Determinación de matriz de rigidez condensada

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONÓMA DE NICARAGUA
“UNAN-MANAGUA”
RECINTO UNIVERSITARIO RUBÉN DARÍO
DEPARTAMENTO DE CONSTRUCCION
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS
Ingeniería sismorresistente
Solución del Problema 9-7 propuesto en el libro Anil k. Chopra.Dinamic of
structure
Autores:
Ing. Tatiana Isabel Barahona Ulloa
Ing. Eddyn Ariel Rivera Calix
Preguntar a : [email protected]
Managua, Nicaragua, Noviembre de 2012
NICARAGUA noviembre de
2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
Indice
Ejercicio No 7; Capitulo 9; (Chopra, 1995); Dinamic of structure ................................................. 2
A-
Calcular la ecuacion de movimiento asumiendo vigas flexibles. .......................................... 2
1-
Idealizando la estructura ................................................................................................... 3
Calculo de la matriz de rígidez aplicando los casos de la ilustración 2. .................................... 3
Metodo de condensaion estatica............................................................................................ 10
Matriz de masa ........................................................................................................................ 11
Ecuacion de movimiento ......................................................................................................... 11
Frecuencias Naturales ......................................................................................................... 11
Formas modales ...................................................................................................................... 14
Calculo de los desplazamientos modales ................................................................................ 15
Expansión modal de fuerzas sísmicas ..................................................................................... 16
BConsiderando que las columnas y vigas son inextensibles. Las vigas son
infinitamente rigidas a flexion. ................................................................................................ 19
Usando la segunda ley de Newton .......................................................................................... 20
Matriz de rígidez...................................................................................................................... 20
Matriz de masa ........................................................................................................................ 20
Ecuacion de movimiento ......................................................................................................... 20
Calculo de las frecuencias naturales ....................................................................................... 21
Expansión modal de fuerzas sísmicas ..................................................................................... 25
Bibliografía .................................................................................................................................. 27
Indice de ilustraciones
Ilustración 1: Ejercicio No 7; Capitulo 9; (Chopra, 1995); Dinmic of structure. ............................ 2
Ilustración 2:comportamiento elástico de los elementos estructurales según el caso. (Chopra,
1995) ............................................................................................................................................. 3
Ilustración 3: idealización de la Estructura. .................................................................................. 3
Ilustración 4: Defromacion de los elementos cuando U1=1 ......................................................... 4
Ilustración 5:Deformación de los elementos del marco cuando U2=1 ......................................... 5
Ilustración 6: deformacion de los elementos del marco cuando U3=1 ........................................ 6
Ilustración 7:Deformacion de los elementos del marco cuando U4=1 ........................................ 7
Ilustración 8: deformación de los elementos del marco cuando U5=1 ........................................ 8
Ilustración 9: Deformacion del marco cuando U6=1 .................................................................... 9
Ilustración 10: Deformacion del marco cuando U1=1 ............................................................... 19
Ilustración 11: Deformacion del marco cuando U2=1 ................................................................ 19
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 1
NICARAGUA noviembre de
2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
Ilustración 12: Desplazamientos máximos por modo ................................................................. 25
Ejercicio No 7; Capitulo 9; (Chopra, 1995); Dinmic of structure
Determinar:
Matriz de rigidez condensada
Frecuencias y modos de vibración
Comparar inciso anterior con el caso de viga rígida.
Ilustración 1: Ejercicio No 7; Capitulo 9; (Chopra, 1995); Dinmic of structure.
A- Calcular la ecuacion de movimiento asumiendo vigas
flexibles.
m ̈ +KU=P(t)
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 2
NICARAGUA noviembre de
2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
Ilustración 2:comportamiento elástico de los elementos estructurales según el caso.
(Chopra, 1995)
1- Idealizando la estructura
Ilustración 3: idealización de la Estructura.
Calculo de la matriz de rígidez aplicando los casos de la ilustración 2.
