DIRECCIÓN FINANCIERA I 3º A.D.E. UNIVERSIDAD DE SALAMANCA

Dirección Financiera I
DIRECCIÓN FINANCIERA I
3º A.D.E.
UNIVERSIDAD DE SALAMANCA
CURSO 2003-2004
Por: Evaristo Villaseco Calvo
[email protected]
1
Índice
ÍNDICE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA....................................................................................... 5
1.1. El concepto de inversión y sus acepciones....................................................................... 5
1.2. Enfoques micro y macroeconómico de la inversión. ....................................................... 6
1.3. La dimensión financiera de la inversión productiva. ....................................................... 6
1.4. Las etapas del proceso de inversión. ................................................................................ 8
1.5. La problemática del presupuesto de capital. .................................................................... 8
METODOLOGÍA PARA EL ANÁLISIS DE LA VIABILIDAD DE UN PROYECTO
DE INVERSIÓN ....................................................................................................................... 9
2.1. La generación de proyectos de inversión. ........................................................................ 9
2.2. Planificación estratégica de la cartera de inversiones. ................................................... 10
2.3. Estimación de los flujos netos de caja............................................................................ 10
2.4. El coste de capital en la decisión de inversión. .............................................................. 12
VALORACIÓN DE INVERSIONES EN CONDICIONES DE CERTIDUMBRE (I) ......... 13
3.1. Criterios aproximados de selección de inversiones........................................................ 13
3.2. Los criterios clásicos de evaluación y selección de inversiones: Valor capital y Tasa
de Retorno. .............................................................................................................................. 15
3.3. Examen crítico y comparación de los criterios clásicos................................................. 17
3.4. El problema de la inconsistencia en el criterio de la tasa de retorno: Inversiones
puras y mixtas.......................................................................................................................... 26
3.5. Propuesta de solución al problema de inconsistencia. ................................................... 31
3.6. La solución de Merrety Sykes. ....................................................................................... 36
VALORACIÓN DE INVERSIONES EN CONDICIONES DE CERTIDUMBRE (II) ........ 39
4.1. Método del coste anual equivalente ............................................................................... 39
4.2. Consideración de los impuestos en el análisis de inversiones. ...................................... 44
4.3. Existencia de inflación. .................................................................................................. 45
4.4. Programación de inversiones. ........................................................................................ 48
VALORACIÓN DE INVERSIONES EN CONDICIONES DE RIESGO E
INCERTIDUMBRE (I) ........................................................................................................... 53
5.1. Riesgo, incertidumbre y presupuesto de capital............................................................. 53
5.2. El Valor Capital Medio. ................................................................................................. 53
5.3. Precriterios de selección de inversiones en ambiente de riesgo..................................... 55
5.4. Análisis de sensibilidad de las decisiones de inversión. ................................................ 58
VALORACIÓN DE INVERSIONES EN CONDICIONES DE RIESGO E
INCERTIDUMBRE (II).......................................................................................................... 63
6.1. Cuantificación del riesgo total de un proyecto de inversión. El modelo de Hihier........ 63
6.2. Simulación de las decisiones de inversión. El modelo de HertZ. .................................. 75
6.3. Las decisiones de inversión secuenciales: Árboles de decisión y análisis bayesiano. ... 77
LA DECISIÓN DE FINANCIACIÓN: EL COSTE DEL CAPITAL .................................... 89
7.1. El concepto del coste del capital .................................................................................... 89
7.2. Coste de la financiación a corto plazo............................................................................ 89
7.3. Coste de la deuda a largo plazo...................................................................................... 93
7.4. El coste del capital propio. ............................................................................................. 95
7.5. La jerarquización rentabilidad-coste de las fuentes financieras..................................... 96
7.6. El coste medio ponderado del capital............................................................................. 97
3
La Inversión en la empresa
1.
LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA
1.1 EL CONCEPTO DE INVERSIÓN Y SUS ACEPCIONES.
1.1.1 DEFINICIÓN GENERAL DE INVERSIÓN
Inversión es un proceso mediante el cual tiene lugar el cambio de una satisfacción inmediata y
cierta, a la que se renuncia, por una esperanza que se adquiere en el futuro, cuyo soporte es el bien
invertido.
1.1.2 ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN EL PROCESO DE INVERSIÓN
1. Un sujeto que invierte. Puede ser de distinta naturaleza: persona física o jurídica.
2. Un objeto en el que se invierte. Puede ser de naturaleza diversa.
3. El coste que supone la renuncia a una satisfacción en el presente.
4. La esperanza de una recompensa en el futuro.
Esta definición es muy genérica. Ejemplo de inversión: estudiar una carrera.
1.1.3 ACEPCIONES DE INVERSIÓN.
La inversión en un periodo es la diferencia entre el stock de capital al inicio y al final del periodo.
I t = SC t − SC t −1 ,
donde:
SC = Stock de capital
t = final del periodo
t-1 = inicio del periodo
I t = inversión en un periodo
Si I t es positivo: existe formación de capital. Si I t es negativo: existe consumo de capital.
Ejemplo:
Una empresa que se dedica a la extracción de áridos tiene 6 excavadoras al final del periodo, y al comienzo 4
I t = SC t − SC t −1
⇒
It = 6 − 4
⇒
I t = +2
Excavadoras: ⇒ “inversión”
La inversión es una variable “flujo” y el capital es una variable “stock”. De estas variables se puede
hablar desde tres puntos de vista:
1. Jurídico
2. Financiero
3. Económico o productivo
Sentido jurídico:
CAPITAL es todo aquel bien que puede ser objeto de un derecho de propiedad (casa, coche, etc.)
INVERSIÓN es el proceso o acto mediante el cual se adquiere esa propiedad.
Sentido financiero:
CAPITAL es toda la suma de dinero que no ha sido consumida por su propietario, sino que ha sido
ahorrada y colocada en el mercado financiero con la intención de obtener una renta posterior
INVERSIÓN es el proceso de colocación de los excedentes de renta no consumidos en el mercado
financiero.
Sentido económico o productivo:
CAPITAL es todo aquel conjunto de bienes que sirve para producir otros bienes o para prestar
servicios.
5
Dirección Financiera I
INVERSIÓN es el proceso mediante el cual se aceptan o anexan bienes económicos a tareas
productivas.
1.2 ENFOQUES
INVERSIÓN.
MICRO
Y
MACROECONÓMICO
DE
LA
Los puntos de vista jurídico y financiero solo tienen sentido a nivel microeconómico, ya que a nivel
macroeconómico se trata de transacciones entre unidades económicas elementales sin creación de
capital.
Ejemplo: Venta de un piso entre particulares. Desde el punto de vista microeconómico tiene mucha
importancia para ambas personas, pero carece de importancia macroeconómica.
De las inversiones económicas o productivas se habla desde los puntos de vista macroeconómicos y
macroeconómicos.
MACROECONÓMICO: Inversión económica son todos los bienes materiales o inmateriales que
pueden ser destinados o afectados a una unidad productiva.
MICROECONÓMICO: La inversión de una empresa se encuentra en el activo del balance.
Las inversiones en activo fijo son inversiones a largo plazo, con carácter estratégico y comprometen
a la empresa durante un largo periodo de tiempo, recuperándose lenta y gradualmente a través del
proceso de amortización.
Las inversiones en activo circulante son inversiones a corto plazo, que se recuperan al final del
ciclo dinero / mercancías / dinero (“periodo de maduración”)
La empresa en función de sus necesidades, que vendrán determinadas por la demanda, realizará
inversiones en activo fijo. Estas inversiones y el periodo de maduración nos condicionan la inversión
en activo circulante. Por tanto, podemos decir que la inversión en activo circulante es una inversión
derivada de la inversión en activo fijo.
Ejemplo 1: Jamones de Guijuelo
ACTIVO FIJO Compra de una nave y maquinaria
ACTIVO CIRCULANTE: Hay que comprar cerdos, pagar al contado, sacrificarlos, despiece,…, almacén (2 años),
distribución, venta y cobro. Periodo de maduración muy largo.
Conclusión: Alta inversión en activo circulante por el periodo de maduración muy largo.
Ejemplo 2: Carrefour
ACTIVO FIJO: nave, expositores, etc.
CIRCULANTE Hay que comprar productos, pagar en un gran plazo, almacén (días), venta y cobro al contado. Periodo de
maduración muy bajo.
Conclusión. La inversión en activo circulante es muy baja. El fondo de rotación es negativo.
Ejemplo 3: Industria láctea.
ACTIVO FIJO: nave, maquinaria, etc.
CIRCULANTE Hay que comprar productos, pagar a los ganaderos, vender a grandes superficies con un plazo largo en el
cobro, exigencia de promociones, Periodo de maduración muy alto.
Conclusión. Es una mala inversión.
1.3 LA
DIMENSIÓN
PRODUCTIVA.
6
FINANCIERA
DE
LA
INVERSIÓN
La Inversión en la empresa
Vamos a estudiar la inversión productiva o inversión en activos reales. Distinguimos dos conceptos:
versión renta y versión monetaria de los flujos de caja.
Supongamos una empresa que se dedica a la compra-venta de sillas y mesa:
La compra se formaliza mediante la factura (por tanto incurre en un gasto). El pago se realiza
posteriormente.
La venta se formaliza en factura (por tanto incurre en un ingreso). El cobro se produce posteriormente.
Tenemos que distinguir entre la corriente económica y la financiera.
Ejemplo: una empresa que compra mesas y luego las vende.
Factura
Compra
Factura
gasto
Venta
ingreso
corriente económica.
Corriente financiera.
Pago
Cobro
Corriente económica: Como entran y como salen las mesas
Corriente financiera: cuando pago y cuando cobro.
COBRO – PAGO = BENEFICIO
Todo proyecto de inversión genera una corriente de cobros y pagos que se originan en el tiempo.
DIAGRAMA TEMPORAL:
Q1
Q2
A
C1-P1
C2-P2
0
1
2
…
…
Qj
Cj-Pj
j
…
…
Qn
Cn-Pn
n
Q j = C j − Pj
Donde:
A=
Cj =
Pj =
Qj =
n=
desembolso inicial (Camión por 120.000 €)
los cobros o entradas de dinero que se producen al final del periodo j.
los pagos o salidas de dinero que se producen al final del periodo j.
Flujo de caja al final del periodo j. (Qj = Cj – Pj)
Si Qj = 0 entonces Cj = Pj
Si Qj > 0 entonces Cj > Pj
Si Qj < 0 entonces Pj > Cj
duración de la inversión, es decir, el número de periodos que distan desde el origen
al periodo en que se produce el último cobro o pago.
PERIODO DE ANÁLISIS
El periodo de análisis es por lo general el año, pero también puede ser inferior (mes, semana, día,
etc.). Normalmente la unidad más pequeña de análisis es el día por derivación de la norma bancaria,
que calcula diariamente los saldos de valor y nos devengan intereses. Es cuando el dinero toma valor
en el tiempo.
Para elegir el periodo de análisis hay que tener en cuenta dos factores:
7
Dirección Financiera I
La facilidad y seguridad con la cual se pueden prever los flujos de caja (en el caso de
apartamentos alquilados a estudiantes tomaríamos el mes, que es cuando pagan y cuando
nos cargan determinados gastos)
La magnitud de los tipos de interés. Cuantos mayores son los tipos, los periodos de análisis
largos generan errores. (Brasil y Argentina)
–
–
1.4 LAS ETAPAS DEL PROCESO DE INVERSIÓN.
La inversión es un proceso y como tal tiene etapas:
1. Identificación de oportunidades de inversión: ver que oportunidades de inversión tiene la
empresa. Tiene fuertes connotaciones estratégicas.
2. Estimación de las magnitudes de un proyecto de inversión (los flujos de caja y
adicionalmente el coste del capital).
3. Valoración de los distintos proyectos de inversión (VC, TR, ...).
4. Decisión de aceptación o rechazo del proyecto.
1.5 LA PROBLEMÁTICA DEL PRESUPUESTO DE CAPITAL.
El presupuesto de capital es limitado, y está formado por el capital propio y la capacidad de
endeudamiento. Al ser limitado, se restringen las posibles inversiones que la empresa puede llevar a
cabo, y ello, le exige una asignación óptima de su presupuesto de capital.
Aquellas empresas que disponen de oportunidades de inversión rentables, pueden aumentar su
presupuesto de capital en la misma cuantía en que aumente su capacidad de endeudamiento.
La empresa dará preferencia a los proyectos de inversión más rentables. Por tanto, la rentabilidad
marginal es decreciente.
Rentabilidad
marginal
R’ = Rentabilidad marginal
C’ = Coste marginal
A = inversión
Suponemos que disponemos de 5 proyectos
con las siguientes rentabilidades y costes
marginales:
R’
C’
R1/C1
R’
18
17
16
15
14
E
R2/C2
R3/C3
A1
A2
A3
C’
14
15
16
17
18
Volumen de activos
(Inversiones de la empresa)
Primero se realizarán los proyectos más rentables por lo que la rentabilidad marginal decrece.
Se utilizan las fuentes de financiación con menor coste, ya que el coste es creciente.
Se invierte hasta que se iguale el coste a la rentabilidad. Se invertiría hasta A2, ya que en A3 el coste
es superior a la rentabilidad.
La adecuada gestión de los activos (inversiones) y de los pasivos (recursos financieros) llevaría a la
empresa a realizar inversiones hasta un nivel A2, en el cual, se maximizaría la riqueza de los
accionistas.
8
Metodología para el análisis de viabilidad de un proyecto de inversión
2.
METODOLOGÍA PARA EL ANÁLISIS DE
LA VIABILIDAD DE UN PROYECTO DE
INVERSIÓN
2.1 LA GENERACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN.
La primera etapa es la identificación de proyectos que se adaptan a la estrategia elegida por la empresa.
Tiene un alto componente estratégico.
¿Qué debe conocer la empresa para incrementar una estrategia que la relacione ventajosamente con el
entorno? La empresa debe conocer dos cosas:
El campo de actividad que tiene la empresa, que viene definido por:
CLIENTES: Grupo de clientes atendidos (¿A quién se satisface?).
FUNCIONES: Las funciones desarrolladas por el producto o servicio prestado por la empresa
(¿Qué necesidades se satisfacen?)
TECNOLOGÍA: La tecnología empleada para ello (¿Cómo se satisface?).
Funciones
Tecnología
Clientes
Ejemplo: Proyección con manita, varita o puntero.
El diagnóstico de la empresa. Se realiza a partir de:
Análisis externo que consiste en determinar las amenazas y oportunidades que se le presentan a la
empresa en el desarrollo de su actividad.
Ejemplo: una empresa de comercio de seguros. Se le presenta una oportunidad cuando surge el
comercio electrónico. Una amenaza para los fabricantes de PCS con marca es cuando ocurrió el
auge de la venta de clónicos.
Análisis interno en el que se identifican las debilidades y fortalezas que tiene la empresa (puntos
fuertes y débiles).
Ejemplo: Un punto fuerte es disponer de la tecnología (comercio electrónico) y un punto débil es
no disponer de una cartera de clientes para una empresa de seguros.
2.1.1 ANÁLISIS EXTERNO
El análisis externo de la empresa se hace respecto del entorno, y el elemento más significativo de ese
entorno es la situación de la competencia del sector industrial, que depende de las 5 fuerzas
competitivas básicas, identificadas por Porter (1982):
1. Posibilidad de entrada de nuevos competidores en el sector, que se analiza a través de las
barreras de entrada (patentes, tecnología, etc.).
2. Imposibilidad de salir del sector, que se debe a la existencia de barreras de salida (los altos
hornos necesita unos activos gigantescos que solo sirven para esa actividad).
9
Dirección Financiera I
3. La existencia de productos sustitutivos (que por diseño o coste inferior pueden dejar a nuestro
producto fuera del mercado).
4. El poder de negociación con proveedores y clientes (grandes superficies)
5. El grado de rivalidad entre los competidores del sector (a mayor grado de rivalidad peor
oportunidad de inversión, ya que con nuestra entrada aumentaría aún más la rivalidad).
2.1.2 ANÁLISIS INTERNO.
El análisis interno de la empresa abarca los siguientes elementos
1. Estructura. Hay que hacer un autoanálisis de la estructura de la empresa. Por ejemplo, una
empresa con una plantilla de avanzada edad no será competitiva en negocios que requieran
un uso masivo de nueva tecnología.
2. Tecnología. Conocer la tecnología es muy importante.
3. Los procesos de información, toma de decisiones y control. Ejemplo de información, en
algunas actividades se necesita que los procesos de información sean fluidos para tomar
decisiones rápidamente, por ello algunas administraciones públicas contratan empresas
privadas para realizar algunas funciones. Ejemplo de control, la subcontratación en la
construcción y en el transporte.
2.2 PLANIFICACIÓN
INVERSIONES.
ESTRATÉGICA
DE
LA
CARTERA
DE
Una vez determinadas las oportunidades de inversión que se adaptan a la estrategia de la empresa,
se debe proceder a la planificación estratégica de la cartera de inversiones. En este sentido la
empresa debe decidir que estrategia genérica de actuación elige para relacionarse con el entorno.
Hay tres tipos de estrategias genéricas:
1. Liderazgo en costes: Se trata de producir productos y ofertar servicios a un menor coste. Se
hace a través de economías de escala o economías de experiencia. Ejemplo: producción en
serie.
2. Diferenciación de nuestros productos: Buscamos encontrar algo que diferencie nuestros
productos para que nuestros clientes quieran comprarlos. Ejemplo coca-cola.
3. Segmentación: orientada a:
– Grupo de clientes. Ejemplo jóvenes.
– Línea de producto. Ejemplo Volvo (mayor seguridad).
– Mercado geográfico. Ejemplo las cementeras (el mayor de los costes lo supone el
transporte)
2.3 ESTIMACIÓN DE LOS FLUJOS NETOS DE CAJA
La segunda parte del proyecto de inversión es estimar los flujos netos de caja.
Un flujo de caja Q j = C j − Pj , donde:
Q j = Flujo neto del periodo j, C j = Cobros del periodo j, y Pj = Pagos del periodo j.
Para su estimación nos bastará con estimar por una parte los cobros y por otra los pagos.
2.3.1 EL DESEMBOLSO INICIAL.
Suele ser fácil de determinar pues es el precio que debemos de pagar por el bien objeto de la
Inversión. Sin embargo hay tres observaciones.
10
Metodología para el análisis de viabilidad de un proyecto de inversión
1. En determinadas ocasiones es necesario realizar estudios previos para ver si la inversión es
adecuada. Estos estudios suponen unos costes independientemente de que el proyecto se lleve a
cabo o no. En estos casos no debe incluirse estos costes para analizar si el proyecto se lleva a cabo
o no. Hay dos excepciones a esta regla.
a. Cuando estos costes van anexados al propio proyecto de inversión.
b. Cuando me planteo si debo realizar esas pruebas o no.
2. Se debe incluir como desembolso inicial o eventualmente como salida de dinero, si se produce en
periodos distintos del de origen, el rendimiento dejado de obtener por activos propios anexados al
proyecto de inversión (Ejemplo voy a montar un negocio y ya tengo una nave, podría venderla o
alquilarla).
3. No tiene sentido incluir los incrementos de activo circulante en el desembolso inicial del proyecto.
El incremento del activo influye sobre los flujos de los cobros y los pagos.
2.3.2 ESTIMACIÓN DE LOS COBROS.
En principio los cobros no son conocidos, la base para su estimación será la corriente económica,
concretamente los ingresos, que serán una función directa de las ventas. Hay casos excepcionales
donde el cobro si es conocido, como una subvención.
El aspecto de previsión de los cobros se reduce, en principio, a la previsión de las ventas.
La previsión de las ventas es un dato para el departamento financiero, quien fija el plazo de cobro a los
clientes.
Hay que tener en cuenta también el porcentaje de impagados, que se puede estimar fácilmente en
función del sector al que pertenece la empresa.
Cobros
Previsión de ventas
Plazo de cobro
Porcentaje de impagados
2.3.3 ESTIMACIÓN DE LOS PAGOS.
También existe una serie de ellos que son fijos y, por tanto, perfectamente conocidos (ejemplo los
impuestos)
También serían fijas las cuotas de los arrendamientos financieros y los préstamos, así como alquileres
o incluso los salarios.
Para el resto de los pagos hemos de volver a la corriente económica. Por tanto, teniendo en cuenta la
corriente económica y en función de la demanda, debemos hacer una previsión de las compras.
Una vez conocidas las compras, teniendo en cuenta el plazo de pago a nuestros proveedores podremos
estimar los pagos.
Pagos
Previsión de compras
Plazo de pago
La previsión de los flujos de caja es un problema de diseño de un sistema de información
Problema 1. Empresa FLUCASA
La empresa FLUCASA (FLUJOS DE CAJA, S.A.) está planteándose realizar un proyecto de inversión que tendría un
carácter exploratorio del mercado, por lo que la maquinaria comprada será de corta duración. En concreto, únicamente
durará dos períodos. Las ventas previstas para el primer período serán 1.000.000 de euros y 1.500.000 de euros para el
segundo. Asimismo, para desarrollar su actividad necesita realizar unas compras de 900.000 euros para el primer período
y 1.000.000 de euros para el segundo. Además, existen otros gastos para cada uno de los períodos, donde también se
incluye el gasto del personal por importe de 150.000 euros, que se pagan siempre al contado.
La política de ventas a plazo es el 60% en el período en que se realiza la venta y el 40% para el período siguiente. La
empresa logra cobrar todas sus ventas, por lo que no tiene impagados. De otra parte sus proveedores le exigen que realice
el pago de las compras el 30% en el período que se realizan y el 70% en el siguiente.
11
Dirección Financiera I
Se desea determinar los flujos de caja de este proyecto de inversión realizado por FLUCAJA.
PERIODO
VENTAS
COMPRAS
O. GASTOS
PLAZO Cj
PLAZO Pj
0
60%
30%
1
1.000
900
150
40%
70%
2
1.500
1.000
150
3
Periodo 1
Cobros: 0,6 x1.000 = 600
Pagos: 0,3 x900 + 150 = 420
Flujos de caja: Q1 = C1 − P1 ⇒ 600 − 420 = 180 = Q1
Periodo 2
Cobros: 0,4 x1.000 + 0, ,6 x1.500 = 1.300
Pagos: 0,7 x900 + 0,3 x1.000 + 150 = 1.080
Flujos de caja: Q2 = C 2 − P2 ⇒ 1.300 − 1.080 = 220 = Q2
Periodo 3
Cobros: 0,4 x1.500 = 600
Pagos: 0,7 x1.000 = 700
Flujos de caja: Q3 = C 3 − P3 ⇒ 600 − 700 = −100 = Q3
SI LO HACEMOS CON EXCEL
Definimos las fórmulas
VENTAS
COMPRAS
OTROS GASTOS
COBROS
PAGOS
FLUJOS DE CAJA (Q j )
Arrastramos hasta completar
CONCEPTOS
AÑO 0
VENTAS
COMPRAS
OTROS GASTOS
COBROS
PAGOS
FLUJOS DE CAJA (Q j )
1.000.000 € 1.500.000 €
900.000 € 1.000.000 €
150.000 €
150.000 €
=(0,6*C2)+(0,4*B2)
=(0,3*C3)+(0,7*B3)+C4
=C5-C6
AÑO 1
1.000.000 €
900.000 €
150.000 €
600.000 €
420.000 €
180.000 €
AÑO 2
1.500.000 €
1.000.000 €
150.000 €
1.300.000 €
1.080.000 €
220.000 €
0€
0€
0€
AÑO 3
0€
0€
0€
600.000 €
700.000 €
-100.000 €
2.4 EL COSTE DE CAPITAL EN LA DECISIÓN DE INVERSIÓN.
Definiremos a toda la empresa como una sucesión de proyectos de inversión y financiación.
La empresa se crea cuando existe una demanda insatisfecha. Para ello necesita invertir en bienes
necesarios para el desarrollo de la actividad.
Para organizar estas inversiones la empresa necesita recursos financieros.
Así, las decisiones de inversión y financiación son dos aspectos interdependientes que configuran a la
empresa como una verdadera estructura económica-financiera.
En este contexto, la empresa va a realizar inversiones siempre que la rentabilidad de éstas sea mayor
que el coste de los recursos financieros utilizados para su financiación. Este coste se conoce como
Coste de Capital que denominaremos [K] y que viene a ser una especie de bisagra que enlaza inversión
y financiación, fundamentales en toda empresa.
12
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (I)
VALORACIÓN DE INVERSIONES EN
CONDICIONES DE CERTIDUMBRE (I)
3.
3.1 CRITERIOS
APROXIMADOS
INVERSIONES.
DE
SELECCIÓN
DE
Estos criterios no tienen en cuenta la cronología de los flujos de caja y operan con ellos como si fueran
cantidades de dinero percibidas en el mismo periodo de tiempo.
A
Q1
Q2
…
Qj
…
Qn
0
1
2
…
j
…
n
Ejemplo de proyectos de inversión que utilizaremos en este tema
Proyecto Desembolso
-10.000
A
-5.000
B
-8.000
C
-11.000
D
-4.000
E
-4.000
F
Q1
8.000
2.000
4.000
1.000
3.000
Q2
4.000
2.000
6.000
-2.000
1.000
1.200
Q3
5.000
2.000
1.000
Q4
Q5
Q6
2.000
2.000
2.000
19.000
1.000
8.000
1.000
3.1.1 EL CRITERIO DEL FLUJO NETO DE CAJA TOTAL POR UNIDAD
MONETARIA COMPROMETIDA
Este método consiste en sumar todos los flujos de caja de cada inversión y luego el total se divide
por el desembolso inicial correspondiente, obteniendo así el flujo neto total medio por unidad
monetaria comprometida en la inversión, que constituye una medida de su rentabilidad; es decir:
n
r'=
∑Q
i =1
j
A
Las mejores inversiones serán aquellas que proporcionen una tasa r’ mayor. Ahora bien, una inversión
interesa realizarla en cuanto r’ sea superior a la unidad, ya que de lo contrario la inversión no
permitiría recuperar el capital invertido.
Este criterio adolece de los siguientes defectos:
1. No tiene en cuenta el momento en que son obtenidos los diferentes flujos netos de caja,
agregando de este modo cantidades heterogéneas. No se puede olvidar el mayor valor de los
ingresos percibidos durante los primeros años, ya que pueden producir intereses en los años
siguientes.
2. En realidad, sólo la parte de r’ que excede a la unidad es rentabilidad en sentido estricto, porque
la otra parte es recuperación del capital invertido. Por ello proponemos una rectificación de la
fórmula en el siguiente sentido:
n
r'=
∑Q
i =1
A
j
−1
13
Dirección Financiera I
3. La rentabilidad de las inversiones se expresa generalmente refiriéndola a una base temporal
anual. Sin embargo, las fórmulas anteriores nos proporcionan una rentabilidad referida a toda la
vida de la inversión.
8.000 + 4000 + 5000
− 1 = 0,7
10.000
−2.000 + 8.000 + 19.000
rD' =
− 1 = 1,27
11.000
rA' =
3.1.2 EL CRITERIO DEL FLUJO NETO DE CAJA MEDIO ANUAL POR UNIDAD
MONETARIA COMPROMETIDA
A diferencia del criterio anterior, que relaciona el flujo neto de caja total con el de desembolso inicial,
este segundo criterio relaciona el flujo neto de caja medio anual con el desembolso inicial, es decir:
_
r =
'
1
n
n
∑Q
j
i =1
A
De esta forma se logra resolver el tercer inconveniente del criterio anterior.
1
(8.000 + 4000 + 5000)
'
3
rA =
= 0,56666667
10.000
'
rD
1
(−2.000 + 8.000 + 19.000)
= 6
= 0,3787
11.000
3.1.3 EL CRITERIO DEL PLAZO DE RECUPERACIÓN O “PAYBACK”
El plazo de recuperación o Payback (también llamado paycash, payout o payoff) de una inversión, es
el tiempo que tarda en recuperarse (amortizarse) el desembolso inicial A.
1. Cuando los flujos netos de caja son constantes, el plazo de recuperación o Payback vendrá dado
por la fórmula:
A
Si Q1 = Q2 = ... = Qj = Qn, Plazo de recuperación = P =
Q
2. Si los flujos netos de caja no son constantes, el plazo de recuperación se calculará acumulando
los sucesivos flujos de caja hasta que su suma sea igual al desembolso inicial A. Pero cuando
además del desembolso inicial A los flujos netos de caja de los primeros años son negativos, el
plazo de recuperación vendrá definido por el tiempo que tarda en recuperarse la suma de esos
flujos negativos.
n
Si Q1 ≠ Q2 ≠ ... ≠ Qj ≠ Qn, Plazo de recuperación =
∑Q
j =1
j
≥A
Según este criterio, las mejores inversiones son aquellas que tienen un plazo de recuperación más
corto.
r' A = 2
r'D = 6
Inconvenientes
1) No considera los flujos netos de caja obtenidos después del plazo de recuperación.
2) No tiene en cuenta la diferencia en los vencimientos de los flujos netos de caja obtenidos antes de
alcanzar el plazo de recuperación.
14
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (I)
3) este criterio más que un criterio de rentabilidad es un criterio de liquidez que suele aplicarse en
épocas y/o países con inestabilidad económica.
3.1.4 EL CRITERIO DE LA TASA DE RENDIMIENTO CONTABLE
Este criterio también se conoce con el nombre de “método contable”. Está considerando la corriente
económica en lugar de la financiera (se consideran los beneficios en vez de los flujos de caja), por
tanto, no es válido para tomar las decisiones de inversión y financiación.
TRC =
BeneficioNeto
InversiónTotal
3.2 LOS CRITERIOS CLÁSICOS DE EVALUACIÓN Y SELECCIÓN
DE INVERSIONES: VALOR CAPITAL Y TASA DE RETORNO.
Estos criterios si tienen en cuenta la cronología de los flujos de caja, es decir, tiene en cuenta el
valor del dinero en el tiempo, a través del proceso de actualización.
3.2.1 EL CRITERIO DE VALOR CAPITAL
El valor Actual Neto (VAN) de una inversión es igual al valor actualizado de todos los flujos netos
de caja esperados, a un tipo de actualización (K) que coincide con el coste de oportunidad del
capital.
Suponemos que en cada periodo hay un coste de capitalización diferente
A
Q1
Q2
…
Qj
…
Qn
0
K1
K2
…
Kj
…
Kn
Considera el valor del dinero en el tiempo, a través de proceso de actualización:
C1 = C 0 + C 0 K ⇒ C 0 (1 + K ) ⇒ C 0 =
C1
(1 + K )
Si suponemos que el coste de capital (K) es distinto en cada periodo:
k1 ≠ K 2 ≠ L ≠ K n ≠ K :
VC = − A +
Q1
Q2
Qn
+
+L+
(1 + K1 ) (1 + K1 )(1 + K 2 )
(1 + K1 )(1 + K 2 )L (1 + K n )
Ahora bien, si suponemos que en todos los periodos hay un mismo coste de capitalización:
k1 = K 2 = L = K n = K
Qn
Q1
Q2
L
+
+
+
(1 + K ) (1 + K )2
(1 + K )n
Si Q1 = Q2 = Q3 = … = Qn = Q
VC = − A +
 1
1
1 
L
VC = − A + Q 
+
+
+

