Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingenierıa

Universidad de Jaén
Departamento de Matemáticas
Ingenierı́a Técnica en Informática de Gestión
Algebra II. Relación de problemas 1: El grupo simétrico.
1.-Demostrar que si G es un grupo, el elemento neutro y el elemento
simétrico son únicos.
2.-Sea (G, ∗) un grupo. Demostrar que se verifica:
i) a ∗ b = e ⇒ a = b0 y a0 = b
ii) a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c y b ∗ a = c ∗ a ⇒ b = c
iii) a ∗ b = b ⇒ a = e y b ∗ a = b ⇒ a = e
iv) (a ∗ b)0 = b0 ∗ a0
v) (a0 )0 = a
3.-Demostrar que un grupo G es abeliano sii para todo a, b ∈ G se verifica
que (ab)−1 = a−1 b−1 .
4.-Sea R el conjunto de los números reales. Consideramos el conjunto
P = {f : R → R / f (x) = ax + b con a, b ∈ R, a 6= 0}
Demostrar que P con la composición es un grupo.
5.-En el conjunto R − {1} se considera la operación definida por:
x ∗ y = x + y − xy
Demostrar que (R − {1}, ∗) es un grupo conmutativo.
6.-En RxR∗ se define la siguiente operación:
(x1, y1) ∗ (x2, y2) = (y1x2 + x1, y1y2)
Demostrar que es un grupo no conmutativo.
7.Sea G = R2 − {0} y consideremos la siguiente operación interna:
(x1, x2) ∗ (y1, y2) = (x1y1 − x2y2, x2y1 + x1y2)
Demostrar que (G, ∗) es un grupo conmutativo.
8.-Sean G1 , ......, Gn grupos. Demostrar que G1 ×......×Gn tiene estructura
de grupo para la operación:
1
(a1 , ......, an )(b1 , ........, bn ) = (a1 b1 , ........, an bn )
9.-Demostrar que la intersección de subgrupos es un subgrupo y que la
unión de subgrupos no es, en general, un subgrupo.
10.-Sea (G, ∗) un grupo, H ≤ G. Demostrar que H es normal en G
⇐⇒ ∀a ∈ G, ∀x ∈ H, entonces a0 ∗ x ∗ a ∈ H
11.-Sea (G, ∗) un grupo y consideremos
H = {x ∈ G : x ∗ a = a ∗ x ∀a ∈ G}
1. Demostrar que H es un subgrupo normal en G.
2. Calcular H para G = Z3 , G = A2 y G = S2 .
12.-Si G1 y G2 son dos grupos y H1 y H2 son subgrupos normales de G1
y G2 ,respectivamente, comprobar que H1 × H2 es subgrupo normal de G1 ×
G2 .Razonar
A1) A3 × Z2 es un grupo de orden 6 y tiene subgrupos normales de orden
3, de orden 2 y de orden 1.
A2) ¿Es A3 × Z2 conmutativo? Razonar la respuesta.
13.-Dado el conjunto S = {1, 2, 3} , consideremos su grupo simétrico S3 ,
cuyos elementos son:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
σ1 =
σ2 =
σ3 =
1 2 3 1 3 2 3 1 2 1 2 3
1 2 3
1 2 3
σ4 =
σ5 =
σ6 =
2 1 3
2 3 1
3 2 1
i) Formar la tabla del grupo.
ii) Se considera el subgrupo H = {σ1 , σ2 }. Estudiar si xH = Hx para
todo x ∈ S3 .
iii) Se considera el subgrupo H = {σ1 , σ3 , σ5 }. Comprobar que H es
normal en S3 .
14.-Dadas las permutaciones de S5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
σ=
τ=
2 3 1 5 4
5 4 1 3 2
Se pide:
i) El número de inversiones de cada permutación.
ii) La descomposición en ciclos y transposiciones de cada permutación.
2
iii) La signatura de cada permutación.
15.- Definir una operación en A3 × Z2 × 3Z que lo dote de estructura de
grupo.
1. ¿Es conmutativo? Razonar la respuesta.
2. Calcular, si es posible, un subgrupo conmutativo de A3 × Z2 × 3Z con
dos elementos. ¿Es normal en A3 × Z2 × 3Z ?
16.-Sea (G, ∗) un grupo:
A. Demostrar que si H1 y H2 dos subgrupos normales de G, entonces H1 ∩
H2 es subgrupo normal en G.
B. Demostrar que H = {I, θ} con θ una transposición de S3 , es subgrupo
de S3 . ¿Es H conmutativo?
C. Calcular el número de clases laterales a izquierda de H en S3 .
D. Razonar si H es subgrupo de A3.
E. Calcular H ∩ A3 .
17.-Sea (G, ∗) un grupo abeliano, sean H1 y H2 dos subgrupos de G
H1 ∗ H2 = {h1 ∗ h2 : h1 ∈ H1 y h2 ∈ H2 }
¿Es H1 ∗ H2 un subgrupo de G? ¿Es normal?
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