Segunda Monograf´ıa para o curso de´Algebra Comutativa.

Segunda Monografı́a para o curso de Álgebra Comutativa.
Claudio Michael Qureshi
Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
4 de Julho de 2012
Resumen
El objetivo de este trabajo es probar un par de resultados que relacionan la dimensión de krull de
un anillo A con la dimensión de krull de A[x] (o más general, de A[x1 , . . . , xn ]).
Más precisamente, para un anillo cualquiera A probaremos que vale la siguiente cota (Ej.6 Cap.11
de [AM]):
dim(A) + 1 ≤ dim(A[x]) ≤ 2dim(A) + 1
a dicho resultado llamaremos de Teorema 1. Luego nos restringiremos al caso especial de anillos
noetherianos donde probaremos que se verifica la igualdad (Ej.7 Cap.11 de [AM]):
dim(A[x]) = dim(A) + 1
que llamaremos de Teorema 2.
H
1. Repaso de Topologı́a de Zarinski, mapas inducidos por homomorfismos y
descomposición primaria.
En primer lugar recordemos que la dimensión de krull de un anillo A viene dada por el máximo
cardinal que puede tener una cadena de ideales primos de A (con respecto al orden dado por inclusión).
Una herramienta importante para relacionar la dimensión de krull de dos anillos A y B es
considerando homomorfismos de anillos f : A → B y su respectivo mapa inducido f ∗ : Spec(B) →
Spec(A) dado por contracción.
Comenzaremos recordando algunos conceptos sobre topologia de Zarinski y algunas propiedades
básicas de los mapas inducidos por homomorfismos de anillos.
1
1.1. Topologı́a de Zarinski.
Sea A un anillo1 , el espectro de A, que se denota por X = Spec(A) es el conjunto de ideales primos dotado con la topologı́a de Zarinski, la cual tiene como cerrados los subconjuntos
V (S) = {p ∈ X : S ⊂ p} para S ⊂ A.
Fué probado en la primer lista (Ejercicio 15 Cap.1 de [AM]) que la familia formada por los
conjuntos V (S) verifica los aximas de los conjuntos cerrados de una topologı́a. Más precisamente,
llamando X = Spec(A) teniamos que:
• X = V (ϕ), ϕ = V (A).
• V (I) ∪ V (J) = V (I ∩ J)
• ∩i∈I V (Ii ) = V (∪i∈I Ii )
O sea los conjuntos ϕ y X están en la familia y la familia de dichos conjuntos es cerrado
por uniones finitas e intersecciones arbitrarias por lo tanto forman los cerrados de una topologı́a.
También fué demostrado en el mismo ejercicio que si I es el ideal generado por el subconjunto
S de A entonces V (S) = V (I) = V (r(I)) y dado que r(r(I)) = r(I) tenemos que todo conjunto
cerrado puede siempre escribirse en la forma V (I) donde I es un ideal radical.
Una propiedad que nos será de utilidad es que si denotamos por
χf := V (f )c = {p ∈ X : f ̸∈ p}
donde f ∈ A entonces la familia B = {χf : f ∈ A} resulta ser una base para la topologı́a de
zarinski, es decir, todo abierto puede expresarse como unión de dichos conjuntos (Ej.17.Cap.1).
En efecto, todo cerrado es de la forma V (I)c luego resulta:
c
c 

∪
∪
∩
∪
χf
V (f )c =
V (f ) =
V (I)c = V  {f } = 
f ∈I
f ∈I
f ∈I
f ∈I
es decir, todo abierto puede expresarse como unión de los abiertos de B, lo cual prueba que B es
una base de la topologı́a.
1.2. Mapa inducido por un homomorfismo.
Recordemos que dado un homomorfismo de anillos f : A → B, si q es un ideal primo
de B entonces qc = f −1 (q) es un ideal primo de A, por lo tanto tenemos un mapa asociado
f ∗ : Spec(B) → Spec(A) dado por q 7→ qc .
Las propiedades básicas de dichos mapas se encuentra en el Ej.21, Cap.1 de [AM]. La primer
propiedad es que estos mapas son continuos considerando en los respectivos espectros la topologı́a
1
Para nosotros anillo será sinónimo de anillo conmutativo con unidad
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de Zarinski.
