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Marcelo Petreca
R.A. 0200191
SISTEMA DE CÁLCULOS DE RENDIMENTO DE
TRANSFORMADORES ELÉTRICOS
Relatório final apresentado à disciplina Trabalho
de Graduação III, do curso de Ciência da
Computação da Faculdade de Jaguariúna, sob
orientação do Prof. Sílvio Petroli Neto, como
exigência parcial para conclusão do curso de
graduação.
Jaguariúna
2005
2
PETRECA, Marcelo. Sistema de cálculos de rendimento de transformadores elétricos.
Monografia defendida e aprovada na Faculdade de Jaguariúna em 12 de Dezembro de
2005 pela banca examinadora constituída pelos professores:
_____________________________________________________________
Prof. Sílvio Petroli Neto
FAJ – Orientador
_____________________________________________________________
Prof. Ricardo Menezes Salgado
_____________________________________________________________
Prof. Ademário Araújo Junior
3
Ao Prof. Silvio Petroli Neto,
Por proporcionar grande melhoria no meu
desenvolvimento na área de computação, por me
incentivar nas horas difíceis do trabalho e por
permitir, com seus ensinamentos, a realização do
sonho maior.
4
PETRECA, Marcelo. Sistema de cálculos de rendimento de transformadores elétricos.
2005. Trabalho de conclusão de curso (Bacharelado em Ciência da Computação) – Curso
de Ciência da Computação da Faculdade de Jaguariúna, Jaguariúna.
RESUMO
A economia de energia é um tema muito estudado nos dias de hoje devido ao aumento
constante do consumo. Um ramo de pesquisa de economia de energia se concentra na
construção de equipamentos elétricos com máximo rendimento, já que nenhum
equipamento consegue ter rendimento de 100% devido as perdas inerentes ao trabalho. A
proposta deste projeto é fornecer estudo para economia de energia nos equipamento de
fornecimento de energia de baixa tensão, que temos instalado nos postes de todas as ruas
das cidades, o transformador de energia. Se conseguirmos reduzir as perdas deste
equipamento por menor que seja, teremos, no montante geral, grande economia de energia.
Para conseguirmos atingir este objetivo, utilizaremos a técnica de pesquisa operacional para
solução de problemas de otimização, otimizando, através de fórmulas matemáticas do
projeto de construção de transformadores, o rendimento do trabalho do equipamento. A
técnica utilizada neste trabalho é a programação matemática, mostrando como a
programação não-linear permite uma modelagem eficiente do cálculo de rendimento de
transformadores. De forma geral, o que se defende é a idéia de que a abordagem
sistemática, com a utilização da pesquisa operacional, produz um resultado melhor e mais
confiável do que a abordagem tradicional.
Palavras-chave: ECONOMIA, TRANSFORMADOR, RENDIMENTO, OTIMIZAÇÃO.
5
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .............................................................................................
7
1.1 Necessidade da transformação das correntes alternadas .................
8
1.2 Características de um transformador ideal ........................................
8
1.3 Razão ou relação de tensão ..............................................................
9
1.4 Eficiência ...........................................................................................
9
1.5 Especificações para o transformador ................................................
10
1.6 Perdas e rendimento de um transformador .......................................
10
Perda no cobre ...................................................................................
10
Perda no núcleo ..................................................................................
12
Rendimento ........................................................................................
15
1.7 Exemplo de cálculo de transformador ................................................
17
2. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO NÃO-LINEAR ...............................................
18
2.1 Introdução ............................................................................................
18
2.2 O Método Gradiente ............................................................................
21
2.3 O Método de Newton ...........................................................................
21
2.4 Exemplo de cálculo de algoritmo gradiente ........................................
23
3. CONCLUSÃO ..............................................................................................
25
7. Referências Bibliográficas .............................................................................. 26
6
Lista de Siglas
CA -
Corrente alternada
KVA -
Quilovolt-Ampéres
AT -
Alta tensão
BT -
Baixa tensão
VA -
Volt-Ampéres
W/Kg -
Watts por kilograma
f.e.m. -
Força eletro motriz
Amp/mm2 -
Ampéres por milímetro
Min -
mínimo
Máx -
máximo
s.a. -
sujeito à
7
1 INTRODUÇÃO
A Otimização em projetos é muito utilizada nos dias atuais, seja em atividades
industriais, empresariais, militares e governamentais, cujas pesquisas ajudam nas tomadas
de decisão.