2
(1 + k )n 
 (1 + k ) (1 + k )
⇒
n
⇒
VC = − A +
Qj
∑ (1 + K )
j =1
j
 (1 + K )n − 1 
VC = − A + Q 
n 
 K (1 + K ) 
Otra posibilidad: que la duración de la inversión es ilimitada: n → ∞
15
Dirección Financiera I
 (1 + K )n − 1 
VC = − A + Q Lim 

n →∞  K (1 + K )n 


VC = − A + Q
1
K
VC = − A +
Q
K
El criterio deberá venir acompañado de una norma de decisión:
NORMA DE DECISIÓN:
1.- Serán realizables todos aquellos proyectos cuyo valor capital sea positivo (VC>0).
2.- Si tenemos que jerarquizar entre varios PI, serán preferibles los que tienen mayor VC.
En el ejemplo anterior, supuesto K = 7%, vamos a calcular el VC del Proyecto de inversión A
Valor Capital de A: = −10.000 +
8.000 4.000 5.000
+
+
= 5.051,73
(1,07 ) (1,07 )2 (1,07 )3
Igual para el resto de los proyectos
Proyecto Valor Capital
A
B
C
D
E
F
Orden de preferencia
5.051,73
4.533,06
978,86
5.617,44
100,19
-148,18
2
3
4
1
5
3.2.2 PAY BACK DESCONTADO
Soluciona el 2º inconveniente del tercer precriterio.
Es el nº de periodos que se necesita para que el valor actualizado de los flujos de caja sea superior o
igual al desembolso inicial.
Este criterio se define para suplir el inconveniente b) del plazo de recuperación.
Para tener en cuenta la diferencia en el vencimiento de los flujos de caja que se producen antes del
plazo de recuperación se define el Payback Descontado:
p
Qj
∑ (1 + K )
j =1
j
≥A
3.2.3 TASA DE RETORNO (TR)
La Tasa de Retorno es aquel tipo de actualización o descuento que iguala a cero el Valor Capital.
Hay que distinguir entre TIR: Tasa interna de retorno y TR: Tasa de retorno.
TR= r
Qn
Q1
Q2
0 = −A +
+
+L+
2
(1 + r ) (1 + r )
(1 + r )n
n
⇒
0 = −A +
Qj
∑ (1 + r )
j =1
Podríamos pensar que los flujos son constantes (Q1=Q2=…=Qn)
 Q
Qn 
Q2
0 = −A +  1 +
+
+
L

2
(1 + r )n 
 (1 + r ) (1 + r )
⇒
 (1 + r )n − 1
0 = − A + Q
n 
 r (1 + r ) 
Supongamos que la duración de la inversión es ilimitada: n → ∞
16
j
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (I)
 (1 + r )n − 1
0 = − A + Q Lim 
⇒
n 
 r (1 + r ) 
0 = −A +
Q
⇒
r
r=
Q
A
n→∞
NORMA DE DECISIÓN
1.- Un proyecto es realizable siempre que la tasa de retorno sea superior al coste de capital. Esto
se conoce como la condición de efectuabilidad del proyecto de inversión.
2.- Si la empresa debe elegir entre varios proyectos de inversión efectuables dará prioridad a
aquellos que tengan una mayor tasa de retorno.
Para el cálculo de la TR podemos utilizar varios procedimientos:
a) si n≤2. En este caso despejamos r.
PIF: 0 = −4.000 +
3.000 1.200
+
(1 + r ) (1 + r )2
⇒(1+r) = x ⇒ 0 = −4.000 +
0 = −4.000 x 2 + 3.000 x + 1200 ⇒ 0 = −40 x 2 + 30 x + 12 ⇒ x =
x=
− 30 ± 30 2 − 4(− 40)(12)
2(− 40)
⇒x=
3.000 1.200
+ 2 , operamos y despejamos
x
x
− b ± b 2 − 4ac
⇒
2a
− 30 ± 900 + 1.920
⇒ x = [(- 0,2887959)(1,0387959)]
− 80
Elegimos la positiva por la idea que tenemos de interés:
(1 + r ) = x ⇒ r = x − 1 = 0,03879
b) Cuando n>2. Hay que utilizar una hoja de cálculo o el procedimiento de prueba y error.
En el ejemplo anterior referido al proyecto de inversión A:
1.- Determinar o elegir una TR prevista. Por ejemplo 9%.
8.000 4.000 5.000
PIA: 10.000 =
+
+
no satisface la ecuación ya que el segundo miembro = 14567,0
(1,09) (1,09)2 (1,09)3
Luego tiene que ser mayor, probamos con 36%
8.000 4.000 5.000
10.000 =
+
+
no satisface la ecuación pero nos da un valor bastante aproximado
(1,36) (1,36)2 (1,36)3
ya que el segundo miembro = 10032,6939. Como con el 37% obtenemos 9915,09139, sabemos que
está en el intervalo entre 36% y 37%
3.3 EXAMEN CRÍTICO Y COMPARACIÓN DE LOS CRITERIOS
CLÁSICOS.
3.3.1 VENTAJA DE LOS CRITERIOS CLÁSICOS SOBRE LOS APROXIMADOS.
Consiste en tener en cuenta los diferentes vencimientos de los flujos de caja, por lo que se produce
una homogenización de corrientes monetarias que se generan en los distintos periodos de tiempo.
Se hace a través de la tasa de actualización.
En definitiva estamos estableciendo una relación de indiferencia entre recibir una cantidad en el
periodo de tiempo determinado u otra equivalente en un periodo distinto.
C0
C1
k
0
1
17
Dirección Financiera I
C1
(1 + k )
El coste de capital (K) es diferente para cada empresa.
C0 =
Se valora al precio de K
Vamos a ver la importancia de la actualización mediante un sencillo ejemplo.
EJEMPLO: La ONCE ofrece en su cuponazo 250.000.000 en un solo cobro ó 10.000.000 en 25 años ¿Cuál es más
rentable?
a) Suponemos un tipo de interés del 10%
 (1 + 0,1)25 − 1 
 = 206,296 < 250
250
25 
 0,1(1 + 0,1) 
b) Suponemos un tipo de interés del 5%
 (1 + 0,05)25 − 1 
 = 167.785 < 250.
250
25 
 0,05(1 + 0,05) 
3.3.2 INCONVENIENTES DEL VC Y DE LA TR
A.- LA DETERMINACIÓN DEL COSTE DE CAPITAL.
Aunque podemos calcular la TR sin conocer K, no podemos tomar una decisión si no la conocemos.
El Coste del Capital es el coste de los recursos financieros utilizados para financiar el proyecto de
inversión. Si para financiar un proyecto hacemos una emisión de obligaciones, entonces K será el coste
de la emisión. Sin embargo, normalmente se utilizan varias fuentes de financiación para financiar un
proyecto, en cuyo caso sería el coste medio ponderado de los fondos empleados (fuentes utilizadas).
B.- MERCADO DE CAPITALES IMPERFECTO.
Ambos criterios parten de la hipótesis de la existencia de un mercado de capitales perfecto. Según
esta hipótesis cualquier empresa puede acudir al mercado financiero en demanda de fondos y sin
limitación alguna al tipo de interés de equilibrio K, y por el contrario la empresa puede acudir
ofreciendo sus recursos financieros excedentes sabiendo que el mercado le va a proporcionar la
rentabilidad de K.
Bajo esta hipótesis las empresas llevarían a cabo todos los proyectos de inversión con valor K positivo.
De otra parte cuando la empresa tuviera excedentes de fondos y no dispusiera de proyectos con valor
capital positivo podría colocar estos excedentes en el mercado financiero sabiendo con anterioridad
que la rentabilidad que va a obtener es K.
¿Cuál sería el VC de esta inversión? Su VC entonces, es cero, porque la rentabilidad = VC
Sea E el montante de los excedentes de fondos
E
KE
KE
…
KE
…
KE+E
0
1
2
…
j
…
n
Es una inversión financiera
V .C. = − A +
KE
1+ K
(
+
KE
) (1 + K )
2
+L+
KE
(1 + K )
n
+
E
(1 + K )
n
 1

E
1
1
=
= − A + KE 
+
+L+
+
n
2
K
+
1
(1 + K )
(1 + K )  (1 + K )n

 (1 + K ) − 1
E
E
E
− A + KE 
+
⇒ siA = E ⇒ − E + E −
+
=0
n 
n
n
(1 + K ) (1 + K )n
 K (1 + K )  (1 + K )
n
18
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (I)
Esta hipótesis no se cumple en la realidad, pues el mercado financiero es quizás el más imperfecto de
los mercados, pues se descompone en mercados parciales según su naturaleza y a cada uno de ellos les
corresponde un precio o tipo de interés diferente. Por ejemplo, el mercado de préstamos engloba tanto
a los hipotecarios como los créditos al consumo, y éstos tienen un tipo de interés superior a aquellos.
En definitiva: no coincide el precio en función de si se demandan u ofertan fondos en el mercado.
C.- FLUJOS DE CAJA INTERMEDIOS.
Ambos criterios parten de la hipótesis poco realista de reinversión de los flujos de caja intermedios
al coste de capital o a la tasa de retorno, según se trate de los criterios de VC o de la TR
respectivamente.
Sea un PI
A
Q1
Q2
…
Qj
…
Qn
0
1
2
…
j
…
n
Expresión del VC
V .C. = − A +
Qn −1
Qn
Q1 (1 + K )n −1 + L + Qn −1 (1 + K ) + Qn
Q1
Q2
+
+
L
+
+
=
−
A
+
(1 + K ) (1 + K )2
(1 + K )n−1 (1 + K )n
(1 + K )n
¿Qué implica esto?
a) SI LOS FLUJOS DE CAJA SON POSITIVOS (Qj > 0), se invierte inmediatamente de ser obtenidos
y hasta el final del límite temporal de la inversión a una tasa de reinversión que coincide con el
coste de capital (K), o con la tasa de retorno (r), según se trate del criterio del VC o de la TR
b) SI LOS FLUJOS DE CAJA SON NEGATIVOS (Qj<0), se financia inmediatamente de ser
obtenidos y hasta el final de la duración de la inversión con recursos financieros, cuyo coste medio
ponderado coincide con el coste de capital (K), o con la tasa de retorno (r), según se trate del
criterio del VC o de la TR
Esta hipótesis no se ajusta a la realidad.
a) Caso del Valor Capital
Esta hipótesis sólo es cierta si el mercado financiero fuera perfecto, lo que implica que las empresas
llevarían a cabo todos sus proyectos de inversión con VC>0. En consecuencia, cuando un proyecto
produce un flujo de caja positivo, éste se debe destinar a la inversión financiera cuya rentabilidad
conocemos que es K, y, del mismo modo, si el flujo de caja es negativo, éste se financiaría con
recursos financieros obtenidos en el mercado financiero, cuyo coste es de nuevo el coste de capital K.
Pero hemos visto que el mercado de capitales no es perfecto. En consecuencia, cuando la empresa
obtenga un flujo de caja positivo, éste podrá ser utilizado para financiar otra inversión productiva,
siendo ahora su rentabilidad la de su inversión productiva.
Su tasa de reinversión sería la rentabilidad de la inversión productiva K’, que no tiene que coincidir
con K si la empresa no tuviera más inversiones productivas, ese dinero lo utiliza en una inversión
financiera, y la rentabilidad ahora, en este caso, sería K’<K.
De otra parte, si el proyecto de inversión genera flujos de caja negativos, éstos se refinancian con
recursos financieros que procedan o no del mercado financiero, cuyo coste será K’’, que puede ser
distinto de K
La nueva formulación del criterio del VC suponiendo que K’ y K’’ son iguales, por simplicidad, y que
la llamaremos K’:
V .C. = − A +
Q1 (1 + K ')n −1 + Q1 (1 + K ')n − 2 + L + Qn −1 (1 + K ') + Qn
(1 + K )n
19
Dirección Financiera I
donde, K’ sería la tasa de reinversión y K el coste de capital.
SiK ' > K ⇒ VC ' > VC
SiK ' < K ⇒ VC ' < VC
SiK ' = K ⇒ VC ' = VC
Ejemplo:
Sea la inversión A. La tasa de reinversión es del 4%. Calcular el valor capital.
8.000(1,04) + 4.000(1,04) + 5.000
2
V .C. = −10.000 +
(1,07)3
= 4.540,55 ⇒ ComoK ' (0,04 ) < k (0,07 ) ⇒ VC ' (4.540,55) < VC (5.051,88)
b) Caso de la Tasa de Retorno
De igual forma, esta hipótesis para la TR implica que:
• La Tasa de Retorno coincida con la rentabilidad del proyecto, lo cual no tiene porqué cumplirse,
dado que lo más probable es que ésta reinversión se haga con otra inversión productiva.
• La tasa de refinanciación coincide con la rentabilidad de la inversión, lo cual sólo se cumple si
el mercado de capitales fuera perfecto y para la inversión financiera.
En definitiva, según el criterio de la tasa de retorno, los flujos de caja positivos se reinvertirán a una
tasa r’ que no tiene porqué coincidir con la rentabilidad de la inversión. Mientras que los flujos de caja
negativos se refinanciarán con recursos financieros cuyo coste sería r’’, que tampoco tiene porqué
coincidir con r.
La nueva formulación de la TR suponiendo que r’ y r’’ son iguales, por simplicidad, y que la
llamaremos r’:
0 = −A +
Q1 (1 + r ')n −1 + Q1 (1 + r ')n −2 + L + Qn −1 (1 + r ') + Qn
(1 + r )
^ n
donde, r^ sería la tasa de retorno reformulada ≠r y ≠r’.
El valor que tome r^ depende del valor de r, porque el cociente tiene que ser = A, para que el resultado
sea =0
Sir ' > r ⇒ r ^ > r
Sir ' < r ⇒ r ^ < r
Sir ' = r ⇒ r ^ = r
Ejemplo:
Sea la inversión A. Suponiendo la tasa de reinversión del 20%.
8.000(1,2 ) + 4.000(1,2 ) + 5.000
2
0 = −10.000 +
x3 =
(1 + r ^ )
3
(
)
⇒ sup onemos 1 + r ^ = x ⇒ 10.000 x 3 = 21.320
21.320
= 2,132 ⇒ x 3 = 3 2,132 = 1,287 ⇒ r ^ = x − 1 = 0,287
10.000
D.- DEPENDENCIA DE LOS PROYECTOS DE INVERSIÓN.
Ambos criterios consideran independientes los proyectos de inversión propuestos, es decir, se están
negando las posibles relaciones entre los proyectos de inversión, por ejemplo, financiamos un proyecto
con flujos positivos de caja de otro proyecto.
Hemos de tener en cuenta que las inversiones no están aisladas y que repercuten sobre todo el sistema
operativo de la empresa. Esto se soluciona mediante la programación de inversiones y que, como
herramienta, utiliza la programación lineal.
20
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (I)
3.3.3. INCONVENIENTES EXCLUSIVOS DEL VC
A.- EL VC PUEDE CONDUCIR A DECISIONES ERRÓNEAS CUANDO SE COMPARAN
PROYECTOS DE INVERSIÓN QUE TIENEN DIFERENTE DESEMBOLOSO INICIAL.
Ejemplo:
PI 1
PI 2
A= 8.000
A=18.000
VC=3.000
VC=6.000
Elegiríamos el PI 2, porque el VC es mayor. Pero el desembolso inicial es más del doble, por ello, la elección es errónea.


Para resolver este problema utilizamos el índice de rentabilidad: IR =  A 


VC
n
− A+
IR1 =
VC1
=
A1
∑ (1 + K )
j =1
A
Qj
n
Qj
j
=
3
y
8
IR2 =
VC 2
=
A2
− A+∑
j =1
(1 + K ) j
A
=
6
18
Como IR1 > IIR2 elijo el PI 1 y evito una decisión errónea.
n
El Índice de Rentabilidad se define como: IR =
Qj
∑ (1 + K )
j =1
j
A
Plantea el problema de que sólo aquella parte de la rentabilidad que supere la unidad es rentabilidad en
sentido estricto, porque el resto, es recuperar la inversión. Para evitar este problema lo reformulamos
n
como IR =
Qj
∑ (1 + K )
j =1
A
j
−1
B.- EL VC PUEDE CONDUCIR A DECISIONES ERRÓNEAS CUANDO SE COMPARAN
PROYECTOS DE INVERSIÓN QUE TIENEN DIFERENTE DURACIÓN.
Ejemplo:
PI 1
PI 2
duración = 2 años
duración = 18 años
VC = 3.000
VC = 6.000
Elegiríamos el PI2, porque el VC es mayor. Pero la duración es mucho mayor, por ello, la elección es errónea.
Para resolver este problema utilizamos el Método del Coste Anual Equivalente
Coste anual equivalente:
CAE =
VC
 (1 + K )n − 1 


 K (1 + K )n 


3.3.4. COMPARACIÓN DE CRITERIOS CLÁSICOS: EL VALOR CAPITAL Y LA
TASA DE RETORNO.
El Valor Capital mide la rentabilidad en términos absolutos, mientras que la Tasa de Retorno nos
propone una medida de la rentabilidad en términos relativos.
Vamos a ver una jerarquización de los criterios para nuestro ejemplo.
21
Dirección Financiera I
Proyecto
FNC
FCMA
P-B
VC
TR
A
B
C
D
E
F
3
1
4-5
2
4-5
6
2
4
1
5
6
3
1-2-3
4
1-2-3
6
5
1-2-3
2
3
4
1
5
6
1
2
3
4
5
6
CONCLUSIÓN; en cuanto a los precriterios, no hay ninguna relación.
Comparamos VC y TR. Según el criterio del VC y de la TR, los PI se aceptan o se rechazan. Para el
VC se rechaza el PI F y en la TR se rechaza también, Para este ejemplo coinciden en los rechazados y
no coinciden en la jerarquización por muy poco, por el PI D.
Vamos a compararlos en función de:
1) En cuanto a la aceptación o rechazo del PI.
2) En cuanto a la jerarquización de una lista de PI.
Para ello hemos de definir:
•
PROYECTO DE INVERSIÓN SIMPLE
Es aquel cuyo desembolso inicial es positivo y todos sus flujos son positivos o nulos.
A < 0, Qj ≥ 0, j = i, …, n.
•
PROYECTO DE FINANCIACIÓN SIMPLE
Es aquel que tiene un desembolso inicial negativo y todos sus flujos son negativos (no es un
proyecto de inversión).
A > 0, Qj < 0.
•
PROYECTO DE INVERSIÓN NO SIMPLE
Es aquel cuyo desembolso inicial es positivo y alguno de sus flujos es negativo.
Para hacer la comparación entre los dos criterios, vamos a estudiar solamente los proyectos de

n


j =1

inversión simples, que además sean viables  A < ∑ Q j 
1.- EQUIVALENCIA DE LOS CRITERIOS VC Y TR EN LA CAPTACIÓN O RECHAZO DE PI
SIMPLE.
Si tenemos un PI simple y es aceptado (rechazado) por la TR, también es aceptado (rechazado) por el
VC y viceversa.
Demostración (gráficamente). V .C. = − A +
Q1
Q2
Qn −1
Qn
+
+L+
+
= F (K )
2
n
−
1
(1 + K ) (1 + K )
(1 + K )
(1 + K )n
Regla de los signos de descartes: toda ecuación de grado n, puede tener tantas raíces positivas
como cambios de signo.
Como hay un cambio de signo, esa ecuación puede tener como mucho una raíz positiva, y además, en
nuestro, caso la tiene, porque exigimos a nuestras inversiones que sean viables.
22
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (I)
Figura T.1
n
− A+
∑Q
J
j =1
VC=f(K)
VC>0
R<k
K
R>k
R=k
VC<0
A
Si K > 0 ⇒ VC = − A + ∑ j =1 Q j
n
VC = 0 ⇒ r = K.
ASÍNTOTAS:
K → ∞ ⇒ VC → -A (porque Qj→ 0).
K → -1 ⇒ VC → ∞. (porque Qj/(1+K)n→ 0)
No tiene significado económico porque K sólo puede tener valores positivos.
CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO,
VC ' =
−Q1
2Q2
−
− L < 0 Decreciente (1>K<∞)
(1 + K ) (1 + K )2
CONCAVIDAD, CONVEXIDAD
VC ' ' =
2Q1
(1 + K )
3
+
6Q2
(1 + K )4
+ L > 0 Convexa (1>K<∞)
RESULTADO DEL CRITERIO
Aceptación
Rechazo
Indiferencia
TR
r>K
r<K
r=K
VC
VC > 0
VC < 0
VC = 0
Ambos criterios coinciden para aceptar o rechazar PI simples.
Analíticamente:
Qn
Q1
Q2
+
+L+
2
(1 + K ) (1 + K )
(1 + K )n
Qn
Q1
Q2
2) 0 = − A +
+
+L+
2
(1 + r ) (1 + r )
(1 + r )n
Si restamos ambas expresiones.
1) VC = − A +
I)-2) ⇒

1 
1
1
 1
VC = Q1 
−
−
 + Q2 
2
1+ k 1+ r 
(1 + r )2
 (1 + K )


1
1
 + L + Qn 
−

 (1 + K )n (1 + r )n






23
Dirección Financiera I
 (1 + r )2 − (1 + k )2 
 (1 + r )n + (1 + K )n 
 (1 + r ) − (1 + K ) 
VC = Q1 
+ Q2 
+
L
+
Q


n

2
2
n
n 
 (1 + K ) (1 + r ) 
 (1 + K ) (1 + r ) 
 (1 + K )(1 + r ) 
RESULTADO DEL CRITERIO
Aceptación
Rechazo
Indiferencia
TR
r>K
r<K
r=K
VC
VC > 0
VC < 0
VC = 0
2.- CONDICIÓN PARA QUE LOS CRITERIOS VC Y TR CONDUZCAN A LA MISMA
JERARQUIZACIÓN EN UN PI SIMPLE.
Tasa de Retorno sobre el coste de Fisher: si tenemos 2 PI Fisher denomina Tasa de Retorno sobre
el coste, a aquel tipo de actualización o descuento que iguala el VC de ambas inversiones.
Figura T.2
VCA= 0
VCA= f(K)
VCB= f(r)
VCB= 0
A intersección de Fisher
VCA= VCB
0
rF
rA
rB
Analíticamente:
VC1 = VC 2
− A+
Q1
+
Q2
(1 + rF ) (1 + rF )2
+L+
Qn
(1 + rF )
n
= − A'+
Q '1
de esta expresión obtenemos rF
Ejemplo: Sean los proyectos de inversión
PI 1 A = 50.000 Q1 = 65.000
PI 2 A = 100.000 Q1 = 120.000
K = 0,07
Calculamos el VC de 1 y de 2
VC 1 = 10.747,66 r1 = 30%
VC 2 = 12.149,53 r2 = 20%.
Calculamos rF
− 50.000 +
65.000
120.000
= −100.000 +
⇒ r = 0,10
(1 + rF )
(1 + rF ) F
Figura T3
24
+
Q' 2
(1 + rF ) (1 + rF )2
+L+
Q' n
(1 + rF )n
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (I)
VC=F(K)
Según el criterio del VC es preferible el PI 2 Los criterios coinciden para K=rF.
GENERALIZANDO: si tenemos una lista de oportunidades de inversiones simples, la condición
suficiente para que los criterios VC y TR conduzcan a la misma jerarquización, es que en el primer
cuadrante no exista ninguna intersección de Fisher
Figura T4
Preferible el PI A
Esta condición suficiente no es necesaria, pues aún existiendo intersección de Fisher en el primer
cuadrante, ambos criterios conducen a la misma jerarquización siempre que el Coste de Capital sea
superior a la Tasa de Retorno, sobre el Coste de Fisher. K > rF
HAY 2 CASOS PARTICULARES:
1) Existen varias intersecciones de Fisher en el primer cuadrante.
En este caso siempre hemos de mirar la Tasa de Retorno.
r1>r2. Hay que realizarlo intervalo a intervalo.
25
Dirección Financiera I
Si C < K < r f 1 ⇒ VC1 > VC 2 elegimos 2 (coinciden)
Si r f 1 < K < r f 2 ⇒ VC 2 > VC1 elegimos 1 (coinciden)
Si r f 1 < K ⇒ VC 2 > VC1 elegimos 2 (coinciden)
2) Múltiples inversiones.
En este supuesto nos encontramos con una intersección de Fisher en el primer cuadrante, pero para
múltiples inversiones
Se comparan 2 a 2
3.4 EL PROBLEMA DE LA INCONSISTENCIA EN EL CRITERIO
DE LA TASA DE RETORNO: INVERSIONES PURAS Y
MIXTAS.
PROBLEMA 2 inconsistencia de la tasa de retorno.
Suponga que acaba de obtener el grado de Licenciado en Administración y Dirección de Empresas, y es contratado por la
empresa PEPITO, S.A. para hacerse cargo de la Dirección Financiera de la empresa. El Sr. Pepe, Director General, le
pide que determine la rentabilidad relativa del siguiente proyecto de inversión, cuyas cantidades aparecen en millones de
euros. Desembolso inicial 6.000 y dos flujos de caja, el primero 10.000 y el segundo -10.000.
Nota: El Sr. Pepe no entiende de Finanzas, luego le tiene que explicar usted el resultado obtenido.
1.
Partimos de la tasa de retorno que es aquella que iguala a 0 el valor capital. 0 = −6000 +
2.
Denominamos (1+r) = X y sustituimos en la ecuación anterior 0 = −6000 +
26
10000 10000
−
(1 + r ) (1 + r )2
10000 10000
−
X
X2
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (I)
3.
Despejamos. 0 = −6000 X 2 + 10000 X − 10000
4.
Reducimos para operar más fácilmente. 0 = −6 X 2 + 10 X − 10
5.
Reducimos nuevamente. 0 = −3 X 2 + 5 X − 5
6.
Estamos en un sistema de ecuaciones de segundo grado, luego aplicamos la fórmula. x =
7.
Sustituimos los valores.
8.
9.
− 5 ± 2 5 2 − 4(− 3 − 5)
X=
2(− 3)
Reducimos para operar más fácilmente.
− 5 ± 2 25 − 60
X=
−6
2
El resultado obtenido es.
X =
− b ± 2 b 2 − 4ac
2a
5 ± 35
6
10. Por lo que tendremos dos valores para x (x = + 0,15267996 y x =- 1,81934663):
11. Como (1+r) = x, sustituimos
x = (1 + r )
r = x −1
r = 1,81934663 − 1 = 0,81934663
12. DE LO QUE SE DEDUCE CLARAMENTE LA INCOSISTENCIA DE LA TASA DE RETORNO
La Tasa de Retorno surge de la siguiente expresión 0 = − A +
Q1
Q2
Qn
+
+L+
2
(1 + r ) (1 + r )
(1 + r )n
Toda ecuación de grado n tiene n raíces, por tanto, pueden existir dos o más tasas de retorno positivas,
o que las raíces fueran imaginarias. Esto no tiene que ver con el concepto intuitivo que todos tenemos
del tipo de interés, por eso, decimos que la Tasa de Retorno es inconsistente.
¿Para qué inversiones este criterio se considera inconsistente? Esto es difícil de responder. Lo
sustituiremos por ¿para qué tipo de inversiones no existe este problema?
Sea un proyecto de inversión simple, vamos a ver que éstas no tienen problema de inconsistencia.
0 = −A +
Q1
+
Q2
(1 + r ) (1 + r )2
+L+
Qn
(1 + r )n
En esta ecuación aplicamos la regla de Descartes y vemos que como máximo, puede haber una raíz

