Espacios Vectoriales

Ejercicios de Algebra Lineal (Tema 5)
1. Sea F+(R) el conjunto de todas las funciones reales positivas sobre <.
Es la suma usual de funciones una operacion binaria en F+(R)?
Es la multiplicacion de un escalar por una funcion una operacion externa en F+(R)?
2. Sea S el conjunto de todas las funciones de R en R que nunca toman el valor cero.
Es la suma usual de funciones una operacin binaria en S?
Es la multiplicacin de un escalar por una funcion una operacion cerrada en S?
Sea 0 la funcion cero en S. Es la multiplicacion por un escalar una operacion externa en S U
f0g?
3. En los ejercicios siguientes, determine si los conjuntos E dados, junto con las operaciones indicadas
son o no son un espacio vectorial.
E = f(a, b) / a ^ b 2 Zg con la suma denida como suma de pares de nmeros reales y el
producto por un escalar denido como (a, b) = (0, 0).
Sea E el mismo conjunto del ejercicio anterior, pero con el producto por un escalar denido
como (a, b) = (a, b).
Sea E = R+ (nmeros reales positivos) con las operaciones de adicin y producto por un escalar
denidas como: a + b = ab y a = a.
E = R2 con la suma usual y el producto por un escalar denido por (x, y) = (y, x).
E = R2 con la suma usual y el producto por un escalar denido por (x, y) = (x, 0).
E = flos vectores del tercer cuadrante del plano R2g con las operaciones usuales en R2.
E = f(x, y, z) 2 R3/ x = y = zg con las operaciones de adicin y multiplicacin por un escalar
usuales en R3.
E = C[0,1] = ff / f : R ! R es una funcin continua en el intervalo [0,1]g con las operaciones
denidas suma y producto por un escalar usuales.
E = figual al ejercicio 10, pero con f (??) = 1g.
E = figual al ejercicio 10, pero con f (??) = 0 y f (??) = 0g.
E = fpolinomios de una variable real y de grado igual o menor que n con trmino independiente
positivog, con las operaciones de suma y producto por un escalar usuales.
E = fpolinomios de una variable real y de grado igual o menor que n con trmino independiente
nulog, con las mismas operaciones del ejercicio anterior.
E = f1g, esto es, el conjunto formado por un nico elemento, el 1. Deniendo la suma como
1+1= 1 y el producto por un escalar como 1 = 1.
4. Sea (E, +, ) un espacio vectorial. Muestre que 8 a 2 E y 8 escalar, se tiene que a = 0 si, y
solo si = 0 a = 0.
5. Sea (E, +, ) un espacio vectorial y sean a y b dos vectores dados en E. Pruebe que existe un nico
vector x 2 E tal que a + x = b.
6. Sea C el conjunto de los nmeros complejos a + bi (a, b). Si se dene el producto de dos nmeros
complejos como (x, y)(z, w) = (xz-yw, xw+yz). Demuestre que (C, +, ) es un espacio vectorial
sobre si mismo.
7. Verique si el conjunto formado por todos los pares ordenados de nmeros reales de la forma (1, a)
forma un espacio vectorial real con las operaciones de suma y producto por un escalar denidas as:
(1, a) + (1, b) = (1, a+b) y (1, a) = (1, a).
C
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8. Sea M2x2 el conjunto formado por todas las matrices de 2 X 2. Si A =
a11 a12
a21 a22
y B=
b11 b12
b21 b22
, denimos A+B = A y el producto por un escalar A el usual. Determine si M2x2 es un espacio
vectorial real.
1 a
9. Verique si el conjunto formado por todos las matrices de 2 X 2 de la forma
las operab 1 con
1 a
1 c
1
a
+c
1 a
ciones de suma:
y producto por un escalar: b 1 + d 1 = b+d 1
b 1 =
1 a
b 1 , es un espacio vectorial real.
