Solución de problemas en ingeniería con Matlab

Solución de problemas
en ingeniería con
MATLAB
Marco Antonio Montufar Benítez
Centro de Investigación Avanzada en Ingeniería Industrial
Universidad Autónoma del estado de Hidalgo
Joselito Medina Marín
Centro de Investigación Avanzada en Ingeniería Industrial
Universidad Autónoma del estado de Hidalgo
PRIMERA EDICIÓN EBOOK
MÉXICO, 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
info
editorialpatria.com.mx
www.editorialpatria.com.mx
Dirección editorial: Ing. Javier Enrique Callejas
Coordinadora editorial: Ing. Estela Delfín Ramírez
Revisión técnica:
Dr. José Job Flores Godoy
Universidad Iberoamérica
Diseño de interiores: Trocas
Diseño de portada: Factor02/Eleazar Maldonado
Fotografías: © 2007, Jupiter Images Corporation / Nemesis
Solución de problemas en ingeniería con Matlab
Derechos reservados respecto a la edición:
© 2014, Marco A. Montufar Benítez / Joselito Medina Marín
© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
ISBN ebook: 978-607-438-937-1
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido
de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas,
sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
Dedicatoria
A Paty, Trevor y Ayrton, inspiración en mi vida.
MAMB
A Lupita, Iaina, Alan y Erick, por su existencia.
JMM
Agradecimientos
Queremos agradecer la ayuda y la retroalimentación que nos proporcionaron
los profesores Ramón Corona Armenta, Aurora Pérez Rojas, Óscar Montaño
Arango, Jaime Garnica González, Heriberto Niccolas Morales, Sergio Ramírez
Reyna, Aarón Rodríguez Trejo y Rogelio Escorcia Hernández, revisores de la
obra, quienes han usado parte o todos los materiales de este libro. Apreciamos,
también, el apoyo que siempre nos brindo Octavio Castillo Acosta, Director del
Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería, de la Universidad Autónoma del Estado
de Hidalgo, así como a Estela Delfín Ramírez, editora de Grupo Editorial Patria
para la culminación de este texto.
Presentación
El cambio continuo hace cada vez más necesario que aprendamos a usar la
tecnología en la solución de problemas de una manera rápida y efectiva. Este
libro tiene el propósito de introducir a los lectores en el uso del software
MATLAB en la solución de problemas en ingeniería, con ello no tratamos de
reemplazar a las técnicas didácticas “tradicionales”, solamente es un apoyo
más, que ha demostrado ser de gran ayuda en cursos impartidos por los autores y otros profesores. En esta obra el lector encontrará desde los conceptos
fundamentales de cierto tema hasta cómo aplicar el software en aplicaciones
relacionadas a dicho tema. El libro está dividido en cuatro capítulos: el capítulo 1 de Aplicaciones al Álgebra y Geometría analítica, el cual expone cómo aplicar
el software a situaciones donde surge la necesidad de modelar con las cónicas:
recta, circunferencia, hipérbola, parábola y elipse, así también se hace uso de
las coordenadas polares. El capítulo 2 titulado Cálculo diferencial e integral trata
principalmente de aplicaciones sobre derivación y optimización de funciones
de una sola variable, incluyendo problemas donde la integración definida e
indefinida es de utilidad para plantear modelos en ingeniería. En el capítulo 3
sobre Probabilidad y estadística nos enfocamos a situaciones donde es necesario
usar variables aleatorias continuas y discretas, en particular hacemos uso del
software para calcular valores esperados, varianzos y covarianzos. Por último
en el capítulo 4 mostramos aplicaciones a la ingeniería económica, teoría de
colas, programación lineal y teoría de inventarios. Esperamos que el material
aquí presentado sirva de motivación para que el lector aprenda más acerca de
este fascinante tema. Los comentarios y sugerencias a esta obra son bienvenidos al correo electrónico: [email protected].