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 3
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2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
Ilustración 4: Defromacion de los elementos cuando U1=1
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 4
NICARAGUA noviembre de
2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
Ilustración 5:Deformación de los elementos del marco cuando U2=1
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 5
NICARAGUA noviembre de
2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
Ilustración 6: deformacion de los elementos del marco cuando U3=1
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 6
NICARAGUA noviembre de
2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
Ilustración 7:Deformacion de los elementos del marco cuando U4=1
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 7
NICARAGUA noviembre de
2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
Ilustración 8: deformación de los elementos del marco cuando U5=1
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 8
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2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
Ilustración 9: Deformacion del marco cuando U6=1
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 9
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Trabaja de ingeniería sismorresistente
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
Metodo de condensacion estatica
Utilizando el método de condensación estatica para determinar los
grados de libertad con masas iguales a cero.
La matriz condensada se calcula mediante la siguiente ecuación:
̂ =K –
tt
tt
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
*
K0t
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̂
[
]
Trabaja de ingeniería sismorresistente
[
]
[
]
[
]
[
[
]
]
[
̂
]
[
]
[
]
̂
[
]
Matriz de masa
La matriz de masa queda asi:
[
]
Ecuacion de movimiento
La ecuación de movimiento es:
[
]{
̈
̈
}
[
]{
}
{
}
m2 ̈ 2+Fs2=P2(t)
Fs=KU
De forma general se tiene:
{
}
[
]
{
}
{
}
Frecuencias Naturales
En
primera
instancia,
se
determinan
las
frecuencias naturales
resolviendo la ecuación característica que resulta de igualar el
determinante de [K-
M] a cero.
Det[
Det [ [
]
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
|
]=0
|]
Página 11
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Trabaja de ingeniería sismorresistente
Det [|
|]
[(
) (
Tomando
)]
[(
) ]=0
=P se tiene:
[
]
[
[
]=0
-(
]=0
=0
Agrupando:
2
+
2
+
Tomando x=
2
+
Resolviendo la ecuación cuadrática por medio de la formula general:
√
Con
√
Para el modo 1
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 12
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Trabaja de ingeniería sismorresistente
√
√
El periodo natural seria:
√
√
Tn1=
Para el modo 2
√
√
El periodo natural seria:
√
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 13
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2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
√
Tn2=
Formas modales
Las formas modales son obtenidas resolviendo el sistema singular que resulta
de reemplazar las frecuencias naturales en las ecuaciones de equilibrio
dinamico para vibraciones libres:
Para el modo 1 se plantea:
[
[
[
]
]
0
|
|] [
]
[ ]
Con w1=
[
[
]
|
[|
|] [
|] [
]
]
[ ]
[ ]
Dado que el sistema es singular, se establece el valor de una de las
componentesdel vector
, para asi obtener un sistema determinado.De esta
manera se elige la segunda componente(piso superior) con un valor unitario
para obtener la forma modal del primer modo:
0.482
Segundo modo:
Con wn22=
[
[
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
]
|
|] [
]
[ ]
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Trabaja de ingeniería sismorresistente
[|
|] [
]
[ ]
1.03
{
}
{
}
Calculo de los desplazamientos modales
[
] [
]
{
}
{
}{
}= {
}
{
}
{
}{
}= {
}
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
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Trabaja de ingeniería sismorresistente
Expansión modal de fuerzas sísmicas
Someteremos la estructura a una fuerza sísmica para ver sus desplazamientos
y giros máximos que puede experimentar
∑
∑
Donde:
;
Desplazamientos relativos de entrepiso:
∑
∑
Desplazamientos:
{
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
}
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Trabaja de ingeniería sismorresistente
Para un T1
{
{
}
}
Los giros se obtienen de la siguiente manera:
[
] [
{
}
{
{
}{
}
{
]
}
}
Para un Tn2
{
{
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
}
}
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NICARAGUA noviembre de
2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
Los giros se obtienen de la siguiente manera:
[
] [
{
}
{
{
}{
}
{
]
}
}
√∑
√
√
√
√
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 18
NICARAGUA noviembre de
2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
B- Considerando que las columnas y vigas son inextensibles. Las
vigas son infinitamente rigidas a flexion.