Os modelos matemáticos que melhor representam o comportamento de um projeto,
só serão adequados se suas equações forem, tanto quanto possível, fiéis ao que acontece
na realidade. E os modelos não-lineares é que representam melhor a realidade.
(SACOMAN, 2004).
A otimização consiste em uma técnica para se obter a solução ótima em um projeto.
Dentro de Otimização, a Otimização Não Linear, através dos diversos métodos
matemáticos, será utilizada para se obter esta solução.
Dentre estes diversos métodos de Otimização Não Linear, podemos citar alguns
como: barreira logarítmica, projeção de gradiente, método de Newton, etc.
Este projeto visa obter a melhor otimização dos cálculos de projeto de construção de
transformadores elétricos utilizando um modelo matemático computacional de Otimização
não Linear e obtendo o melhor rendimento dos mesmos e conseguindo com isto reduzir
suas perdas de energia.
Segundo GUSSOW (1997), a eficiência de um transformador é igual à razão entre a
potência de saída do enrolamento de secundário e a potência de saída do enrolamento do
primário. Um transformador ideal tem 100% de eficiência porque ele libera toda a energia
que recebe. Devido ás perdas no núcleo e no cobre, a eficiência do melhor transformador na
prática é menor que 100%.
De
acordo
com
ALFONSO
MARTIGNONI
(1983),
um
transformador
em
funcionamento possui perdas de energia por correntes parasitas, por histerese e por efeito
joule, e com sua construção equilibrada, pode-se diminuir significativamente estas perdas,
gerando grande economia de energia , que é essencial para os dias de hoje.
Esta pesquisa pretende utilizar a técnica de Otimização não Linear e estudar seus
sistemas com o uso de métodos computacionais cuja implementação consiste em
operações envolvendo cálculos com detalhes computacionais, algumas vezes bastante
complexos, para atingir o objetivo.
8
1.1 Necessidade da transformação das correntes alternadas
De acordo com ALFONSO MARTIGNONI (1983) as exigências técnicas e
econômicas impõem a construção de grandes usinas elétricas, em geral situadas muito
longe dos centros de aproveitamento, pois devem utilizar a energia hidráulica dos lagos e
rios das montanhas. Surge assim a necessidade do transporte da energia elétrica por meio
de linhas de comprimento notável.
Por motivos econômicos e de construção, as seções dos condutores destas linhas
devem ser mantidas dentro de determinados limites, o que torna necessária a limitação da
intensidade das correntes nas mesmas. Assim sendo, as linhas deverão ser construídas
para funcionar com uma tensão elevada, que em certos casos atinge a centenas de
milhares de volts.
Estas realizações são possíveis em virtude de a corrente alternada poder ser
transformada facilmente de baixa para alta tensão e vice-versa, por meio de uma máquina
estática, de construção simples e rendimento elevado, que é o transformador.
Os geradores instalados nas usinas geram a energia elétrica com a tensão de aproximadamente 6000 volts. Para efetuar-se o transporte desta energia, eleva-se a tensão a um
valor oportuno por meio de um transformador-elevador.
Na chegada de linha, outro transformador executa a função inversa, isto é, reduz a
tensão ao valor necessário para a utilização.
Podem então ser escolhidas as três tensões, isto é, de geração, de transporte e de
distribuição, com plena liberdade, dando-se a cada uma o valor que se apresenta mais conveniente.
Naturalmente, nestas transformações o valor de intensidade de corrente sofrerá a
transformação inversa à da tensão, pois o produto das mesmas, isto é, a potência elétrica,
deve ficar inalterada.
