que esto no fuera posible debido al corto plazo que tuvo el equipo para
planear la actividad) sus alcances habrían sido mucho más profundos, y sus conclusiones
aún más relevantes, pero confío en que esto se podrá revertir en futuras actividades.
CONSIDERACIONES Y CONCLUSIONES FINALES: LO POSIBLE COMO POSIBILIDAD FRENTE A LO IMPOSIBLE
El siguiente ciclo corresponde a mi tercer año en el Museo (y creo que se aproxima un
tiempo de transición). Cuando comencé lo única que tenía era un montón de dudas,
incógnitas, preguntas, inquietudes. Apenas y conocía una pequeña porción de ese
inmenso mar de las matemáticas. Ahora tengo muchas otras dudas e inquietudes, sin
embargo, existe una pequeña base o plataforma a partir de la cual podría construir más
cosas. Recuerdo mi frustración cuando discutía en los pasillos, en la biblioteca, la soda
(para mencionar sólo algunos espacios) con personas allegadas al área de enseñanza de la
matemática con respecto al valor de la filosofía y de la historia como parte de la
enseñanza de la matemática. Si bien, tenía la convicción e intuición en aquel entonces de
que la función de la historia y la filosofía de las matemáticas tenía un papel, en el aula,
más allá del mero ornamento, es decir, más que una linda decoración que un docente
pueda hacer de un tema, tanto la filosofía como la historia tienen un carácter fundante del
conocimiento; simplemente no sabía, no tenía la menor idea de cómo justificar, de cómo
plantear este hecho.
Me ha tomado cerca de tres años manejar una idea intuitiva de cómo proponerlo como
parte fundante del conocimiento matemático. Este año, jorobado sobre las obras de los
estudiantes de Matemática Fundamental, sentado en el suelo junto a estudiantes de
colegio en una especie de habitación de Medio Oriente he podido madurar algunas de las
consideraciones que he expuesto. Pienso que un informe, únicamente informa, si expone
la reflexión que uno ha tenido a partir de las actividades que ha realizado: actividades y
reuniones por sí mismas no dicen nada.
Mi trabajo en el Museo ha gozado de mucha libertad (de la cual muchas veces he
abusado), sin embargo, como bien precisa Erich Fromm en su Miedo a la libertad: ha sido
“libertad de” una vigilancia cabal sobre el cumplimiento de horas; no obstante, no ha sido
una “libertad para” debido a la falta de una idea clara sobre el carácter fundante de la
historia y la filosofía de la matemática en mi persona. Recuerdo un episodio donde esta
condición fue retratada: corresponde a un trabajo sobre Galios, donde la biografía del
autor se inserta en una tabla sinóptica donde se evidencia, de forma paralela, cada
acontecimiento relevante que aconteció durante la vida y obra del autor a un nivel
político-económico, científico-filosófico y artístico (ver anexo 3). Así, mientras Galios
cursaba sus estudios en el Liceo Louis-le-Grand, Hegel escribió: Filosofía del Derecho,
Costa Rica nación como república independiente; nacieron Marx y Dostoievski, murió
Laplace. Interesante sí, pero no pudimos responder: qué significado guarda el paralelismo
que existe entre estos acontecimientos, su simultaneidad histórica: ¿es mera obra de la
casualidad y la coincidencia? No obstante, previo a un trabajo como éste, el Museo debe
dar cuenta de algunas relaciones cuya mera mención provoca, dentro de ciertos marcos
ideológicos en la misma investigación matemática, ideas plagadas de ironía en torno al
esoterismo, ocultismo y magia negra. Qué relación existe ente matemática y arte: en una
reunión que tuvimos con el subdirector de la Escuela de Artes Visuales, éste parecía muy
convencido de que dicha relación existe; lo mismo opinan en música. ¿Y no es cierto que
la Divina Comedia de Dante tiene muchos elementos del álgebra predominante en el
Medio Oriente para su tiempo?, será, entonces, que podemos establecer una relación
entre literatura y matemática.