Ilustración 10: Deformacion del marco cuando U1=1
Ilustración 11: Deformacion del marco cuando U2=1
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
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NICARAGUA noviembre de
2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
Usando la segunda ley de Newton
P(t)-Fsj=mj ̈
Para j=1 y j=2, (estructura de dos niveles):
m1 ̈ 1+Fs1=P1(t)
m2 ̈ 2+Fs2=P2(t)
Fs=KU
De forma general se tiene:
{
}
[
]
{
}
{
}
Fs: se relaciona con la rigidez natural de la estructura.
M:matriz de rigidez de masa.
Vj=Kj*∆Uj
donde ∆Uj=Uj - Uj-1
{
}
] {
=[
}
; Fs=KU
Matriz de rígidez
La matriz de rigidez queda de la siguiente manera:
[
]
[
]
Matriz de masa
La matriz de masa queda asi:
[
]
Ecuacion de movimiento
La ecuación de movimiento es:
[
]{
̈
̈
}
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
+
[
]{
}
={
}
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2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
Calculo de las frecuencias naturales
En
primera
instancia,
se
determinan
las
frecuencias naturales
resolviendo la ecuación característica que resulta de igualar el
determinante de [K-
M] a cero.
̂ tt=
[
] Mtt=
|
]
]=0
Det[
Det [ |
[
|
|]
Det [|
|]
[(
) (
Tomando
)]
[(
) ]=0
=P se tiene:
[
]
[
[
]=0
-(
]=0
=0
Agrupando:
2
+
2
+
Tomando x=
2
+
Resolviendo la ecuación cuadrática por medio de la formula general:
√
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 21
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Trabaja de ingeniería sismorresistente
Con
√
Para el modo 1
√
√
El periodo natural seria:
√
Tn1=
√
Para el modo 2
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 22
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Trabaja de ingeniería sismorresistente
√
√
El periodo natural seria:
√
√
Tn2=
Las formas modales son obtenidas resolviendo el sistema singular que resulta
de reemplazar las frecuencias naturales en las ecuaciones de equilibrio
dinamico para vibraciones libres:
Para el modo 1 se plantea:
[
[
|
]
|
|
|] [
Con
[
|
|
[|
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
0
]
[ ]
=14.06
|
|] [
|] [
]
]
[ ]
[ ]
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Trabaja de ingeniería sismorresistente
Dado que el sistema es singular, se establece el valor de una de las
componentesdel vector
, para asi obtener un sistema determinado.De esta
manera se elige la segunda componente(piso superior) con un valor unitario
para obtener la forma modal del primer modo:
0.71
Segundo modo:
Con wn22=81.94
[
|
|
|
[|
|] [
|] [
]
]
[ ]
[ ]
0.71
{
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
}
{
}
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Trabaja de ingeniería sismorresistente
Ilustración 12: Desplazamientos máximos por modo
Determinacion de desplazamientos máximos:
Expansión modal de fuerzas sísmicas
Someteremos la estructura a una fuerza sísmica para ver sus desplazamientos
y giros máximos que puede experimentar
∑
∑
Donde:
;
Desplazamientos relativos de entrepiso:
∑
∑
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
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NICARAGUA noviembre de
2012
Trabaja de ingeniería sismorresistente
Desplazamientos:
{
}
Para un T1
{
{
}
}
Para un T2
{
{
}
}
√∑
√
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
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Trabaja de ingeniería sismorresistente
√
√
Bibliografía
CELIGÜETA, J. T. (1998). Curso de Dinamica Estructural. San Sebastian: EUNSA.
Chopra, A. K. (1995). Dinamic of structures:theory and applications to earthquake engineering.
Englewood Cliffs, New Jersey: Pretince Hall do Brazil.
Taty Barahona; Eddyn A. Rivera;
Página 27