1.2 Características de um transformador ideal
O transformador básico é formado por duas bobinas isoladas eletricamente e
enroladas em torno de um núcleo comum. Para se transferir a energia elétrica de uma
bobina para a outra usa-se o acoplamento magnético. A bobina que recebe a energia de
uma fonte CA é chamada de primário. A bobina que fornece energia para uma carga CA é
chamada de secundário. O núcleo dos transformadores usados em baixa freqüência é feito
geralmente de material magnético, comumente se usa aço laminado. Os núcleos dos
9
transformadores usados em altas freqüências são feitos de pó de ferro e cerâmica ou de
materiais não magnéticos. Algumas bobinas são simplesmente enroladas em torno de
fôrmas ocas não magnéticas como, por exemplo, papelão ou plástico, de modo que o
material que forma o núcleo na verdade é o ar.
Se se asssumir que um transformador funcione sob condições ideais ou perfeitas, a
transferência de energia de uma tensão para outra se faz sem nenhuma perda.
1.3 Razão ou relação de tensão
A tensão nas bobinas de um transformador é diretamente proporcional ao número de
espiras das bobinas. Esta relação é expressa através da fórmula:
Vp = Np
Vs
Ns
Onde:
Vp = tensão na bobina do primário,
Vs = tensão na bobina do secundário,
Np = número de espiras da bobina do primário,
Ns = número de espiras da bobina do secundário.
1.4 Eficiência
A eficiência de um transformador é igual à razão entre a potência de saída do
enrolamento do secundário e a potência de entrada no enrolamento do primário. Um
transformador ideal tem 100 por cento de eficiência porque ele libera toda a energia que
recebe. Devido às perdas no núcleo e no cobre, a eficiência do melhor transformador na
prática é menor que 100 por cento.
Exprimindo na forma de equação:
10
Ef = potência de saída
potência de entrada
Onde:
= Ps
Pp
Ef = eficiência;
Ps = potência de saída no secundário;
Pp = potência de entrada no primário.
1.5 Especificações para o transformador
A capacidade do transformador é dada em quilovolt-ampères (KVA). Como a
potência num circuito CA depende do fator de potência da carga e da corrente que passa
pela carga, uma especificação de saída em quilowatts deve se referir ao fator de potência.
1.6 Perdas e rendimento de um transformador
Os transformadores reais apresentam perdas no cobre e perdas no núcleo.
•
Perda no Cobre:
Os enrolamentos primários e secundários do transformador
apresentam inevitavelmente uma determinada resistência elétrica.
Estas resistências são chamadas brevemente de resistência primária e secundária
do transformador e são normalmente indicadas, em cada fase, com R1 e R2. Estas
exercem sobre o funcionamento do transformador um duplo efeito. Em primeiro lugar,
determinam uma queda de tensão chamada queda ôhmica primária e secundária: em
segundo lugar, produzem uma perda de energia por efeito Joule, cuja potência constitui
a perda no cobre primário e secundário do transformador. Para conter esta perda em
limites convenientes é necessário tornar suficientemente pequenas as resistências
primárias e secundárias, escolhendo-se oportunamente a seção dos condutores do
enrolamento.
O enrolamento A.T. (Alta Tensão) que possui um número maior de espiras com
menor seção, apresenta sempre uma resistência maior que a do enrolamento B.T.
(Baixa Tensão).
As resistências são, em geral, proporcionadas de maneira que, no
11
funcionamento com carga normal, as perdas nos dois enrolamentos resultam
sensivelmente iguais entre si, isto é:
R1 I12 ≅ R2I22
Onde: I1 = corrente do primário;
I2 = corrente do secundário;
R1 = resistência do enrolamento do primário;
R2 = resistência do enrolamento do secundário.
Verifica-se portanto:
R1 ≅ ( I 2
R2
I1
)2
Esta condição é realizada fixando-se nos dois enrolamentos A.T. e B.T. a mesma
densidade de corrente e construindo-se os enrolamentos com condutores cuja seção é
proporcional às respectivas correntes.