En efecto, para probar que el mapa f ∗ es una función continua basta probar que f ∗ −1 (Xa ) es
abierto para todo a ∈ A ya que como vimos antes, el conjunto {Xa : a ∈ A} es una base de la
topologı́a zarinski de X. Sea entonces a ∈ A, tenemos que:
q ∈ f ∗ −1 (Xa ) ⇔ f ∗ (q) = f −1 (q) ∈ Xa ⇔ a ̸∈ f −1 (q) ⇔ f (a) ̸∈ q ⇔ q ∈ Yf (a)
por lo tanto f ∗ −1 (Xa ) = Yf (a) es un abierto zarinski de Y .
1.3. Descomposición primaria.
En el Teorema 2 tenemos la hipótesis adicional que el anillo A es noetheriano, en donde se
logra refinar la desigualdad del Teorema 1. Una herramienta clave es la descomposición primaria,
en el curso probamos que en un anillo noetheriano todo ideal I puede expresarse como:
I=
t
∩
qi
i=1
donde los qi son ideales primarios, r(qi ) = pi es un ideal primo para i = 1, 2, . . . , t con pi ̸= pj si
i ̸= j y qi + ∩j̸=i qj para 1 ≤ i ≤ t, una descomposición en ideales primarios que verifica estas dos
últimas propiedades es llamada de descomposición primaria irreducible y será abreviada como DPI.
Con las notaciones anteriores, los ideales pi son llamados ideales primos de I y están univocamente determinados por el ideal I, los ideales minimales respecto inclusión del conjunto
{p1 , p2 , . . . , pt } son llamados ideales primos minimales de I. Respecto a los ideales primos minimales de un ideal tenemos el siguiente resultado importante:
Proposición 4.6. de [AM] (pág.52) Si I es un ideal que acepta una DPI (por ejemplo
si A es noetheriano, todo ideal I tiene una DPI) entonces todo ideal primo p ⊇ I contiene un
ideal primo minimal de I. Mas aún, los primos minimales de I son exactamente los elementos
minimales del conjunto V (I) ordenado por inclusión.
Recordemos que si A es noetheriano entonces también lo será A[x] (Teorema de la base de
Hilbert, que fué probado en clase). Será clave para la prueba del Teorema 2, lograr relacionar la
descomposición primaria del ideal I en A con la descomposición primaria del ideal I[x] en A.
H
2. La demostración de los Teoremas.
Para la prueba del Teorema 1 vamos a probar un par de resultados en forma de lemas, los dos
primeros lemas son resultados generales que relacionan ideales primos de A con ideales primos de
A[x].
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Lema 1. Si q es un ideal primo de A[x] entonces q ∩ A es un ideal primo de A.
Prueba. Se puede probar directamente, pero la forma más fácil es considerar el homomorfismo
inclusión f : A → A[x] y observar que q ∩ A = f −1 (q) es primo por ser imagen inversa de un ideal
primo por un homomorfismo de anillos.
Lema 2. Si p es un ideal primo de A entonces p[x] es un ideal primo de A[x].
Además si p ( p′ entonces p[x] ( p′ [x].
Prueba. Sea p un ideal primo de A y sean f, g ∈ p[x] tales que f ̸∈ p[x] y g ̸∈ p[x], queremos
probar que f g ̸∈ p[x].
∑
Como f = ni=0 ai xi ̸∈ p[x] entonces existe s ≥
0 tal que as ̸∈ p, consideremos el mı́nimo s
∑m
con esa propiedad. De la misma forma como g = j=0 bj xj ̸∈ p[x] entonces existe t ≥ 0 tal que
bt ̸∈ p, consideremos el mı́nimo t con esa propiedad.
Luego el coeficiente s + t de f g viene dado por:
∑
as bt +
(as+i bt−i + as−i bt+i ) ̸∈ p
|{z}
|{z} |{z}
̸∈p
i>0
|
∈p
{z
∈p
⇒
f g ̸∈ p[x]
}
∈p
lo cual prueba la primer parte. Para la segunda, claramente p ( p′ implica p[x] ⊂ p′ [x] si fuese
p[x] = p′ [x] entonces intersectando con A resultarı́a p = p[x] ∩ A = p′ [x] ∩ A = p′ lo cual es falso,
por lo tanto p[x] ( p′ [x].