10. En los ejercicios siguientes, determine cuales de los subconjuntos indicados, son un subespacio
vectorial del espacio vectorial dado.
f(x, -x) / x 2 Rg en el espacio vectorial R2.
f(x, x+1) / x 2 Rg en el espacio vectorial R2.
f(n, m) / n, m 2 Zg en el espacio vectorial R2.
f(x, y, 3x-2y) / x, y 2 Rg en el espacio vectorial R3.
ff / f(1) = 0g en el espacio vectorial F(R) de funciones de R en R.
ff / f (??) = 1g en el espacio vectorial F(R) de funciones de R en R.
ff / f(x) 0, 8 x 2 Rg en el espacio vectorial F(R).
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
R
ff / 01 f (x)= 0g en el espacio vectorial C(R) de funciones continuas en R.
R
ff / 01 f (x) = 1g en el espacio vectorial C(R).
f(a-c, b+c,5c)/a, b, c 2 Rg en el espacio vectorial R3.
f(a-b, b-c, c-d, d-a)/a, b, c, d2 Rg en el espacio vectorial R4.
El conjunto f(aij) 2 Mn /aij = 0 si i =
6 jg de todas las matrices diagonales de Mn , en el
espacio vectorial de todas las matrices de m x n.
Si U y W so n dos soluciones del sistema de ecuaciones lineales AX = B, entonces U - W
pertenece al espacio solucin del sistema de ecuaciones homogneo asociado AX = 0.
Demuestre que el conjunto formado por todas las soluciones simultneas del sistema de ecuaciones
lineales AX = B con n incgnitas, no es un subespacio vectorial de Rn si B 6= 0.
Demuestre que el conjunto formado por todas las soluciones simultneas del sistema de ecuaciones
homogneo AX = 0 con n incgnitas, es un subespacio vectorial de Rn .
1 a
Verique si el conjunto formado por todos las matrices de 2 X 2 de la forma
b 1 con las
operaciones de suma y producto por un escalar usuales es un subespacio vectorial de M2.
Demuestre que el subespacio L((1, 1), (1, 2)) de R2 es todo R2.
En los ejercicios siguientes, determine si el conjunto dado es generador del espacio vectorial indicado.
En R3 : f(1,-1,2), (1,1,2), (0,0,1)g. 19. En R3 : f(1,-1,2), (-1,1,2), (0,0,1)g.
En P2(x) : f1- x, xg. 21. En P2(x) : f1- x, x, 3 - x2g.
En P2(x) : fx2 - 2x, - x, 5x2 + 3xg. 23. En P3(x) : fx, x2 - 2x, x3 - xg.
En P3(x) : fx, x3 - 1, 4x3 - x - 1, x2g.
En M2 : 42 01 ; 01 53 ; 47 15 ; 01 10 .
Plantee un criterio geomtrico para que dos vectores distintos de R2 sean dependientes.
C
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18. Argumente geomtricamente porque un conjunto formado por tres vectores distintos en R2 es dependiente.
19. Plantee un criterio geomtrico para que dos vectores distintos de R3 sean dependientes.
20. Describa geomtricamente el subespacio de R3 generado por dos vectores independientes.
21. Explique geomtricamente como es que un conjunto formado por tres vectores no nulos, distintos y
pertenecientes a R3 es dependiente.
22. Argumente geomtricamente porque un conjunto formado por cuatro vectores distintos de R3 es
dependiente.
23. En los ejercicios siguientes, determine cuales de los conjuntos dados es dependiente o independiente
f(1,3), (-2,-6)g en R2.
f(5,7), (9,-3)g en R2.
f(-1,2,1),(2,-4,3)g en R3.
f(2,0,5),(-1,3,-4),(1,3,1)g en R3.
f(1,-4,3), (3,-11,2), (1,-3,-4)g en R3 .
f(1,3,4,-1), (2,0,1,-3), (3,3,5,1)g en R4 .
24. Demuestre que fsenx, cosxg es un conjunto independiente de vectores del espacio F(R) de funciones
de R en R.
25. Demostrar que cuatro polinomios de P2(x), el espacio vectorial generado por los polinomios de una
variable real x y de grado igual o menor que dos, son dependientes.
26. En los ejercicios siguientes, determine si el conjunto dado es independiente o dependiente, adems
determine si es generador del espacio indicado.
En R3 : f(1,-1,2), (1,1,2), (0,0,1)g.
En R3 : f(1,-1,2), (-1,1,2), (0,0,1)g.