n


j =1

positiva. Si además exigimos que  A < ∑ Q j  podemos calcular que todo proyecto de inversión simple
que cumpla esta condición, tiene una única y significativa Tasa de Retorno y, por tanto, no tiene
problema de inconsistencia.
Las que tienen problema de inconsistencia son las inversiones no simples, pero no necesariamente
todas. Para ver cuáles hemos de redefinir los PI en función de su saldo.
Sea el siguiente PI
A
Q1
Q2
…
Qj
…
Qn
0
1
2
…
j
…
n
TR ⇒ r
Calculamos la relación entre la empresa y el PI. Calculamos los saldos del PI de la empresa.
27
Dirección Financiera I
S0 = − A
S1 (r ) = − A(1 + r ) + Q1
S 2 (r ) = − A(1 + r )2 + Q1 (1 + r ) + Q2
Definimos el saldo de un PI en el momento t, como:
S t (r ) = − A(1 + r )t + Q1 (1 + r )t −1 + L + Qt −1 (1 + r ) + Qt ⇒ ∀t → 0 ≤ t ≤ n
S n (r ) = − A(1 + r )n + Q1 (1 + r )n −1 + L + Qn −1 (1 + r ) + Qn
Dividimos todo entre (1+r)n
S n (r )
(1 + r )
n
= −A +
Q1
Q2
Qn
+
+L+
= 0 ⇒ es _ la _ definición _ de _ la _ TR ⇒ S n (r ) = 0
2
(1 + r ) (1 + r )
(1 + r )n
INTERPRETACIÓN
La Tasa de Retorno es la rentabilidad relativa que proporciona un PI, de tal manera, que el saldo
del PI con la empresa al final del periodo sea nulo. En principio, la empresa pone a disposición del PI
A unidades monetarias, que el proyecto le va devolviendo paulatinamente a través de los flujos de caja
hasta que el saldo sea 0.
3.4.1. RELACIÓN ENTRE EMPRESA, PROYECTO Y SALDO 0.
A
Mercado
de P.I.
A
EMPRESA
Q1
Proceso inversor: r
Mercado
Financiero
Amortización Financiera:
dividendos, intereses
Proceso financiero: K
La empresa obtiene una cantidad de fondos “A” del mercado financiero. La empresa acude al mercado
de PI y realiza un proyecto por un montante de A. La empresa invierte porque espera la sucesión de los
flujos de Caja (QJ)
En el marcado financiero esperan la amortización financiera a través de dividendos (acciones) o
intereses. La rentabilidad de los inversores es un coste para la empresa, por eso, los procesos de
financiación se valoran al coste de capital (K).
Nos fijamos en la relación empresa-mercado de inversiones. Existe una relación entre la empresa y el
PI, y existe un saldo de esa relación que podrá ser positivo, negativo o nulo.
•
•
Si el saldo final del PI es negativo: El PI está endeudado con la empresa
Si el saldo final del PI es positivo: la empresa recibió del PI una cantidad de unidades
monetarias superior a la entregada, por esto, la empresa está endeudada con el proyecto.
Teniendo en cuenta esto, vamos a redefinir las inversiones de forma intuitiva.
3.4.2. CLASIFICACIÓN DE LOS PROYECTOS DE INVERSIÓN EN FUNCIÓN DE
SUS SALDOS.
A.- PROYECTO DE INVERSIÓN PURO.
Gráficamente:
28
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (I)
Es un proyecto puro.
La empresa transfiere en el momento inicial “A” unidades monetarias. En el siguiente periodo, el
proyecto empieza a devolver a la empresa unidades monetarias a través de los flujos de caja, de tal
forma que, los saldos se van haciendo cada vez más pequeños en valor absoluto, hasta el momento n,
en el que el saldo es 0.
Todos los proyectos de inversión que cumplan esta condición son puros.
P.I . puro ⇔ S t (r ) ≤ 0, S n (r ) = 0......∀t = 1, L , n − 1
B.- PROYECTO DE INVERSIÓN MIXTO.
Podría darse el caso de que, siendo el primer saldo –A en el momento inicial, que éste fuera
disminuyendo hasta llegar a un periodo en que el saldo es positivo y al final del horizonte temporal
“n”, el saldo se anula.
Gráficamente.
Es un proyecto mixto.
En estos proyectos de inversión tenemos una mezcla de:
– Procesos de inversión → saldo negativo o nulo
– Procesos de financiación → saldo positivo.
Por eso, a estas inversiones se las denomina como mixtas
Todos los proyectos de inversión que cumplan esta condición son mixtos.
29
Dirección Financiera I
P.I .mixto ⇔ S t (r ) > 0, S n (r ) = 0......∀t = 1, L , n − 1
3.4.3. CONSTRUCCIÓN DE LOS SALDOS DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN.
A.- PROYECTO DE INVERSIÓN PURO.
S 0 (r ) = − A
S1 (r ) = S 0 (r )(1 + r ) + Q1 = − A(1 + r ) + Q1
S 2 (r ) = S1 (r )(1 + r ) + Q2 = − A(1 + r )2 + Q1 (1 + r ) + Q2
L
S t (r ) = S t −1 (r )(1 + r ) + Qt = − A(1 + r )t + Q1 (1 + r )t −1 + L + Qt −1 (1 + r ) + Qt
L
S n (r ) = S n −1 (r )(1 + r ) + Qn = − A(1 + r )n + Q1 (1 + r )n −1 + L + Qn −1 (1 + r ) + Qn = 0
B.- PROYECTO DE INVERSIÓN MIXTO.
Cuando el saldo sea negativo, capitalizamos a la tasa de retorno [multiplicamos por (1+r)], y sumamos
el flujo correspondiente
Si L S t (r , K ) ≤ 0 ⇒ S t +1 (r , K ) = S t (r , K )(1 + r ) + Qt +1
Cuando el saldo sea positivo, es decir, el proyecto sea de financiación, la empresa está endeudada con
el proyecto.
El flujo siguiente será igual al anterior capitalizando y sumando el flujo correspondiente.
Si L S t (r , K ) > 0 ⇒ S t +1 (r , K ) = S t (r , K )(1 + K ) + Qt +1
Ahora ya podemos contestar a ¿para qué PI la tasa de inversión es inconsistente?
3.4.4. RELACIÓN K y “r” SEGÚN LOS SALDOS DEL PROYECTO DE INVERSIÓN.
A.- PROYECTO DE INVERSIÓN PURO.
Sea un proyecto de inversión puro, sabemos que el primer saldo es negativo, y los saldos posteriores,
por definición, son todos negativos o nulos, y el último Sn(1+r)=0:
S0 < 0
S t (r ) ≤ 0 → ∀t / 0 < t < n − 1
S n (r ) = S n −1 (r )(1 + r ) + Qn = 0
lo que se observa aquí es que la Tasa de Retorno no depende de K, es decir, es una función constante
independiente de K y corta a la recta r=K en un solo punto
R
R=K
R= constante, independiente de K
0
K0
K
Este punto K0 es la única raíz de la ecuación de la Tasa de Retorno [VC(r)=O]. Por tanto, es la única
tasa de descuento que anula el VC. Por tanto, existe una única y significativa TR y éste criterio no
tiene ningún problema de inconsistencia (es consistente).
B.- PROYECTO DE INVERSIÓN MIXTO.
30
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (I)
S0 = − A < 0
S t (r ) > 0
S t +1 (r , K ) = S t (r )(1 + K ) + Qt +1 → S n (r , K ) = 0
VC(r)
0
K0
K
Por definición tiene que existir un saldo positivo St(r)>o, y a partir de aquí, todos los saldos posteriores
dependen de r y K, incluido el último que sabemos que es 0.
En los proyectos de inversión mixtos la TR es una función del coste de capital, u al no recoger el
criterio de la TR, este aspecto se muestra inconsistente. No es útil para determinar la rentabilidad del
S n (r , K ) = 0 ⇒ r = F ( K )
proyecto.
3.4.5. CLASIFICACIÓN DE LOS PROYECTOS DE INVERSIÓN.
FLUJOS
SIMPLES
NO SIMPLE
SALDOS
PURO
MIXTO
1.- Todo proyecto de inversión simple es puro. Para demostrar esto, se puede hacer por reducción al
absurdo. Todos los PI simples son puros, porque no tienen problema de inconsistencia.
2.- Todos los proyectos de inversión mixtos son no simples. Lo sabemos por reducción al absurdo y se
puede comprobar intuitivamente.
3.- No toda inversión no simple es mixta. Puede ser pura.
4.- No todo proyecto puro es simple.
Nuestro problema es determinar r
1.- Si el proyecto de inversión es simple, es puro, y la TR es consistente ya que VC(r)=0, despejamos r
y ya está la solución.
2.- Si el proyecto de inversión es no simple, tenemos el problema de saber si es puro o mixto. Miramos
si tiene algún signo negativo. Esto implica que debo conocer el signo de los saldos y dependen de r.
Sería un círculo vicioso, y lo solucionamos con la TASA DE RETORNO CRÏTICA, que nos permite
saber el signo de los saldos.
3.5 PROPUESTA
DE
INCONSISTENCIA.
SOLUCIÓN
AL
PROBLEMA
DE
Antes de introducir el concepto de TR Crítica, vamos a estudiar la relación que existe entre la TR (r) y
el Saldo de un PI: demostrar que existe una relación inversa entre la TR y el Saldo de un PI.
Dado un PI, su saldo es St(r)
S t (r ) = − A(1 + r ) + Q1 (1 + r )
t
t −1
+ L + Qt −1 (1 + r ) + Qt
31
Dirección Financiera I
DEMOSTRAR:
1.- Siempre existe un valor de r/St(r)≤0 para todo 0<t<n, o lo que es lo mismo:
− A(1 + r ) + Q1 (1 + r )
t
A(1 + r ) > +Q1 (1 + r )
t
t −1
t −1
+ L + Qt −1 (1 + r ) + Qt ≤ 0
+ L + Qt −1 (1 + r ) + Qt
Qt −1
Qt
Q1
+L+
+
t −1
(1 + r )
(1 + r )
(1 + r )t
Qt −1
Qt
Q1
+L+
+
→0
r →∞⇒
t −1
(1 + r )
(1 + r )
(1 + r )t
A>
Y por tanto A≥0 (porque al calcular el límite todos los cocientes son 0). Queda demostrado.
De esta definición se desprenden dos colorarios:
COLORARIO I: Existe una relación inversa entre la TR y el saldo de un PI.
COLORARIO II: Dado un PI, siempre existirá un valor de r que anule a cualquier saldo intermedio.
3.5.1. DEFINICIÓN DE LA TASA DE RETORNO CRÍTICA.
Es el menor valor de r que, anulando a un saldo intermedio cualquiera, hace negativos o nulos a los
demás saldos intermedios, y al saldo final, lo podrá hacer positivo, negativo o nulo.
3.5.2. CÁLCULO DE LA TASA DE RETORNO CRÍTICA.
La vamos a calcular en tres pasos.
1.- ESCRIBIR LOS SALDOS INTERMEDIOS.
S1 (r ) = − A(1 + r ) + Q1
S 2 (r ) = − A(1 + r ) + Q1 (1 + r ) + Q2
2
L
St (r ) = − A(1 + r ) + Q1 (1 + r ) + L + Qt −1 (1 + r ) + Qt
t −1
t
L
S j (r ) = − A(1 + r ) + Q1 (1 + r )
j
j −1
+ L + Q j −1 (1 + r ) + Q j
L
S n −1 (r ) = − A(1 + r )
n −1
+ Q1 (1 + r )
n−2
+ L + Qn − 2 (1 + r ) + Qn −1
2.- PARA TODOS LOS SALDOS INTERMEDIOS HAY UN VALOR “r” QUE LOS ANULA.
S t (r ) > 0 ⇒ (condicionII ) ⇒ ∃rct / S t (rct ) = 0 ⇒ (condiciónI ) ⇒ r < rct
rct: valor que anula el saldo
r: valor que aumenta el saldo.
S t (r ) < 0 ⇒ (condicionII ) ⇒ ∃rct / S t (rct ) = 0 ⇒ (condiciónI ) ⇒ r > rct
rct: valor que anula el saldo
r: valor que hace el saldo negativo.
3.- BUSCAR EL MENOR DE LOS rc QUE HACE NEGATIVOS O NULOS A LOS OTROS
SALDOS.
32
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (I)
S1 (rc1 ) = 0 ⇒ rc1
S 2 (rc 2 ) = 0 ⇒ rc 2
L
S t (rct ) = 0 ⇒ rct
( )
S j rcj = 0 ⇒ rcj
S n −1 (rcn−1 ) = 0 ⇒ rcn −1
3.5.3. UTILIZACIÓN DE LA TASA DE RETORNO CRÍTICA.
La utilizamos para saber si un PI es puro o mixto, para lo que sustituyo rc en el último saldo.
Si S n (r ) ≥ 0 ⇒ (condicion _ II ) ⇒ r ≥ rc ⇒ (condición _ I ) ⇒ S t (r ) ≤ 0 el PI es PURO
Si S n (r ) < 0 ⇒ (condicion _ II ) ⇒ r < rc ⇒ (condición _ I ) ⇒ S t (r ) > 0 el PI es MIXTO
Hemos demostrado que si tengo un PI y no sé si es puro o mixto, ahora sé que si calculo rc y lo
sustituyo en el último saldo, si >0 es mixto y si es ≤0 es puro
DIAGRAMA DE FLUJO
COMENZAR
A, Qi
NO SIMPLE
Qi >0
∀ i=1,…,n
∀ i=1,…,n
SIMPLE
rc
Sn(rc)≥0
PURO
S t (r , K ) > 0 ⇒ S t +1 (r , K ) = S t (r , K )(1 + K ) + Qt +1
S t (r , K ) < 0 ⇒ S t +1 (r , K ) = S t (r , K )(1 + r ) + Qt +1
Sn(r,K)=0
VC(r)=0
R=f(K)
r
PROBLEMA 3
La empresa ESTUDIANTES, S.A. se plantean llevar a cabo un proyecto de inversión que durará los tres años que estiman
tardan en terminar la Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas. Los fundadores de ESTUDIANTES. S.A.
no quieren revelar las características de su proyecto. Pero como no saben calcular la rentabilidad absoluta y relativa del
proyecto piden a un compañero de un curso superior que les determine las mencionadas rentabilidades. Para ello estiman
que en millones de euros el desembolso será 4, y los flujos de caja de los tres años son 7, -2 y 3 respectivamente.
Nota: Preguntados los fundadores sobre el coste del capital, indican que este es del 10%.
1.
Partimos de los datos que nos proporciona el enunciado del problema (en millones de euros).
33
Dirección Financiera I
A=4
Q1 = 7
Q 2 = −2
Q3 = 3
K = 0,1
2.
Calculamos la rentabilidad absoluta (V.C.) y la rentabilidad relativa ( T.R)
VC = −4 +
0 = −4 +
3.
7
−
2
3
+
(1,1) (1,1)2 (1,1)3
= 2,965
7
2
3
−
+
⇒ (1 + r ) = x = 0,45 → no.simple
2
(1 + r ) (1 + r ) (1 + r )3
Como el proyecto de inversión no es simple, al tener un flujo negativo, tenemos que hallar rc
Saldos intermedios
S1 (rc1 ) = −4(1 + rc1 ) + 7 = 0 ⇒ rc1 = 0,75
S 2 (rc 2 ) = −4(1 + rc 2 )2 + 7(1 + rc 2 ) − 2 = 0 ⇒ rc 2 = 0,39
4.
La mínima es 0,39, probamos S1 (0,39 ) = −4(1 + 0,39 ) + 7 = 1,44 > 0 ⇒ no _ es _ rc
Probamos con 0,75 S 2 (0,75) = S1 (0,75)(1 + 0,75) − 2 = −2 < 0 ⇒ si _ es _ rc
Sustituimos en el último saldo S 3 (0,75) = S 2 (0,75)(1 + 0,75) + 3 = −0,52 < 0 ⇒ MIXTO
calculamos los saldos del PI.
S 1 (r ) = [− 4(1 + r ) + 7] > 0
[
]
S 2 (r ) = − 4(1 + r ) + 7(1 + K ) − 2 < 0
2
[
]
S 3 (r , K ) = − 4(1 + r ) + 7(1 + K ) − 2(1 + r ) + 3 = 0
(1 + r ) = x
3
2
− 4,4 x 2 + 5,7 x + 3 = 0
x = 1,31
r = x − 1 = 0,31 = 31% ⇒ r < rc
S1(r)=-4(1+r)+7
S1(r)≤0
S2(r)= S1(r)(1+r)-2
S2(r)≤0
S3(r)= S2(r)(1+r)+3=0
NO ES POSIBLE
S2(r)> 0
S3(r)= S2(r)(1+k)+3=0
NO ES POSIBLE
S1(r)> 0
S2(r)= S1(r)(1+K)-2
S2(r,K)≤0
S3(r,K)= S2(r,K)(1+r)+3=0
SI ES POSIBLE
S2(r,K)> 0
S3(r,K)= S2(r,K)(1+k)+3=0
NO ES POSIBLE
PROBLEMA 5
El asesor financiero de la empresa DEFSA se enfrenta con el problema de tener que decidir cuál de las dos inversiones
expuestas a continuación es preferible según los métodos de valoración del plazo de recuperación, tasa de retomo y valor
actual neto (VAN):
34
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (I)
INVERSIÓN / AÑO
Año 0
Inversión A
-37.316
Inversión B
-20.000
Hasta el momento se desconocen las fuentes financieras implicadas en
coste.
Año 1
Año 2
47.228
7.000
10.000
27.000
la inversión elegida, por lo que se desconoce su
Nota: Cantidades en millones de euros.
P. I.
Inversión A
Inversión A
Año 0
-37.316
-20.000
Año 1
47.228
10.000
Año 2
PAYBACK
7.000
27.000
TIR
1
2
VAN
39,965%
43,849%
PLAZO DE RECUPERACIÓN
1.
2.
PI _ A → 47.228 > 37.316 ⇒ 1 _ año
PI _ B → 10.000 < 20.000 ⇒ (27.000 + 10.000) > 20.000 ⇒ 2 _ años
TASA DE RETORNO
PI_A: 0 = −37316 +
47228
7000
+
⇒ (1 + r ) = x ⇒ x = 1,39964 ⇒ r = 0,39964
(1 + r ) (1 + r )2
PI_B: 0 = −20.000 +
10.000 27.000
+
⇒ (1 + r ) = x ⇒ x = 1,4385 ⇒ r = 0,4385
(1 + r ) (1 + r )2
VALOR CAPITAL
Desconocemos el coste de capital. Intersección de Fisher: Tasa de Retorno sobre el coste de Fisher VC1=VC2
− 37316 +
47228
7000
10.000
27.000
+
= −20.000 +
+
2
(1 + rF ) (1 + rF )
(1 + rF ) (1 + rF )2
⇒ (1 + rF ) = x
0 = 17.316 x 2 − 37.228 x + 20.000
X=1,0518
rF1=
0,0518
rF2=
0,00981
2 intersecciones
X=1,0981
VC
17.000
16.912
-VCB
-VCA
0
rF1
rF2 rA
rB
R
K < rF 1 ⇒ K < 0,05 ⇒ B > A ↓⇒ VCB > VC A ⇒ mejor _ PI _ B
rF1 < K < rF 2 ⇒ 0,05 < K < 0,1 ⇒ VC A > VC B ⇒ mejor _ PI _ A
rF 2 < K ⇒ 0,1 < K ⇒ VC B > VC A ⇒ B > A ⇒ mejor _ PI _ B
35
Dirección Financiera I
3.6 LA SOLUCIÓN DE MERRET Y SYKES.
Es otra alternativa para resolver el problema de inconsistencia que presenta la TR en algunos casos (es
más sencillo que la tasa de retorno crítica).
Si tenemos un proyecto de inversión mixto, donde la tasa de retorno (r) sale de igualar a 0 el último
saldo y despejar r que es f(K), lo que vamos a hacer es transformar este proyecto mixto en puro, cuya
tasa de retorno r coincide con la rentabilidad relativa que proporciona la relación funcional del
proyecto mixto original.
Se distinguen 3 casos:
1.- CUANDO EL FLUJO O FLUJOS DE CAJA NEGATIVOS SEAN LOS ÚLTIMOS.
Por simplicidad suponemos n=3.
Sea un PI
A
Q1
Q2
Q3
0
donde Q3<0
1
2
3
a) Es un proyecto de inversión mixto porque Q3<0 y su saldo es:
S 3 = S 2 (1 + _ ) + Q3 = 0 ⇒ S 2 (r ) > 0 ⇒ proyecto _ de _ inversión _ MIXTO
>0
b) Transformamos el proyecto de inversión
A’=A
Q2’= Q2 +
Q1’= Q1
Q3
>0
(1 + K )
0
1
2
Actualizamos el flujo de caja negativo al periodo siguiente para ser compensado con el flujo de caja
positivo de ese periodo. Hemos utilizado K para actualizarlo porque es la empresa la que está
endeudada con el proyecto de inversión. Tenemos que demostrar que es puro, es decir, que todos los
flujos de caja son ahora positivos, y es por lo tanto un PI SIMPLE y PURO.
c) Falta demostrar que la TR del PI, puro, coincide con r=f(K), la rentabilidad relativa del PI mixto
original.
Saldos del PI Mixto
S0 = − A < 0
S1 (r ) = − A(1 + r ) + Q1 <= − A(1 + r ) + Q1 ⇒ S '1 = − A(1 + r ) + Q '1 < 0 → por _ ser _ puro
S 2 (r ) = S1 (r )(1 + r ) + Q2 > 0
S 3 (r , K ) = S 2 (1 + K ) + Q3 = 0
Calculamos la TR del PI PURO
Q '1
Q' 2
sustituyo _ las _' _ A' → A ⇒ Q'1→Q '
+
(1 + r ) (1 + r )2
Q3
Q' 2 +
Q1
Q' 2
Q1
1+ K)
(
0 = −A +
+
+
⇒ 0 = −A +
(1 + r ) (1 + r )2
(1 + r )
(1 + r )2
0 = − A'+
0 = −A +
0=
36
Q1
+
Q2
+
Q' 3
(1 + r ) (1 + r )2 (1 + r )2 (1 + K )
[− A(1 + r ) + Q1 ](1 + r ) + Q2 (1 + K ) + Q3
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (I)
2.- CUANDO EL FLUJO DE CAJA NEGATIVO ES INTERMEDIO.
Por simplicidad suponemos n=3.
Sea un PI
A
Q1
Q2
Q3
0
donde Q2<0
1
2
3
a) Es un proyecto de inversión es no simple porque Q2<0. No sé si es puro o mixto y no puedo saberlo
a menos que calcule rc, porque así el último saldo =0 y puedo sacarla (No lo veremos)
3.- CUANDO EL FLUJO DE CAJA NEGATIVO ES EL PRIMERO O LOS PRIMEROS
Cuando Qj<0 es el primer o primeros flujos, el PI es puro, porque la aplicación de la regla de los
signos de Descartes dice que hay una única raíz positiva, si los primeros flujos de caja son negativos, a
partir de así sólo sumamos. Si hubiera alguno positivo, sería el último.
37
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (II)
4.
VALORACIÓN DE INVERSIONES EN
CONDICIONES DE CERTIDUMBRE (II)
4.1 MÉTODO DEL COSTE ANUAL EQUIVALENTE
Se desarrolla para resolver el problema que presenta el VC cuando las inversiones tienen distinta
duración.
Por simplicidad, vamos a suponer que los cobros para ambas inversiones son los mismos. Esto se
puede generalizar a través del Flujo Anual Equivalente. De momento, vamos a estudiar la elección
entre bienes de equipo que cumplan la misma función, pero tienen un coste diferente, y la duración
también es distinta.
En este contexto, la simple aplicación del criterio del VC debidamente modificado, nos llevaría a
elegir aquel bien de equipo que tiene menos coste. Hablando más técnicamente, aquel cuyo valor
actualizado de los pagos, es menor. Ésta decisión pudiera ser errónea, siempre que el equipo cuyo
valor actualizado de los pagos (VAP) dure menos.
Por ello, para tomar una decisión, habría que tener en cuenta las futuras decisiones de reemplazo.
4.1.1. LA CADENA DE REMPLAZO.
Problema 6. ALCASA
Sea la empresa ALMACEN DE CALABAZAS, SA. (ALCASA) que necesita una máquina elevadora para descargar los
camiones que llegan al almacén. Para ello está estudiando elegir entre dos máquinas que cumplirían la misma función. La
máquina A cuesta menos que la B pero también dura menos. En concreto, la máquina A cuesta 50.000 euros, siendo su
duración de 3 años en los que hay que pagar unos gastos de mantenimiento de 12.000 euros anuales. De otra parte, la
máquina B, cuya duración es mayor de 4 años, tiene un coste de 60.000 euros y los gastos de mantenimiento que deben ser
pagados en cada uno de estos años es 10.000 euros. Para efectuar la elección se sabe que el coste del capital es del 10%.
Representamos gráficamente la secuencia de flujos
A
50
12
60
12
10
B
10
12
10
10
0
1
2
3
4
Hago un análisis basado en los pagos, ya que los cobros son iguales.
Calculo el Valor Actualizado de los Pagos.
12
12
12
+
+
= 79.842€.
1,1 (1,1)2 (1,1)3
10
10
10
10
VAPB = 60 +
+
+
+
= 91.699€.
2
3
1,1 (1,1)
(1,1) (1,1)4
VAPA = 50 +
¿Qué decisión tomamos? Compraría la máquina A, porque su VAP es menor. Sin embargo, esta decisión puede ser
errónea, porque aunque B tenga mayor VAP, dura un año más, luego podría interesar comprar B. Para tomar esta decisión,
debo ajustar el ciclo de la vida útil de ambas máquinas. Para ello existen dos métodos:
Método de igualación el ciclo de vida útil de las máquinas. Como el ciclo de la A es 3 años y el de la B 4 años, para
poder igualar deberíamos tomar 12 anos, en los que se consumirían 4 máquinas de A y 3 máquinas de B: Calculamos El
VAP en 12 años. Gráficamente
39
Dirección Financiera I
A
79.842
B
91.699
79.842
79.842
79.842
91.699
0
1
VAPA = 79.842 +
79.842
VAPB = 91.699 +
91.699
(1,1)
3
(1,1)
4
2
3
+
79.842
+
91.699
(1,1)
6
(1,1)8
+
4
79.842
(1,1)9
91.699
5
6
7
8
9
10
11
12
= 218.758
= 197.109
Sería preferible la B porque para 12 años el valor actualizado de los pagos es menor.
Conclusión: la solución adoptada anteriormente era errónea. Este método es sencillo, pero tiene un inconveniente, y es
que, en ocasiones, puede que el número elegido de periodos para igualar el ciclo de vida útil de ambas máquinas haga que
los cálculos resulten tediosos.
Método de Coste Anual Equivalente. Consiste en calcular un pago anual equivalente para cada año y que fuera
equivalente a la que tengo.
Primero lo calculamos para la máquina A
A
50
12
12
12
0
1
2
3
Trata de buscar otra corriente que se pagará cada año y que fuera equivalente a la que tengo.
(50, 12, 12, 12) = (0, x, x, x)
0
x
x
x
0
1
2
3
(79.842) = (0, x, x, x ) ⇒
x
x
x
1
1 
1
+
+
= x + 2 + 3 
2
3
(1,1) (1,1) (1,1)  1,1 1,1 1,1 
 (1,1)3 − 1 
 = 32.105
79.842 = x
3 
 0,1(1,1) 
Para la máquina B
B
60
10
10
10
10
0
1
2
3
4
0
y
y
y
y
0
1
2
3
4
(60, 10, 10, 10, 10) = (0, y, y, y, y)
B
40
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (II)
(91.699) = (0, y, y, y, y ) ⇒
y
+
y
y
+
+
y
(1,1) (1,1)2 (1,1)3 (1,1)4
1
1
1
1
= y  + 2 + 3 + 4
1
,
1
1,1
1,1
1,1





 (1,1)4 − 1 
 = 28.928
91.699 = x
 0,1(1,1)4 


Lo representamos
A
32.105
32.105
32.105
32.105
B
28.928
28.928
28.928
28.928
…
0
1
2
3
4
Mi decisión es B, porque el Coste Anual Equivalente de esta máquina es menor. La solución coincide con la obtenida
anteriormente.
Ambos métodos son dos maneras alternativas de tomar la decisión correcta. Sin embargo, ambos tiene un inconveniente y
es que parten de la hipótesis del horizonte temporal indefinido, pero puede que no siempre se necesite la máquina por un
largo periodo de tiempo. ¿Qué ocurre si el periodo de tiempo es más corto? Seguiremos el mismo ejemplo con 1 nuevo
supuesto.
Supuesto: supongamos que ALCASA conoce que al final del 5º año aparecerá en el mercado una nueva máquina con
tecnología superior. Ésta nueva máquina cumple las mismas funciones que A y B, pero cuesta bastante menos que A y que
B, y además, su coste de mantenimiento es muy inferior. ¿qué ocurrirá en este escenario?. Las máquinas A y B son
reemplazadas de manera inmediata y además su valor residual será nulo. Hay que calcular el valor actualizado de los
pagos hasta el 5º año
A
50
12
12
12+50
12
12
B
60
10
10
10
10+60
10
0
1
2
3
4
5
VAPA = 79.842 +
VAPB = 91.699 +
50
(1,1)
3
60
(1,1)
4
+
+
12
(1,1)
10
4
(1,1)5
+
12
(1,1)5
= 133.055
= 138.889
La decisión que tomo ahora es la de comprar la máquina A. Bajo esta nueva premisa, cambia la decisión, porque cuando
llega la de nueva tecnología, la máquina sólo se puede usar un año más, pero la B está casi nueva, la puedo usar 3 años
más, por tanto, la máquina B ha sido más perjudicada que la A
4.1.2. GENERALIZACIÓN DEL PROBLEMA DE LA CADENA DE VALOR.
Una decisión frecuente, consiste en reemplazar un equipo ya existente, por otro nuevo. Antes de
tomar la decisión de reemplazo hay que seguir unos pasos:
1.- Calcular el Coste Anual Equivalente del nuevo equipo
2.- Calcular el coste de mantener el equipo viejo un año más. Este coste tiene tres componentes:
El coste de oportunidad por no venderlo ahora.
El mantenimiento adicional.
El valor residual: valor por el que puedo vender el equipo viejo después de ser utilizado un año
más.
3.- Comparar el Coste Anual Equivalente del equipo nuevo y el Coste de mantener el equipo viejo un
año más.
–
–
–
41
Dirección Financiera I
Problema 7. TAXIMUEBLE.
La empresa TAXIMUEBLE tiene un camión para el transporte de muebles. Se plantea reemplazarlo por otro que cumplirá
la misma función pero cuyo coste es de 90.000 euros y requiere un mantenimiento de 10.000 euros. La vida útil se estima
en 8 años, siendo su valor residual 20.000 euros. De otra parte, el camión viejo requiere un mantenimiento mayor cada
año, y su valor residual cae como se muestra en el siguiente cuadro.
AÑO
COSTE ANTENIMIENTO
VALOR RESIDUAL
ACTUAL
25.000
1
30.000
25.000
2
10.000
15.000
3
15.000
10.000
4
24.000
0
Como se puede observar el camión viejo puede ser vendido por 25.000 euros, pero si se utiliza un año más, el coste de
mantenimiento se eleva a 30.000 euros, debido a que se ha de cambiar el motor, siendo el valor residual al final del año
siguiente 25.000 euros. En cualquier caso el camión no durará más de cuatro años. Sabiendo que el coste del capital es del
15%. ¿Cuándo se debe reemplazar el camión?.
90
10
10
10
10
10
10
10
10-20 (valor residual)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Coste anual equivalente:
 (1 + K )n − 1 