Para Transformadores trifásicos com carga equilibrada, indicando-se com R1 e R2 as
resistências de cada fase primária e secundária e com I1 e I2 as respectivas correntes, as
perdas no cobre são dadas evidentemente pela expressão:
Wj = 3(R1I12 + R2I22)
As perdas no cobre variam ao variar da carga do transformador e precisamente em
proporção ao quadrado da corrente fornecida: no funcionamento a vazio, as perdas
produzidas pela corrente a vazio verificam-se somente na resistência primária, tornando-se,
portanto, desprezíveis.
O cálculo das perdas no cobre resulta muito simplificado quando for referido ao peso
do cobre e à perda específica, isto é, a perda em watt por cada quilo de material.
As perdas por efeito Joule, num condutor com comprimento de 1 metro e seção de S
mm2, são expressas por:
Wcu = I2R = I2 . ρ . 1
S
12
O peso de um condutor de cobre, cujo comprimento é 1 metro e cuja seção é S mm2,
resulta expresso em kg pela seguinte fórmula:
Pcu = 8,9 . L . S . 10-3
O fator 8,9 representa o peso específico do cobre.
L = comprimento do condutor em metros.
A perda específica no cobre resulta:
ωcu = Wcu
Pcu
3
=
= I2 . ρ . 1 . 10
S
8,9.1.S
I2
.
S2
ρ . 103 = d2 . ρ . 103 Watts/kg
8,9
8,9
Onde:
ρ = resistividade que para o cobre recozido a 75°C resulta igual a 0,0216 ohms/m/mm2.
d = densidade de corrente em Amp/mm2, sendo:
Potência até 500VA
= 3;
Potência de 500 a 1000VA
= 2,5;
Potência de 1000 a 3000VA = 2
Simplificando resulta em:
Wcu = 2,43 . d2 . Pcu
ou
Wcu = 2,43 . d2 . 8,9 . L . S . 10-3
•
=
21,63 . d2 . S . L . 10-3
Perda no núcleo. As perdas no núcleo têm origem em dois fatores: perdas
por histerese magnética e perdas por correntes parasitas. A perda por histerese se refere à
energia perdida pela inversão do campo magnético no núcleo à medida que a corrente
alternada de magnetização aumenta e diminui e muda de sentido. A perda por corrente
parasitas ou correntes de Foucault resulta das correntes induzidas que circulam no material
do núcleo.
Perda por correntes parasitas: Numa massa metálica sujeita à variação de fluxo,
geram-se f.e.m. (Força Eletro Motriz) que produzem, dentro da própria massa metálica
condutora, correntes muito intensas, chamadas correntes parasitas.
13
Estas correntes produzem uma força magneto-motriz que se opõe à causa que a
produz, isto é, ao fluxo. Assim sendo, o efeito destas correntes constitui uma perda de
potência. A fim de se reduzir esta perda de potência é necessário construir-se o núcleo com
lâminas de ferro isoladas entre si. Com esta construção, o valor da f.e.m. produzida em
cada lâmina é pequeno e atua sobre um circuito elétrico de pequena seção, o que reduz
consideravelmente o valor das correntes parasitas e a correspondente perda de potência.
A perda de potência produzida pelas correntes parasitas é expressa em watts pela
seguinte equação:
Wp = 10
π2
-12 _____ .
BM 2 . f2 . δ2 . 1 . S
8ρ
ρ
Onde:
ρ
é a resistividade do material das lâminas em micro-ohms-centímetro;
BM é o valor máximo da indução nas lâminas;
f
é a freqüência da variação do fluxo;
δ
é a espessura em mm das lâminas;
(1.S) é o volume em cm3 das lâminas.
Esta expressão resulta simplificada quando a perda é referida a 1 Kg de lâminas de
espessura δ= 0,5mm, pois a mesma se transforma em:
ωp = pp
(
ρ. F .
50
BM
)
2
10.000
Onde:
pp é um coeficiente que depende do material, cujo valor é de 1,1 para lâminas de
silício. A formula acima escrita fornece a perda específica em watts por quilo (W/kg) das
lâminas.