En P2(x) : f1- x, xg.
En P2(x) : f1- x, x, 3 - x2g.
En P2(x) : fx2 - 2x, - x, 5x2 + 3xg.
En P3(x) : fx, x2 - 2x, x3 - xg.
En P3(x) : fx, x3 - 1, 4x3 - x - 1, x2g.
En M2 : 42 01 ; 01 53 ; 47 15 ; 01 10 .
En C(I), siendo I = (0,1) : flnx, lnx2, lnx3g.
En F(R) : fsen2x, cos2x, 1g
En el espacio R[x], (de todos los polinomios de una variable real x y de coecientes reales)
demuestre que dos polinomios no pueden generar el subespacio P2(x) .
27. En los ejercicios siguientes, utilice la tcnica de exclusin que se deriva del Teorema 6.7, es decir,
elimine del conjunto dado los vectores ue resulten combinacin lineal de los precedentes y encuentre
un subconjunto independiente que genere el mismo subespacio vectorial.
En R2 : f(5, -1), (10, 3)g.
En R2 : f(1,2),(-3,-6),(2,1),(4,3)g.
En R3 : f(1,1,1), (2,1,6), (6,1,4), (6,6,-6), (6,5,4)g.
En R[x]: fx2 - 1, x2 + 1, 4x, 2x - 3g.
C
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En
En
En
En
f1, 4x + 3, 3x - 4, x2 + 2, x - x2g.
F(R): f1, sen2x, cos2x, cos2xg.
R4 : f(1,2,0,1), (0,1,2,1), (0,6,6,12), (-3,-1,6,7), (1,1,1, 4), (2,6,2,6)g.
R5 : f(1,2,1,2,3), (3,1,1,4,2), (3,-2,-3,7,6), (6,-1,-2,11,8), (3,4,5,1,-2), (-1, -2,0,-1,0)g.
R[x]:
28. Sean v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3) dos vectores de R3 . Si w = v, demuestre que el
subespacio vectorial L(v, w) (espacio generado por v y w) es una recta que pasa por el origen.
29. Determine el sistema de ecuaciones lineales homogneo cuyo conjunto solucin S este generado por
los vectores (1,-2,0,3), (1,-1,-1,4), (1,0,-2,5) y (2,-3,-1,7).
30. Demuestre que un subconjunto de un conjunto independiente es necesariamente independiente.
31. Sean a, b y c tres vectores linealmente independientes pertenecientes a un espacio vectorial E
cualquiera. Determine si los vectores u, v y w tambin son independientes, siendo u = a - b, v =
a - c y w = b - c.
32. Sea fv1, v2, v3, , vkg un conjunto dependiente, demuestre que fv1, v2, v3, , vk, vk+1, ,
vng es tambin un conjunto dependiente.
33. Sea fv1, v2, v3, , vng un subconjunto independiente en un espacio vectorial E cualquiera.
Supongamos que tenemos un vector w 2 E pero no perteneciente al subespacio L(v1, v2, v3, ,
vn). demuestre que el conjunto fv1, v2, v3, , vn, wg es independiente.
34. Sean F1 y F2 dos fuerzas con direcciones diferentes, y sea F3 una tercera fuerza. Mostrar que F1,
F2 y F3 son independientes, si la direccin de F3 no est contenida en el plano generado por las
direcciones de F1 y F2.
35. Si W es un subconjunto linealmente independiente de vectores de un espacio vectorial E y si b es
un vector de W, demuestre que necesariamente b es un vector no nulo.
36. Si B = fb1, b2, b3, . . . , bn, x1g es un subconjunto nito de vectores no nulos de un espacio
vectorial E y si x1 " L(b1, b2, b3, . . . , bn), demuestre que B es un conjunto linealmente
dependiente.
37. Sean S1 y S2 dos subconjuntos de vectores de un espacio vectorial E. Si S1 S2 y S2 es
linealmente dependiente, muestre mediante algunos ejemplos, que S1 puede ser linealmente independiente o linealmente dependiente.
38. Sea B un subconjunto formado por cinco vectores de un espacio vectorial E y sea dim(E) = 4.
Se pregunta:
Puede B ser un conjunto independiente?
