LA DERIVADA

LA DERIVADA
Autor: Victor Manuel Castro González
Carrera: Ingeniería Industrial
Instituto: Univa Zamora
Fecha:13/Febrero/2008
Victor Manuel Castro González
Definición de límite
Se dice que
si para cada número
positivo
por pequeño
que este sea, es
, .
posible determinar un número positivo ,
tal que para todos los valores de x ,
diferentes de b , que satisfacen la
desigualdad
se verificará la
desigualdad
Cálculo De Limites
En general calcular el límite de una función "normal", cuando x
tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo
indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al
que la x tiende.
No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas,
por ejemplo, que la función no esté definida para el valor en el que
queremos calcular el límite . Esta situación, es habitual, cuando el
límite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito.
Una función no está definida en un punto, siempre que al intentar
calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas siguientes:
Continuidad
una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la
representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está
constituida por un trazo continuo, es decir que se puede dibujarla sin
levantar el lápiz del papel, como en la figura de la izquierda.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el
conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.
El intervalo J de y es el codominio (también conocido como
contradominio, rango o imagen) de f, el conjunto de los valores de y,
tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I).
El mayor elemento de J' se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor
valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.
LA DERIVADA
la derivada de una función es uno de los dos
conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro
concepto es la antiderivada o integral; ambos
conceptos están relacionados por el teorema
fundamental del cálculo. A su vez, los dos
conceptos centrales del cálculo están basados en el
concepto de límite, el cuál separa las matemáticas
previas, como álgebra, trigonometría o geometría
analítica, del cálculo. Quizá la derivada es el
concepto más importante del cálculo infinitesimal.
La derivada de una función en un punto mide el
coeficiente por cual el valor de la función
cambia. Es decir, que una derivada provee una
formulación matemática de la noción del
coeficiente de cambio. El coeficiente de
cambio equivale a decir que tan rápido crece (o
decrece) una función en un punto (razón de
cambio promedio) a lo largo del eje x en un
plano cartesiano de dos dimensiones, es decir,
la pendiente de la recta tangente a la función en
ese punto.
La curva de la función está dibujada en negro. La tangente a la curva está dibujada en rojo.
La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la tangente
DERIVADA COMO LIMITE
En terminología algo anticuada, diferenciación
manifiesta el coeficiente en que una cantidad "y" cambia
a consecuencia de un cambio en otra cantidad "x" con la
que tiene una relación funcional. Usando el símbolo "Δ"
para referirse a tal cambio, se define tal coeficiente
como el límite del cociente Δx / Δy cuando Δx tiende (o
se aproxima) a cero.
En la notación de Leibniz, se escribe la derivada de y
con respecto a x como sigue: dy / dx
Esta notación depende del nombre de la función y su
variable. En este caso, la función se llama "y", y la
variable "x", como generalmente se designa. Esta
notación sugiere la razón de dos cantidades
infinitesimales.
Interpretación Geométrica De La Derivada
Es importante entender qué es una función matemática para hablar
de derivadas. Una ecuación que relaciona dos variables x e y puede
entenderse como una función, siempre y cuando a cada valor de x
le corresponda uno y solamente un valor de y. La correspondencia
entre estas dos variables se puede abstraer mediante parejas (x,y),
donde y es el valor numérico que resulta de evaluar la ecuación
usando algún número x. Tales parejas se pueden interpretar como
puntos geométricos en un plano cartesiano de manera que, al
graficar muchos puntos, se obtiene un dibujo que representa la
función.
Por ejemplo, dada la función , las parejas se obtienen dando
valores arbitrarios a x y calculando y como se muestra en la
siguiente tabla:
Definición Geométrica:
Es la pendiente de la
recta tangente a una
curva en un punto
específico de ella.
Interpretación Física De La Derivada
Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal
forma que su posición S en cada instante t es una función S = f (t). En el
instante t = c, el objeto está en f (c).
En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h) Por lo tanto, la
velocidad promedia durante este intervalo es:
Se define la velocidad instantánea V en el instante t = c asi:
Notación De Las Derivadas
Si es una función derivable en un intervalo
el proceso
por medio del cual se obtiene f´(x), da origen a una nueva función
que
recibe
el
nombre
de
función
derivada.
El dominio de f´(x) está formado por todos los números del dominio
de f para los que exista f´(x)
Por ejemplo, si
definida únicamente para
con
entonces
está
CÁLCULO DE DERIVADAS
Derivada de una función constante Sea una función
constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de
abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su
ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a
es un punto cualquiera del campo de definición de f(x).
f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero
Aplicación física de la derivada
Consideremos la función espacio E = E(t).
La tasa de variación media de la función
espacio en el intervalo [t0, t] es:
Que es lo que en Física llaman la velocidad media en ese intervalo
de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa
instantánea, entonces:
“La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad
instantánea”.