Perda por histerese magnética :
Por qualquer núcleo magnético sujeito a
magnetizar-se percorre um ciclo de histerese todas as vezes que o campo magnetizante
varia de + BM a – BM
E deste novamente pra + BM, sendo a potência perdida proporcional à superfície do ciclo.
Esta perda foi interpretada como sendo necessária para vencer os atritos entre os magnetos
14
elementares de que o núcleo se compõe, e foi chamada de perda por histerese magnética.
Sua compensação é feita por meio de uma energia equivalente, absorvida da linha de
alimentação.
A potência em watts perdida por efeito da histerese pode ser calculada pela fórmula
de Steinmetz:
Wh = 10-7 . µ BM1,6 f . V
Onde BM representa o valor máximo da indução à qual o núcleo é solicitado;
f
a freqüência de variação do fluxo, expressa em ciclos por segundo;
V é o volume do material expresso em centímetros cúbicos;
µ é o coeficiente de Steinmetz que depende da natureza do material.
A fórmula acima simplifica-se quando referida a 1 kg de lâminas de espessura δ=
0,5mm pois transforma-se em:
ωh = ph
f
50
(
)
BM
10.000
2
ph é um coeficiente que depende do material, cujo valor é de 1,4 para lâminas de silício.
Esta fórmula fornece a perda específica de potência por histerese em watts por quilo
(W/kg) de lâminas.
Perdas específicas totais no ferro : é dada pela soma das perdas por correntes
parasitas e as de histerese magnética, podendo ser expressa pela fórmula seguinte:
ωfe = ωp + ωh =
[p (δ f )
p
50
2
+ ph f
50
](
BM
10.000
)
2
Em geral os fabricantes de lâminas destinadas aos transformadores, fornecem
curvas que representam as grandezas características das mesmas, inclusive as perdas
específicas (ωfe), onde, então conhecendo-se o peso do ferro em kg, a perda no núcleo é
dada por:
Wfe= ωfe . Pfe
15
Pfe = peso do ferro do núcleo em Kg;
ωfe = perdas específicas do material fornecidas pelo fabricante.
•
Rendimento
O rendimento de um transformador é definido como a relação entre a potência
elétrica W 2 fornecida pelo secundário e a potência elétrica W 1 correspondentemente
absorvida pelo primário, isto é indicando-se a potência absorvida como sendo a potência
fornecida mais a potência perdida (efeito joule e perdas no ferro).
A eficiência de um transformador real é expressa da seguinte forma:
µ = potência de saída
= Ps
potência de entrada
Pp
=
potência de saída
potência de saída + perda no cobre + perda no núcleo
=
Vs Is x cosφ
.
(Vs Is x cosφ ) + perda no cobre + perda no núcleo
onde: cosφ = fator de potência da carga.
Para uma determinada tensão e corrente secundária, o rendimento resulta tanto
menor quanto menor for o fator de potência: para um determinado fator de potência, e
suposta a tensão constante, o rendimento varia com o variar da corrente fornecida.
O rendimento em % pode ser também, calculado pela seguinte fórmula:
µ=
W2
W2 + Wfe + Wcu
onde:
W2
= Potência nominal em KVA
Wfe
= Perdas no ferro em KVA
Wcu = Perdas no cobre com carga normal
.
16
Descrevendo a fórmula de eficiência para aplicação na ferramenta de apoio MatLab,
temos:
µ=
fe.Pfe).10-3)
W2 + ((ω
W2
+ (2,43.d2. (8,9.3.((N1.S1.Icu1 .10-3) +(N2.S2.Icu2 .10-3)).10-3)
.
onde:
d
= densidade de corrente em Amp/mm² ;
ωfe= perdas específicas fornecidas pelo fabricante das lâminas de silício;
Pfe = peso do ferro do núcleo em Kg;
W2 = Potência nominal em KVA;
S1 = Seção dos condutor A.T. em mm²;
N1 = número de espiras da bobina de A.T.;
Icu1 = Comprimento da médio da espira de A.T..
S2 = Seção dos condutor B.T. em mm²;
N2 = número de espiras da bobina de B.T.;
Icu2 = Comprimento da médio da espira de B.T..