 K (1 + K )n 


 (1,15)8 − 1 
20
VAP
128,535
VAP = 90 + 10
−
= CAE =
⇒ CAE =
= 28.599
8 
2
8
8




(
0
,
15
)(
1
,
15
)
(
1
,
15
)
(
)
(
)
1
,
15
−
1
1
,
15
−
1




8 
8 
 (0,15)(1,15) 
 (0,15)(1,15) 
Coste de mantener el equipo viejo un año más:
Sería igual al coste de oportunidad + coste de mantenimiento - Valor residual
(+) coste de oportunidad = 25.000
(+) Coste de mantenimiento = 30.000
(-) Valor residual = 25.000
TOTAL = [25.000x(1+r)]+30.000-25.000 = 33.750
Comparar:
nuevo:
28.599
…
viejo
33.750
…
0
1
2
3
4
El coste anual equivalente del nuevo, es inferior al coste de mantener el equipo viejo un año más, por lo que, en principio,
podríamos optar por reemplazar el camión viejo, pero ésta decisión pudiera ser errónea, porque una vez que hubiéramos
decidido reparar el camión viejo, puede, y de hecho ocurre, que este camión continúe funcionando más años con unos
costes de mantenimiento inferiores.
Por ello, antes de tomar la decisión, debemos analizar qué ocurre con el equipo en el futuro, hasta un tercer o cuarto año.
Coste de mantener el equipo viejo un 2º año más:
(+) coste de oportunidad = 25.000
(+) Coste de mantenimiento = 10.000
(-) Valor residual = 15.000
TOTAL = 25.000(1,15)+10.000-15.000 = 23.750
42
nuevo:
28.599
28.599
viejo
33.750
23.750
…
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (II)
0
1
2
3
4
Vamos a homogeneizar el VAP nuevo y el viejo.
VAP(origen / nuevo) =
28.599 28.599
+
= 46.492
1,15
(1,15)2
33.750 23.750
VAP(origen / viejo ) =
+
= 47.306
1,15
(1,15)2
Para un periodo de dos años, el coste de mantener el equipo viejo es mayor que el coste de uno nuevo. Pero eso no quiere
decir que lo tenga que reemplazar.
Coste de mantener el equipo viejo un 3º año más:
(+) coste de oportunidad = 15.000
(+) Coste de mantenimiento = 15.000
(-) Valor residual = 10.000
TOTAL = 15.000(1,15)+15.000-10.000 = 22.250
nuevo:
28.599
28.599
28.599
viejo
33.750
23.750
22.250
0
1
2
3
…
4
Vamos a homogeneizar el VAP nuevo y el viejo.
VAP(origen / nuevo) = 46.492 +
VAP(origen / viejo ) = 47.306 +
28.599
(1,15)3
22.250
(1,15)3
= 65.296
= 61.936
El VAP es menor en el camión viejo que en el nuevo, pero tendría que analizar el cuarto periodo.
Coste de mantener el equipo viejo un 4º año más:
(+) coste de oportunidad = 10.000
(+) Coste de mantenimiento = 24.000
(-) Valor residual = 0
TOTAL = 10.000(1,15)+24.000-0 = 35.500
nuevo:
28.599
28.599
28.599
28.599
viejo
33.750
23.750
22.250
35.500
0
1
2
3
4
Vamos a homogeneizar el VAP nuevo y el viejo.
VAP(origen / nuevo) = 65.296 +
VAP(origen / viejo ) = 61.936 +
28.599
(1,15)4
35.500
(1,15)4
= 81.647
= 82.233
La decisión que podría tomar es la de reemplazar el camión en el periodo 3, porque en el cuarto periodo el coste de
mantenerlo es superior al de cambiarlo.
Para un periodo de 4 años es más interesante el nuevo, pero como no tengo ninguna restricción, lo que debo hacer es
utilizar el viejo hasta el tercer año y en el cuarto año utilizar el nuevo.
4.1.3. FLUJO ANUAL EQUIVALENTE.
Es una generalización del Coste Anual Equivalente.
43
Dirección Financiera I
Vamos a relajar la hipótesis de que 2 bienes de equipo cumplen la misma función. Ahora los cobros
dependen del bien de equipo elegido
Analizamos bienes de equipo o inversiones que tienen distinta duración, y el análisis se hace a través
del Flujo Anual Equivalente.
Sean dos inversiones:
PI 2 A’
Q’1
Q’2
PI 1 A:
Q1
Q2
0
1
2
Q’n
…
Qn
3
4
5
Igualamos las dos corrientes. La 1ª corriente es el VC y la igualamos a la que vamos a llamar Flujo
Anual Equivalente (FAE)⇒ VC = FAE
 (1 + K )n − 1
VC
⇒ FAE =
VC = FAE 
n 

(1 + K )n − 1
 K (1 + K ) 

n 
 K (1 + K ) 
 (1 + K )n ' − 1
VC '
VC ' = FAE ' 
⇒ FAE ' =
n' 

(1 + K )n' − 1
 K (1 + K ) 

n' 
 K (1 + K ) 
NORMA DE DECISIÓN: sería preferible aquel PI que tiene mayor Flujo Anual Equivalente.
En Nuestro ejemplo:
FAE A =
5.051,88
= 1.925,07
 (1,07 )3 − 1 

3
 0,07(1,07 ) 
5.617,5
FAE D =
= 1.178,53
 (1,07 )6 − 1 

6
 0,07(1,07 ) 
Elegimos la inversión A, que tiene una mayor FAE.
4.2 CONSIDERACIÓN DE LOS IMPUESTOS EN EL ANÁLISIS DE
INVERSIONES.
La actividad empresarial está gravada por distintos impuestos, lo que supone una disminución en la
rentabilidad de las inversiones.
Re ntabilidad Financiera =
Pasivo Neto
Fondos Pr opios
Sea un PIU cuyas magnitudes son:
A
Q1
Q2
…
Qj
…
Qn
0
1
2
…
j
…
n
Para considerar el efecto de los impuestos, podría pensarse que hay que redefinir los flujos de nuevo
Ejemplo: t (tasa impositiva)
44
Q' j (1 − t )
…
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (II)
Q' j (1 − t ) ⇒ VC = − A +
n
Q j (1 − t )
∑ (1 + K )
j =1
j
Sin embargo, los impuestos se calculan sobre el beneficio, es decir, sobre la corriente económica, no
sobre la financiera.
Sobre lo anterior 2 errores:
1) Estaríamos suponiendo que todos los cobros y pagos se realizan al contado.
2) Existen ciertos gastos imputables en términos fiscales que no suponen una salida de dinero,
siendo el más significativo la amortización (integrar en el proceso lo que me ha costado un bien
de equipo). Esto no significa que no tengamos en cuenta el coste de los bienes de equipo, sino
que si lo tenemos en cuenta, al principio.
4.2.1. PARA CONSIDERAR LOS IMPUESTOS.
Sea Tj la cantidad de unidades monetarias pagadas en el ejercicio j.
VC = − A +
Qj −Tj
Q − Tn
Q1 − T1
+L+
+L+ n
j
(1 + K )
(1 + K )
(1 + K )n
Se deduce que:
1.- Efecto de los impuestos en la rentabilidad: a mayor impuesto, menor rentabilidad (disminuyendo
los impuestos se reactiva la actividad económica).
2.- Efecto de la amortización en la rentabilidad: tipo de amortización utilizada
Bj = Ij – Gj (la amortización está incluida)
Si amortizo más, el beneficio de los primeros años será inferior, entonces la tasa del impuesto de
realiza en función del año anterior (disminuimos los impuestos, y podemos incrementar la
rentabilidad) Tj = tBj-1
En términos monetarios, ¿qué diferencia existe entre el pago a la Hacienda Pública que el pago a otra
empresa? No hay ninguna diferencia. Qj = Cj - Pj
4.3 EXISTENCIA DE INFLACIÓN.
Hasta ahora, para el cálculo del VC y de la TR no hemos tenido en cuenta la Tasa de Inflación (g).
Sea g la tasa de inflación, parece que esto nos llevaría a un ajuste de los flujos en los siguientes
términos:
Qj
Q' j =
Qj
(1 + g )'
(1 + g ) j por el efecto Fisher
∑
j
j =1 (1 + K )
n
⇒ VC = − A +
EFECTO FISHER: relaciona tipos de interés con tasa de inflación. Establece que los tipos de interés
nominales tienen:
– Tasa de retorno real requerida.
– Tasa de inflación (g)
De tal manera que:
(1 + i ) = (1 + r )(1 + g ) = 1 + r + g + rg ⇒ i = r + g + rg
A mayor infracción, mayores tipos de interés.
45
Dirección Financiera I
Si aplicamos el efecto Fisher podemos concluir que el coste de capital ya viene modificado por la
inflación, porque la inflación está incluida en los tipos de interés nominales,
Los cuales son la principal referencia para determinar el coste de capital de la empresa.
De tal manera, que el coste de capital cumple:
(1 + K ) = (1 + K r )(1 + g )
donde:
Kr: coste de capital en términos reales.
K: Coste de capital en términos nominales.
Qj
Qn
Q1
j
(1 + g ) + L + (1 + g ) + L + (1 + g )n ⇒ como(1 + K ) = (1 + g )(1 + K ) ⇒
VC = − A +
r
(1 + K r )
(1 + K r ) j
(1 + K r )n
VC = − A +
Q1
(1 + K )
+L+
Q1
(1 + K )
j
+L+
Q1
(1 + K )n
La existencia de inflación no modifica la expresión de VC y no modifica el VC para un coste de
capital dado. Por tanto, la expresión del VC está mal formulada, porque la inflación está corregida 2
veces (en las hojas de cálculo)
PROBLEMA 8: SACESA.
La empresa SALMANTINA DE CEMENTOS, S.A. (SACESA) desea conocer los flujos de caja de un
proyecto de inversión consistente en la compra de una maquinaria industrial para la fabricación de
derivados del cemento. Esta maquinaria será instalada en una nave industrial de su propiedad, que en
otro caso hubiera sido arrendada obteniendo una renta de 80.000 euros al año. La duración de la
máquina es de 5 años. Durante esos 5 años de actividad la empresa realizará unas ventas de
bovedillas, bloques, bordillos y otros productos menos comunes (como tubos y celosías), por los
importes que aparecen en el Cuadro 1. En el mismo Cuadro aparecen las compras necesarias para
producir los mencionados productos, principalmente arena y cemento, así como el resto de gastos que
se pagan al contado, donde se incluyen los gastos del personal. Las ventas a los clientes se realizan a
un plazo de dos meses con un porcentaje de impagados del 1%, mientras que SACESA obtiene un
plazo de pago de sus proveedores de tres meses. Asimismo, la tasa impositiva que debe pagar la
empresa es del 35%. Sabiendo que la maquinaria tiene un coste de 900.000 euros, la cuál será
amortizada según el método lineal.
Se desea conocer la rentabilidad absoluta y relativa del proyecto de inversión.
NOTA: El coste del capital de SACESA es del 10%.
Cuadro 1
AÑOS
0
1
2
3
4
5
VENTAS
3.200.000 3.400.000 3.700.000 4.000.000 4.100.000
COMPRAS
2.100.000 2.250.000 2.420.000 2.700.000 2.775.000
OTROS GASTOS
600.000 650.000 730.000 880.000 900.000
SOLUCIÓN.
1.
VENTAS.
Los importes ya los tenemos porque nos lo da el problema.
2.
COMPRAS.
Los importes ya los tenemos porque nos lo da el problema.
3.
OTROS GASTOS.
Los importes ya los tenemos porque nos lo da el problema.
4.
IMPAGADOS.
Según el enunciado, el importe de los impagados asciende al 1%.
Impagados t = 0,01 x ventas t
46
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (II)
5.
AMORTIZACIÓN.
El importe de la maquinaria es de 900.000 y la vida útil 5 años. La amortización se efectúa por el método lineal (importe
/ número de años de vida útil del bien).
Amortización t = 900.000 / 5 = 180.000 es igual todos los años.
6.
BENEFICIO.
El beneficio es igual a los ingresos menos los gastos.
Beneficio t = Ventas t – compras t – otros gastos t – amortización t – impagados t-1.
Respecto de los impagados, hay que matizar que como en principio las ventas se dan como un ingreso, los impagados
del periodo anterior debemos considerarlos como un gasto.
7.
IMPUESTOS.
El impuesto que se paga es el de sociedades, cuyo importe es el 35% sobre beneficio del año anterior.
I.S.S. t = 0,35 x Beneficio t-1.
8.
ALQUILER.
La nave no está alquilada, por tanto, ni pagamos alquiler ni lo cobramos, no constituye un gasto ni un ingreso
propiamente dicho, pero hemos de tenerlo en cuenta al evaluar la inversión por el coste de oportunidad que supone, ya
que la empresa podría alquilarla por importe de 50.000 €, según el enunciado del problema.
9.
COBROS.
Para evaluar los cobros hemos de tener en cuenta que a los clientes les concedemos un plazo de pago de 2 meses y
que existe un 1% de impagados.
Cobros t = 10/12 x (Ventas t – Impagados t) + 2/12 x (Ventas t-1 – Impagados t-1)
10. PAGOS.
Para evaluar los pagos hemos de tener en cuenta que los proveedores nos conceden un plazo de pago de 3 meses, y
que a aparte de las compras también hemos de pagar otros gastos.
El alquiler lo incluiremos *
Pagos t = [(9/12) x Compras t + (3/12) x Compras t-1] + Otros gastos t + alquiler t)
11. DESEMBOLSO INICIAL.
Viene determinado en el enunciado y hemos de incluirlo solamente en el periodo 0 y además con signo negativo.
12. FLUJOS DE CAJA.
Será en importe de los cobros menos los pagos.
13. COSTE DE CAPITAL.
Viene determinado en el enunciado 10%.
14. VALOR CAPITAL.
Lo calcularemos a través de la función VAN, corregida, ya que esta función considera los flujos de caja como rentas
financieras prepagables.
Valor capital = VAN (coste de capital, flujos) x (1+ coste capital)
15. FLUJOS AJUSTADOS.
No es una inversión simple ya que existe un flujo negativo (año 6), luego es mixta, por lo que tendremos que actualizar
los flujos para convertir de mixto a simple.
Flujos ajustados 1, 2, 3, 4 = Flujos obtenidos.
Flujo ajustado 5 = *.
CALCULAMOS LAS FÓRMULAS EN EXCEL.
AÑOS
VENTAS
COMPRAS
OTROS GASTOS
IMPAGADOS
AMORTIZACIÓN
BENEFICIO
IMPUESTOS
ALQUILER
COBROS
PAGOS
DESEMBOLSO INICIAL
FLUJOS DE CAJA
COSTE CAPITAL
VALOR CAPITAL
FLUJOS AJUSTADOS
TASA RETORNO
0
1
2
3
3.200.000 3.400.000 3.700.000
2.100.000 2.250.000 2.420.000
600.000
650.000
730.000
=C2*0,01
=900.000/5
=C2-(C3-C4+B5+C6)
=B7*0,35
=80.000
=((10/12)*(C2-C5))+((2/12)*(B2-B5))
=((9/12)-C3+(3/12)-B3)+C4+C9
-900.000
=B12+B10-B11
10%
=VNA(B14;B13:H13)*(1+B14)
=B13
=C13
=D13
=E13
=TIR(B16:G16)
4
4.000.000
2.700.000
880.000
=F13
5
4.100.000
2.775.000
900.000
6
=G13+((H13/(1+B14))
47
Dirección Financiera I
VALOR CAPITAL = VNA(Coste de capital; rango de datos)x(1+K)⇒VNA(B14;B13:H13)*(1+B14).
TASA DE RETORNO = TIR(Rango de datos) ⇒ TIR(B16:G16)
ARRASTRAMOS LAS FÓRMULAS HASTA COMPLETAR LA TABLA.
AÑOS
0
1
2
3
VENTAS
3.200.000 3.400.000 3.700.000
COMPRAS
2.100.000 2.250.000 2.420.000
OTROS GASTOS
600.000
650.000
730.000
IMPAGADOS
32.000
34.000
37.000
AMORTIZACIÓN
180.000
180.000
180.000
BENEFICIO
320.000
288.000
336.000
IMPUESTOS
0
112.000
100.800
ALQUILER
80.000
80.000
80.000
COBROS
2.640.000 3.333.000 3.613.500
PAGOS
2.255.000 2.942.500 3.187.500
DESEMBOLSO INICIAL
-900.000
FLUJOS DE CAJA
-900.000
385.000
390.500
426.000
COSTE CAPITAL
10%
VALOR CAPITAL
507.283
FLUJOS AJUSTADOS
-900.000
385.000
390.500
426.000
TASA RETORNO
31%
4
4.000.000
2.700.000
880.000
40.000
180.000
203.000
117.600
80.000
3.910.500
3.590.000
5
4.100.000
2.750.000
900.000
41.000
180.000
230.000
71.050
80.000
4.042.500
3.717.500
6
676.500
687.500
320.500
325.000
-11.000
320.500
315.000
80.500
4.4 PROGRAMACIÓN DE INVERSIONES.
Uno de los inconvenientes del VC es que no consideraba la interrelación entre los diferentes PI.
Para resolver este inconveniente vamos a utilizar la programación de inversiones. Por tanto, el
objetivo va a ser resolver la rentabilidad de un conjunto de PI mediante la aplicación de la
programación matemática, principalmente de la programación lineal (métodos de optimización).
Se trata de determinar que PI se va a llevar a cabo y en qué proporción se va a realizar, para que la
rentabilidad sea máxima con la condición de que se cumplan una serie de restricciones técnicas y
financieras.
En definitiva, la función objetivo va a ser maximizar la rentabilidad absoluta, que vamos a medir por el
VC, de tal manera que determinaremos la combinación de Proyectos de inversión que maximizan el
VC en un periodo de planificación, teniendo en cuenta las mencionadas restricciones financieras y
técnicas.
Para resolver este problema existen diferentes modelos, nosotros vamos a seguir el modelo de
DUREAN (1983)
– La función objetivo se considera la de Lorie-Savage-Weingartner.
– Restricciones. Se toman del modelo de Baumoly Quandt.
NOMENCLATURA
Sea Pi igual al PI i-ésimo, (donde i=1, …, m), cada uno de ellos con un VC (VCi) y con una serie de
flujos de caja Qj (Qij es el flujo del periodo j-ésimo y proyecto i-ésimo, I=1, …, m, y j=1, …, n).
El desembolso inicial se considera como un flujo positivo.
Xi es la variable asociada al Pi. Representa el grado de realización de Pi del programa óptimo
(solución).
Dj representa las disponibilidades financieras de la empresa en el periodo j-ésimo (j=1, …, n).
K representa el coste de capital.
Z es igual al VC total, de todos los PI, proporcionado por la combinación de todos los PI. Es lo que
queremos maximizar.
48
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (II)
N es el periodo de planificación.
Vamos a buscar aquella combinación de PI que maximice Z, teniendo en cuenta una serie de
restricciones financieras y técnicas.
PROCEDIMIENTO
Queremos maximizar la función objetivo.
MaximizarZ = VC1 x1 + VC 2 x 2 + L + VC n x n
Este problema está sujeto a tres tipos de restricciones.
a) Financieras.
– Periodo 1º: Q11x1 − Q21x2 − L − Qm1xm ≤ D1
Me indica que lo que gasto en cada PI tiene que ser ≤ que lo que tengo (disponibilidad)
–
Periodo 2º: Q12 x1 − Q22 x2 − L − Qm2 xm ≤ D2
– Periodo n: Q1n x1 − Q2n x2 − L − Qmn xm ≤ Dn
Luego salidas netas del periodo ≤ Disponibilidad SNj ≤ Dj.
b) No negatividad.
X1, X2, …, Xm ≥ 0
El grado de realización de los PI no puede ser negativo.
c) Técnicas.
Se introducen para reflejar ciertas condiciones o relaciones que deben guardar los PI.
EJEMPLOS
–
Todos los PI son fraccionables, pero no repetitivos, luego su grado de realización (Xi) no
puede ser > 1 X1
≤1
X2
≤1
…
≤1
Xn
≤1
Si el PI no puede ser ni repetitivo ni fraccionable: x ∈ (0,1)∀i = 1, L , n
Los PI son mutuamente excluyentes (si se realiza uno, no puede realizarse el otro)
x1 , x2 = 0 (lo que significa que o X1 o X2 tiene que ser iguales a 0)
– Dependencia: un PI depende de la realización del otro (lo que significa que el otro depende
del uno)
PI: P1 y P2
–
–
P1 depende de la realización de P2, pero P2 no depende de la realización de P1 X 1 − X 2 ≤ 0
Se resuelve mediante el ordenador, pero para ello hemos de transformar en igualdades las
desigualdades de las restricciones. Para ello introducimos las variables de holgura Xrh.
Las introducimos primero en la función objetivo. Para ello estas variables de holgura tomarán
coeficiente 0, así no afectarán al resultado:
MaximizarZ = VC1 x1 + VC 2 x 2 + L + VC n x n + 0 X 1h + 0 X 2h + L + 0 X rh
s.a.
Q11 x1 − Q21 x2 − L − Qm1 xm + X 1h ≤ D1
Q12 x1 − Q22 x2 − L − Qm 2 xm + X 2h ≤ D2
…
Q1n x1 − Q2 n x2 − L − Qmn xm + X nh ≤ Dn
49
Dirección Financiera I
Las variables de holgura nos miden el exceso de fondos que la empresa tiene en cada uno de los
periodos de estudio, según la solución óptima del programa (porque holgura es igual a
Disponibilidades – Salidas Netas)
≤1
≤1
≤1
Xn+1h
Xn+2h
X1
X2
…
Xn+nh ≤ 1
Xn
El significado de esto:
Si X1 = 0,6 entonces X1+Xn+1h = 1
0,6 + Xn+1h = 1
Xn+1h = 1-0,6 = 0,4 (cumplimiento de X1)
Por tanto la X1 me da el grado de realización del PI1, y la X1h me da el grado de no realización del PI1.
INTERPRETACIÓN:
Xi me dice que PI se realizan y en que proporción.
Xrh me dice cuál es el exceso de fondos, fondos que la empresa no utiliza en cada periodo, por las
variables de holgura asociadas a restricciones financieras.
Para las restantes: la interpretación depende de las restricciones técnicas.
PROBLEMA 9
Una empresa estudia la realización de tres proyectos de inversión R, S y T. cuyos valores capitales son 80, 6 y 30
respectivamente. Los flujos de caja que generan estas inversiones, así como las disponibilidades financieras de cada año
se encuentran en la siguiente tabla:
Inversión / Año
1
2
R
-300
-60
Flujos
De
S
-400
-100
caja
T
-100
-10
Disponibilidades
700
200
Las tres inversiones son fraccionables, pero sólo las in R y S son repetitivas. Se desea obtener la combinación de
inversiones que maximiza el valor capital.
Nota: Cantidades en miles de euros
Max. Z:
s.a.
80X1+60X2+30X3
300X1+400X2+100X3≤700
60X1+100X2+10X3≤200
X3≤1
Introducimos las variables de holgura:
h
h
h
Max. Z: 80X1+60X2+30X3+0X1 +0X2 +0X3
h
s.a.
300X1+400X2+100X3+X1 =700
h
60X1+100X2+10X3+X2 =200
h
X3+X3 =1
SOLUCIÓN
Veces que se
realiza cada PI
Exceso de fondos
(recursos ociosos)
X1 = 2
X2 = 0
X3 = 1
X1 = 0
h
X2 = 70
h
X3 = 0
h
LO RESOLVEMOS CON EXCEL, MEDIANTE EL SOLVER
50
Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (II)
AÑO 1
Flujos
nº proy Imp proy Exc fondos
Caja
300
2
600
0
400
0
100
1
100
700
0
700
Inversión / Año
Flujos
De
caja
R
S
T
Disponibilidades
Proyecto
Nº de PI
R
2
S
0
T
1
FUNCIÓN OBJETIVO
VC
AÑO 2
Flujos
nº proy Imp proy
Caja
60
2
120
100
0
0
10
1
10
200
130
VALOR
CAPITAL
80
6
30
70
VC
Proyectos
80
160
6
0
30
30
190
Max. Z: 80X1+60X2+30X3
Plantemiento matemático
s.a. 300X1+400X2+100X3<=700
60X1+100X2+10X3<=200
X3<=1
PROBLEMA 10
El coste de capital para una empresa es del 10% para los próximos 6 años y tiene la oportunidad de
realizar los siguientes proyectos de inversión:
Año de comienzo
Proyecto
Flujos por año
1995
P1
-100
40
50
40
1996
P2
-60
-30
-10
60
60
40
1997
P3
-40
-10
50
30
1998
P4
-30
30
10
20
Restricciones financieras
280
120
100
300
Se desea plantear el programa de selección de inversiones para obtener el conjunto de inversiones cuya rentabilidad
absoluta sea máxima.
Nota: cantidades en miles de euros.
40 50
40
+
+
= 7,738
1,1 1,12 1,13
30 10
60
60
40
vc 2 = −60 −
− 2 + 3 + 4 + 5 = 15.359
1,1 1,1
1,1
1,1
1,1
vc1 = −100 +
40 10
50
30
+
+
+
= 13,428
1,1 1,12 1,13 1,14
30
30
10
20
vc 4 = − 2 + 3 + 4 + 5 = 16,995
1,1
1,1
1,1
1,1
vc3 = −
Max. Z:
s.a.
Todo se actualiza al mismo
periodo.
h
h
h
h
7,738X1+15,359X2+13,428X3+16,995X4+0X1 +0X2 +0X3 +0X4
100X1+60X2+X1h=280
40X1+30X2+40X3+X2h=120
40X1+10X2+10X3+30X4+X2h=100
40X1-60X2-50X3+30X4+X3h=300
X3+X3h=1
LO RESOLVEMOS CON EXCEL, MEDIANTE EL SOLVER
51
Dirección Financiera I
Coste capital
Año de
comienzo
1995
1996
1997
1998
10,00%
Proyecto
-100
40
P1
-60
-30
P2
-40
P3
P4
Restricciones financieras
280
120
0
0
Flujos obtenidos
Proyecto
Nº de PI
VC
0,00 7,739 €
P1
P2
0,00 15,359 €
P3
0,00 14,771 €
P4
10,00 20,563 €
FUNCIÓN OBJETIVO
50
-10
-10
-30
40
60
50
30
60
30
10
20
100
-300
300
300
100
200
0,000
0,000
0,000
205,635
205,635
Max. Z: 7,738X1+15,359X2+13,428X3+16,995X4
s.a. 100X1+60X2<=280
-40X1+30X2+40X3<=120
-40X1+10X2+10X3+30X4<=100
x3<=1
52
VALOR
CAPITAL
Flujos por año
40
7,739
15,359
14,771
20,563
€
€
€
€
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (I)
5.
VALORACIÓN DE INVERSIONES
CONDICIONES
DE
RIESGO
INCERTIDUMBRE (I)
EN
E
5.1 RIESGO, INCERTIDUMBRE Y PRESUPUESTO DE CAPITAL.
Hasta ahora hemos considerado las magnitudes que definen un proyecto de inversión en condiciones
de certeza. Este supuesto es una hipótesis que simplifica mucho la realidad económica.
Flujos de caja = Cj – Pj , donde
Cj = dependen del precio de venta, número de unidades vendidas, plazos de cobro, impagados, etc.
Pj = depende de los costes fijos, costes variables, plazos de pago a proveedores, etc.
K = depende de la política monetaria, inflación, etc.
Muchas veces no se puede conocer la duración de la inversión, si va a existir un valor residual, …
Supone simplificar la realidad.
Vamos a incluir el riesgo en nuestro análisis ya que trabajamos en un ambiente de riesgo y vamos a ver
cómo se modifican los criterios clásicos de decisión (VC, TR, etc.)
En este contexto, no sólo nos vamos a preocupar de maximizar la rentabilidad de los proyectos de
inversión que acomete la empresa, sino que vamos a tener en cuenta que esa maximización de
rentabilidad va a estar sujeta a restricciones que introduce el riesgo.
Vamos a hablar de dos posibles situaciones:
1.- Ambiente de riesgo. Diremos que estamos en un ambiente de riesgo en aquellas situaciones en las
que conocemos la distribución de probabilidad de los Qj.
2.- Ambiente de incertidumbre. Estaremos en un ambiente de incertidumbre cuando dicha distribución
no se conoce. En esta segunda situación tenemos dos opciones para llevar a cabo el análisis:
a) Podemos transformar el ambiente de incertidumbre en un ambiente de riesgo utilizando para ello
la probabilidad subjetiva, que cuantifica el concepto cualitativo de verosimilitud del decisor, es
decir, la probabilidad subjetiva convierte en un número entre 0 y 1 la idea del sujeto decisor de
que un hecho ocurra o no. Esta idea del decisor está basada en sus conocimientos, su experiencia,
e incluso, su interés.
b) Consiste en aplicar una serie de criterios que nos permiten realizar unas previsiones sujetas a
error. Este error es el que introduce la incertidumbre. En este caso hay demasiados modelos a
utilizar: la equiprobabilidad de Laplace, pesimista de Wold, etc. Y no hay consenso entre todos
estos criterios, por ello es preferible utilizar el ambiente de riesgo.
A partir de ahora, vamos a considerar que trabajamos en ambiente de riesgo, es decir, vamos a
considerar que conocemos la distribución de probabilidad de los flujos de caja, y vamos a estudiar
modelos aplicables a esta situación.
Antes, vamos a ver cómo se reforman los criterios clásicos de decisión (VC, TR: los precriterios de
selección de inversiones.
5.2 EL VALOR CAPITAL MEDIO.
Cuando considerábamos el PI en condiciones de certeza, considerábamos un flujo con un posible
valor. Ahora tenemos r posibles valores para el flujo Qt. Cada uno de los posibles valores lo
53
Dirección Financiera I
denotaremos como Qtr , donde t representa el número de periodos ( 0, 1, …, n) y r representa los
posibles valores (1, 2, .., n).
Cada uno de los posibles valores tiene una probabilidad asociada o probabilidad de ocurrencia, que
denotaremos por Pt r , que representa la probabilidad de ocurrencia de Qtr .
n
r
r r
Para determinar el valor de un flujo tenemos que Qt = ∑ Qt Pt
r =1
n
∑
n
n
∑Q P
Q1r P1r
r r
n n
r r
r =1
r =1
Luego el Valor Capital Medio será VCM = ∑ Q0 P0 + (1 + K ) + L +
(1 + K )n
r =1
Podemos usar éste método para aceptar proyectos de Inversión.
La norma de decisión será:
Si VCM > 0 ⇒ acepto el PI
Si VCM < 0 ⇒ rechazo el PI
TASA DE RETORNO MEDIA.
TRM (rm) es la Tasa de descuento que hace que el VCM sea igual a 0.
Luego acepto el PI cuando rm > K
n
∑
n
0=
∑Q P
r r
0 0
r =1
+
n
∑Q P
Q1r P1r
r =1
(1 + rm )
r r
n n
+L+
r =1
(1 + rm )n
Cuando consideramos los flujos en condiciones de certeza n=1 y Pt r =1
Para cada periodo, la suma de las probabilidades asociadas ha de ser la probabilidad total (=1)
n
∑P
=1
r
t
r =1
EJEMPLO:
Momento actual
FLUJOS
AÑOI
1
AÑO2
1
Q01 =-12.834,32
Q1 = 12.000
Q12 = 18.000
Q2 = 10.000
Q22 = 14.000
P01 =1
P11 = 0,5
P12 = 0,5
P21 = 0,5
P22 = 0,5
PROBABILIDAD
AÑO3
Q31 = 5.000
Q32 = 7.000
Q33 = 13.000
P31 = 0,3
P32 = 0,4
P33 = 0,3
Siendo K= 0 7%
VALOR CAPITAL MEDIO:
VCM = −12.834,32 +
12.000 x 0,5 + 18.000 x0,5 10.000 x0,5 + 14.000 x0,5 5.000 x0,3 + 7.000 x0,4 + 13.000 x0,3
+
+
= 18.359
(1 + 0,07 )
(1 + 0,07 )2
(1 + 0,07 )3
Como VCM > 0, acepto la inversión.
TASA DE RETORNO MEDIA:
0 = −12.834,32 +
12.000 x0,5 + 18.000 x0,5 10.000 x 0,5 + 14.000 x 0,5 5.000 x0,3 + 7.000 x0,4 + 13.000 x0,3
+
+
(1 + rm )
(1 + rm )2
(1 + rm )3
por _ prueb _ y _ error _ rm = 0,86 ⇒ 86%
Como r > K, acepto la inversión.
54
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (I)
Al calcular el VCM lo que calculamos es la esperanza de la ganancia, pero cuando consideramos que
hay riesgo en el análisis, además de la expectativa de ganancia, hemos de tener en cuenta la
variabilidad o riesgo de obtención de esa ganancia.
La variabilidad de una variable se mide con la varianza, y puede utilizarse como una medida del riesgo
del PI. En este caso tendremos en cuenta la varianza del VCM como la medida del riesgo que el PI
lleva asociado.
El VCM es una media, y en ambiente de riesgo, no es recomendable su uso como único medio de
dispersión, se debe complementar con alguna medida del riesgo del proyecto.
5.3 PRECRITERIOS DE SELECCIÓN
AMBIENTE DE RIESGO.
DE
INVERSIONES
EN
Reformulamos el VC y la TR cuando incluimos el riesgo en el análisis. Estos son fáciles de aplicar,
son objetivos y no requieren conocer la distribución de probabilidad de los flujos de caja.
Estos precriterios son sobre todo útiles cuando estamos en ambiente de incertidumbre. Cuando estamos
en ambiente de riesgo, podemos realizar un análisis más completo, y siempre que conozcamos la
distribución de probabilidad de los flujos es aconsejable utilizarla. En ambiente de incertidumbre,
podemos construir una distribución de probabilidad artificial para transformar este ambiente a
certidumbre. Pero más fácil que esto es aplicar los precriterios.
5.3.1.- MÉTODO DE CORRECCIÓN DE PREVISIONES.
Consiste en calcular la rentabilidad de un PI utilizando los criterios clásicos de decisión. Una vez
calculada, la reduzco en una determinada cantidad, que depende de la estimación del riesgo que realice
el sujeto decisor (estimación subjetiva).
5.3.2.- MÉTODO DE REDUCCIÓN A EQUIVALENTES DE CERTEZA.
Ajustamos la formulación del problema a condiciones de certeza de dos direcciones: la tasa de
descuento o los flujos. Así:
a) Ajuste de la tasa de descuento.
b) Ajuste de los flujos de caja.
a) AJUSTE DE LA TASA DE DESCUENTO.
Consiste en ajustar la tasa de descuento añadiéndole una prima de riesgo “p”, para evitar tomar
decisiones erróneas. Incluyéndola exigimos mayor rentabilidad a los proyectos de mayor riesgo.
Es decir, antes en el Valor Capital tomábamos el coste del capital como tasa de actualización.
Ahora: S = K + p
“S” es nuestra nueva tasa de descuento. Incluimos “S” en el VC. Este método asume que “p” es
constante durante el periodo de inversión considerado.
Q
1
La nueva expresión del VC es V .C. = −Q0 + (1 + S ) +
Q2
(1 + S )
2
+L+
Qn
(1 + S )n
La norma de decisión es que acepto el PI si VC > 0
Hemos aumentado el denominador, con lo cual, la rentabilidad se reduce, pero el criterio de selección
es el mismo. Somos más exigentes a la hora de aceptar un PI cuando incluimos el riesgo en el análisis,
por lo que el margen de aceptación se reduce.
55
Dirección Financiera I
Q
1
La expresión de la Tasa de Retorno es 0 = −Q0 + (1 + r ) +
Q2
(1 + r )
2
+L+
Qn
(1 + r )n
No varía, pero la nueva condición de efectuabilidad es r > S para S = K + p y como p > 0, entonces S >
K.
Somos más estrictos a la hora de aceptar un PI. El mayor inconveniente es determinar p, ya que su
estimación depende del sujeto decisor, de la aversión al riesgo de la persona que la estima.
EJEMPLO.
Sea la inversión C, con un coste de capital del 7%
Desembolso
8.000
Año 1
4.000
Año 2
6.000
El Valor capital
V .C. = −8.000 +
4.000 6.000
+
= 979
(1,07 ) (1,07 )2
Si consideramos una prima de riesgo del 5% ⇒ S = K + p ⇒7 +5 = 12 ⇒ S = 12%
El nuevo Valor Capital será:
V .C. = −8.000 +
4.000 6.000
+
= 354,59
(1,12) (1,12)2
La Tasa de Retorno
0 = −8.000 +
4.000
6.000
+
⇒ r = 0,15139
(1 + r ) (1 + r )2
Si r > s ⇒ acepto el PI. Como 15,139% > 12% ⇒ acepto el PI
b) AJUSTE DE LOS FLUJOS DE CAJA.
Consiste en ajustar los flujos de caja de cada periodo en función del riesgo al que consideramos que se
ven sometidos. Para ajustarlos, establecemos una relación entre:
– Obtener un flujo sujeto a las condiciones de riesgo Qt.
– Obtener un flujo de caja cierto Q’t.
Q’t: flujo cierto en condiciones de certeza
Q' t = α t Qt
Qt: flujo incierto en condiciones de riesgo
αt: coeficiente de ajuste, que varía de manera inversamente proporcional al riesgo. Toma valores en un
intervalo cerrado [0,1], por lo que 0 < αt < 1
Q’t < Qt.
Q’t = Qt en el caso de que αt = 1
αt es la relación entre le flujo de caja cierto Q’t y el flujo de caja incierto Qt.
Expresión del VC:
V .C. = −α 0 Q0 +
pero como α0Q0 = Q’0
V .C. = −Q' 0 +
Expresión de la Tasa de Retorno:
56
α 1Q1
+
α 2 Q2
(1 + K ) (1 + K )
2
+L+
α n Qn
(1 + K )n
Q' n
Q'1
Q' 2
+
+L+
2
(1 + K ) (1 + K )
(1 + K )n
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (I)
0 = −α 0Q0 +
pero como α0Q0 = Q’0
0 = −Q ' 0 +
Q '1
α1Q1
α 2Q2
(1 + r ) (1 + r )2
Q' 2
+
+
(1 + r ) (1 + r )2
+L+
+ L+
α n Qn
(1 + r )n
Q 'n
(1 + r )n
Condiciones de efectuabilidad: VC > 0, r > K
EJEMPLO.
Sea la inversión C, con un coste de capital del 7%
Desembolso
8.000
Año 1
4.000
Año 2
6.000
El coeficiente de ajuste α1=0,9 y α2=0,8
El Valor capital
VC = −8.000 +
0,9 x 4.000 0,8 x6.000
+
= −443
(1,07 )
(1,07 )2
Como VC < 0, no acepto el PI.
La Tasa de Retorno
0 = −8.000 +
0,9 x 4.000 0,8 x6.000
+
⇒ (1 + r ) = x
(1 + r )
(1 + r )2
− 8.000 x 2 + 3.600 x + 4.800 = 0 ⇒ −40 x 2 + 18 x + 24 = 0
x = −b ±
2
2
18 2 + 4 x(40 x 24)
b 2 − 4ac
= −18 ±
→ x = 1,0316 ⇒ r = 0,0316
2a
− 80
Como r < K No acepto el PI.
La estimación de α depende del sujeto decisor, y esto es un inconveniente. Pero será más fácil estimar
los α que construir toda una distribución de probabilidades subjetivas.
En ambiente de incertidumbre es cuando más utilidad tienen los precriterios que estiman el riesgo de
manera aproximada.
5.3.3.- ROBICHEK Y MYERS.
Defienden la superioridad técnica del método de ajuste de los flujos de caja frente al ajuste de la
tasa de descuento, porque dicen y demuestran que la consideración de una prima “p” por riesgo
constante, supone considerar unos coeficientes de ajuste “α” decrecientes. Suponer esto (α
decrecientes), ya que α varía proporcionalmente e inversamente en el tiempo, es suponer que el riesgo
es mayor en los periodos más alejados, por lo que crece en el tiempo.
Esto es cierto en algunos casos, pero no siempre.
DEMOSTRACIÓN
Para encontrar como son los α equivalentes a una p constante, si ambos métodos son equivalentes se
t
Qt (1 + K )
αQ
Qt
cumple que: t t t =
⇒
α
=
t
t
(1 + K ) (1 + S )t
Qt (1 + S )
(1 + K )t
Despejando α t =
(1 + S )t
t
1 + K 
t +1
1+ K
⇒ 
, para el periodo t, para el periodo t+1 α t +1 =

