Tarea3. Algebra Entregar 19 de octubre 1. Sea R el conjunto de

Tarea3. Algebra
Entregar 19 de octubre
1. Sea R el conjunto de todas las matrices de 2 por 2 con coeficientes en los
racionales tal que a12 = 0.
Determine la retı́cula de ideales de R.
2. Sean R y S anillos. Muestre que si I es un ideal de R y J lo es de S,
entonces I ⊕ J lo es de R ⊕ S.
Muestre que cualquier ideal de R ⊕ S es de esa forma.
Muestre que un ideal máximo de R ⊕ S es de la forma I ⊕ S o R ⊕ J, para
I y J ideales máximos en R y S respectivamente.
√
3. Para el anillo R = {m+n 2 | m, n ∈ Z}. Determine el campo de cocientes
Q(R).
4. Para el anillo R = {m + ni | m, n ∈ Z} ⊆ C. Determine el campo de
cocientes Q(R).
5. Sea R un anillo conmutativo. Un subconjunto S se llama multiplicativamente cerrado si, 0 ∈
/ S y si a, b ∈ S entonces ab ∈ S.
Para R un anillo conmutativo y S un conjunto multiplicativamente cerrado
en R. Pruebe que la relación ∼ definida (a, c) ∼ (b, d) si s(ad − bc) = 0
para algún s ∈ S, es una relación de equivalencia.
Si las clases de equivalencia se denotan [a, b], pruebe que están bien definidas
las operaciones:
[a, c] + [b, d] = [ad + bc, cd] y [a, c][b, d] = [ab, cd].
Sea s1 ∈ S fijo. Denote con RS al conjunto R × S/ ∼ con las operaciones
definidas arriba.
Pruebe que RS es un anillo conmutativo y que, ϕ : R → RS , dada por
ϕS (a) = [as1 , s1 , es un morfismo de anillos y que ϕ(c) es invertible para
toda c ∈ S.
Pruebe que si θ : R → R0 es cualquier morfismo de anillos tal que θ(c) es
invertible para todo c ∈ S, entonces existe un único morfismo de anillos,
b S = θ.
θb : RS → R0 , tal que θϕ