A modelagem da fórmula acima foi desenvolvida neste projeto para cálculo de
rendimento de transformadores de 30 KVA, 45 KVA e 75 KVA. Para cálculo de
transformadores de padrões maiores é necessário acrescentar mais algumas restrições e
levar em conta o sistema de refrigeração do óleo isolante.
17
1.7 Exemplo de cálculo de transformador
Exemplo de cálculo de rendimento tradicional de um transformador de 30 KVA.
Transformador trifásico f=60 Hz; W 2 = 30 KVA; V1 = 12000 volts; V2 = 220 volts.
Dados:
S1 = fio 19 (0,65 mm²)
S2 = 2 fios 4,5x3,7 (32,8 mm²)
N1 = 2300 espiras
N2 = 42 espiras
Icu1 = 0,65 m
Icu2 = 0,497 m
Peso do ferro Pfe = 158 kg
ωfe = 1,38 (tabela)
d
= 2,3
µ=
fe.Pfe).10-3)
W2 + ((ω
W2
+ (2,43.d2. (8,9.3.((N1.S1.Icu1 .10-3) +(N2.S2.Icu2 .10-3)) .10-3)
.
µ=
.
30
30+((1,38.158).10-3)+(2,43.2,32.(8,9.3.((2300.0,65.0,65.10-3)+(42.32,8.0,467.10-3)) .10-3)
µ=
30
30 + 0,218 + (12,85 . (8,9 . 3 .(0,971 + 0,643)) .10-3)
µ=
30
30 + 0,218 + (12,85 . 43,09 .10-3 )
µ=
µ=
µ=
30
30 + 0,218 + 0,553
30
30,771
0,97 = 97%
.
.
.
.
18
2 MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO NÃO-LINEAR
2.1 Introdução
De acordo com Dra. Marli Cárdia, em “Implementação de Algoritmos de Otimização de
Problemas”, a otimização consiste em uma técnica muito importante para o melhor
aproveitamento de todos os recursos disponíveis. Dentro da otimização, a Programação
Não Linear, através dos diversos métodos computacionais, é uma ferramenta matemática
utilizada para este melhor aproveitamento, consistindo na modelagem e solução de
problemas de otimização de uma função não linear, com ou sem restrições.
Para resolver estes problemas alguns métodos computacionais são utilizados cuja
implementação consiste em operações envolvendo cálculos com detalhes computacionais
algumas vezes bastante complexos.
Conforme SACOMAN, Nas últimas quatro décadas foram desenvolvidos modelos e
técnicas de otimização. O crescimento paralelo das facilidades computacionais, permitiram a
utilização das técnicas desenvolvidas. Outro aspecto que estimulou o uso de uma
abordagem sistemática na solução de problemas, foi o rápido aumento, no tamanho e na
complexidade, dos problemas, como resultado do avanço tecnológico desde a segunda
guerra mundial.
Após a guerra, a aceitação da pesquisa operacional, nas atividades industriais,
empresariais, militares e governamentais, pode ser creditada, no mínimo, pela extensão
com a qual a abordagem e a metodologia da pesquisa operacional ajudaram nas tomadas
de decisão. As aplicações eram, principalmente, aquelas que utilizavam a programação
linear e a análise estatística. Na década de 60 já eram disponíveis procedimentos e códigos
computacionais eficientes para estas aplicações.
Contudo, os modelos matemáticos que representam o comportamento de um projeto,
só serão adequados se suas equações forem, tanto quanto possível, fiéis ao que acontece
na realidade. E é evidente que os modelos não-lineares representam melhor a realidade.
Nas últimas duas décadas, houve um grande avanço nas técnicas de otimização não-linear.
De forma geral, o que se pretende, é a idéia de que a abordagem sistemática, com a
utilização da pesquisa operacional, produz um resultado melhor e mais confiável do que a
abordagem tradicional. Esquematicamente, a Figura 1 mostra uma comparação entre estas
abordagens. No caso da abordagem tradicional, se faz necessária uma avaliação posterior,
para verificar se os valores obtidos são aceitáveis. No caso da otimização, o próprio
procedimento utilizado, seleciona valores para as variáveis, dentro dos limites permitidos.