Puede B generar a todo el espacio E?
Debe B generar a todo el espacio E?
39. En los ejercicios siguientes, determine si el conjunto de vectores dado es o no es una base para el
espacio vectorial indicado.
f(-2,2), (2,4)g para R2.
f(-1,0,1), (1,3,4)g para R3.
f(-1,2,4), (1,3,-1), (1,8,2)g para R3.
f(-1,3,4), (1,5,-1), (1,13,2)g para R3.
f(1,0,2,2), (-3,1,2,0), (2,0,3,0), (1,0,0,0)g para R4.
f1, x -1, x2 + x, 3xg para el espacio P2(x) de los polinomios de R[x] de grado 2.
fx2 - 1, x2 + x, 3 + 2xg para el espacio P2(x) de los polinomios de R[x] de grado 2.
fx , x2 + 1, 3x2 - 2x + 3g para el espacio P2(x) de los polinomios de R[x] de grado 2.
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40. Considere a R como un espacio vectorial sobre si mismo, describa todos los subconjuntos de R que
forman base para R.
41. Argumentar el hecho de que si escogemos al azar dos vectores v y w de R2 es muy probable que
fv, wg sea base para R2.
42. Cul es la dimensin del espacio vectorial real formado por los nmeros complejos. Determine una
base. Repita el ejercicio para cuando los complejos formen espacio sobre si mismo.
43. Cul es la dimensin del espacio vectorial M
formado por todas las matrices de tamao m X n.
Describa una base para ese espacio.
44. Cul es la dimensin del espacio vectorial formado por todas las matrices diagonales de tamao n X
n, esto es, (aij) es de M , con aij = 0 si i 6=j.
45. Encuentre una base de R2 que contenga el vector (1,3).
46. Encuentre una base de R3 que contenga a los vectores (1,0,2) y (1,3,0).
47. Encuentre una base para el subespacio f(x1, x2, x3, x4) / x2 = x4g de R4. Cul es la dimensin de
este subespacio ?.
48. Encuentre una base para el subespacio f(x1, x2, x3, x4) / x1=2x2 = -x3g de R4. Cul es la dimensin
de este subespacio ?.
49. Demuestre que si S es un subespacio de un espacio vectorial E nito dimensional, entonces S es
nito dimensional y realmente dim(S) dim(E).
50. Demuestre que si E es un espacio vectorial nito dimensional y a es un vector no nulo de E, entonces
existe una base de E que contiene el vector a.
51. Sea B = fb1, b2, b3, , bng una base ordenada de un espacio vectorial E, y sea A = fa1, a2,
a3, , ang E tal que bi 2 L(a1, a2, a3, , an) para i = 1,2,3, ... , n. Demuestre que fa1, a2,
a3, , ang es tambin una base para E.
52. En los ejercicios siguientes, encuentre las coordenadas del vector dado con respecto a la base ordenada indicada.
(-1,1,3,1) de R4 respecto a la base fe1, e2, e3, e4g.
(-1,2) de R2 respecto a la base f(0,-2), ( 12 ; 0)g.
(2,3,2) de R3 respecto a la base f(2,0,0), (0,1,1), (0,0,1)g.
(9,6,11,0) de R4 respecto a la base f(1,0,1,0), (2,1,1.-1), (0,1,1,-1), (2,1,3,1)g.
1 1
2 0
0 1
0
2
42 61 de M2 respecto a
;
;
;
:
1 1
3 1
1 0
0 4
x2 - 3x + 4 de P2(x) respecto a la base fx2 - 1, x, x2 + x + 1g.
x3 + x2 - 2x + 4 de P3(x) respecto a la base f1, x2, x, x3g.
x3 + x2 - 2x + 4 de P3(x) respecto a la base f1 + x2, 1+ x, 1 + x3, x + x2g.
53. Encuentre el vector de coordenadas de (x, y) en la base B.
B = f(1,1), (1,-1)g
B = f(2,3), (3,-2)g
B = f(5,7), (3,-4)g
B = f(1,1), (1,0)g.
54. Determine una base y la dimensin para los espacios solucin S de los sistemas lineales homogneos.
mxn
n
C
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8
>
>
<
>
>
:
8
<
:
x
y 3z + w
3x+
2z
2w
x+ y+ z
w
4x
y
z
w
=0
=0
=0
=0
w =0
w =0 .
w =0
2x+ y + 7z = 4
55. Resuelva el sistema
x
y+ 2z = 5 y d una interpretacin geomtrica al conjunto de solu56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
4x
y+ 2z
3x+ 2y + z +
x
y+ 2z
ciones.
Resuelva el sistema que consiste en la ecuacin 2x + y + 3z = 0 y encuentre una base para el espacio
solucin y d una interpretacin geomtrica a ese espacio solucin.
D una interpretacin geomtrica al conjunto de soluciones de la ecuacin 2x + y + 3z = 5.
Encuentre una base ordenada B = fb1, b2g en R2 tal que las coordenadas de (2, -11) con respecto
a B son (2, -1) y las coordenadas de (17, -13) en esa base B son (3, 2).
Si denotamos por Sn al espacio vectorial formado por las matrices simtricas de tamao n X n.
Demostrar que Sn es un subespacio de M de dimensin [n (n + 1)]/2.
Sea S el plano de R3 que contiene la recta x = y en el plano xy y tambin contiene el eje z. Se
pide: i) encuentre una base de S; ii) extienda esa base a una base de R3 y iii) es posible contraer
la base cannica de R3 a una base de S? Explique.
Sea S el subespacio de P3(x) generado por los polinomios p1(x) = 1 { x + 2x2 +3x3 y p2(x) =
2 + x - x2 +2x3 y sea B = f3 + x2 +5x3, 3x { 5x2 { 4x3g un subconjunto del espacio vectorial
P3(x). Es B una base de S? Es posible completar una base de P3(x) con B?
Sea S el subespacio de P3(x) generado por los polinomios p1(x) = 2 - x + 4x2 + 3x3 y p2(x) =
3x3 -2x2 + 2x { 1 y sea B = f1 - x + 2x2, x + 3x3g un subconjunto del espacio vectorial P3(x)
Es B una base de S? Es posible completar una base de P3(x) con B? Justique sus respuestas.
Demostrar que tres vectores v1, v2 y v3 en R3 con puntos nales en el origen son coplanares si,
y slo si, el subespacio L(v1, v2, v3) es de dimensin igual o menor que 2.
Sea S el subespacio de R3 generado por los vectores v1 = (1,-3,4) y v2 = (6, 4,-6) y sea W =
f(11,-22,29), (7,-7,14), (-11,-11,16)g R3. Se pregunta:
i) Determine si W genera al subespacio S; ii) W contiene una base de S? iii) Es posible completar
una base de R3 con W? Justique sus respuestas.
Sea S el subespacio de R3 generado por los vectores v1 = (1,-3,4) y v2 = (6,4,-6) y sea W =
f(11,-22,29), (22,-11,13), (-11,-11,16)g R3. Se pregunta: i) Determine si W genera al subespacio
S; ii) W contiene una base de S? iii)Es posible completar una base de R3 con W? iv) El vector
(0,-11, 15) " S? Justique sus respuestas.
En los ejercicios siguientes, determine la dimensin de cada uno de los subespacios vectoriales indicados.
S = f(a, 0)/ a Rg.
S = f(a -b, 3a + b)/ a , b Rg.
S = f(a , 0, 4a)/ a Rg.
S = f(a -c, b + c, 3c)/ a , b, c Rg.
S es el conjunto de todos los vectores de tres componentes cuyas primeras componentes son
cero.
S es el conjunto de todos los vectores de cuatro componentes cuyas primeras y ltimas compo-
n
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nentes son cero.
S es el conjunto de todos los vectores de cuatro componentes cuyas tres primeras componentes
son cero.
S = L((-7, 2,-5), (9, -1, 12), (2, 1, 7)).
S
es el conjunto de todas las matrices de la forma
a b .
b c
= L(-x + x2, -5 + x, -x2, 3 + x2) en el espacio vectorial P2(x).
S = L(senx, cosx, sen2x).
S
Solucion
C
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