Un trabajo de este tipo requiere afianzar relaciones con otras unidades académicas, las
cuales, no hemos podido cultivar de la mejor manera, precisamente, a mi parecer, porque
dentro de nuestra actividad e investigación no hemos profundizado el carácter y
naturaleza de estas relaciones: y pienso que la labor contextualizadora del museo está
incompleta sino es capaz de profundizar en estudios de este tipo de vínculos. De otra
manera, reconstruiríamos un paisaje plural, diverso y heterogéneo, del cual, sin embargo,
no podríamos decir nada con respecto a su diversidad. Quizá en este sentido, las
ortodoxas teorías de la escuela francesa, tan fascinantes de este lado del mundo, nada nos
pueden decir de aquello que no testimonian o sugieren. Debemos aventurarnos en el
mundo de lo nuevo, así sea por el mismo placer de la exploración, y debemos hacerlo
según las pautas que el pensamiento latinoamericano es capaz de fijar.
En este sentido el trabajo que desarrollo actualmente con Diana Herrera (trabajo que
toma como base la producción cinematográfica, por ahora el largometraje “23”, está en
proceso también la elaboración de una sala capaz de hacer presente un Mercado
capitalino de 1925) puede contribuir a establecer este tipo de vínculos: a propósito, aquel
establecido con el sentido espiritual que la matemática tuvo para civilizaciones antiguas,
el cual, debe estar aún latente. Así, más allá de contribuir en la decoración de interiores, el
Museo aporta con sus salas espacios de terapia epistémica, investigación interdisciplinaria de relaciones trans-pluri-disciplinarias y provee el tazón para un caldo de
cultivo donde la imaginación y creación pueden dar a luz a espacios y actividades aún
impensables: a fin de cuentas este es el espíritu del Museo, según lo entiendo ahora: lo
posible sólo se materializa de cara a lo imposible.
BIBLIOGRAFÍA
Alfaro, A. (2003). Rendimiento por temas en las pruebas nacionales de matemáticas en
tercer ciclo y bachillerato. Uniciencia, Vol. 20, Número 1. Heredia. pp. 157-167.
Barrantes, H. Creencias sobre las matemáticas en estudiantes de la enseñanza media
costarricense. Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática, 2008,
año 3, Número 4, pp. 45-69. San José: CIMM/UCR.
Chavarría, J. Chaves, E. Desarrollo histórico y percepción del proceso de implementación
del sistema internacional de unidades en Costa Rica. Cuadernos de Investigación y
Formación en Educación Matemática, 2008, año 3, Número 4, pp. 99-123. San José:
CIMM/UCR.
Contreras, F. (2000). El tibio recinto de la oscuridad. San José: FARBEN.
Buber. M. (1970). ¿Qué es el hombre? -6ª ed.- México: Fondo de Cultura Económica.
De Faria, E. Creencias y Matemáticas. Cuadernos de Investigación y Formación en
Educación Matemática, 2008, año 3, Número 4, pp. 9-27. San José: CIMM/UCR.
__________. Transposición didáctica: definición, epistemología, objeto de estudio.
Cuadernos de Investigación y formación en Educación Matemática, 2006, año 1, Número
2, pp. 35-50. San José: CIMM/UCR.
Foucault, F. (1996). Hermenéutica del sujeto. Argentina: Altamira.
Jung, C. G. (1993). Psicología de la transferencia. -3ª reimpresión- Traducción de Kogan
Albert. Barcelona: Paidós.
Nietzsche, F. (1997). El anticristo: maldición sobre el cristianismo. Santafé de Bogotá:
Panamericana.
Marcuse, H. (2003). Eros y Civilización. 7ª edición. Traducido del inglés por J. García.
Barcelona: Ariel.
Morin, E. (2002). La cabeza bien puesta. Repensar la reforma, reformar el pensamiento:
bases para una reforma educativa. -1ª ed. 5ª reimpresión-. Buenos Aires: Buena Visión.
Ruiz, A. (2003). Historia y filosofía de las matemáticas. San José: EUNED.
__________. (2000). El desafío de las matemáticas. Heredia: EUNA.
Riuz, A. y Chavarría, J. Educación matemática: escenario e ideas para una nueva disciplina.
UNICIENCIA, 2003, Vol. 20, Número 2, pp. 355-377. Heredia: UNA.
Russell, B. (1982). La evolución de mi pensamiento filosófico. -2ª ed.- Traducción de Juan
Novella Domingo. Madrid: Alianza.
Sierpinska, A. y Lerman, S. (1996). Epistemologies of mathematics and of mathematics
education. En: A. J. Bishop et al. (eds.), International Handbook of Mathematics Education
(pp. 827-876). Dordrecht, HL: Kluwer, A. P. [Traducción de Juan D. Godino]
Torres, J. (1998). El currículum oculto. -5ª reimpresión-. Madrid: Morata.