19
FIGURA 1 - Comparação entre formas de abordagem de um
projeto:
(a) Cálculo clássico; (b) Cálculo por otimização.
A otimização procura os valores das variáveis de projeto para obter, dentro das
restrições, seu fim de otimalidade definido pela função objetivo.
Para melhor compreensão do significado dessas entidades, as seguintes definições
são úteis:
•
Variaveis de projeto;
Um sistema a ser otimizado pode ser descrito por um conjunto de quantidades, onde
algumas das quais são fixadas e outras variam durante um processo de otimização. Estas
quantidades que são fixas, são pré-determinadas por preceitos de normas técnicas,
disposições construtivas, pré-fabricação, ou ainda, pelo fato do projetista saber por
experiência que um valor particular produz bons resultados. As quantidades que não são
pré-determinadas são as variáveis de projeto.
•
Restrições;
Em qualquer classe de problema, as restrições são as condições que devem ser
satisfeitas para que o projeto seja aceitável. Um projeto que satisfaz todas as suas
restrições é chamado de projeto viável. As restrições podem ser dos seguintes tipos:
• Restrições em variáveis de projeto, que são escritas na forma de limitações impostas
diretamente nas variáveis ou grupos de variáveis;
• Restrições de comportamento, que são obtidas a partir das equações de análise do
sistema a ser otimizado.
20
•
Função Objetivo;
Em geral, existe um número infinito de projetos viáveis para um determinado
problema. Para que se possa fazer uma escolha, é necessário que se tenha uma função
que sirva como base de comparação entre os vários projetos aceitáveis. Esta é a função
objetivo, também chamada custo, econômica, critério ou mérito. É uma função das variáveis
de projeto e deve ser minimizada ou maximizada. Pode representar a propriedade mais
importante do projeto, ou a soma ponderada de um número de propriedades. Em geral, a
função objetivo é uma função não-linear das variáveis de projeto.
Considera-se o problema geral de programação não-linear escrito sob a seguinte
forma:
Maximizar f(x)
Sujeito a:
g(x) = 0
A ≤ x ≤ b
Com x, a, b ∈ Rn, f: R → R, g: Rn → Rm
e
P = { x | a ≤ x ≤ b } ⊂ Rn
Esta formulação é geral e pode representar todos os problemas de programação
não-linear. Isto é possível, porque as restrições de desigualdade sempre podem ser
transformadas em restrições de igualdade pela introdução de variáveis de folga. Além disto,
em problemas de minimização, basta que se utilize a relação mín{f(x)} = -máx{-f(x)}.
21
2.2 O método gradiente
Também conhecido como Método de Máxima Descida, é um dos mais antigos
métodos de minimização de funções, desenvolvido por Cauchy em 1847. Do ponto de vista
teórico, este método é muito importante. Sua convergência linear global, muitas vezes lenta,
permite assegurar que a seqüência por ele gerada tende a um ponto ótimo. Sua técnica
serve de referência para outros algoritmos, aprimorando as respectivas propriedades de
convergência.
O método gradiente é definido pelo algoritmo iterativo:
xk +1 = xk + λk d k
onde d k = −∇
∫ (x
k
+ λk d k ) é um escalar não-negativo que minimiza
Em outras palavras, a partir de
∫ (xk + λkdk ) .
x k , procura-se ao longo da direção d k
um mínimo
sobre esta reta, dado por xk + 1 .
2.3 O método de Newton
O principio deste método é minimizar uma função f através de uma aproximação
local por uma função quadrática.
As aproximações quadráticas ganham importância à medida que se aproximam do
ponto ótimo do problema, sendo melhores do que as lineares.