El siguiente resultado es menos trivial. Consideramos el mapa inclusión f : A ,→ A[x] y su
homeomorfismo inducido f ∗ : Y → X donde X = Spec(A) e Y = Spec(A[x]). Como el mapa f
es la inclusión entonces el mapa inducido f ∗ viene dado en este caso por f ∗ (q) = f −1 (q) = q ∩ A
para cada q ∈ Y . Consideremos ahora un primo p de A (i.e. p ∈ X), llamamos la fibra de f ∗
sobre p al conjunto:
f ∗ −1 (p) = {q ∈ Y : f ∗ (q) = p} = {q ∈ Y : q ∩ A = p}.
Lema 3. Con las notaciones anteriores, la longitud máxima de una cadena de ideales primos
de Y en la fibra de f ∗ sobre p es 1.
Idea de la prueba. Usando el ejercicio 21 del Capı́tulo 3 parte iv) resulta que el subespacio
f ∗ −1 (p) de Y es naturalmente homeomorfo a Spec(k(p) ⊗A A[x]) donde k(p) es el cuerpo residual
del anillo local Ap (es decir k(p) = Ap /pe donde la extensión es respecto al morfismo natural
A → Ap dado por a 7→ a1 ). Como k(p) ⊗A A[x] ≃ k(p)[x] que tiene dimensión de krull 1 por ser
un dominio de ideales principales (pues k(p) es un cuerpo) resulta la propiedad deseada.
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Corolario del Lema 3. Si q0 ( q1 es una cadena de longitud 1 en f ∗ −1 (p) entonces q0 = p[x].
Prueba. Como q0 ∩ A = p tenemos que p ⊂ q0 lo cual implica que p[x] ⊂ q0 (pues q0 es un
ideal de A[x] y x ∈ A[x]) con lo cual tenemos la siguiente cadena de ideales primos en f ∗ −1 (p):
p[x] ⊂ q0 ( q1
que no puede tener largo mayor que 1 por lo cual p[x] = q0 .
Ahora probaremos el Teorema 1 usando dichos resultados.
Teorema 1 (Ej.6, Cap.11 de [AM]). Si A es un anillo cualquiera entonces se cumple la
siguiente desigualdad:
dim(A) + 1 ≤ dim(A[x]) ≤ 2dim(A) + 1
Prueba.
Para probar la cota inferior consideremos una cadena de ideales primos en A de largo máximo
t = dim(A) dada por p0 ( p1 ( . . . ( pt−1 ( pt . En función del Lema 2, tenemos la siguiente
cadena de ideales primos en A[x] dada por p0 [x] ( p1 [x] ( . . . ( pt−1 [x] ( pt [x], considerando la
fibra de f ∗ sobre pt sabemos que existe una cadena de ideales primos de largo 1 en dicha fibra
(Lema 3) y que dicha cadena debe comenzar en pt [x] (Corolario del Lema 3). Si pt [x] ( qt+1 es
dicha cadena entonces tenemos la siguiente cadena en A[x]:
p0 [x] ( p1 [x] ( . . . ( pt−1 [x] ( pt [x] ( qt+1
lo cual implica que dimA[x] ≥ t + 1 = dimA + 1.
qt+1
pt
pt [x]
pt−1
pt−1 [x]
p2
/o /o /o o/ / p2 [x]
p1
p1 [x]
p0
p0 [x]
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Ahora probemos la cota superior. Consideremos una cadena C : q0 ( q1 ( . . . ( qt−1 ( qt
de ideales primos en A[x] de largo t = dim(A[x]) intersectando cada ideal de esta cadena con A
obtenemos una cadena de ideales primos de A (Lema 1), llamémosla p0 ( p1 ( . . . ( pm−1 ( pm
donde cada pi = qj ∩ A para algún j.
qt
qt−1
pm [x]
qt−2
pm−1 [x]
q2
q ∩A
/o o/ j /o /o / p1 [x]
p1
p0 [x]
p0
Para cada primo pi el conjunto de los ideales qj de C que verifican qj ∩ A = pi forma una
cadena de ideales primos en f ∗ −1 (pi ) y por Lema 3 toda cadena de ideales primos en f ∗ −1 (pi )
tiene longitud a lo sumo 1 por lo tanto #{j : qj ∩ A = pi } ≤ 2 para i = 0, 1, . . . , m de donde:
t+1=
m
∑
#{j : qj ∩ A = pi } ≤ 2(m + 1)
i=0
lo cual implica t = dim(A[x]) ≤ 2m + 1 ≤ 2dim(A) + 1.