Contenido
Capítulo 1. Aplicaciones al álgebra y geometría analítica . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1
Introducción a MATLAB y su uso como calculadora . . . . . . . . . . . . . .2
1.1.1 Ventanas principales en MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.1.2 Para trabajar en la ventana de comandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.1.3 Operaciones aritméticas con escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2
Uso de arreglos en problemas de línea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.2.1 Creación de arreglos unidimensionales (vectores) . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.2.2 Acceso a los elementos de arreglos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.3
Uso de archivos script en problemas de cálculo numérico . . . . . . . .11
1.3.1 Archivos script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.3.2 Creación y almacenamiento de archivos script . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.3.3 Ejecución de un archivo script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.3.4 Entradas a un archivo script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
1.4
Uso de gráficas bidimensionales relacionadas
a problemas de cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
1.4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
1.4.2 El comando plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
1.5
Uso de gráficos bidimensionales en coordenadas polares
relacionadas con problemas de cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
1.5.1 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
1.5.2 Graficación múltiples curvas sobre la misma página . . . . . . . . . . . . . .20
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
v
Contenido
1.6
Graficación de parábolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.1 Parábolas con eje horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7
Graficación de elipses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.1 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8
Aplicación de la Matemática simbólica aplicada
a la graficación de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8.1 Uso de los comandos solve, double, ezplot y subs . . . . . . . . . . 27
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.9
Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9.1 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.10 Solución de sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10.1 Sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.11 Raíces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.11.1 Raíces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Capítulo 2.
Cálculo diferencial e integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1
Aplicación de las funciones internas de MATLAB
en la solución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Formatos de presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Funciones matemáticas elementales predefinidas . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Definición de variables escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
38
39
39
40
2.2
Uso de arreglos en problemas de cálculo de límites . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 Cálculo de valores meta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3
2.3.1
vi
Uso de archivos script en problemas de cálculo numérico . . . . . . . 48
El comando disp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Contenido
2.3.2 El comando fprintf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4
Comando fplot y graficación múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 El comando fplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Trazos de diversos gráficos en el mismo dibujo . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
53
54
56
2.5
Matemática simbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Objetos simbólicos y expresiones simbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Diferenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
57
57
59
60
2.6
Simplificación con Matemática simbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6.1 Derivación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7
Matemática simbólica aplicada a problemas
de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.7.1 Uso de los comandos solve, double, ezplot y subs . . . . . . . . . . 65
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.8
Matemática simbólica aplicada a problemas
de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.8.1 Uso de los comandos int y subs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.9
Cálculo de longitud de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.9.1 Longitud de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.10 Cálculo del trabajo realizado por una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.10.1 Trabajo de una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Capítulo 3.
Probabilidad y estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1
Cálculo del valor esperado para una distribución continúa . . . . . . 78
3.1.1 Variables continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
vii
Contenido
3.2
Distribución de probabilidad discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Cálculo de la media para una distribución discreta . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Valor esperado condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
82
83
87
3.3
Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Capítulo 4.
Investigación de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1
Ingeniería económica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.1 Valor presente de una serie uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.2 Serie uniforme de un valor presente neto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.3 Valor futuro de una serie uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1.4 Anualidad de una suma futura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.5 Valor presente de una anualidad diferida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2
Valores equivalentes de una serie con gradiente . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Gradiente aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Gradiente geomético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Factores económicos en MATLAB con vectores . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
110
113
115
118
4.3
Teoría de colas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Modelos de colas basadas en el proceso nacimiento-muerte . . . . .
4.3.2 Modelos M/M/S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
120
120
122
4.4
Programación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4.1 Método simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5
Teoría de inventarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Modelos determinísticos de revisión continua . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Modelo EOQ básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
131
131
132
135
Capítulo 1
Aplicaciones al álgebra y geometría analítica
Capítulo
1
Aplicaciones al álgebra
y geometría analítica
Ob je t iv o :
Conocer las características de las distintas ventanas de MATLAB y realizar operaciones matemáticas mediante la Ventana de Comando, como si se
tratara de una calculadora. Aprender a utilizar los arreglos de MATLAB en
los problemas relacionados con álgebra y geometría analítica.