Próximo de xk , tem-se uma aproximação pela Série de Taylor truncada:
∫ (x ) ≅ ∫ (x ) + ∇ ∫ (x )(x − x ) + (x − x ) F (x )(x − x )
k
k
1
2
k
T
k
k
O segundo membro é minimizado da seguinte maneira:
T
xk +1 = xk − [F ( xk )] ∇ ∫ ( xk )
−1
k
22
Esta equação é a forma pura do Método de Newton. O valor de
[F (xk )]−1
é
interpretado como uma correção na direção oposta ao gradiente da função, de forma a
acelerar o processo iterativo.
23
2.4 Exemplo de cálculo de algoritmo gradiente
Exemplo para minimizar a função dada utilizando o algoritmo gradiente:
2
2
Min 2 x1 + 2 x2 − 2 x1 x2 − 4 x1 − 6 x2
Sa x1 + x2 ≤ 2
x1 + 5x2 ≤ 5
− x1 ≤ 0
− x2 ≤ 0
Resultado do exemplo na primeira iteração:
1 
x0 =  
0 
Valor da função objetivo em x 0 : -2.000000
Resultado do exemplo na segunda iteração:
1.1290 
x=

0.7742
Valor da função objetivo em x: -7.161290
Na segunda iteração o algoritmo convergiu para o ponto ótimo em x.
Numero de iterações: 2
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Figura 2
Como podemos observar pela figura 2, o algoritmo convergiu para um ponto de
mínimo restrito da função, com 2 iterações, partindo de um ponto factível.
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6 CONCLUSÃO
Modelando a fórmula de cálculo de rendimento para teste no algoritmo de otimização
não linear com o método Gradiente, temos a seguinte descrição:
f = 30/ (30.218 + (0.0128 * (0.0267 *x1*x2*x3) + (x4*x5*x6*10-3) ) )
Sujeito a:
Restrições de desigualdades:
X1 = de 0.5 a 1.5;
(Seção do condutor A.T. em mm²)
X2 = de 1500 a 2600; (número de espiras do primário)
X3 = de 0.45 a 0.7;
(Comprimento médio da espira de A.T.)
X4 = de 28 a 38;
(número de espiras do secundário)
X5 = de 37 a 46;
(Seção do condutor B.T. em mm²)
X6 = de 0.42 a 0.6.
(Comprimento médio da espira de B.T.)
Valor de x inicial, factível = [1,1550,0.5,30,40,0.5];
Resultados:
µ=
0,984155 = 98,4%
Aplicando esta fórmula no algoritmo de otimização não-linear do método do
Gradiente, com a ajuda da ferramenta MatLab objetivando maximizar o valor do rendimento
do cálculo do transformador exemplificado neste trabalho, o algoritmo buscou os menores
valores das restrições das variáveis para se obter o resultado ótimo. O algoritmo fez apenas
uma iteração para chegar ao ponto ótimo, convergindo para os valores mínimo das variáveis
e apresentando um gráfico sem deslocamento do ponto objetivo.
Conclui-se, com este comportamento do algoritmo, que o problema é de resolução
simples, não necessitando da otimização não linear para se obter o resultado ótimo,
podendo aplicar os valores mínimos das variáveis diretamente na fórmula desenvolvida para
se obter o resultado ótimo.
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7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Marli. Implementação de Algoritmos de Otimização de Problemas.
Disponível
em:
www.cesec.ufpr.br/~cds/mestrado/prog-nao-linear/implementaçao.
Acessado em: 02/06/2005.
CREDER, Hélio. Instalações Elétricas.13. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 1998. 515 p.
GUSSOW, Milton. Eletricidade Básica. 2. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil,
1997. Cap 16.
MARTGNONI, Alfonso. Transformadores. 6. ed. Rio de Janeiro: Editora Globo, 1983. 307p.
SACOMAN, Marco A. Rahal.
Otimização de projetos.
www.dco.fc.unesp.br/~sacoman/artigos/oti . Acessado em: 01/12/2004.
Disponível
em:
SANTOS, Reginaldo J. . Introdução ao MATLAB. Disponível em: www.mat.ufmg.br/~regi.
Acessado em: 02/12/2004.
VALENTE, Paulo A. Ferreira.
www.dt.fec.unicamp.br/~valente
IA543 Otimização Não Linear. Disponível em: