Diferencial

LA DIFERENCIAL
Autor: Victor Manuel Castro González
Carrera: Ingeniería Industrial
Instituto: Univa Zamora
Fecha:25/Febrero/2008
Victor Manuel Castro González
LA DIFERENCIAL
La forma en que hemos abordado el concepto de derivada,
aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la
relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era
tangente a la función. Para un punto en particular podemos
llegar a la definición de la derivada f '(x) y vimos que f '(x1)
es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.
• En particular, para una función y=f(x) para un valor inicial
x0 se tiene la pendiente de la línea recta tangente en las
coordenadas [x0,f(x0)], dada por la m=f'(x0). Cuya
ecuación de la línea recta tangente queda entonces
definida como:
y-f(x0)=m(x-x0)
• Ante un cambio en la variable x podemos determinar el
incremento x0 por x0+dx, donde el incremento dx es
comúnmente un incremento pequeño, pero no cero,
llamado diferencial en x.
• Analizando el sistema función y línea recta tangente a dicha función
entonces podemos analizar que existen dos puntos importantes a
analizar, los de la función y los de la recta tangente:
(1) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de f designaremos
la notación dy.
(2) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de y para la recta
tangente utilizaremos la notación dy.
Mas precisa se encuentra la siguiente definición:
Definición de diferencial (informal)
• Sea y=f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene al
número
x.
• Se define a la diferencial de x como dx, cualquier número real diferente
de cero.
•
Se define a la diferencial de y como dy, dado por dy=f '(x) dx.
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
• Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa
x, se le dota de un pequeñísimo incremento
(aumento) h y se encuentra un punto x + h.Se traza
la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y
desde x + h se levanta una paralela al eje de
ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.
• Diferencial de una función en un punto
Se define diferencial de una función y = f(x) en un
punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto
f'(x) · h. Por tanto,dy = df(x) = f'(x) · h
Propiedades de la diferencial
• Primera propiedad: La diferencial de una función en un punto depende
de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.
• Segunda propiedad:Al ser dy = f ' (x)·h = , la diferencia de una función
en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente
al aumentar en h un punto de abscisa x.
• Tercera propiedad:Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx =
f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h
• Cuarta propiedad:cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy
es prácticamente igual a
cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido
será mínimo.
Incrementos Diferenciales
Interpretación Geométrica
•
Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entredós cantidades
variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial. Son por tanto
objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la
distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un
momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas
y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una
gráfica en un punto dado de ésta, etc.
•
Incrementos: cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor,
se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con
hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se
utiliza el símbolo Dx, que se lee “delta x”. El incremento puede ser positivo o
negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un
valor a otro.
•
Por ejemplo: Si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final
x2 es igual a 7, el incremento Dx = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha
incrementado positivamente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y
el valor final 3, Dx = x2 - x1 = 3 - 7 = −4: la variable ha tenido un incremento
negativo (decremento) de 4 unidades.
APLICACIONES DE LA
DIFERENCIAL
• Entre las aplicaciones prácticas del concepto de
diferencial de una función vamos a tratar aquí los
relacionados con la utilización de dos resultados
obtenidos en las líneas anteriores: la expresión
Δy = f ´(x).Δx + ε .Δx en la ε . Δx es un infinitésimo
de orden superior a f ´(x) .Δx por lo que se puede
considerar despreciable cuando Δx → 0, y el
teorema según el cual Δy y dy son infinitésimos
equivalentes, si f´(x) ≠ 0 con Δx→ 0.
Ejemplo 1
• Hallar un valor aproximado de sen 33º.
Se trata de aplicar la expresión anterior a la función f(x) =
sen x, con a = 30º ( π/6 rad) e Δx = 3º ( 3π/180 rad).Es
decir, sen 33º = sen (30º + 3º) = sen ( π/6 + 3π/180 ) ≈
sen π/6 + (sen π/6)´ . (3π/180) = sen π/6 + cos π/6 .
(3π/180) =
Ejemplo 2
• Hallar un valor aproximado de cotg 58º.
Se trata de aplicar la expresión anterior a la función f(x) =
cotg x, con a = 60º ( π/3 rad) e Δx = -2º ( -2π/180 rad),
es decir, para un Δx negativo.Tendremos, cotg 58º = cotg
[60º + (-2º)] = cotg [ π/3 + (-2π/180 )] ≈ cotg π/3 - 1/(sen2
π/6) . (-2π/180) =
Ejemplo 3
• Hallar un valor aproximado de 0,822
Consideremos la función f(x) = x2, el valor a = 0,8 y el Δx
= 0,02: 0,822 = f(0,8 + 0,02) = f(0,8) + f´(0,8) . 0,02 =
0,64 + 2.0,8.0,02 = 0,672
Ejemplo 4
• Un depósito tiene forma de esfera de 3 m de
radio. Estimar cuánto aumentará el volumen del
depósito si el radio aumenta 5 cm.
El volumen de la esfera viene dado por
Se trata de hallar ΔV para Δr = 5 cm, para lo cual
hallaremos ΔV ≈ dV = V´(r) . dr = 4π.r2 . dr = 4π.9.0,05 =
5,655 m3