Corolario: Generalizando para el anillo de polinomios en n variables A[x1 , x2 , . . . , xn ] se tiene
la siguiente cota para la dimensión:
dim(A) + n ≤ dim(A[x1 , x2 , . . . , xn ]) ≤ 2n+1 (dim(A) + 1) − 1
Dem: Sea d0 = dim(A) y di = dim(A[x1 , x2 , . . . , xi ]) para i = 1, 2, . . . vamos a probar por
inducción que d0 + n ≤ dn ≤ 2n+1 (d0 + 1) − 1. Para n = 0 se cumple puesto que d0 ≤ d0 ≤ 2d0 + 1,
ahora vamos a suponer que vale para un k fijo la desigualdad d0 + k ≤ dk ≤ 2k+1 (d0 + 1) − 1 y
vamos a ver que vale para k + 1. Usando el Teorema anterior, llamando A′ = A[x1 , x2 , . . . , xi ]
tenemos que dk+1 = dim(A′ [xk+1 ]) ≥ dim(A′ ) + 1 = dk + 1 ≥ d0 + k + 1 donde en la última
desigualdad se hizo usó de la hipótesis inductiva. Usando nuevamente el Teorema anterior se tiene
que dk+1 = dim(A′ [xk+1 ]) ≤ 2dim(A′ ) + 1 = 2dk + 1 ≤ 2(2k+1 (d0 + 1) − 1) + 1 = 2k+2 (d0 + 1) − 1
donde la última desigualdad es por hipótesis inductiva. Juntando ambas desigualdades tenemos
que d0 + k + 1 ≤ dk+1 ≤ 2k+2 (d0 + 1) − 1 que es la tesis inductiva.
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Ahora vamos a ver el caso en que el anillo A sea noetheriano y probar que la cota inferior del
Teorema 1 siempre es alcanzada para este tipo de anillos, este será nuestro Teorema 2. Primero
probaremos un par de lemas previos, los cuales harán uso de algunos resultados que están probados en el Capı́tulo 10 de [AM]. Comezaremos por enunciar dichos resultados.
Corolario 11.16 de [AM] (Corolario del Teorema de la dimensión). Si A es un anillo noetheriano e I = (x1 , x2 , . . . , xr ) un ideal de A generado por r elementos, entonces todo ideal minimal p
de I tiene altura a lo sumo r.
Corolario 11.17 de [AM] (Teorema del ideal principal de Krull). Si A es un anillo noetheriano
y x es un elemento de A que no es ni unidad ni divisor de cero, entonces todo primo minimal p
de (x) tiene altura 1.
Las pruebas de dichos corolarios están hechas en el libro [AM]. Ahora vamos a probar unos
lemas a partir de dichos corolarios.
Lema 1. Si A es un anillo noetheriano y p un ideal con altura m entonces existen elementos
a1 , a2 , . . . , am ∈ p tales que p es un primo minimal del ideal I = (a1 , a2 , . . . , am ).
Prueba. Vamos a probar el resultado usando inducción en h(p) = la altura de p.
Si h(p) = 0 entonces p es unH primo minimal del ideal (0) (consecuencia directa de la Prop.4.6
de [AM] que fué enunciada en 1.3).
Si h(p) = 1 observemos que si p0 es un ideal primo tal que p0 ( p entonces p0 es un primo
minimal (pues la cadena p0 ( p tiene largo maximal dado que h(p) = 1), luego p0 está contenido
dentro de los primos del ideal (0) que son una cantidad finita (nuevamente se usa Prop.4.6 de
[AM]). Sea entonces p1 , p2 , . . . , pt todos los primos estrictamente contenidos en p. Observemos
que p * ∪ti=1 pi , pues en caso contrario, como los pi son primos tendriamos que p ⊆ pi para algún
i (Prop.1.11 de [AM], probado en clase) lo cual es absurdo puesto que pi está por hipótesis, estrictamente contenido en p, luego existe x ∈ p tal que x ̸∈ pi para 1 ≤ i ≤ t. Para ese x tenemos
que p es un primo minimal de I := (x), pues por un lado (x) ⊂ p (pues x ∈ p) y por otro no existe
ningún ideal primo p′ tal que (x) ⊂ p′ ( p (pues caso contrario p′ = pi para algún i ∈ {1, 2, . . . , t}
y resultarı́a x ∈ pi ).
Ahora vamos a suponer que vale la propiedad para ideales con altura h − 1 y supongamos que
h(p) = h. Tomemos una cadena de largo h terminando en p:
C : p0 ( p1 ( . . . ( ph−1 ( ph = p
Como dicha cadena es de largo maximal entres las cadenas que terminan en p (pues h(p) = h)
resulta que h(ph−1 ) = h − 1 y por hipótesis inductiva existe un ideal I ′ = (x1 , x2 , . . . , xh−1 ) para
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el cual ph−1 es un primo minimal de I ′ .
Como ph−1 ( p entonces existe xn ∈ p tal que xn ̸∈ ph−1 , si pudiesemos elegir además xn tal
que ph−1 ⊂ I := (x1 , . . . , xn ) ⊂ p (la primera inclusión es estricta pues xn ̸∈ ph−1 ) entonces p
es un primo minimal de I pues cualquier primo entre I y p implicarı́a aumentar el tamaño de la
cadena C lo cual es imposible pues h(p) = h.
Lema 2. Sea a un ideal de A. Si p es un primo minimal de a en el anillo A, entonces p[x] es
un primo minimal de a[x] en el anillo A[x].
Prueba. Como a ⊂ p entonces a[x] ⊂ p[x], además como p es un ideal primo de A tenemos
que p[x] es un ideal primo de A[x] (Lema 2 para el Teorema 1). Consideremos un ideal primo q0
de A[x] tal que a[x] ⊂ q0 ⊂ p[x], para probar que p[x] es un primo minimal de a[x], en virtud de
la Prop.4.6 de [AM] basta probar que q0 = p[x].
Intersectando la cadena a[x] ⊂ q0 ⊂ p[x] con A obtenemos la cadena
a ⊂ p0 := q0 ∩ A ⊂ p = p[x] ∩ A
Pero al ser p0 primo (Lema 1 para el Teorema 1) y p un primo minimal de a, la única posibilidad
es que p0 = p, como p0 = q0 ∩ A ⊂ q0 resulta que p ⊂ q0 , lo cual implica p[x] ⊂ q0 (pues q0 es un
ideal de A[x] y x ∈ A[x]), luego se tiene que q0 = p[x] y por lo tanto p[x] es un primo minimal de
a[x].
Lema 3. Si A es noetheriano y p es un ideal primo de A con altura h entonces p[x] es un
primo de A[x] con altura h.
Dem. Ya sabemos que p[x] es un ideal primo de A[x] si p es un ideal primo de A, solo falta
probar que tienen la misma altura. Sea h′ la altura del primo p[x] en A[x]. Como la altura de p es
h entonces existe una cadena de ideales primos en A de la forma p0 ( p1 ( . . . ( ph−1 ( ph = p,
esta cadena induce naturalmente una cadena de ideales primos en A[x] del mismo largo p0 [x] (
p1 [x] ( . . . ( ph−1 [x] ( ph [x] = p[x], por lo tanto h′ ≥ h .
Por otro lado, por el Lema 1 existe un ideal a = (x1 , x2 , . . . , xh ) ⊂ p tal que p es un primo
minimal de a, por el Lema 2 tenemos que p[x] es un primo minimal de a[x] que claramente está
generado (como A[x]-módulo) por x1 , x2 , . . . , xh , luego por el Corolario 11.16 de [AM] tenemos
que h(p[x]) = h′ ≤ h. Juntando ambas desigualdades tenemos que h = h′ .
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Teorema 2 (Ej.7, Cap.11 de [AM]). Si A es un anillo noetheriano entonces dim(A[x]) =
dim(A) + 1.
Prueba. Llamemos de t la dimensión de A[x] y m la dimensión de A. Como en el Teorema
anterior a cada cadena de ideales primos C : q0 ( q1 ( . . . ( qk de largo k en A[x] podemos
asignarle una cadena de ideales primos de A dada por C ∩ A : q0 ∩ A ⊂ q1 ∩ A ⊂ . . . ⊂ qk ∩ A
de largo menor o igual que k via contracción por f : A → A[x] dada por inclusión (recordar que
contracción respeta primalidad e inclusión).
Nos restringimos ahora a cadenas de primos de largo t en A[x], a cada cadena de ideales primos
C vamos a asignarle el número m(C) dado por el largo de la cadena inducida C ∩ A en A, queremos probar que existe una cadena de ideales primos C de largo t que verifica que m(C) = t − 1.
Consideremos entonces una cadena de ideales primos CM de largo t en A[x] con m(CM ) máximo.
Supongamos por absurdo que m(C) < t − 1 entonces existen i < j tales que qi ∩ A = qi+1 ∩ A
y qj ∩ A = qj+1 ∩ A, además qi+1 ∩ A ̸= qj ∩ A pues en caso contrario qi ( qi+1 ( qj+1 resultaria
una cadena de largo 2 en f ∗ −1 (p) donde p := qi ∩ A = qi+1 ∩ A = qi+2 ∩ A lo cual es imposible
(por el Lema 3 del Teorema 1), por lo tanto pi ̸= pj donde ps = qs ∩ A (lo cual en particular
implica que i + 1 < j).
Por el Corolario del Lema 3 del Teorema 1, toda cadena de longitud 1 en f ∗ −1 (p) debe comenzar en p[x], por lo tanto qi = pi [x] y qj = pj [x].
Considerando la subcadena de CM dada por q0 ( q1 ( . . . ( qj = pj [x] tenemos que la altura
de pj [x] es por lo menos j, pero debe ser exactamente j puesto que la cadena CM tiene largo
maximal t = dim(A[x]).
Usando el Lema 3 tenemos que la altura de pj coincide con la altura de pj [x] que es j, luego
existe una cadena de ideales primos en A de la forma p′0 ( p′1 ( . . . ( p′j−1 ( pj . Pero en ese caso
tendrı́amos la siguiente cadena de ideales primos en A[x]:
′
CM
: p′0 [x] ( p′1 [x] ( . . . ( p′j−1 [x] ( pj [x] = qj ( qj+1 ( qj+2 ( . . . ( qt
que tiene largo t y además como p′r [x] ∩ A = p′r ̸= p′s = p′s [x] ∩ A para r, s ≤ j con r ̸= s y
′ ) > m(C ) lo cual es absurdo por como fué escogida C .
qi ∩ A = qi+1 ∩ A resulta que m(CM
M
M
Luego la cadena de ideales primos CM ∩ A tiene largo al menos t − 1 y por tanto dim(A) = m ≥
t − 1 = dim(A[x]) − 1.
Por el primer Teorema para cualquier anillo se cumple que dim(A) ≤ dim(A[x]) − 1 y por lo
tanto en este caso deben coincidir, o sea dim(A[x]) = dim(A) + 1 como querı́amos probar.
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Corolario. Si A es un anillo noetheriano tenemos que dim(A[x1 , x2 , . . . , xn ]) = n + dim(A).
Prueba. La prueba es por inducción en n. Para n = 1 es el Teorema 2, suponiendo que
vale que dim(A′ ) = n − 1 donde A′ = A[x1 , . . . , xn−1 ], por el Teorema de la base de Hilbert A′
es noetheriano (pues A lo es), luego aplicando nuevamente el Teorema 2 dim(A[x1 , . . . , xn ]) =
dim(A′ [xn ]) = 1 + dim(A′ ) = n.
Bibliografı́a principal.
[AM] Introduction to Commutative Algebra, M.F.Atilah, I.G.Macdonald.
Observación respecto a sı́mbolos.
Indistintivamente usamos ⊂ ó ⊆ para inclusión amplia. Para inclusión estricta se usa (.
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