1
Solución de problemas en ingeniería con MATLAB
1.1
Introducción a MATLAB y su uso como calculadora
1.1.1 Ventanas principales en MATLAB
Existen tres ventanas básicas en MATLAB: 1) Ventana de Comandos, 2) Ventana de
Directorio Actual y 3) Ventana de Historia de Comandos (véase figura 1.1).
Figura 1.1
Las tres ventanas básicas de MATLAB.
1.1.2 Para trabajar en la Ventana de Comandos
La Ventana de Comandos en MATLAB es la principal y sirve para ejecutar comandos,
abrir otras ventanas, correr programas escritos por el usuario y administrar el software.
Notas para trabajar en la Ventana de Comandos
❖ Para escribir un comando, se debe colocar el cursor después del prompt (>>).
❖ Una vez que se escribe el comando y se presiona la tecla Enter, el comando es ejecutado. Sin embargo, sólo se realiza la última indicación. Cualquier cosa anterior
permanece marginada. Por ejemplo, observe lo que pasa en la serie de comandos
mostrados en la figura 1.2.
2
Capítulo 1
Aplicaciones al álgebra y geometría analítica
Figura 1.2
Secuencia de comandos que muestran una asignación de valores.
❖ Se pueden anotar varios comandos en la misma línea. Para esto, se inserta una
coma entre ellos. Cuando se oprime Enter, los comandos son ejecutados de izquierda a derecha.
❖ No es posible regresar a una línea previa en la Ventana de Comandos, efectuar
correcciones y volver a ejecutar el comando.
❖ Un comando tecleado se puede llamar de nuevo con la tecla flecha hacia arriba
(↑). Cuando aparece un comando en el prompt, se puede alterar antes de su ejecución.
❖ La flecha hacia abajo (↓) sirve para moverse hacia abajo hasta un comando tecleado con anterioridad.
❖ Si un comando es tan largo que no cabe en una línea, éste puede continuar en la
próxima línea luego de teclear tres puntos y presionar Enter.
El punto y coma (;)
Cuando se escribe un comando en la Ventana de Comandos y se presiona Enter, el
comando es ejecutado. Cualquier salida que el comando genere aparece en la Ventana
de Comandos. Si se incluye un punto y coma (;) al final del comando, no se despliega
su salida.
3
Solución de problemas en ingeniería con MATLAB
El símbolo de %
Cuando se anota el símbolo % al inicio de una línea, ésta se considera un comentario. Esto significa que cuando se oprime Enter el comando no es ejecutado. El
símbolo de % seguido por un texto (comentario) también se puede escribir después de un comando (en la misma línea). Esto no afecta la ejecución del comando.
El comando clc
El comando clc (escriba clc y presione Enter) limpia la Ventana de Comandos. El comando no cambia instrucción previa alguna; por ejemplo, si se definió una variable,
ésta existe y puede ser usada de nuevo. La flecha hacia arriba también llama comandos escritos con anterioridad.
1.1.3 Operaciones aritméticas con escalares
Los escalares son números, por lo que MATLAB permite efectuar operaciones con
ellos. Estos números también se asignan a variables, las cuales se pueden usar más
adelante en cálculos. Los símbolos de las operaciones aritméticas se citan en la tabla 1.1.
Tabla 1.1
Símbolos para las operaciones aritméticas en MATLAB.
Operación
Símbolo
Ejemplo
Suma
+
5+3
Resta
–
5–3
Multiplicación
*
5x3
División derecha
/
5/3
División izquierda
\
5\3 = 3/5
Exponenciación
^
5^3 = 125
Orden de precedencia
El orden de precedencia que MATLAB usa se presenta en la tabla 1.2. Este orden es el
mismo que muchas calculadoras utilizan.
4
Capítulo 1
Tabla 1.2
Aplicaciones al álgebra y geometría analítica
Orden de precedencia.
Precedencia
Operación matemática
Primera
Paréntesis. En paréntesis anidados,
el más interno se ejecuta primero
Segunda
Exponenciación
Tercera
Multiplicación, división
(igual precedencia)
Cuarta
Suma y resta
Ejercicios para desarrollar
El uso más simple de MATLAB es como calculadora. Para ello, se abre la Ventana
de Comandos, se escribe la expresión matemática y se presiona Enter. MATLAB
calcula la expresión y responde exhibiendo ans 5 y el resultado numérico de la
expresión en la siguiente línea:
ans 5
xxx
Para cada una de las siguientes operaciones matemáticas, escriba el comando de MATLAB necesario para ejecutarlas y la respuesta que obtuvo:
1.
2.
71
8
2
>>
ans 5
>>
ans 5
7 18
2
5
Solución de problemas en ingeniería con MATLAB
3.
4.
5
41 12
3
>>
ans 5
>>
ans 5
53
2
1
5.
27 3 1 32 0.2
>>
6.
ans 5
27 1
1 32 0.2
3
>>
ans 5
7. (3.1416)(3.5)(3.5)
>>
8.
ans 5
(29.5) (12.35)
2
>>
ans 5
9. 73 1 (35.2 1 4.5)2
>>
10. 124.7
54
52 1 3
>>
6
ans 5
ans 5
Capítulo 1
1.2
Aplicaciones al álgebra y geometría analítica
Uso de arreglos en problemas de línea recta
1.2.1 Creación de arreglos unidimensionales
(vectores)
Los arreglos en MATLAB son fundamentales para almacenar y manipular datos. Un
arreglo es una lista de números ordenados en filas, columnas o ambas. El arreglo más
simple (unidimensional) es una fila o una columna de números. Por ejemplo, suponga
que los datos de la tabla 1.3 representan los años y la población respectiva para cierta
ciudad.
Tabla 1.3
Arreglo unidimensional.
Año
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
Población
(en
millones)
127
130
136
145
158
178
211
Los datos de años y población se pueden introducir como elementos de una fila o
columna de un vector.
En MATLAB un vector se crea asignando sus elementos a una variable. Para ello,
hay varias maneras, dependiendo de la información disponible. Frecuentemente usaremos vectores con elementos que son una serie de números con un espaciamiento
constante. En tales casos el vector se puede crear con los comandos de MATLAB.
Creación de un vector a partir de una lista de números
El vector se crea escribiendo los elementos (números) separados por delimitadores
que pueden ser espacio, coma, punto y coma, y/o Enter entre corchetes [ ].
Nombre de la variable 5 [ escriba los elementos del vector ]
Vector fila o renglón. Para crear un vector fila escriba los elementos con un espacio
o una coma entre los elementos dentro de los corchetes. Por ejemplo, para poner los
años como un vector fila se debe hacer lo siguiente:
>> anio 5 [ 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 ]
NOTA: Recuerde no usar “ñ” o acentos en los nombres de variables.
7
Solución de problemas en ingeniería con MATLAB
Otro ejemplo es formar un vector fila que represente las coordenadas de un punto
A en el plano cartesiano. Para ello, primero debe escribirse A 5 [5 6], a fin de representar el punto cuyas coordenadas son (5, 6).
Vector columna. Para crear un vector columna abra los corchetes ([) e introduzca los
elementos separados por un punto y coma, o presione la tecla Enter después de
cada elemento. Por último, cierre los corchetes (]). Por ejemplo, para definir las poblaciones de la tabla 1.3 como un vector columna se debe escribir lo siguiente:
>> pob 5 [127; 130; 136; 145; 158; 178; 211]
Creación de un vector con espaciamiento constante especificando
el primer término, el espaciamiento y el último término
Se dice que un vector tiene espaciamiento constante cuando para cualesquiera dos
elementos consecutivos la diferencia entre ellos es constante. Por ejemplo, suponga
que tenemos el vector v 5 2 4 6 8; entonces, el espaciamiento es 2. Para crear un vector
donde el primer elemento sea m, el espaciamiento sea q y el último elemento sea n,
debemos escribir:
Nombre de la variable 5 [m:q:n]
o
Nombre de la variable 5 m:q:n
Para el ejemplo previo, podemos escribir:
>> v = 2:2:8 % Observe que no son necesarios
% los paréntesis
% o v = [2:2:8]
Otro ejemplo es:
>> z = [1:8]
% El primer elemento es 1, el último es 8.
% Si se omite el espaciamiento, el valor por
% omisión es 1.
Si los números m, q y n son tales que el valor de n no se puede obtener agregando
cierto número de veces la cantidad q a m, entonces, el último elemento en el vector es
el mayor número en la secuencia que no excede a n.
Creación de un vector con espaciamiento constante especificando
el primer y último término y el número de términos
Para definir un vector cuyo primer elemento es xi, el último elemento es xf y el número de elementos es n, podemos usar el comando linspace. Un ejemplo es el siguiente:
8
Capítulo 1
Aplicaciones al álgebra y geometría analítica
>> v 5 linspace (2, 8, 4)
% observe que daría el mismo resultado del ejemplo previo
Este ejemplo daría como resultado lo siguiente:
V5 2468
1.2.2 Acceso a los elementos de arreglos
Para un vector fila o columna llamado ve, (k), se refiere al elemento en la posición k.
Esta operación es útil cuando necesitamos asignar un nuevo valor a una posición en
determinado elemento del vector, o cuando precisamos subgrupos de elementos para
definir nuevos arreglos. Por ejemplo, la serie de comandos siguientes daría estos resultados:
>> ve 5 [1, 3, 8]
ve 5 1 3 8
>> ve(3)
ans 5 8
>> ve(2) 5 5
ve 5 1 5 8
>> sqrt(ve(1)) 1 ve(2) 2 ve(3)* 4 % esto equivale a
1 1 3 2 8( 4)
ans 5 228
Ejercicios para desarrollar
Para cada uno de los siguientes ejercicios, escriba los comandos de MATLAB
necesarios para llegar a una solución:
NOTA: Use variables para descomponer expresiones complejas en otras más simples y arreglos
para representar coordenadas de puntos.
1. Dados dos puntos cuyas coordenadas son (2, 5) y (6, 1), calcule la distancia entre ellos.
2. Calcule las coordenadas del punto medio entre los puntos (2, 23) y (3, 25).
3. Dado el punto (4, 4) y la recta 2x 1 4y 1 2 5 0, calcule la distancia del punto a la recta.
9
Solución de problemas en ingeniería con MATLAB
4. Dados los tres puntos (3, 4), (1, 21) y (9, 8), calcule el área del triángulo formado.
5. Calcule la pendiente de la recta formada por los puntos (8, 5) y (3, 22).
6. Determine la ordenada al origen de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (5, 2).
7. Calcule la pendiente de una línea que toca al eje x en 5 y al eje y en 4.
8. Halle la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (23, 2) y
(7, 23).
9. Los vértices de un triángulo son los puntos (2, 2), (21, 4) y (4, 5). Calcule la pendiente de cada
uno de sus lados.
10. Calcule la distancia de los puntos (9, 2), (11, 6), (3, 5) y (1, 1) al origen.
11. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4.
Halle su ordenada.
12. Una recta de pendiente 22 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A
es 3 y la abscisa de B es 6, ¿cuál es la abscisa de A y cuál la ordenada de B?
13. Tres de los vértices de un paralelogramo son (21, 4), (1, 21) y (6, 1). Si la ordenada del cuarto
vértice es 6, ¿cuál es la abscisa?
14. Halle los ángulos interiores del triángulo cuyo vértice son los puntos (22, 1), (3, 4) y (5, 22).
15. Calcule la distancia entre los puntos A y B; además, determine el punto medio del segmento
AB para los siguientes casos:
10
a)
A(6, 22), B(2, 1)
d) A(24, 21), B(2, 3)
b)
A(0, 27), B(21, 22)
e)
A(4, 5), B(4, 24)
c)
A(23, 22), B(28, 22)
f)
A(11, 27), B(29, 0)