1+ S
1 + S 
t
57
Dirección Financiera I
K y S se suponen positivos, y se consideran constantes durante el periodo de inversión estudiado. Por
definición S > K ⇒
1+ K
<1
1+ S
El cociente es cada vez menor cuanto mayor es la potencia a la que se eleva, por tanto: α t −1 > α t > α t +1
La consideración de p constante es como si usáramos unos coeficientes de ajuste decrecientes en el
tiempo.
5.3.4.- SUÁREZ SUÁREZ.
Defiende el ajuste de la tasa de descuento frente al ajuste de los flujos de caja. Dice que la principal
diferencia entre ambos métodos es la forma en que contemplan el PI. Según él, el método del ajuste de
la tasa contempla el proyecto de manera global, y en función del riesgo al que está sometido el
proyecto, se determina p.
Sin embargo, el método de ajuste de los flujos de caja considera cada uno de los flujos de caja de
forma independiente, y en función del riesgo que se estima para cada flujo, determinamos un
coeficiente de ajuste α.
Los flujos muchas veces están correlacionados entre sí, y para tener en cuenta estas correlaciones, es
mejor contemplar el PI de manera global, como hace el método de la tasa de ajuste.
En ambos casos, el tratamiento del riesgo es aproximado, y cuando se disponga de la distribución de
probabilidad de los flujos de caja (en un ambiente de riesgo), se puede mejorar el análisis y el
tratamiento del riesgo.
En situación de estabilidad económica, es preferible el método de ajuste de los flujos de caja porque en
estas condiciones, los flujos de caja son los que más sufren el riesgo
5.4 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LAS DECISIONES DE
INVERSIÓN.
Esta técnica se puede aplicar tanto en ambiente de riesgo como de incertidumbre, pero sobre todo es
interesante en ambiente de incertidumbre y sin conocer la distribución de probabilidad de los flujos
de caja.
Es una técnica que trata de medir la sensibilidad del resultado obtenido al aplicar los criterios de
decisión (VC, TR) ante la variación de alguna de las magnitudes que definen el PI, dándonos así una
idea del grado de confianza de dicho resultado. Los parámetros, ante cuya variación el resultado es
más sensible tendrán que estimarse con mayor precisión.
t0
A
Qj
K
A partir de estimaciones, hallamos el VC y la TR, y tomamos una decisión. Cuando
pasa el tiempo, estos valores vamos a conocerlos, son valores ex-post o reales.
Tratamos, en definitiva, de ver lo sensible que es nuestro resultado (decisión) ante la variación de
alguna de las magnitudes que definen el PI.
Vamos a hallar un intervalo de variación para cada magnitud. La condición que cumplen los
valores del intervalo es que, para esos valores de esta magnitud, la decisión no cambia de sentido
(no pasa de aceptación a rechazo o viceversa). Hacemos el análisis con base al VC y TR.
58
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (I)
5.4.1.- LA SENSIBILIDAD DE LA DECISIÓN ÓPTIMA CON BASE AL CRITERIO
DEL VALOR CAPITAL.
La condición de efectuabilidad es acepto el PI si VC > 0.
La expresión es: VC = − A +
Q1
Q2
Qn
Qj
+
+L+
+L+
>0
2
j
(1 + K ) (1 + K )
(1 + K )
(1 + K )n
Una vez tomada la decisión, pueden darse dos escenarios desfavorables:
1) La decisión consistente en aceptar el PI puede no ser óptima si el VC ex-post es negativo o nulo.
2) La decisión consistente en rechazar el PI puede no ser óptima si el VC ex-post es positivo.
Para evitar estos escenarios desfavorables, podemos preguntarnos en qué intervalo puede variar cada
una de las magnitudes que definen el PI de modo que el VC cambie de sentido.
Mientras analizamos una magnitud, asumimos que el resto permanecen constantes. Nos vamos a
centrar en un PI para el que el VC es positivo, y vamos a hallar qué valores de cada magnitud verifican
la condición de que el VC siga siendo > 0.
1ª- Desembolso inicial: Para que el VC siga siendo positivo despejamos:
A<
Q1
Q2
Qn
+
+L+
= x , A varía dentro del intervalo abierto [0,x].
2
(1 + K ) (1 + K )
(1 + K )n
Siempre que A<x ⇒ VC>0.
2º- Flujos de caja: para que el VC>0
− A+
Q1
Q2
Qj
Qn
+
+L+
+L+
> 0 , despejamos Qj:
2
j
(1 + K ) (1 + K )
(1 + K )
(1 + K )n

Qn 
Q1
Q2
Q j > A −
−
−L−
(1 + K ) j = M Qj varía dentro del intervalo abierto [M,∞].
2
n
(
1
+
K
)
(1 + K )
(1 + K ) 

3º- Coste de capital: para que el VC>0
− A+
Q1
Q2
+
1+ K f
1+ K f
(
) (
)
2
+L+
Qn
(1 + K f )n
[
]
= 0 ⇒ K = K f = r ⇒ K ∈ 0, K f ≅ K ∈ [0, r ]
EJEMPLO.
Sea la inversión C, con un coste de capital del 7%
Desembolso
8.000
Año 1
4.000
Año 2
6.000
1º Desembolso inicial
A<
4.000 6.000
+
= 8.979 ⇒ A ∈ [0,8.979]
(1,07 ) (1,07 )2
2º Un flujo de caja para j=1

6.000 
(1,07)1 = 2.953 ⇒ Q1 ∈ [2.953, ∞]
Q1 > 8.000 −
2
(1,07 ) 

3º Coste de capital
0 = −8.000 +
4.000
6.000
+
⇒ K f = r = 0,1514, luegoK ∈ [0,15'14%]
(1 + r ) (1 + r )2
59
Dirección Financiera I
5.4.2.- LA SENSIBILIDAD DE LA DECISIÓN ÓPTIMA CON BASE AL CRITERIO
DE LA TASA DE RETORNO.
Expresión general VC (r ) = − A +
Qj
Qn
Q1
Q2
+
L
+
+L+
=0
j
(1 + r ) (1 + r )2
(1 + r )
(1 + r )n
La condición de efectuabilidad es acepto el PI si r >K.
Vamos a poder preguntarnos en qué intervalos vamos a aplicar cada una de las magnitudes de interés
para que nuestra decisión no cambie de sentido cuando analizamos una magnitud, suponiendo que el
resto permanecen constantes.
Partimos de un PI para el que r>K
1ª- Desembolso inicial: cumpliéndose que r>K
Consideramos K como la rentabilidad mínima exigida, ya que aceptamos los PI donde r>K
El coste de capital es un valor frontera en cuanto a la aceptación o rechazo de un PI⇒K=rf.
Para determinar el intervalo de variación del desembolso inicial, calculamos el valor frontera del
desembolso inicial Af. Para ello, partimos de
− A+
Qj
Qn
Q1
Q1
Qj
Qn
+L+
+L+
= 0 . Despejando A A =
+L+
+L+
=0
j
n
j
(1 + K )
(1 + K )
(1 + K )
(1 + K )
(1 + K )
(1 + K )n
Luego A tiene que estar en el intervalo abierto [0,x].
Podemos demostrar que A está en el intervalo [0,x] o [0,Af], cogiendo un punto de ese intervalo y
viendo que cumple la condición de efectuabilidad. Un valor de A2 de ese intervalo es A2<Af ¿Para A2
es r2>K?.
DEMOSTRACIÓN:
Q1
Qn
+L+
= 0 , para que VC=0⇒-A=-Af.
(1 + K )
(1 + K )n
Q1
Qn
Si ahora A=A2<Af: VC = − A2 ↓ +
+L+
= 0 ⇒ r2 > K
(1 + r2 ) ↑
(1 + r2 )n ↑
VC = − A f +
Para compensar un valor negativo más alto, el positivo ha de ser más bajo.
2º- Flujos de caja: siendo r>K
− A+
Q j −1
Qj
Q j +1
Qn
Q1
Q2
+
+L+
+
+
+L+
> 0 , despejamos Qj:
2
j
−
1
j
j +1
(1 + K ) (1 + K )
(1 + K )
(1 + K ) (1 + K )
(1 + K )n

Q j −1
Q j +1
Qn 
Q1
Q2
Q j = A −
−
−L−
−
−
(1 + K ) j = M Qj debe estar en el intervalo
2
−
1
+
1
j
j
n
(
1
+
K
)
(1 + K )
(1 + K )
(1 + K )
(1 + K ) 

abierto [M,∞].
3º- Coste de capital: si queremos hallar el intervalo de variación de K, es decir, qué valores de K
verifican que r>K, serán aquellos valores que estén entre [0,r]
− A+
Q1
Qj
Qn
+L+
+L+
= 0 ⇒ K ∈ [0, K ] ≈ K ∈ [0, r ]
j
(1 + r )
(1 + r )
(1 + r )n
EJEMPLO.
Sea la inversión C, con un coste de capital del 7%
Desembolso
8.000
1º Desembolso inicial
60
Año 1
4.000
Año 2
6.000
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (I)
A<
4.000 6.000
+
= 8.979 ⇒ A ∈ [0,8.979]
(1,07 ) (1,07)2
2º Un flujo de caja para j=1

6.000 
Q1 > 8.000 −
 (1,07 ) = 2.953 ⇒ Q1 ∈ [2.953, ∞ ]
(1,07)2 

3º Coste de capital
0 = −8.000 +
4.000
+
6.000
(1 + r ) (1 + r )2
⇒ K f = r = 0,1514, luegoK ∈ [0,15'14%]
PROBLEMA
Una empresa cuyo coste de capital es del 10%, estudia la posibilidad de llevar a cabo un PI definido:
A = 10, Q1 = 6, Q2 = 7
Se pide: determinar los intervalos en que pueden variar las magnitudes que definen el PI para que éste siga cumpliendo la
condición de efectuabilidad. Además hacerlo tanto con base al VC como a la TR.
Q0=-10 ⇒ PI simple (todos los flujos positivos excepto el desembolso)
Valor capital: VC = −10 +
6
+
7
(1,1) (1,1)2
Tasa de retorno: 0 = −10 +
= 1,24 > 0
6
7
+
⇒ r = 18,89% ⇒ r > K
(1 + r ) (1 + r )2
1º Desembolso inicial
(
)
VC K = r f = 0
VC = − A +
6
+
7
(1,1) (1,1)2
= 0 ⇒ Af =
6
+
7
(1,1) (1,1)2
= 11,24 ⇒ A ∈ [0,11'24]
2º Un flujo de caja
para j=1
VC = −10 +

6
7
7 
+
= 0 ⇒ Q1 f = − 10 +
 (1,1) = 4,21 ⇒ Q1 f ∈ {4'21, ∞}
2
(1,1) (1,1)
(1,1)2 

para j=2
VC = −10 +

6
7
6 
(1,1)2 = 5,5 ⇒ Q2 f ∈ {5'5, ∞}
+
= 0 ⇒ Q2 f = − 10 +
2
(1,1) (1,1)
(1,1)

3º Coste de capital
K /r > K /K < r
6
7
0 = −10 +
+
⇒ K f = r = 0,1889, luegoK ∈ [0,18'89%]
(1 + r ) (1 + r )2
61
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (II)
6.
VALORACIÓN DE INVERSIONES
CONDICIONES
DE
RIESGO
INCERTIDUMBRE (II)
EN
E
6.1 CUANTIFICACIÓN DEL RIESGO TOTAL DE UN PROYECTO
DE INVERSIÓN. EL MODELO DE HILLIER.
Basa las decisiones en la Esperanza y la Varianza del VC. La función de distribución de una
variable aleatoria queda determinada en función de la esperanza matemática y la varianza de la
variable aleatoria.
El modelo de Hillier enfoca el estudio de la toma de decisiones de inversión con base a estos dos
parámetros:
– La Esperanza matemática o valor medio del VC.
– La varianza, que se utiliza como medida del riesgo.
El valor esperado de la rentabilidad de un proyecto, es una medida del riesgo de ese proyecto. En este
contexto, la empresa trata de maximizar la rentabilidad esperada de un proyecto y minimizar el riesgo.
Los PI de mayor riesgo son los de mayor rentabilidad, así que lo que tendrá que hacer es maximizar la
esperanza controlando que el riesgo no se dispare.
Este modelo considera los flujos de caja como variables aleatorias, con su correspondiente función de
distribución. De modo que las estimaciones previstas de los flujos se corresponden con la esperanza
matemática de dicha variable aleatoria, y con la varianza de cada flujo (variable) tendremos una
medida del riesgo.
El modelo se desarrolla en tres etapas:
ETAPA 1 – CÁLCULO DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA DEL VC.
El VC es una suma de flujos de caja descontados. El modelo los considera variables aleatorias y el VC
es, a su vez, una variable aleatoria. Tendrá una función de distribución. Calculamos la esperanza del
VC. Necesitamos conocer la esperanza de cada flujo.
E (Qt ) =
h
∑Q P
r R
t t
⇒ r = 1,2,..., h / t = 0,1,..., n
r =1
Pt r probabilidad asociada o de ocurrencia de Qtr
si h=1, la probabilidad asociada a ese único valor es la probabilidad total (Ptr = 1)
Para determinar la esperanza matemática del VC sabemos que:
-
La esperanza de una suma de variables aleatorias, sean dependientes o independientes, siempre es
igual a la suma de las esperanzas. E (∑VC ) = ∑ E (VC ) .
-
La esperanza de una constante por una variable, es el producto de la constante por la esperanza
de la variable. E (CtexVb ) = CtexE (vb ) .
Dadas estas propiedades, la esperanza matemática del VC
63
Dirección Financiera I
E (VC ) = E (Q0 ) +
1
1
1
E (Q ) −
E (Q2 ) + L +
E (Qn ) ⇒ E (VC ) =
(1 + K ) 1 (1 + K )2
(1 + K )n
n
E (Qt )
∑ (1 + K )
t =0
t
ETAPA 2 – CÁLCULO DE LA VARIANZA DEL VC.
Hemos de determinar la varianza de cada flujo.
La varianza de una variable aleatoria viene dada por la media ponderada ( Pt r es el factor de
ponderación) de las desviaciones cuadráticas de cada posible valor del flujo respecto a la esperanza.
Varianza de un flujo de caja
σ 2 (Qt ) =
∑ [Q
h
r
t
]
2
− E (Qt ) Pt r
r =1
Desviación típica de un flujo de caja
∑[
σ (Qt ) =
]
2
h
Qtr
− E (Qt ) Pt r
r =1
Varianza del VC. La varianza de la suma de variables aleatorias se calcula de forma distinta, según sea
el grado de correlación entre esas variables. Hay tres casos distintos:
A) INDEPENDENCIA DE LOS FLUJOS DE CAJA:
El coeficiente de correlación ρ es cero.
– La varianza de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de las
varianzas.
– La varianza de una constante por una variable es igual a la constante al cuadrado por la
varianza de la variable.
– La varianza del VC es igual a la suma de las varianzas.
σ 2 (VC ) = σ 2 (Q0 ) + σ 2
1
(1 + K )2
σ 2 (Q1 ) +
1
(1 + K )4
σ 2 (Q2 ) + L +
1
(1 + K )2n
σ 2 (Qn )
B) CORRELACIÓN PERFECTA DE LOS FLUJOS DE CAJA:
El coeficiente de correlación ρ es uno.
Partimos de la expresión general de la varianza de una suma de variables aleatorias independientes.
σ 2 (VC ) = σ 2 (Q0 ) +
+2
Cov (Qn−2 Qn−1 )
(1 + K )2n−3
σ 2 (Q1 )
+
σ 2 (Q2 )
4
Coeficiente de correlación: ρ ij =
Como ρij=1 ⇒ Cov(Qi Q j ) = σQiσQ j
σ 2 (VC ) = σ 2 (Q0 ) +
+L+
σ 2 (Qn )
+2
(1 + K ) (1 + K )
(1 + K )
Cov(Qn−2 Qn )
Cov (Qn−1Qn )
+2
+2
(1 + K )2n−2
(1 + K )2n−1
2
σ 2 (Q1 )
+
σ 2 (Q2 )
2n
Cov(Qi Q j )
σQi σQ j
+L+
⇒ Cov(Qi Q j ) = ρ ij σQi σQ j
σ 2 (Qn )
+2
(1 + K ) (1 + K )
(1 + K )
σ (Qn−2 )σ (Qn −1 ) σ (Qn −2 )σ (Qn ) σ (Qn−1 )σ (Qn )
+2
+2
+2
(1 + K )2n−3
(1 + K )2n−2
(1 + K )2n−1
2
4
2n
Esta expresión la obtenemos del desarrollo de:

σ (Qn ) 
σ (Q1 )
σ (Q2 )
σ (VC ) = σ (Q0 ) +
+
+L+

2
4
(1 + K ) (1 + K )
(1 + K )2n 

2
64
Cov (Q0 Q1 )
Cov(Q0Q2 )
Cov(Q0 Qn )
+2
+L+ 2
+
2
(1 + K )
(1 + K )
(1 + K )n
2
σ (Q0 )σ (Q1 )
(1 + K )
+2
σ (Q0 )σ (Q2 )
(1 + K )
2
+L+ 2
σ (Q0 )σ (Qn )
(1 + K )n
+
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (II)
C) CORRELACIÓN PARCIAL DE LOS FLUJOS DE CAJA:
El VC será la suma de 2 cantidades: una independiente y otra dependiente.
VC = Q '0 +
Q' n
Q' 'n
Q'1
Q'2
Q ' '1
Q' ' 2
+
+L+
+ Q ' '0 +
+
+L+
2
n
2
(1 + K ) (1 + K )
(1 + K ) (1 + K )
(1 + K )
(1 + K )n
VC=VC’+VC’’⇒ independencia.
σ2VC=σ2(VC’)+σ2(VC’’).
La varianza del VC será
σ (VC ) = σ (Q'0 ) +
2
2
σ 2 (Q'1 ) σ 2 (Q' 2 )
+
(1 + K )2 (1 + K )4
+L+
σ 2 (Q 'n )
(1 + K )2n

σ (Q ' ' n ) 
σ (Q' '1 ) σ (Q' '2 )
+ σ (Q' '0 ) +
+
+L+

2
4
(1 + K )2n 
(1 + K ) (1 + K )

2
Según Hillier, se puede utilizar la fórmula general de la varianza, ya que es muy difícil separar las
cantidades de los flujos, y determinar la parte perfectamente correlacionada y la independiente.
ETAPA 3 – ESTUDIO PROBABILÍSTICO DEL COMPORTAMIENTO DEL VC.
a) Consiste en identificar la Ley de probabilidad que sigue el VC, para poder determinar las
probabilidades de interés, por ejemplo VC>0.
Para determinar la Ley de probabilidad, si los flujos de caja son independientes, dado que el VC es
suma de variables aleatorias independientes, vamos a poder determinar el VC en virtud del Teorema
Central del Límite.
La suma de variables aleatorias independientes tiende a una distribución Normal si el número de
sumandos tiende a ∞. Dado que la convergencia es bastante grande n≥10. En este caso, el VC sigue
una distribución Normal.
b) pruebas de adherencia (x2 de Pearson)
c) Test de Normalidad: Sapiro Wilks y el de Kolnrogiov-Smirnov
Si no podemos determinar cual es la ley de probabilidad del VC lo haremos aplicando la
Desigualdad de Tchebycheff.
Si existe normalidad, podemos tipificar y utilizar la tabla de la Normal.
1ª etapa
2ª etapa
VC ≈ N [E (VC ), σ (VC )]
P(VC > 0)
VC = E (VC ) + σ (VC )ε ⇒ ε = E (VC *) ≈ N (0,1)
VC* =
VC − E (VC )
⇒ VC _ tipificado
σ (VC )
Hemos tipificado para poder conocer la probabilidad de que VC sea positivo
En definitiva:
Si los flujos son independientes y tenemos 10 o más flujos, podemos aplicar el Teorema
Central del Límite.
– Si los flujos están perfectamente correlacionados, entonces Qt = E (Qt ) + σ (Qt )c ⇒ c = cons tan te
Si un flujo es normal, todos serán normales. Si todos los flujos son normales seguirá una normal de
esperanza la 1ª etapa y de desviación típica la 2ª etapa.
–
–
Si existe correlación parcial entre los flujos, Hillier propone dividir los flujos en dos partes:
Qt = Q't +Q' 't
VC = VC '+VC ' '
65
Dirección Financiera I
Según este VC’ seguirá una normal en cuanto su número de flujos sea mayor o igual a 10, y el Q’t
seguirá una Normal.
El VC’’ Seguirá una normal para el caso B cuando sea normal. Si un flujo es normal, todos serán
normales, y con esto el VC será normal.
Si tenemos un VC<10 ⇒ no podemos utilizar el Teorema Central del Límite.
Cuando no se pueda conocer la distribución del VC, aplicaremos las distribuciones de probabilidad
según Tchebycheff P[VC − E (VC ) ≥ K ] ≤
σ 2 (VC )
K2
Si hacemos K = cσ (VC ) , tenemos la formulación más utilizada P[VC − E (VC ) ≥ Cσ (VC )] ≤
1
C2
Lo que hallamos es la probabilidad de que esté fuera del intervalo
[E (VC ) − Cσ (VC ), E (VC ) + Cσ (VC )]es ≤
1
C2
por lo que conociendo la probabilidad de fuera sabremos la probabilidad de dentro = 1 – probabilidad de fuera.
6.1.2.- CRÍTICAS AL MODELO DE HILLIER.
De todas las críticas, la más constante es la que dice que el modelo de Hillier no proporciona un
criterio claro de decisión, sino que muchas veces, al final, se limita a una comprobación entre valores
esperados y riesgos entre los diferentes proyectos, que, en algunas situaciones, no nos van a permitir
tomar una decisión con base
EJEMPLO
E(VC1)=5; σ(VC1)=4; E(VC2)=7; σ(VC2)=6,6
E(VC)
2
7
1
5
0
4
6,6
Var(VC)
¿Qué proyecto elegimos?
Aunque el PI 2 la rentabilidad es más elevada, también es más elevado el riesgo, por lo que la elección
va a depender del grado de aversión al riesgo.
FUNCIÓN DE UTILIDAD DEL INVERSOR µ = E (VC ) − λσ (VC ) , siendo λ la aversión al riesgo.
PROBLEMA 11
En la figura que se adjunta se recoge el coeficiente de ajuste ∝ que aplica un inversor según sea el nivel de riesgo, o que
subjetivamente atribuye a los flujos de caja.
Debemos analizar para este inversor un determinado proyecto, que requiere un desembolso cierto de 1.700.000 euros y
cuyos flujos de caja estimados tienen el tamaño que se indica en la tabla siguiente, en la que también se recoge la clase de
riesgo en que se encuentra, según las percepciones de este inversor.
66
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (II)
Año
1
2
3
4
5
6
Flujo esperado
1.000.000
500.000
1.000.000
100.000
100.000
20.000
Clase de riesgo
σ1
σ2
σ3
σ4
σ5
σ6
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6
Se desea determinar el VC ajustado al riesgo de este proyecto, sabiendo que el tipo libre de riesgo es el 5 por 100.
VC = f (Qt )
VC = f (Q' t ) → (Q' t ) = (αQt )
Qα
Qα
Qα
Qα
Qα
Qα
VC = − A + 1 1 + 2 2 2 + 3 3 3 + 4 4 4 + 5 5 5 + 6 6 6
(1 + k ) (1 + k ) (1 + k ) (1 + k ) (1 + k ) (1 + k )
1000000 * 0,9 500000 * 0,8 1000000 * 0,6 100000 * 0,7 100000 * 0,6 20000 * 0,4
VC = −1700000 +
+
+
+
+
+
(1,05)
(1,05)2
(1,05)3
(1,05)4
(1,05)5
(1,05)6
VC = 148.827
Como 148.827 > 0 (positivo) SE ACEPTA EL PROYECTO
VAMOS A HACERLO CON EXCEL
67
Dirección Financiera I
1.700.000 €
5%
SOLUCIÓN CON EXCEL
Flujos ajustados
Flujo esperado Clase de riesgo Coeficiente de ajuste Ajuste FlujoxCoeficiente
1.000.000 €
900.000 €
α1
σ1
0,9
857.143 €
500.000 €
α1
σ1
0,8
400.000 €
362.812 €
1.000.000 €
α1
σ1
0,6
600.000 €
518.303 €
100.000 €
α1
σ1
0,7
70.000 €
57.589 €
100.000 €
α1
α1
σ1
σ1
0,6
60.000 €
47.012 €
0,4
8.000 €
5.970 €
20.000 €
TOTAL FLUJOS
DESEMBOLSO
VALOR CAPITAL
1.848.828 €
-1.700.000 €
148.828 €
Como 148.827 > 0 (positivo) SE ACEPTA EL PROYECTO
PROBLEMA 12
1NVEXOSA es una empresa dedicada a la fabricación y distribución de aparatos de informática muy especializados.
Dentro de sus planes de expansión en el área de la informatización de los aparatos médicos, ha decidido introducirse en el
área de los ordenadores quirúrgicos. Su departamento de investigación y desarrollo ha elaborado dos proyectos: 1 y II. El
proyecto 1 requiere mucha intervención de los médicos y personal clínico, por lo que se estima que su aceptación ser
inmediata. El proyecto II por el contrario, es un robot que realiza por si mismo la mayor parte de las operaciones, por lo
que se estima puede haber dificultades en su aceptación y el riesgo es mas elevado, si bien también son mayores los flujos
de caja esperados del mismo a un plazo mayor. En el panel A de la tabla de la siguiente página se recogen los flujos de
caja esperados de ambos provectos
Se pide:
a) El coste de capital, que incorpora ya el efecto de la inflación, es del 12 por 100. Además se estima que, para el primer
proyecto, sobre esa tasa es aplicable una prima de riesgo del 2 por 100, siendo del 8 por 100 la aplicable al segundo.
¿Qué inversión es preferible según el criterio del VAN?
b) ¿Qué coeficientes de ajuste a condiciones de certeza (α1) de los flujos de caja está aplicando INVEXOSA en los
proyectos anteriores al ajustar las tasas de descuento de sus inversiones?.
c) Si los coeficientes de ajuste de los flujos de caja son los que se recogen en el panel B de la tabla para cada provecto.
¿Qué proyecto tiene mayor rentabilidad absoluta?
Periodos
0
1
2
3
4
5
6
7
K=12%
a)
68
Panel A
Flujos de caja
I
II
-100
-200
80
10
100
50
110
100
150
150
150
200
150
300
500
Panel B
Coeficientes de ajuste
I
II
1
1
0,9
0,9
0,9
0,8
0,8
0,6
0,7
0,7
0,6
0,5
0,7
0,6
0,9
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (II)
P1 = 2% ⇒ S1 = 12% + 2% = 14% ⇒ 0,14
P2 = 2% ⇒ S 2 = 8% + 12% = 20% ⇒ 0,20
(1 + K )t =  1,12 t = 0,9825t ∀t = 0,1,...,6
(1 + S )t  1,2 
(1 + K )t =  1,12 t = 0,9333t ∀t = 0,1,...,7
P2 = 8% ⇒ α t =
(1 + S )t  1,2 
P1 = 2% ⇒ α t =
80
100
110
150
150
150
+
+
+
+
+
= 356,42
2
3
4
5
(1,14) (1,14) (1,14) (1,14) (1,14) (1,14)6
La inversión 1 Tiene mayor VAN
10
50
100
150
200
350
500
VC 2 = −200 +
+
+
+
+
+
+
=
293
,
65
(1,2) (1,2)2 (1,2)3 (1,2)4 (1,2)5 (1,2)6 (1,2)7
VC1 = −100 +
b)
Dando valores a t, y considerando una prima constante en el tiempo, y el riesgo siempre es creciente, los
coeficientes de ajuste son decrecientes
t
0
1
2
3
4
5
6
7
αt(PI1)
1
0,9825
0,9652
0,9483
0,9316
0,9153
0,8992
-
αt(PI2)
1
0,9330
0,8711
0,8130
0,7588
0,7082
0,6610
0,6170
c)
VC1 = −100 +
80 x0,9 100 x0,9 110 x0,8 150 x0 x7 150 x0,6 150 x0,7
+
+
+
+
+
= 269,66
(1,14) (1,14)2 (1,14)3 (1,14)4 (1,14)5 (1,14)6
VC 2 = −200 +
10 x0,9 50 x0,8 100 x0,6 150 x0,7 200 x0,5 350 x0,6 500 x0,9
+
+
+
+
+
+
= 300,85
(1,2) (1,2)2 (1,2)3
(1,2)4
(1,2)5
(1,2)6
(1,2)7
Es preferible el PI 2.
Problema 14
Una empresa está estudiando la posibilidad de renovar su equipo industrial por otro de características más
perfeccionadas, con objeto de absorber el creciente incremento de la demanda.
El capital invertido para el nuevo equipo se eleva a 500.000 euros; los flujos netos de caja incrementales después de
impuestos, . Qt previstos para cada período futuro, i, se recogen en la siguiente tabla:
Probabilidades
Año 1
Año 2
Año 3
100
0,1
0,2
0,3
200
0,2
0,3
0,4
300
0,3
0,4
0,2
400
0,4
0,1
0,1
1. Supuesto que los flujos netos de caja son variables aleatorias independientes y que la tasa de descuento, k, libre de
riesgo, es del 7 por 100, se desea determinar el Valor Capital más probable.
Q(miles euros)
2. Determinar la desviación típica alrededor del valor medio anterior.
3. Repetir el apartado anterior suponiendo que entre los flujos netos de caja de los diferentes períodos existe una
correlación igual a la unidad.
4. Realizar un estudio de la ley de distribución del Valor Capital en el supuesto de ser desconocida, y posteriormente
suponiendo que sigue la ley normal y continua. Utilizar los resultados de los dos primeros apanados.
A = 500.000 € ⇒ 500 (en miles de euros)
69
Dirección Financiera I
1.-
K 07% ⇒ p = o _(var iable sin dependientes _ Q0→ h =1
h
E (Qt ) = ∑ Qtr Pt r
r =1
E (Q0 ) = −500
E (Q1 ) = (100 x0,1) + (200 x0,2 ) + (300 x0,3) + (400 x0,4 ) = 300
E (Q2 ) = (100 x0,2 ) + (200 x0,3) + (300 x0,4 ) + (400 x0,1) = 240
E (Q3 ) = (100 x0,3) + (200 x0,4 ) + (300 x0,2 ) + (400 x0,1) = 210
E (VC ) = −500 +
300
240
210
+
+
= 160
2
(1,07 ) (1,07 ) (1,07 )3
2.-
σ 2 (Qt ) = ∑ [Qtr − E (Qt )] Pt r
2
h
r =1
[
]
(Q ) = [(100 − 300) x0,1] + [(200 − 300) x0,2] + [(300 − 300) x0,3] + [(400 − 300) x0,4] = 10.000 → σ (Q ) = 100
(Q ) = [(100 − 240) x0,2] + [(200 − 240 ) x0,3] + [(300 − 240) x0,4] + [(400 − 240) x0,1] = 8.400 → σ (Q ) = 92
(Q ) = [(100 − 210) x0,3] + [(200 − 210) x0,4] + [(300 − 210) x0,2] + [(400 − 210) x0,1] = 8.900 → σ (Q ) = 94
σ (Q0 ) = (500 − 500)2 x1 = −500 → σ (Q0 ) = 0
2
σ
2
σ
2
σ
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
σ 2 (VC ) = 0 +
10.000
(1,07 )
2
+
8.400
(1,07 )
4
+
8.900
(1,07 )6
= 21.117
σ (VC ) = 21.117 = 145
3- Si ρ=1⇒K=0,07
σ 2 (VC ) = 0 +
10.000
(1,07 )
2
+
8.400
(1,07 )
4
+
8.900
(1,07 )
6
+2
100 x92
(1,07 )
3
+2
100 x94
(1,07 )
4
+2
92 x94
(1,07 )5
= 62.767
σ (VC ) = 62.767 = 250,5334
4- Calcular P(VC)>0 aplicando Tchebycheff.
Por el apartado a)
P (VC − 160 ≥ 145C ) ≤
E(VC) = 160
σ(VC) = 145
ρ=0
1
C2
La información de esta desigualdad es que la probabilidad de que el VC esté fuera del intervalo (160-145C,160+145C) es
2
≤1/c .
Pero me interesa saber P(VC)<0, que es lo mismo que determinar que P(VC)∈(0,∞). Por tanto, me interesa que el extremo
inferior sea 0, y tomo “C” en consecuencia:
160 - 145C = 0 ⇒ C = 1,10
El extremo superior será: 160 + 145 . 1,1 = 320.
Mi intervalo (0,320)
Para aproximar la probabilidad dentro del intervalo (0,∞), voy a calcular la probabilidad dentro del intervalo (0,320).
70
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (II)
320
0
Es decir, con C = 1,1 Tchebycheff me dice que la probabilidad de que el VC esté fuera del intervalo (0,320) es ≤ 1/1,12.
Por tanto, la probabilidad de que se encuentre dentro de un intervalo (a,b) es:
(a,b) = 1 – Tchebycheff ⇒ probabilidad de que esté fuera.
Para aproximar la probabilidad de que esté dentro del intervalo (0,320) ⇒ 1 – 1/1,12.
- Probabilidad que busco: P(VC > 0).
- Aproximo a ella: probabilidad de que esté dentro del intervalo (0,320).
Probabilidad que busco = complementaria Tchebycheff
P(0 ≤ VC ≤ 320) = 1 − P(VC − 160 ≥ 145C ) ≥ 1 −
≤
1
1,12
1
1,12
≈ 17%
La probabilidad de estar dentro de (0,320) es ≥ 17%.
El que sea una buena aproximación depende de la forma de distribución del VC. Depende de cómo sea la probabilidad de
(320, ∞).
320
0
Queda muy poca probabilidad a la derecha de 320, por lo que la aproximación es buena.
0
320
Queda mucha probabilidad a la derecha de 320, por lo que la aproximación no es buena.
71
Dirección Financiera I
Podemos aproximar P(VC > 0) de otra manera, ya que no sabemos si es buena o no P(VC >0 ).
- Número de flujos: 3.
- Máximo valor de cada flujo: 400.
- ∑Qt = 3 x 400 = 1.200.
- Flujo negativo cierto: Q0 = -500
- VC máximo: 1.200 – 500 = 700(va a ser menor porque los flujos hay que descontarlos).
Para aproximar P(VC > ), podemos aproximar P(0 ≤ VC ≤ 700). Esto, bajo la hipótesis de que la distribución del VC es
simétrica respecto de su E(VC).
Suponiendo que VC ∼ N(160,145) Calcular P(VC >0 ).
VC − E (VC ) 0 − E (VC ) 
0 − 160 

P(VC> 0 )0tipificamos = P 
>
 = P(VC* > −1,10)
 = PVC* >
(
)
(
)
σ
σ
145 
VC
VC



P(VC* < 1,10) − ∅(1,10) = por _ tablas = 0,8643 ⇒ 86,43%
-1,1
1,1
La aproximación de Tchebycheff es siempre peor que si la hallamos por la distribución de probabilidad.
PROBLEMA 15
Una empresa se está planteando llevar a cabo una inversión, de la que conoce sus flujos de caja en términos de
probabilidad, según la tabla adjunta. Sabiendo que el coste del capital es del 7%.
Momento actual
Año 1
Año 2
Año 3
Valores de Prob.
Valores de Prob.
Valores de Prob.
Valores de Prob.
Q0
Q1
Q2
Q3
-40.000
0,10
10.000
0.05
18.000
0,10
25.000
0.03
-42.000
0,15
12.000
0.10
20.000
0,17
28.000
0.17
-44.000
0,25
14.000
0.35
22.000
0,23
31.000
0.30
-16.000
0,25
16.000
0.35
24.000
0,23
34.000
0.30
-15.000
0,15
18.000
0.10
26.000
0,17
37.000
0.17
-50000
0,10
20.000
0.05
28.000
0,10
40.000
0.03
Se pide:
1. Calcular la esperanza matemática del valor capital
2. Calcular la desviación estándar suponiendo que los flujos de caja son independientes.
3. Suponiendo que la variable sigue una ley de probabilidad normal, Calcular
3a) Probabilidad de que VC>0.
3b) Probabilidad de que VC≤0.
3c) Probabilidad de qué VC se encuentre, entre la media y una vez (en más o menos) la desviación típica.
3d) Probabilidad de qué VC se encuentre, entre la media y dos veces (en más o menos) la desviación típica.
3e) Probabilidad de qué VC se encuentre, entre la media y tres veces (en más o menos) la desviación típica.
4. Suponiendo que no se conoce la ley de probabilidad que sigue el VC. Calcular:
4ª) Probabilidad de qué VC se encuentre, entre la media y dos veces (en más o menos) la desviación típica.
4b. Probabilidad de qué VC se encuentre, entre la media y tres veces (en más o menos) la desviación típica.
K = 0,07
72
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (II)
1.- Hay que calcular la esperanza de cada flujo.
E (Q0 ) = (− 40.000 x 0,1) + (− 42.000 x0,15) + (− 44.000 x0,25) + (− 46.000 x0,25) + (− 48.000 x0,15) + (− 50.000 x0,1) = −45.000
E (Q1 ) = 15.000
E (Q2 ) = 23.000
E (Q3 ) = 32.500
E (VC ) = E (Q0 ) +
1
(1 + K )
E (Q1 ) +
1
(1 + K )
2
E (Q2 ) +
1
(1 + K )
3
E (Q3 ) = −45.000 +
15.000 23.000 32.500
+
+
= 15.638
(1,07 ) (1,07)2 (1,07)3
2.- Etapa 2 del Modelo de Hillier
σ 2 (Q0 ) = 0,1[− 40.000 − (− 45.000)]2 + 0,15[− 42.000 − (− 45.000)]2 + 0,25[− 44.000 − (− 45.000)]2 +
+ 0,25[− 46.000 − (− 45.000 )] + 0,15[− 48.000 − (− 45.000 )] + 0,1[− 50.000 − (− 45.000 )] = 8.200.000
2
2
2
⇒ 8,2millones
σ 2 (Q1 ) = 5.000.000 ⇒ 5millones
σ 2 (Q2 ) = 8.520.000 ⇒ 8,52millones
σ 2 (Q3 ) = 11.610.000 ⇒ 11,61millones
σ 2 (VC ) = 8,2 +
5
(1,07 )
2
+
8,52
(1,07 )
4
+
11,61
(1,07 )6
= 26.803.294 ⇒ σ (VC ) = 5.177
3.- a) VC ∼ N(15.638,5.177)
0 − 15.638 

P(VC> 0)0tipificamos = P VC >
= P(VC* > −3,02) =
5.177 

P(VC* < 3,02) − ∅(3,02) = por _ tablas = 0,9987 ⇒ 99,87%
b)
0 − 15.638 

P(VC ≤ 0 )0tipificamos = P VC* ≤
= P(VC* ≤ −3,02) =
5.177 

P(VC* ≥ 3,02) = 1 − P(VC* < 3,02)
P(VC* ≥ 3,02) = 1 − ∅(3,02) = 1 − 0,9987 = 0,13%
c) P[E (VC ) − σ (VC ) < VC < E (VC ) + σ (VC )]
E(VC)
-
(VC)
(VC)
= P[15.638 − 5.177 < VC < 15.638 + 5.177] = P(10.461 < VC < 20.815)
probabilidad dentro del intervalo (a,b)=∅(b)- ∅(a)
a = 10.161.
b = 20.215
= P[(VC < 20.815) − P(VC < 10.461) = tipificamos = p(VC* < 1) − p(VC* < −1)] = P (VC* < 1) − P(VC* > 1)
73
Dirección Financiera I
-1
1
0
= P(VC* < 1) − [1 − P(VC* < 1)] = ∅(1) − 1 + ∅(1) = 2∅(1) − 1 = 2(0,8413) − 1 = 0,6826 = 68,26%
d) P[E (VC ) − 2σ (VC ) < VC < E (VC ) + 2σ (VC )] = 95,44%
e)
P[E (VC ) − 3σ (VC ) < VC < E (VC ) + 3σ (VC )] =
P[15.638 − 3x5.177 < VC < 15.638 + 3x5.177] =
∅(31.169) − ∅(107 ) = P(VC < 31.169) − P(VC < 107 ) = tipifico =
31169 − 15.638 
107 − 15.638 


PVC <
 − PVC <
=
5.177
5.177




P(VC* < 3) − P(VC* < −3) = P(VC* < 3) − P(VC* > 3) =
P(VC* < 3) − [1 − P(VC* < −3)] = ∅(3) − 1 + ∅(3) = 2∅(3) − 1 =
2(0,9987) − 1 = 09974 = 99,74%
4 Tchebycheff
P[E (VC ) − 2σ (VC ) < VC < E (VC ) − 2σ (VC )] = P[15.638 − 2(5.177 ) < VC < 15.638 + 2(5.177 )]
Aproximamos por Tchebycheff: probabilidad de que esté fuera de un intervalo abierto.
[E (VC ) − Cσ (VC ), E (VC ) + Cσ (VC )] ≤
1
C2
En nuestro intervalo
C = 2 ⇒ [E (VC ) − Cσ (VC ), E (VC ) + Cσ (VC )] ≤
[
]
P VC − 15.638 ≥ 2(5.177 ) ≤
1
22
1
= 0,25
4
Desarrollo del valor absoluto: x − 2 ≥ 4
- −x + 2 ≥ 4 ⇒ −x ≥ 4 − 2 ⇒ x ≤ 2 − 4
+ x+2≥ 4⇒ x ≥4+2
En nuestro caso:
P (VC − 15.638 ≥ 2(5.177 )) = P(VC ≤ 15.638 − 2(5.177)) + P(VC ≥ 15.638 + 2(5.177))
Aproxima la probabilidad de que esté fuera del intervalo, y así sabré la de dentro, ya que es la probabilidad total menos la
de estar fuera.
Tchebycheff P(VC ≤ 5.284 ) + P (VC ≥ 25.992 ) ≤ 0,25
Necesito la probabilidad de dentro de (5.284,25.992)
P(a,b) = 1 – Tchebycheff
P(5.284,25992) ⇒ P(5.284 < VC < 25.992) = 1 − Tchebycheff
P(5.284 < VC < 25.992) = 1 − (a lg o ≤ 0,25) ≥ 0,75 ⇒ 75%
b) 88,89% igual que en anterior solamente cambiando C = 2 por C = 3.
74
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (II)
6.2 SIMULACIÓN DE LAS DECISIONES DE INVERSIÓN. EL
MODELO DE HERTZ.
El concepto de simulación se refiere a la reproducción de situaciones reales mediante fenómenos
parecidos, pero artificiales. El modelo básico de simulación es el Modelo de Montecarlo.
El Modelo de Montecarlo consiste en un muestreo artificial o simulado, ya que parte de generar
números aleatorios que se van a transformar en observaciones, a través de un determinado proceso.
El muestreo artificial se hace ante la imposibilidad (o porque resulta muy costoso) de obtener esa
muestra en la realidad. El tamaño óptimo es de 5.000 ó 6.000 observaciones. Es por esto que solo se ha
hecho operativo tras la existencia de los ordenadores.
La aplicación del Modelo de Montecarlo a la toma de decisiones de inversión la aplicó Hertz en dos
trabajos (1964 y 1968). Este modelo se desarrolla en varias etapas:
1.- Formular el problema: determinar qué queremos conocer.
2.- Establecer un modelo matemático para la resolución del problema.
3.- Determinar:
a) Las variables o factores de los que dependen las magnitudes determinantes del PI (A, Qj, K).
Hert hace una lista de estos factores y los divide en tres tipos:
– Factores de mercado: cuota de mercado de una empresa, tamaño del mercado, tasa de
crecimiento, etc.
– Factores de inversión: tamaño de la inversión, tamaño del desembolso inicial (A), vida útil
del PI. Si existe valor residual (VR), etc.
– Factores de ingresos y costes: costes fijos, precio de venta, etc. (para los factores de ingresos
y pagos necesitamos saber los plazos de cobro a clientes y de pago a proveedores)
b) Qué factores vienen dados en condiciones de certeza y cuáles no.
4.- 2 pasos:
a) Simulación de las variables aleatorias, si no las conocemos con certeza. Para ello, necesitamos
información: función de densidad
– Caso continuo: si las variables aleatorias son continuas, la función de distribución la
hallamos integrando la función de densidad o cuantía.
Función de distribución: F(x)
Función de densidad: f(x)
F (x ) =
x
∫ f (u )du
−∞
Caso discreto: no se necesita representar la función de distribución. Basta conocer:
o Sucesión de probabilidades acumuladas.
o Los valores que la función de distribución asigna a esa variable en función de cómo
sean esas probabilidades acumuladas.
Una vez que las simulamos, podemos calcular A, Qj y K, y vamos a poder calcular VC, TR y
Pay Back. Como tenemos 5.000 ó 6.000 simulaciones, tendremos un VC, una TR y un Pay
Back para cada simulación.
b) Estudio probabilístico. Una vez caracterizados el VC, TR y Pay Back, con la desviación típica y
la esperanza podré llevar a cabo el estudio probabilístico.
Si la distribución es normal, tipifico para pasarlo a una N(0,1).
Si no conocemos la distribución aplicamos el Teorema de Tchebycheff.
5.- Análisis de los resultados. Comparación con resultados históricos conocidos. Determino que las
probabilidades son x y analizo esos resultados, y los comparo con otros.
6.- Generación de nuevos bloques de números aleatorios y repetición del proceso. Si se parecen a los
de antes, el grado de confianza es muy elevado. Utilizamos un bloque de números para cada variable.
–
75
Dirección Financiera I
Problema 16
Supongamos el caso de una empresa que trata de introducir en el mercado un nuevo producto.
Esta operación le supone a la empresa un desembolso inicial de 73.000 euros, con cuya cantidad se puede hacer frente al
coste de adquisición de las nuevas máquinas, publicidad y demás costes inherentes al lanzamiento. Esta cantidad, dado
que viene expresada en precios actuales, se puede considerar como muy aproximada a la realidad, es decir, vamos a
trabajar con ella como si se tratara de una magnitud cierta.
La capacidad de las nuevas instalaciones es de 20.000 unidades de producto por año, cantidad que el mercado puede
absorber perfectamente, y que vamos a trabajar con ella como si se tratara de una magnitud conocida con certeza
La vida probable del producto se estima en cinco años, con la distribución de probabilidad que se establece en la hoja vida
útil.
Distribución de probabilidad de vida útil
PROBABILIDAD DE VIDA ÚTIL DEL PRODUCTO
Años de vida
Probabilidad
Probabilidad acumulada
3
0,10
0,10
4
0,20
0,30
5
0,40
0,70
6
0,20
0,90
7
0,10
1,00
SUMA
1,00
El precio de venta del producto tampoco se conoce con certeza. Existe el 50% de probabilidad de que el precio sea de 3
euros, el 25% de que se halle comprendido entre 2 y 3 euros y otro 25% de probabilidad de que esté comprendido entre 3 y
4 euros. Esta información acerca del precio del producto nuevo se recoge en la hoja de precio de venta
Precio de venta
PROBABILIDAD DE VIDA ÚTIL DEL PRODUCTO
Marca de clase
Precio Probabilidad
Probabilidad acumulada
2,5
2-3
0,25
0,25
3
3
0,50
0,75
3,5
3-4
0,25
1,00
SUMA
1,00
El coste variable unitario no puede conocerse con exactitud, dado que la actual coyuntura económica es muy cambiante y
los precios de los imputs necesarios para producir el nuevo producto puede oscilar entre 0,1 y 0,2 euros, siguiendo una
distribución uniforme o rectangular, es decir, no se dispone de información suficiente para poder conocer los valores
intermedios privilegiados (con mayor probabilidad). La distribución de probabilidad del coste variable aparece recogida
en el sistema de coordenadas de la hoja coste variable
Coste variable unitario
COSTE VARIABLE UNITARIO
1
0,8
0,6
0,5
0,4
0,2
0,10
0,12
0,14
0,15
0,16
0,18
0,20
Para el problema concreto que estamos estudiando, y dada la situación del mercado financiero, se considera aceptable un
tipo de actualización o descuento del 5%
Con todos estos datos se quiere conocer el valor medio del plazo de recuperación del valor capital y de la tasa de retorno
de esta inversión, así como sus correspondientes desviaciones estándar.
A.- HOJA DE CÁCULO
1. Construyo la hoja de cálculo con las fórmulas que voy a necesitar
76
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (II)
N' de Números aleatorios Vida Precio Coste Desemb.
PAYBACK
VC
FLUJOS
Sim. 1,0
2,0
3,0
útil venta venta
inicial
1
2
3
4
5
6
7
1 =ALEATORIO()
2
=ALEATORIO()
3
ALEATORIO()
=SI(B6<='Vida Útil'!$C$3;'Vida Útil'!$A$3;SI(B6<='Vida Útil'!$C$4;'Vida Útil'!$A$4;SI(B6<='Vida Útil'!$C$5;'Vida
4
Útil'!$A$5;SI(B6<='Vida Útil'!$C$6;'Vida Útil'!$A$6;SI(B6<='Vida Útil'!$C$7;'Vida Útil'!$A$7)))))
TR
=SI(C7<='Precio de venta'!$D$3;'Precio de venta'!$A$3;SI(C7<='Precio de venta'!$D$4;'Precio de
venta'!$A$4;SI(C7<='Precio de venta'!$D$5;'Precio de venta'!$A$5)))
5
=SI(D8<='Coste variable'!$A$12;'Coste variable'!$D$15;SI(D8<='Coste variable'!$A$10;'Coste
variable'!$E$15;SI(D8<='Coste variable'!$A$9;'Coste variable'!$F$15;SI(D8<='Coste variable'!$A$8;'Coste
6
variable'!$G$15;SI(D8<='Coste variable'!$A$6;'Coste variable
7
=-Datos!$E$4
8
=Datos!$E$7*(SIMULACIÓN!$F10-SIMULACIÓN!$G10)
9
=Datos!$E$7*(SIMULACIÓN!$F11-SIMULACIÓN!$G11)
10
=Datos!$E$7*(SIMULACIÓN!$F12-SIMULACIÓN!$G12)
11
=SI($E13<L$2;"0";Datos!$E$7*(SIMULACIÓN!$F1312
=SI($E14<M$2;"0";Datos!$E$7*(SIMULACIÓN!$F1413
=SI($E15<N$2;"0";Datos!$E$7*(SIMULACIÓN!$F15-SIMULACIÓN!$G15))
14
=SI($E16<O$2;"0";Datos!$E$7*(SIMULACIÓN!$F16-SIMULACIÓN!$G16))
=SI(H17+I17>=0;1;SI(H17+(I17+J17)>=0;2;SI(H17+(I17+J17+K17)>=0;3;SI(H17+(I17+J17+K17+L17)>=4;SI(H17+(I17+J
17+K17+L17+M17)>=5;SI(H17+(I17+J17+K17+L17+M17+N17)>=0;6;SI(H17+(I17+J17+K17+L17+M17+N17+O17)>=0;7
15 )))))))
16
=VNA(Datos!E34;I18:O18)*(1,05)
17
=TIR(H19:O19;0,1)
Fila 202
ESPERANZA PAY BACK
=PROMEDIO(P3:P201)
ESPERANZA VC
=PROMEDIO(Q3:Q201)
ESPERANZA TR
=PROMEDIO(Q3:Q201)
Fila 203
DESVIACIÓN TÍPICA PAY BACK
=DESVESTP(P3:P202)
DESVIACIÓN TÍPICA VC
=DESVESTP(Q3:Q202)
DESVIACIÓN TÍPICA TR
=DESVESTP(R3:R202)
2.
3.
Arrastro las fórmulas hasta completar la hoja con las 200 simulaciones que vamos a hacer en este ejercicio
Construyo la hoja de cálculo con las fórmulas que voy a necesitar
FLUJOS
N' de Números aleatorios Vida Precio Coste Desemb.
PAYBACK
VC
TR
Sim. 1,0
2,0
3,0
útil venta venta
inicial
1
2
3
4
5
6
7
1
0,4
0,2
0,6
5
2,5
0,2
-7.000 46.800 46.800 46.800 46.800 46.800
0
0
1 212.750 6,7
2
0,4
0,7
0,2
5
3,0
0,1
-7.000 57.600 57.600 57.600 57.600 57.600
0
0
1 302.400 8,2
3
0,8
0,2
0,9
6
2,5
0,2
-7.000 46.000 46.000 46.000 46.000 46.000 46.000
0
1 289.800 6,6
4
0,9
0,9
0,3
7
3,5
0,1
-7.000 67.200 67.200 67.200 67.200 67.200 67.200 67.200
1 493.920 9,6
5
0,2
0,5
0,1
4
3,0
0,1
-7.000 57.600 57.600 57.600 57.600
0
0
0
1 241.920 8,2
6
0,6
0,7
0,7
5
3,0
0,2
-7.000 56.400 56.400 56.400 56.400 56.400
0
0
1 296.100 8,1
7
0,7
0,5
0,3
5
3,0
0,1
-7.000 57.200 57.200 57.200 57.200 57.200
0
0
1 300.300 8,2
8
0,7
0,1
0,2
5
2,5
0,1
-7.000 47.200 47.200 47.200 47.200 47.200
0
0
1 247.800 6,7
9
0,5
1,0
0,5
5
3,5
0,2
-7.000 67.000 67.000 67.000 67.000 67.000
0
0
1 351.750 9,6
10
0,2
0,1
0,8
4
2,5
0,2
-7.000 46.000 46.000 46.000 46.000
0
0
0
1 193.200 6,6
Fila 202
ESPERANZA
1 298.598 8,1
Fila 203
DESVIACIÓN TÍPICA
0 78.356 1,0
B.- ESTUDIO PROBABILÍSTICO..
1.- PAY BACK

3 − 3,43 
P( p < 3) = P  p* <
= P( p* < −0,29) = P( p* > 0,2945) = 1 − P( p* < 0,2945) = 1 − 0,6141 = 0,3859 ⇒ 38,59%
1,46 

P(p<3) probabilidad de que el Pay Back sea < 3 años.
2.- VAN

3 − 3.079,735 
P(VC > 0) = P VC >
= P(VC* > −1,16) = P(VC* < 1,16) = 0,8870 ⇒ 88,7%
2.650,383 

3.- TIR

0,05 − 0,1941
P(r > 0,05) = P r* >
= P(r* > −1,15) = P(r* < 1,15) = 0,8749 ⇒ 87,49%
0,1252 

6.3 LAS
DECISIONES
DE
INVERSIÓN
SECUENCIALES:
ÁRBOLES DE DECISIÓN Y ANÁLISIS BAYESIANO.
77
Dirección Financiera I
Hablamos de decisión de inversión secuenciales cuando consideramos las correlaciones que existen
entre las decisiones de inversión que toma la empresa. Este tipo de decisiones de inversión
secuenciales se pueden analizar por los Árboles de Decisión o por el Análisis Bayesiano.
6.3.1.- ANÁLISIS BAYESIANO.
Este análisis se realiza aplicando el Teorema de Bayes, que se basa en la probabilidad de un hecho,
condicionado a que otro haya ocurrido.
6.3.2.- ÁRBOLES DE DECISIÓN.
Hasta ahora hemos considerado una única decisión de aceptación o rechazo, y no hemos considerado
que esta primera decisión condiciona decisiones futuras, y a su vez, viene condicionada por decisiones
tomadas previamente, así como por la evolución y comportamientos económicos.
TIPOS DE NUDOS
DECSIONALES O DE DECISIÓN: cada una de las ramas representa una decisión
alternativa
ALEATORIOS O DE AZAR: las ramas que surgen, representan diferentes estados del
entorno económico o naturaleza.
Problema 18
Los científicos de MOPASA, cuyo coste de capital es 10%, han diseñado una mopa eléctrica y la empresa esta dispuesta a
llevar adelante una producción piloto y unas pruebas comerciales. La fase preliminar durará un año y costará 125. La
dirección cree que sólo existe un 50% de probabilidad de que la producción piloto y las pruebas comerciales tengan éxito.
Si lo tienen, entonces MOPASA construirá una planta de 1.000, que generará perpetuamente unos flujos esperados de
tesorería de 250 anuales. Si no tiene éxito, la planta sólo generará, también perpetuamente, 75 anuales. ¿Considera
acertada la producción piloto?
Nota 1: Cifras en miles de euros.
Nota 2: Sin hacer una producción piloto y unas pruebas comerciales la empresa no se plantea construir una planta de
producción.
K = 10%
Producción piloto + pruebas comerciales = A = 125
78
-
Probabilidad de éxito: 0,5 ⇒ [Planta A = 1.000] ⇒ Q = 250/año (perpetuos)
-
Probabilidad de fracaso: 0,5 ⇒ [Planta A = 1.000] ⇒ Q = 75/año (perpetuos)
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (II)
Invertir
Q = 250/año
A = 1.000
ÉXITO (0,5)
1
A=0
A = 125
No invertir
VC=0
Invertir
PRUEBAS
Q = 75/año
A = 1.000
3
FRACASO (0,5)
2
A=0
No invertir
VC=0
NO PRUEBAS
FIN
A=0
t0
A1
t1
A1
t2
Resolvemos cada nudo decisional de derecha a izquierda.
Para resolver un nudo, evaluamos el VC que me ofrece cada una de las alternativas.
Analizamos las alternativas y hallo el VC esperado y elijo aquella que me proporcione mayor VC esperado.
NUDO 1:
VC = − A + Qa
k
= − A + Q.Limn→∞
(1 + K )n − 1 = − A + Q
K
K (1 + K )n
Invertir:
VCt1 = − A +
Q
250
= −1.000 +
= 1.500
K
0,1
No invertir:
VCt1 = 0
NUDO 2:
Invertir:
VCt1 = − A +
Q
75
= −1.000 +
= −250
K
0,1
No invertir:
VCt1 = 0
NUDO 3:
Pruebas:
VCt 0 = −125 +
[(0,5 x1.500) + (0,5x0)] = 556,8
1,1
⇒/1,1 porque actualizamos 1 periodo, ya que 1.500 y 0 son cantidades del momento t1 y el nudo 3 es del momento t0.
No pruebas:
VCt 0 = 0
VC Pruebas > VC no pruebas ⇒ 556,8 > 0
DECISIÓN: LLEVAR A CABO LAS PRUEBAS. Si tiene éxito, invertimos, y si fracasan, no invertimos.
Problema 19
Ante la crisis de la compañía Iberia, acompañada de frecuentes huelgas, varias empresas españolas deciden crear la
empresa VIDISA, cuya principal actividad es ofrecer un servicio de vuelo para directivos, siendo el coste del capital del
10%. La dirección de VIDISA encarga a PRICE MARKETHOUSE un estudio de la demanda por parte de las empresas, y
79
Dirección Financiera I
de los cobros y pagos previstos que se originarían con cada una de las demandas, considerando dos posibles alternativas.
La primera sería comprar un turbopropulsor nuevo de marca por 550. La segunda alternativa seria la compra de un avión
de segunda mano con motor a combustión que sólo cuesta 250, pero que tiene menor capacidad y la dirección de VIDISA
es consciente de que este aparato tendrá un menor atractivo para los posibles clientes. Además PRICE MARKETHOUSE
señala que debido al diseño anticuado de su motor las aeronaves de combustión están perdiendo valor con rapidez, por lo
que dentro de un año se podría adquirir otro si fuera necesario por sólo 150.
En cuanto al estudio de demanda, PRICE MARKETHOUSE trasmite a la dirección de VIDISA que existe una probabilidad
del 40 por ciento de que la demanda sea baja el primer año. Si esto sucede, existe una probabilidad del 60 por ciento de
que se mantenga baja en los años siguientes. Por el contrario, si la demanda inicial es alta, existe una probabilidad del 80
por ciento de que lo siga siendo los restantes años.
Con estos datos y teniendo en cuenta el tipo de avión que se adquiera, lo cual influirá en los cobros y pagos que se
realicen, PRICE MARKETHOUSE obtiene los siguientes resultados de su estudio:
Para el avión turbopropulsor si la demanda es alta el primer año estima que los cobros serán 1200 y los pagos 1050,
mientras que si la demanda se mantiene alta el segundo año el valor actualizado de todos los cobros y pagos al final del
segundo año será 960, siendo 220 en el caso contrario. Para esta misma aeronave si la demanda es baja el primer año se
estima que los cobros disminuirán en 120 y los pagos permanecerían igual, mientras que si la demanda se mantiene baja
el segundo año el valor actualizado de todos los cobros y pagos al final del segundo año será 140, siendo 930 en el caso
contrario.
Para el avión con motor a combustión si la demanda es alta el primer año se estima que los cobros y pagos serían
respectivamente 1000 y 900, mientras que si la demanda se mantiene alta el segundo año el valor actualizado de todos los
cobros y pagos al final del segundo año será 410, que aumentaría en 390 si se comprase otro avión igual, en caso
contrario el valor actualizado al final del segundo año sería de 180, que disminuiría en 80 si se comprase otro avión igual.
Para esta misma aeronave si la demanda es baja el primer año los cobros y los pagos disminuirían en un 50 por ciento,
mientras que si la demanda se mantiene baja el segundo año el valor actualizado de todos los cobros y pagos al final del
segundo año será 100, siendo 220 en caso contrario.
a) Teniendo en cuenta esta información la dirección de la empresa quiere saber qué avión comprar.
b) De otra parte la dirección tiene la sospecha de que no sea posible la alternativa de comprar otro avión de combustión
por 150 el segundo año, por lo que quiere saber en qué variarían los resultados en este supuesto. Advierten al director
financiero que se plantean acordar con la empresa que vende el primer avión a combustión una opción de compra europea
con fecha de vencimiento a inicio del segundo año, y a un precio de ejercicio de 150, por lo que le sugieren que les
orienten acerca del precio que podrían pagar por esta opción.
c) Algunos de los miembros del Consejo de Administración de VIDISA son muy pesimistas acerca del comportamiento de
la demanda para los próximos años, por lo que consultaron a PRICE MARKETHOUSE el precio en el que se podrían
vender los aviones pasado un año si la demanda era baja, obteniendo un precio de 500 y 150 para el avión turbopropulsor
y el avión con motor de combustión respectivamente. Por ello, piden al director financiero que determine qué avión
comprar considerando este supuesto. Además, ante la sospecha de los miembros pesimistas del Consejo de Administración
de que una bajada de la demanda influya negativamente sobre los precios de mercado de las aeronaves, se pide al director
financiero informe al Consejo de Administración acerca del precio que podrían pagar por una opción de venta europea
con fecha de vencimiento final del primer año y precio de ejercicio los estimados por PRICE MARKETHOUSE, para
asegurarse una opción de abandono de la inversión.
Nota: Cifras en miles de euros.
a) Nos piden: DECIDIR QUE AVIÓN COMPRAR
K = 10%
ALTERNATIVAS
Tipo de avión
Desembolso (A)
TURBO
550 miles de euros.
COMBUSTIÓN
250 miles de euros.
Posibilidad de ampliación en t1 a otro con A = 150
ANÁLISIS DE LA DEMANDA
PRIMER AÑO
SIGUIENTES AÑOS
Demanda Baja (DB = 0,4)
Demanda Baja (DB = 0,6)
Demanda Alta (DA = 0,4)
Demanda Alta (DA = 0,6)
Demanda Baja (DB = 0,8)
Demanda Alta (DA = 0,2)
80
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (II)
ANÁLISIS DE LOS COBROS Y PAGOS
1º AÑO
C = 1.200
DA
P = 1.050
TURBO
C = 1.080
DB
P = 1.050
1º AÑO
2º AÑO
DA(t2)
DB(t2)
DB(t2)
DA(t2)
2º AÑO
C = 1.000
DA(t2)
C = 400
DB(t2)
C = 500
P = 450
DB(t2)
DA(t2)
DA
COMBUSTIÓN
DB
Va.Qj = 960
Va.Qj = 220
= 140
= 930
Va.Qj = 410
Ampliación:
Va.Qj = 800
Va.Qj = 100
Ampliación:
Va.Qj = 220
Va.Qj = 100
Va.Qj = 220
DA (0,8)
Va.Qj = 960
DA (0,6)
Q1=1.200-1.050=150
DB (0,2)
Va.Qj = 220
A = 550
DA (0,4)
Va.Qj = 930
DB (0,4)
TURBO
Q1=1.080-1.050=30
DB (0,6)
Va.Qj = 140
2
DA (0,8)
Va.Qj = 800
AMPLIAR
COMBUSTIÓN
A = 150
DB (0,2)
DA (0,6)
Va.Qj = 100
1
Q1=100
DA (0,8)
Va.Qj = 410
NO AMPLIAR
A=0
DB (0,2)
A = 250
Va.Qj = 180
DA (0,6)
Va.Qj = 100
DB (0,4)
Q1=50
t0
A1
DB (0,4)
Va.Qj = 220
t1
A1
t2
NUDO 1:
Ampliar:
V .C. Ampt1 = −150 +
No ampliar:
V .C.Noampt1 = −0 +
0,8(800 t 2 ) + 0,2(100 t 2 )
= 450
1,1
0,8(410 t 2 ) + 0,2(180 t 2 )
= 331
1,1
81
Dirección Financiera I
El Valor capital de ampliar es mayor que el de no ampliar. Por tanto, la decisión en este nudo es AMPLIAR.
NUDO 2:
Turbo:
V .C.Turbo = −550 +
Combustión:
V .C .Turbo = −250 +
0,6(150) + 0,4(30) 0,6[0,8(960) + 0,2(220)] + 0,4[0,4(930) + 0,6(140)]
+
= 96
1,1
(1,1)2
0,6(100 + 450) + 0,4(50 ) 0,4[0,4(220 ) + 0,6(100 )]
+
= 117
1,1
(1,1)2
El Valor capital del avión de combustión es mayor que el turbo. Por tanto, la decisión óptima en este nudo es
COMPRAR EL AVIÓN DE COMBUSTIÓN
b) Nos piden: DECIDIR QUE AVIÓN COMPRAR SI NO ES POSIBLE COMPRAR EL SEGUNDO AVIÓN
DA (0,8)
Va.Qj = 960
DA (0,6)
Q1=150
DB (0,2)
Va.Qj = 220
A = 550
DA (0,4)
Va.Qj = 930
DB (0,4)
TURBO
Q1=30
DB (0,6)
Va.Qj = 140
1
DA (0,8)
VC=331
Va.Qj = 410
DA (0,6)
COMBUSTIÓN
Q1=100
DB (0,2)
Va.Qj = 180
A = 250
DA (0,6)
Va.Qj = 100
DB (0,4)
Q1=50
DB (0,4)
Va.Qj = 220
No es posible la ampliación.
NUDO 2:
Turbo:
V .C.Turbo = −550 +
0,6 * (150) + 0,4 * (30) 0,6 * [0,8 * (960) + 0,2 * (220)] + 0,4 * [0,4 * (930) + 0,6 * (140)]
+
= 96
1,1
(1,1)2
Combustión:
V .C.Comb = −250 +
0,6 * (100) + 0,4 * (50) 0,6 * [0,8 * (410) + 0,2 * (180)] + 0,4 * [0,4 * (220) + 0,6 * (100)]
+
= 52
1,1
(1,1)2
El Valor capital del avión turbo es mayor que el de combustión. Por tanto, la decisión óptima en este nudo es
COMPRAR EL AVIÓN TURBO
La probabilidad de ampliar la compra de otro avión de combustión si tiene valor para la empresa, pero bajo el
supuesto de no poder ampliar, elegiría el avión Turbo.
82
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (II)
NOS PLANTEAMOS LA OPCIÓN DE COMPRAR UNA OPCIÓN DE COMPRA
OPCIÓN: contrato que se negocia en el momento t0. Los elementos de dicho contrato son
- Prima o precio de la opción: la pago cuando negocio el contrato, en el momento t0.
- Precio de ejercicio: precio del bien o el activo al que se refiere el contrato (ya sea pagado como
desembolso en el caso de una opción de compra, o cobrado en el caso de una opción de venta).
Se paga en el momento en que se vence la opción, en la fecha de vencimiento o fecha de
maduración (en nuestro caso en el momento t1).
- Fecha de vencimiento: fecha en que se ejercita la opción, si es conveniente para la empresa
dicha ejecución (en nuestro caso, en el momento t1).
Para nosotros, la prima o precio de acción va a depender del incremento del VC. La prima que estoy
dispuesto a pagar es la que me proporcione un VC > 96, el VC que supone para nosotros.
Prima (Combustión):
VCC = 117 (ampliar)
VCC = 52 (sin ampliar)
Inc. VC = 117 – 52 = 65
Pero también puedo comprar un avión turbopropulsor, que me proporciona VCT = 96. La prima que estaremos
dispuestos a pagar será aquella que me proporcione un VC > 96.
117 – x =96 ⇒ x = 21.
Elegiré el turbo siempre que la prima sea mayor que 21.
b) Nos piden: DECIDIR QUE AVIÓN COMPRAR BAJO LA POSIBLE OPCIÓN DE ABANDONO
DA (0,8)
Va.Qj = 960
DA (0,6)
Q1= 150
DB (0,2)
Va.Qj = 220
A = 550
DB (0,4)
VENDER TURBO = 500
TURBO
Q1= 30
DA (0,8)
2
Va.Qj = 800
AMPLIAR
COMBUSTIÓN
A = 150
DB (0,2)
DA (0,6)
Q1=100
Va.Qj = 100
1
DA (0,8)
Va.Qj = 410
NO AMPLIAR
A=0
A = 250
DB (0,2)
Va.Qj = 180
DB (0,4)
VENDER COMBUST = 150
Q1=50
NUDO 1:
Ampliar:
V .C. Amp = −150 +
0,8(800 t 2 ) + 0,2(100 t 2 )
= 450
1,1
No ampliar: V .C.Noamp = −0 + 0,8(410 t 2 ) + 0,2(180 t 2 ) = 331
1,1
El Valor capital de ampliar es mayor que el de no ampliar. Por tanto, la decisión en este nudo es AMPLIAR.
83
Dirección Financiera I
NUDO 2:
0,6(150) + 0,4(30 + 500) 0,6[0,8(960) + 0,2(220)]
Turbo:
V .C.Turbo = −550 +
+
= 127
1,1
(1,1)2
0,6(100 + 450 ) + 0,4(50 + 150)
Combustión: V .C .Turbo = −250 +
= 123
1,1
Considerando la alternativa de abandono, el valor capital del avión del turbo es mayor que el de combustión
(123 > 127). Por tanto, la decisión óptima en este nudo es COMPRAR EL AVIÓN TURBO, y si la demanda
durante el primer año es baja, se vendería el avión por 500 y se abandonaría la actividad.
PROBLEMA 20
Un empresario se plantea el problema de elegir entre dos alternativas de producción, que designaremos como
“producción grande” y “producción pequeña”. La decisión debe ser mantenida durante los dos próximos años, en cada
uno de los cuales podrían darse dos posibles estados del mercado: demanda baja o demanda alta. La probabilidad de que
se dé una demanda baja durante el primer año es del 30 por ciento. Por otra parte, la probabilidad de que en el segundo
año se mantenga el mismo estado de demanda que en el primero es del 75 por ciento.
Los desembolsos iniciales son de 30 y 10 millones de euros, respectivamente, para la producción grande y pequeña. Los
flujos netos de caja (en millones de euros) al final de cada año en las cuatro combinaciones posibles son:
Demanda
Alta
Baja
Grande
100
-50
Producción
Pequeña
10
35
Se pide:
a) Determinar su decisión óptima por el criterio del VAN esperado con un tipo de descuento del 10 por ciento anual.
b) Comentar la decisión anterior si se introduce el análisis del riesgo en el estudio de las posibles decisiones a tomar.
a)
DA (0,75)
DA (0,7)
Q1=100
A = 30
Va.Qj = 100
4
DB (0,25)
Va.Qj = -50
2
DA (0,25)
DB (0,3)
P. GRANDE
Q1= -50
Va.Qj = 100
5
DB (0,75)
Va.Qj = -50
1
DA (0,75)
DA (0,7)
P. PEQUEÑA
Q1=10
A = 10
Va.Qj = 10
6
DB (0,25)
Va.Qj = 35
3
DA (0,25)
DB (0,3)
Q1= 35
t0
VC PG = −30 +
VC PP = −10 +
84
Va.Qj = 10
7
DB
t1
0,7(100) + 0,3(50) 0,7[0,75(100) + 0,25(− 50)] + 0,3[0,25(100) + 0,75(− 50)]
+
= 53,05
(1,1)
(1,1)2
0,7(10) + 0,3(35) 0,7[0,75(10) + 0,25(35)] + 0,3[0,25(10) + 0,75(35)]
+
= 22,43
(1,1)
(1,1)2
Va.Qj = 35
t2
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (II)
Como VCPG > VCPP elegimos la producción grande
b)
Es importante también considerar el riesgo.
El punto a) equivale a la E(VC) y el b) a la σ(VC)
PROBABILIDAD ASOCIADA
Escenarios
Nudos
1
1, 2, 4, r s
= −30 +
100 100
+
= 143,55
(1,1) (1,1)2
= (0,7 )(0,75) = 0,525
2
1, 2, 4, r i
= −30 +
100 −50
+
= 19,58
(1,1) (1,1)2
= (0,7 )(0,25) = 0,175
3
1, 2, 5, r s
= −30 +
−50 100
+
= 7,19
(1,1) (1,1)2
= (0,3)(0,25) = 0,075
4
1, 2, 5, r i
5
1, 3, 6, r s
6
1, 3, 6, r i
= −10 +
(1,1) (1,1)2
10
+
35
= 28,01
= (0,7 )(0,25) = 0,175
7
1, 3, 7, r s
= −10 +
(1,1) (1,1)2
35
+
10
= 30,08
= (0,3)(0,25) = 0,075
8
1, 3, 7, r i
= −10 +
35
35
+
= 50,74
(1,1) (1,1)2
= (0,3)(0,75) = 0,225
E (Qt ) =
VC
(producto de las probabilidades del camino)
−50 −50
+
= −116,77
(1,1) (1,1)2
10
10
= −10 +
+
= 7,35
(1,1) (1,1)2
= (0,3)(0,75) = 0,225
= −30 +
= (0,7 )(0,75) = 0,525
h
∑Q
r r
t Pt
r =1
Producción grande:
h
E (VC ) = ∑ VC r P r = [(143,55)(0,525)] +[(19,58)(0,175)] + [(7,19 )(0,075)] + [(− 116,77 )(0,225)] = 53,05
r =1
h
) [
(
][
]
σ 2 (VC ) = ∑ VC r − E (VC )2 P r = (143,55 − 53,05)2 (0,525) + (19,58 − 53,05)2 (0,175) +
r =1
[
] [
]
+ (7,19 − 53,05) (0,075) + + (− 116,77 − 53,05) (0,225) = 11.147,8025 ⇒ σ = 11,147,8025 = 105,55
2
2
Producción pequeña:
E (VC ) =
h
∑VC
r
P r = [(7,35)(0,525)] +[(28,01)(0,175)] + [(30,08)(0,075)] + [(50,74)(0,225)] = 22,43
r =1
h
σ 2 (VC ) =
[
∑ (VC
r =1
r
) [
][
][
]
− E (VC )2 P r = (7,35 − 22,43)2 (0,525) + (28,01 − 22,43)2 (0,175) + (30,08 − 22,43)2 (0,075) +
]
+ (50,74 − 22,43)2 (0,225) = 309,55 ⇒ σ = 309,55 = 17,59
La elección depende de la aversión al riesgo del inversor.
En este caso no conocemos la función de utilidad, por lo que podemos plantearnos un estudio probabilística siguiendo el
modelo de Hillier.
Producción grande:
La probabilidad de que el VC>0 es la suma de las probabilidades asociadas a los valores capitales positivos de la
Producción grande:
P(VC > 0) = 0,525 + 0,175 + 0,075 = 0,775 = 77,5%
Producción pequeña:
La probabilidad de que el VC>0 es la suma de las probabilidades asociadas a los valores capitales positivos de la
producción pequeña:
P(VC > 0) = 0,525 + 0,175 + 0,075 + 0,225 = 1 = 100%
85
Dirección Financiera I
En función de este análisis, es la producción pequeña la que proporciona una mayor probabilidad de efectuabilidad (VC>)
COEFICIENTE DE VARIACIÓN: es una medida objetiva del riesgo asociado a un proyecto.
Se utiliza cuando no conocemos la función de utilidad del inversor y, determina las unidades de riesgo asociadas a cada
unidad de ganancia.
CV =
σ (VC )
E (VC )
Producción grande:
CV =
105,55
= 1,99
53,05
producción pequeña:
CV =
17,59
= 0,78
22,43
los inversores adversos al riesgo preferirán la alternativa con menor coeficiente de variación, por tanto, preferirán el
proyecto de producción pequeña.
6.3.3.- VENTAJAS E INCONVENIENTES DE LOS ÁRBOLES DE DECISIÓN.
Los árboles de decisión que hemos visto, aunque son simples, representan decisiones de inversión
secuenciales a las que se enfrentan los directivos. Sí representan la problemática general, es decir, que
las decisiones actuales influyen en las decisiones futuras y viceversa, y, por tanto, para tomar una
decisión racional, todo ello ha de ser analizado hoy.
La principal ventaja de los árboles es que obligan a hacer explícita la estrategia empresarial
subyacente, y con ello, al exponer las relaciones entre las decisiones de inversión actuales y futuras,
ayudan al directivo a encontrar la estrategaza con mayor VC.
El principal inconveniente es que rápidamente se pueden complicar, ampliándose las ramas y
dificultando los cálculos.
Problema 17
Leches y chocolates Unidos. S.A. (LECHUSA), está estudiando la instalación de una nueva factoría para la fabricación de
diversos derivados lácteos. Tras diversos análisis ha llegado a la conclusión de que los valores esperados de los tres flujos
anuales del desembolso inicial de este provecto son (en miles de euros):
E(Q0) = -100, E(Q1) = 10, E(Q2) = 200, E(Q3) = 50
También ha estimado las varianzas de estas variables y los coeficientes de correlación entre ellas, que son:
varianzas
coeficientes de correlación
p(Q0,Q1) = -0.10, p(Q1,Q2) = 0,75
α2(Q0) = 10.000
p(Q0,Q2) = 0, p(Q1,Q3) = 0,50
α2(Q1) = 121
p(Q0,Q3) = 0, p(Q2,Q3) = 0,325
α2(Q2) = 32.400
α2(Q3) = 3.600
La empresa no conoce la distribución del VAN, si bien considera que puede considerársela razonablemente simétrica en
tomo al valor esperado. Tomando, como tipo de descuento, el 8 por 100, se desea acotar la probabilidad de que el VAN se
encuentre entre -100 y 500 miles de euros.
(VC ) = −100 +
10
+
200
+
50
(1,08) (1,08)2 (1,08)3
= 120,42
la correlación entre flujos es parcial, por lo que para calcular la varianza del VC tenemos 2 opciones, pero
usamos
comoρ = 1 ⇒ cov Q1Q j = ρ ij σ (Qi ) Q j
(
σ 2 (VC ) = σ 2 (Q0 ) +
)
( )
σ 2 (Q1 )
+
σ 2 (Q2 )
+
σ 2 (Q3 )
+L+
σ 2 (Qn )
+2
σ (Q0 )σ (Q1 )
(1 + K )
(1 + K ) (1 + K ) (1 + K )
(1 + K )
σ (Q0 )σ (Qn )
σ (Qn−2 )σ (Qn −1 ) σ (Qn−2 )σ (Qn )
σ (Qn−1 )σ (Qn )
+2
+L+ 2
+2
+L+ 2
(1 + K )n
(1 + K )2n−3
(1 + K )2n−2
(1 + K )2n−1
86
2
4
6
2n
+2
σ (Q0 )σ (Q2 )
(1 + K )2
+L
Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (II)
σ (Q0 ) = 100
σ (Q1 ) = 11
σ (Q2 ) = 180
σ (Q3 ) = 60
σ 2 (VC ) = 10.000 +
121
+
32.400
+
3.600
(1,08)2 (1,08)4 (1,08)6
(0,5)(11)(60) + 2 (0,325)(180)(60) = 43.590
+2
(1,08)4
(1,08)5
σ (VC ) = 43.590 = 208,78
+2
(−0,1)(100)(11) + 2 (0,75)(11)(180) +
(1,08)3
(1,08)0+1
DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF
2
Probabilidad de que el VC esté fuera de [E-cσ, E+ cσ] es ≤1/c .
1
La probabilidad de dentro es ≥ 1 − 2 
 c 
120,42 − 208,78C1 = −100 ⇒ C1 = 1,05575
120,42 + 208,7 x1,05575 = 340,84 ⇒" a"⇒ extrermo _ sup erior
-100
a
C (VC)
500
C (VC)
Dado que es simétrica
Si _ P(− 100, a ) ≥ 1 −
1
(1,05575)
2
1
1
⇒la probabilidad de la izquierda de la E (VC ) = 1 − 2  y la probabilidad
2
C 
de la derecha será la misma.
Ahora vamos a aproximar P[E(VC),500] para un intervalo (-100,a)
1
1 
P[− 100 < VC < E (VC )] = P[E (VC ) < VC < a ] ≥ 1 − 2 
2 C 

1
1
 = 0,0514 ⇒ 5,14%
P[− 100 < VC < 12,42] ≥ 1 −
2  (1,05575)2 
Para un intervalo (b,500), se verificará la misma simetría respecto a la E(VC)
120,42 + 208,78C 2 = 500 ⇒ C2 = 1,818
Extremo inferior: 120,42 + 208,78(1,818) = −259,14 ="b"⇒ extremo _ inf erior
Como la distribución es simétrica se verifica que:
P[b < VC < E (VC )] = P[E (VC ) < VC < 500] ≥
1
1 
1 −

2  C2 
120,42 + 208,78C2 = 500 ⇒C 2 = 1,818
1
1
P[E (VC ) < VC < 500] ≥ 1 −
2  (1,818)2

 = 0,3487 ⇒ 34,87%


Así podemos hacer una mejor aproximación de la probabilidad de interés.
87
Dirección Financiera I
P[−100 < VC < 500] ≥ 5,14% + 34,87% = 40%
88
La decisión de financiación: el coste del capital
7.
LA DECISIÓN DE FINANCIACIÓN: EL
COSTE DEL CAPITAL
7.1 EL CONCEPTO DEL COSTE DEL CAPITAL
Existe una interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación, siendo el coste de capital el
que actúa como bisagra.
Cuando analizamos una decisión de inversión, aparece el concepto de coste de capital, que nos enlaza
con la decisión de financiación, de tal forma que realizaremos inversiones si su rentabilidad es superior
al coste en el que incurrimos para realizarlas. Esto es lo que se conoce con el nombre de “condición de
efectuabilidad”.
Este parámetro es también necesario para el criterio del VC. Influye para que una inversión sea
realizable o no. La empresa necesita recursos financieros para llevar a cabo inversiones, siendo el
cometido de la decisión de financiación el buscar los recursos financieros al mínimo coste.
Fuentes de financiación:
– Recursos propios: acciones.
– Deudas a largo plazo: obligaciones.
– Deuda a corto plazo: descuento de efectos, cuenta de crédito, proveedores, etc.
El coste de un título es un índice de referencia que permite valorar el esfuerzo de la empresa para
obtener la fuente de financiación que dicho título representa. Viene determinado por:
1.- Riesgo económico.(Ámbito interno). El Riesgo que las inversiones financiadas por dicho título
reflejan en él.
Ejemplo: no es igual el riesgo de la compra de obligaciones de una empresa petrolera (monopolio), que
el riesgo de la compra de acciones de una empresa textil (normalmente en crisis)
2- Riesgo financiero. (Ámbito interno). El grado de subordinación relativa del título en relación con
los demás títulos de la empresa.
Ejemplo: existe una subordinación de las acciones afrente a las obligaciones en caso de liquidación,
primero cobran los obligacionistas y al final los accionistas.
3- Riesgo de tipo de interés. (Ámbito externo). También se le conoce como riesgo derivado del efecto
que ejercen las fluctuaciones macroeconómicas en los tipos de interés, y que afectan a la rentabilidad
que deben ofrecer las empresas al emitir sus títulos y a su cotización, cuando lo hacen en mercados
organizados.
Ejemplo: mercado continuo.
Vamos a estudiar el coste de los distintos títulos, haciendo hincapié en los riesgos del ámbito interno.
7.2 COSTE DE LA FINANCIACIÓN A CORTO PLAZO.
Si miramos la estructura financiera de una empresa, veremos que gran parte de ella está formada por
deuda a corto plazo. Una parte, tiene carácter transitorio, pues se debe a necesidades transitorias
derivadas del ejercicio de la actividad empresarial (carácter estacional), y otra parte, tiene carácter
permanente, siendo una consecuencia natural del desarrollo de la actividad económica.
Tiene un triple origen:
1.- Por una parte, las empresas compran a sus proveedores, los cuales les conceden un aplazamiento
del pago, generándose una deuda a corto plazo que se mantiene en el tiempo, siempre que la empresa
mantenga su actividad comercial.
2.- Por otra parte, cuando las empresas realizan sus ventas, se ven obligadas a ofrecer plazos de cobro
a sus clientes de manera que se generan unos derechos de cobro, contra éstos se puede obtener
89
Dirección Financiera I
financiación a corto plazo a través de las entidades financieras. Es lo que se conoce como el descuento
comercial.
3.- Finalmente, también las entidades bancarias tienen una mayor propensión a facilitar a las empresas
financiación a corto plazo en vez de a largo plazo, pues, de esta manera, tienen una mayor flexibilidad,
y además, disminuyen el riesgo. (cuentas de crédito, …).
7.2.1.- DESCUENTO DE EFECTOS.
Un efecto comercial es un título que da derecho a una empresa a cobrar dentro de un determinado
periodo de tiempo, una determinada cantidad de dinero a otra empresa.
Letra de cambio ⇒ poder ejecutivo.
Efecto comercial ⇒ no tiene poder ejecutivo.
FUNCIONES:
1.- Función de crédito.
2.- Función de cobro.
El coste del descuento de efectos se debe repartir entre ambas funciones. Nos interesa el coste de la
función de crédito. Para imputar este coste, hay que distinguir 2 modalidades de descuento de efectos.
a) Tradicional. La empresa endosa sus efectos comerciales a favor de una entidad bancaria, de tal
manera que ésta le abona el valor nominal de los efectos menos el coste del crédito y los gastos de
cobro. El banco no corre ningún riesgo.
–
El coste del crédito es el interés aplicable por la cantidad que se descuenta corregido por el
vencimiento de los efectos.
–
Los gastos de cobro están en función del nominal: comisión por cobro, timbre (cuando
procede) y gastos de correo.
b) Forfait. El banco cobra un tipo de interés más alto y no cobra comisiones. Los intereses a pagar
serán Q
v
im , donde:
360
Q=
v=
Cantidad de efecto descontado
Vencimiento
im = Tipo de interés de la operación de descuento (precio)
Nos interesa el tipo de interés efectivo. Para calcularlo utilizamos la siguiente fórmula
v
v
v 

im − QC c + Qim
ie
Q
360
360
360 360 
ie = 
Qv
Cc =
Qim
donde
Comisión por cobro
v
v
ie
=
360 360
Interés por pagar de forma anticipada.
ie =
360 2
Cc
v
360 − im v
360im −
El coste efectivo del descuento de efectos disminuye a medida que lo hace el vencimiento. Sin
embargo, el banco cobra por un vencimiento mínimo de 11 días.
90
La decisión de financiación: el coste del capital
7.2.2.- CUENTA DE CRÉDITO.
Es un contrato por el cual una entidad bancaria pone a disposición una cantidad de dinero (límite
de la cuenta de crédito) y sólo cobra intereses por la cantidad dispuesta, mientras que por las
cantidades no dispuestas sólo cobra una pequeña comisión.
Hay cinco componentes de coste:
1.- Tipo de interés por las cantidades dispuestas en la operación ic
2.- Comisión de disponibilidad. Es un porcentaje por la cantidad de fondos disponibles no utilizados
(es una cantidad muy pequeña) Cd
3.- Tipo de interés sobre el excedido del límite de crédito. Si se utiliza más de lo que se concedió, se
cobra un tipo de interés especial ide
4.- Comisión de apertura. Porcentaje sobre el límite de crédito cuyo devengo sólo se realiza una vez a
lo largo de la vida de la operación.
5.- Corretaje. Porcentaje sobre el límite del crédito independientemente de su utilización (ejemplo:
pago a un notario). Sólo se paga una vez.
Los 3 primeros son los fundamentales, y que influyen por tanto en la toma de decisiones de la empresa.
En la hoja de cálculo:
Kt: saldo dispuesto para un día t
Kmáx: límite de crédito.
Ic: tipo de interés por las cantidades dispuestas
Cd: comisión de disponibilidad
Idc: tipo de interés sobre el excedido del límite (descubierto)
CSDt: coste del saldo dispuesto para un día t [=SI(A2<B2;A2*C2/360;B2*C2/360]
CSNDt: coste del saldo no dispuesto para un día t [=SI(A3<B3;(B3-A3)*D3/360;0]
CELt: coste del excedido sobre el límite de crédito para un día t [=SI(A4>B4;(A4-B4)*E4/360;0]
CCt: coste de la cuenta de crédito para un día t [=SUMA(F4:H4)]
El coste de la cuenta de crédito durante el periodo de planificación será:
n
CCC =
∑ (CSD + CSND + CEL )
t
t
t
t =1
Partiremos de 31 días para la planificación, como en la fila 1 están los títulos de las columnas, en la
fila 33 realizamos los totales (A33) es [=SUMA(A2:A32)]
El coste efectivo (I34) es [=(I33/A33)*360]
Kt
Kmáx
1
2
3
4
5
6
7
31
32
=SUMA(A2:A32)
34
Ic
Cd
idc
CSDt
CSNDt
CELt
CCt
=SI(A2<B2;A2*C2/360;B2*C2/360
=SI(A3<B3;(B3-A3)*D3/360;0
=SI(A4>B4;(A4-B4)*E4/360;0
=SUMA(F4:H4)
COSTE EFECTIVO=(I33/A33)*360
El problema que tenemos es que no podemos calcular el coste efectivo hasta el final del periodo de
91
Dirección Financiera I
planificación. Para tomar una decisión a mitad del periodo debo tener en cuenta el coste de
oportunidad.
Ejemplo:
ic: coste de crédito
cd: comisión de disponibilidad
i0: coste de oportunidad
i0 = ic − cd
Kmáx: 100.000.
Kt: 80.000.
7.2.3.- PRÉSTAMOS A CORTO PLAZO.
Coste efectivo. Los elementos son los mismos que los señalados para el crédito excepto la comisión de
disponibilidad y no pueden existir excesos sobre el crédito concedido.
En definitiva, dado que el tipo de interés es mayor que para el crédito y se devengan intereses por todo
el periodo independientemente del grado de utilización, se ha quedado como un elemento residual para
la financiación de las empresas.
7.2.4.- VENTA DE INVERSIONES FINANCIERAS A C/P.
Son todos aquellos activos que la empresa puede adquirir para invertir temporalmente los excedentes
transitorios de caja (puntas de tesorería).
Las PYMES únicamente tienen como alternativa los depósitos bancarios para los excedentes
transitorios de caja.
A medida que aumenta el tamaño de la empresa aumentan los activos en los que las empresas pueden
invertir a c/p, llegando las grandes empresas a invertir directamente en el mercado monetario.
Las empresas en España suelen tener un volumen elevado de deuda a c/p, instrumentalizado en efectos
descontados y cuentas de crédito, por lo que no suelen existir inversiones financieras a c/p.
n
El rendimiento que se deja de obtener cuando se vende, sería su coste
RIF =
∑I
t =1
It =
r=
t
r
360
, donde:
Excedente invertido el día t
Tasa de rendimiento o tipo de interés.
7.2.5.- FUENTES EXPONTÁNEAS DE FONDOS.
Son fuentes de financiación a c/p que surgen de forma espontánea con el desarrollo de la actividad
empresarial. La más habitual e importante es el crédito comercial o crédito concedido por los
proveedores, aunque existen otras de menor importancia: pagos pendientes a Organismos Públicos
(Impuestos y cuotas a la Seguridad Social), pagos pendientes al personal, pagos adelantados de
clientes, etc.
No tiene coste explícito, pero si implícito (el coste de oportunidad), porque de manera simultánea con
las condiciones de pago, los proveedores suelen conceder descuentos por pronto pago, y no acogerse a
estos descuentos, supone un coste para la empresa. i0 = ic − cd
Ejemplo: compramos a un proveedor la cantidad de Q euros, y el proveedor nos indica la siguiente
fórmula de pago: d % / n neto m días.
Si el cliente paga en los n primeros días, obtiene un descuento de d %, y si no, debe pagar todo en un
plazo de n días.
92
La decisión de financiación: el coste del capital
d = % descuento
n = periodo de pago.
m = periodo en el cual debemos pagar si queremos acogernos al descuento.
Coste efectivo: la cantidad de descuento obtenido debe ser igual al producto entre la cantidad
financiada, el plazo en el que se obtiene la financiación del proveedor y el coste efectivo.
Qd = (Q − Qd )
m−n
ie
365
Qd es la cantidad de descuento obtenido
ie es el coste efectivo.
Despejamos ie: ie =
d
365
⇒ en
(1 − d ) m − n
porcentaje i e =
d%
365
(100 − d %) m − n
Ejemplo:
Supongamos que un proveedor nos ofrece la siguiente condición de venta: 2 % a 10 días o neto 60 días.
Deseamos conocer si nos interesa acogernos a ese descuento.
ie =
2
365
(100 − 2) 60 − 10
= 0,1490
Éste sería el coste efectivo de la financiación del proveedor. Tenemos que comparar ese dato con el coste de oportunidad
de la cuenta de crédito
Supongamos que:
i0 = ic (cos te _ de _ la _ cuenta _ de _ crédito) − cd (comisóndedisponibilidad ) = 0,14 me acojo al descuento
Si fuera i0 = ic − cd = 0,16 no me acogería al descuento.
7.3 COSTE DE LA DEUDA A LARGO PLAZO.
Si analizamos la información del folleto de una emisión de obligaciones, nos encontraremos con los
siguientes datos:
–
–
–
–
Obo = Valor actual de la obligación.
E(obt) = reembolso esperado del principal de la obligación en el momento t.
E(Ci) = Valor esperado del cupón en el momento i (depende del tipo de interés)
t = Vencimiento de la obligación.
Las cantidades precedidas por el operador esperanza no son ciertas, están sujetas a un riesgo.
Nos interesa la rentabilidad al vencimiento Kd que se calcula de la siguiente forma:
Obo =
E (Ct )
E (Obt )
E (C1 )
E (C 2 )
+
+L+
+
es la corriente de cupones esperados en cada periodo
t
(1 + K d ) (1 + K d )2
(1 + K d ) (1 + K d )t
de tiempo actualizado al origen, más el valor de reembolso esperado actualizado al origen.
Habría que calcular Kd. Depende de:
1.- El valor actual de la obligación (Obo)
2.- El cupón, es decir, el tipo de interés contractual. El Ci.
3.- El valor de reembolso [E(Obo)].
93
Dirección Financiera I
Se puede calcular utilizando la fórmula de la TR en una hoja de cálculo, lo difícil es estimar la
rentabilidad al vencimiento que debe ofrecer la empresa para que los inversores suscriban sus títulos.
Es decir, dependerá del riesgo, pues de acuerdo con el principio de rentabilidad-riesgo, aquellos títulos
para los cuales el inversor percibe más riesgo les exige más rentabilidad.
Cuanto mayor sean los riesgos económicos, financieros y de tipo de interés, mayor tendrá que ser la
rentabilidad al vencimiento. La empresa puede actuar en tres frentes:
1.- Reduciendo el valor actual de la obligación.
2.,- Incrementando el tipo de interés contractual.
3.- Incrementando el valor de reembolso esperado.
Vamos a determinar la tasa de rentabilidad al vencimiento.
Para estimar la rentabilidad al vencimiento requerida por los inversores, tomamos como punto de
partida el tipo de interés libre de riesgo y le añadimos una prima por riesgo para compensar el mayor
riesgo que el inversor percibe en nuestro título.
Para calcular el tipo de interés libre de riesgo, tomamos como referencia el tipo de interés de las
obligaciones de un Estado solvente.
Nuestro problema queda reducido al cálculo de la prima por riesgo, que tiene varios componentes:
1.- Prima por riesgo de insolvencia. (Riesgo de que una empresa no satisfaga los intereses y/o el
principal). Cada empresa soporta un determinado riesgo de insolvencia, que depende
fundamentalmente del riesgo de que los proyectos de inversión no proporcionen la rentabilidad
esperada.
2.- Prima por riesgo de vencimiento. El riesgo de los tipos de interés puede afectar más o menos a las
empresas, pues en función de la relación que exista entre los tipos de interés a c/p y a l/p, puede hacer
que su emisión gane o pierda atractivo. Este riesgo se recoge mediante una prima de vencimiento.
Ejemplo: a primeros de los años 90, las letras del tesoro que emitió el Estado español prometían una
rentabilidad superior al 12%. La emisión de obligaciones de las empresas tenía escaso interés para los
ahorradores.
3.- Prima por riesgo de liquidez. Surge cuando no existe un mercado suficientemente activo que
garantice liquidez inmediata al título.
Ejemplo: un bono de Telefónica tiene mucha liquidez.
4.- Prima por riesgo financiero. Es aquel derivado de la naturaleza y características propias de los
títulos emitidos por la empresa).
Ejemplo: fondos y avales que garantizan a los títulos (exigirán menor prima), grado de prioridad,
posible convertibilidad en otros títulos, etc.
La prima por riesgo de una obligación será igual a una prima por riesgo de insolvencia, más una prima
por riesgo de vencimiento, más una prima por riesgo de liquidez, más una prima por riesgo financiero.
p = pi + p v + p l + p f
Problema 26
La empresa RASA (RATONES SA) desea determinar la rentabilidad al vencimiento de una emisión de obligaciones, cuyo
valor actual es 10.000 euros y produce unos intereses del 14%, siendo su valor de reembolso de 10.674,24 euros el cual se
producirá dentro de 5 años.
De otra parte, la dirección de la empresa estima que debe pagar a los inversores una prima por riesgo del 6%. Tteniendo
en cuenta que la rentabilidad de un titulo sin riesgo es del 10%. ¿Cuánto tendría que descontar al precio de emisión para
ofrecer esta rentabilidad a los inversores? Pues la dirección se la empresa quiere mantener tanto el tipo de interés como el
valor de reembolso anteriormente mencionados.
94
La decisión de financiación: el coste del capital
 (1 + K d )5 − 1  10.674,24
+
por prueba y error o mediante hoja de cálculo Kd = 0,15.
5
5
 K d (1 + K d )  (1 + K d )
a) 10.000 = 1.400 
Si igualamos el valor de reembolso al de emisión, la rentabilidad sería únicamente la derivada del pago del cupón.
Si _ E (Obt ) = 10.000 ⇒ K d = 0,14
b) Rentabilidad requerida al vencimiento por los inversores = 0,10 + 0,6 + 0,16 = 16%.
Como Kd < rentabilidad requerida por los inversores, habrá que aumentar Kd para que la emisión sea atractiva
 (1 + 0,16)5 − 1  10.674,24
Obo = 1.400
+
= 9.665,16
5
5
 0,16(1 + 0,16)  (1 + 0,16)
Tenemos que reducir el valor actual de la obligación 10.000 − 9.965,16 = 334,84€
7.4 EL COSTE DEL CAPITAL PROPIO.
Hay dos métodos:
7.4.1.- MÉTODO DEL RENDIMIENTO DE LAS OBLIGACIONES MÁS UNA PRIMA
POR RIESGO (ROPR).
Consiste en considerar el rendimiento de las obligaciones como un elemento básico del coste, y añadir
una prima por riesgo para tener en cuenta el diferencial de riesgo que existe entre ambas, que se debe a
que las acciones están subordinadas a las obligaciones (en caso de liquidación de la empresa, primero
cobran los obligacionistas y después los accionistas).
Coste de las acciones = Rendimiento de las obligaciones + Prima por riesgo.
Así se cumple el principio de rentabilidad-riesgo (a mayor riesgo, mayor rentabilidad se debe ofrecer).
Para calcular la prima por riesgo, se considera para un sector de actividad concreto y un tiempo
concreto, la diferencia entre el rendimiento medio de las acciones menos ela rentabilidad media de las
obligaciones en ese sector.
Prima por riesgo = Rm obligaciones – Rm acciones .
EJEMPLO:
Sector de la construcción.
En los últimos 5 años:
- Rentabilidad Media de las acciones = 0,16 (16%).
- Rentabilidad Media de las obligaciones = 0,11 (11%).
Prima por riesgo = 0,16 – 0,11 = 0,05 (5%).
Si el rendimiento de las obligaciones de la empresa es del 12%, el coste de las acciones será.
Coste de las acciones = 0,12 + 0,05 = 0,17 (17%).
INCONVENIENTES:
1.- Problema de estabilidad en la medida. Se debe a que la prima por riesgo es bastante estable en
periodos con tipo de interés estable, pero tiende a fluctuar mucho cuando los tipos de interés son
inestables.
2.- Si la rentabilidad histórica de las acciones durante el periodo de cálculo es menos que la
rentabilidad histórica de las obligaciones, llegaríamos a la condición de que el coste de las acciones
sería inferior al de las obligaciones.
El periodo de cálculo aceptable es de 5 a 10 años.
95
Dirección Financiera I
7.4.2.- MÉTODO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS (CAPM).
En el método anterior se ponía de manifiesto la relación que debe existir entre rentabilidad y riesgo de
un título.
El CAPM recoge la relación teórica que existe entre rentabilidad de un activo y riesgo esperado.
A diferencia del ROPR, el CAPM se basa en el principio de diversificación financiera, según el cual,
parte del riesgo de una cartera se elimina mediante la mera acumulación de los títulos que la forman.
(Cuanto menor es la correlación entre los títulos, más riesgo se elimina). La parte que se elimina se
conoce como riesgo no sistemático, de tal manera, que sólo tendremos en cuenta la variabilidad de la
rentabilidad de un activo que no se puede eliminar (Beta del título, o riesgo sistemático del título:
única medida relevante del riesgo, y por tanto, por la única por la que hay que pagar una prima por
riesgo a los inversores, dado que no se puede eliminar por la diversificación).
Si utilizamos el CAPM, el coste de una acción es:
Coste acción = Tasa de interés libre de riesgo + (Prima por riesgo del mercado + Riesgo sistemático)
Es decir:
E (K a ) = R F + [E (Rm ) − R F ]β a
EJEMPLO:
Sea β=1,3 de la que queremos calcular el coste esperado sabiendo que la tasa de interés libre de riesgo es del 8% y que la
rentabilidad media del mercado es del 13%.
E (K a ) = 0,08 + [0,13 − 0,08]x1,3 = 0,145 ⇒ 14,5%
Gráficamente
Rentabilidad
esperada
E K a = RF + E Rm − RF xβ a
E(Ka )= 0,145
E(Rm )= 0,13
RF= 0,08
BM
1,3
B por riesgo sitemático
El CAPM tiene mayor soporte técnico que el ROPR.
7.5 LA JERARQUIZACIÓN RENTABILIDAD-COSTE
FUENTES FINANCIERAS.
96
DE
LAS
La decisión de financiación: el coste del capital
Dado que el CAPM es la manera más sencilla y con mayor justificación técnica para calcular la
rentabilidad de un título, podemos aplicar este método a cualquier tipo de títulos, de tal manera que
obtendremos una relación de equilibrio entre rentabilidad y riesgo.
Rentabilidad
esperada
Prima por riesgo
E K a = R F + E R m − R F xβ a
Opciones
Acciones
Obligaciones
Tasa libre
de riesgo
Deuda pública del Estado (B=0) E(Ki)=RF
B por riesgo sitemático
La prima por riesgo se incrementa cuanto mayor es el riesgo del título.
7.6 EL COSTE MEDIO PONDERADO DEL CAPITAL.
Vamos a considerarlo como el coste de oportunidad de los fondos utilizados por la empresa, de tal
manera que cuando se utilicen varios fondos, calcularemos la media ponderada.
FORMULACIÓN ANALÍTICA.
Dc/p = valor de mercado de la deuda a c/p (suele coincidir con el valor contable).
Dl/p = Valor de mercado de la deuda a l/p.
A = Valor de mercado de las acciones.
V = Valor de mercado de la empresa.
V = A + Dl + Dci
Kdc = coste de la deuda a c/p.
Kdl = coste de la deuda a l/p.
Ka = coste de capital propio.
Km = coste medio ponderado del capital.
K mpc = K dc / p
Dc / p
V
+ K dl / p
Dl / p
V
+ Ka
A
V
EJEMPLO:
Cálculo del coste medio ponderado del capital
97
Dirección Financiera I
Deuda c/p
Deuda c/p
Acciones
Valor de
Estructura
mercado
Coste
planificada
100
0,08
0,12
300
0,1
0,33
600
0,15
0,55
Definimos las fórmulas en la hoja de cálculo:
Valor de
mercado
Deuda c/p
Deuda c/p
Acciones
% (ponderación
Coste
histórica)
Km
=B2/$B$5
=C2*D2
=SUMA(B2:B4)
Estructura
planificada
=SUMA(E2:E4)
Kmp
=C2*F2
=SUMA(G2:G4)
Arrastramos las fórmulas y completamos la hoja
Deuda c/p
Deuda c/p
Acciones
Valor de
mercado
100
300
600
1000
Coste
0,08
0,1
0,15
% (ponderación
histórica)
0,1
0,3
0,6
1
Km
0,008
0,03
0,09
0,128
Estructura
planificada
0,12
0,33
0,55
1
Kmp
0,0096
0,033
0,0825
0,1251
INCONVENIENTES:
1.- En el cálculo del coste medio ponderado se debe tener un sentido de coste marginal en lugar de
coste histórico de las fuentes de fondos utilizados por la empresa. En consecuencia, en lugar de
considerar la estructura de fuentes de financiación histórica, debemos considerar la estructura
planificada para el futuro, o incluso, la estructura de las fuentes de financiación que se van a utilizar en
un proyecto concreto.
Supongamos que a partir de la estructura histórica del ejemplo, la estructura planificada que marca la
dirección es la que aparece en la columna F. El coste de capital (G2:G5) ha disminuido porque en el
futuro hemos decidido que crezcan las fuentes más baratas (deuda a c/p y a l/p).
2.- El concepto de coste medio ponderado del capital no tiene en cuenta la problemática de la
determinación de la estructura de capital óptima, de tal manera que sólo presta atención al cálculo del
coste de capital considerando una estructura de capital dada para obtener una referencia para valorar
los proyectos de inversión.
3.- Valorar los proyectos de inversión utilizando el coste medio ponderado supone una excesiva
simplificación de la realidad, ya que estamos asumiendo que el proyecto de inversión en cuestión tiene
la misma clase de riesgo que el riesgo actual de la cartera de fuentes financieras de la empresa.
La solución que se propone es considerar únicamente las fuentes de financiación que se utilizarían para
financiar ese proyecto.
Problema 27
La empresa ADESA en la actualidad tiene:
1.- 500 millones de euros en acciones, cuyo coste es el 10%.
2.- 300 millones de euros en deuda a largo plazo, cuyo coste es el 8%.
3.- 200 millones de euros en deuda a corto plazo, cuyo coste es el 6%.
Se está planteando realizar un proyecto de inversión por 200 millones de euros, que sería financiado con una emisión de
obligaciones por importe de 150 millones de euros al 7% y el resto por una cuenta de crédito, cuyo tipo de interés es el 6%
y su comisión de disponibilidad es el 0.2%.
¿Cuál es el tipo de actualización que debe utilizar la empresa para calcular el valor capital de este proyecto?
Emisión de obligaciones: 150 al 7%.
98
La decisión de financiación: el coste del capital
Cuenta de crédito: 540 al 5,8%
i0 = ic − c d ⇒ i0 = 0,06 − 0,002 = 0,058 → 5,8%
K=
150
50
0,07 +
0,058 = 0,067 → 6,7%
200
200
I
Problema 17.
Leches y chocolates Unidos. S.A. (LECHUSA), está estudiando la instalación de una nueva factoría para la fabricación de
diversos derivados lácteos. Tras diversos análisis ha llegado a la conclusión de que los valores esperados de los tres flujos
anuales del desembolso inicial de este provecto son (en miles de euros):
E(Q0) = -100, E(Q1) = 10, E(Q2) = 200, E(Q3) = 50
También ha estimado las varianzas de estas variables y los coeficientes de correlación entre ellas, que son:
varianzas
coeficientes de correlación
p(Q0,Q1) = -0.10, p(Q1,Q2) = 0,75
α2(Q0) = 10.000
2
p(Q0,Q2) = 0, p(Q1,Q3) = 0,50
α (Q1) = 121
2
p(Q0,Q3) = 0, p(Q2,Q3) = 0,325
α (Q2) = 32.400
α2(Q3) = 3.600
La empresa no conoce la distribución del VAN, si bien considera que puede considerársela razonablemente simétrica en
tomo al valor esperado. Tomando, como tipo de descuento, el 8 por 100, se desea acotar la probabilidad de que el VAN se
encuentre entre -100 y 500 miles de euros.
E (VC ) = −Q0 +
Q1
Q2
Q3
, en nuestro caso:
+
+
2
(1 + K ) (1 + K ) (1 + K )3
E (VC ) = −100 +
10
200
60
+
+
= 120,42 ⇒ E(VC)=120,42.
2
(1,08) (1,08) (1,08)3
como σ (Q0 ) = 10.000 =100 , σ (Q1 ) = 121 =11 , σ (Q2 ) =
σ 2 (VC ) = σ 2 (Q0 ) +
σ 2 (Q1 )
+
σ 2 (Q2 )
+L+
σ 2 (Qn )
+2
(1 + K ) (1 + K )
(1 + K )
σ (Qn−2 )σ (Qn −1 ) σ (Qn −2 )σ (Qn ) σ (Qn−1 )σ (Qn )
+2
+2
+2
(1 + K )2n−3
(1 + K )2n−2
(1 + K )2n−1
2
4
2n
32.400 =180 y σ (Q3 ) 3.600 = = 60
σ (Q0 )σ (Q1 )
(1 + K )
+2
σ (Q0 )σ (Q2 )
(1 + K )
2
+L+ 2
σ (Q0 )σ (Qn )
(1 + K )n
+
121
32.400 3.600
0(100)(180)
0(100)(60)
− 0,1(100)(11)
+
+
+2
+2
+2
2
4
6
2
(1,08)
(1,08) (1,08) (1,08)
(1,08)
(1,08)3
0,75(11)(80)
0,5(11)(60)
0,325(180)(60)
+2
+2
+ +2
= 43.590.
3
4
(1,08)
(1,08)
(1,08)5
σ 2 (VC ) = 10.000 +
luego:
σ (VC ) = 43.590 = 208,78
⇒ σ(VC)=208,78.
Tenemos que calcular P(− 100 > VC < 500) , para lo que utilizamos la desigualdad de Tchebycheff al
no conocer la distribución del VAN.
P[VC − E (VC ) ≥ c.σ (VC )] ≤
1
c2
Con esta fórmula lo que obtenemos es la probabilidad de que esté fuera, por lo que para saber la
probabilidad de lo que está dentro será 1-Tchebycheff.
P[VC − E (VC ) ≥ c.σ (VC )] ≥ 1 −
1
c2
99
Dirección Financiera I
Como es simétrica, la esperanza está situada en medio, por lo que habrá lo mismo a la derecha que a la
izquierda de la Esperanza. Por tanto, vamos a aproximar lo que hay a la derecha
P[VC − E (VC ) ≥ c.σ (VC )] ≥
E(VC)-σ(VC)
-1,1
1
1 
1 − 2 
2 c 
E(VC)
E(VC)+σ(VC)
1,1
Analíticamente:
P[ E (VC ) − cσ (VC ) < VC < E (VC )]
⇒
P[E (VC ) < VC < E (VC ) + cσ (VC ) ] ≥
1
1 
1 − 2  , esto se
2 c 
cumple para cualquier intervalo de centro la esperanza y de amplitud ± σ(VC).
Vamos a calcular lo que nos piden: P[− 100 < VC < 500]
1.- Aproximo la probabilidad entre –100 y la esperanza (120,42):⇒

1
1 
P − 100 < VC < 120,42 ≥ 1 − 2  , me queda conocer c1, sabemos que E − C1σ (VC ) = −100 ,
2  c1 

despejamos C1 = 1,05575 , sustituimos este valor y nos queda


1
1
 ⇒ P[− 100 < VC < 120,42 ≥ 0,05,14] : ⇒ 5,14%
P − 100 < VC < 120,42 ≥ 1 −
2 
2  1,05575 


1  1 
2.- Aproximo la probabilidad entre 120,42 y 500:⇒ P 120,42 < VC < 500 ≥  2  , me queda
2  c 2 

conocer c2, sabemos que E + C 2σ (VC ) = 500 , despejamos C 2 = 1,818 , sustituimos este valor y nos

1
1
queda P 120,42 < VC < 500 ≥ 1 −
2  1,818 2


 ⇒ P[120,42 < VC < 500 ≥ 0,3487] : ⇒ 34,87%

3.- Lo que nos piden es P[− 100 < VC < 500] ≥ 5,14% + 34,87% = 40% : ⇒ 40%
100