Revista de Didáctica de las Matemáticas Noviembre de 2012

NÚMEROS
Revista de Didáctica de las Matemáticas
Noviembre de 2012
Volumen 81
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, página 2
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil
hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de
interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,
aplicaciones de la investigación…
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex,
Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.
Directora
Alicia Bruno
Comité editorial
Hugo Afonso, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Fátima García, Israel García, Mª Aurelia Noda,
Josefa Perdomo e Inés Plasencia.
Consejo asesor
José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Juan Contreras, Norma Cotic, Juan
Díaz Godino, Salvador Llinares, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez y Arnulfo Santos.
Portada. Autor: Luis Balbuena Castellano. Título: "Leyenda del ñandutí" (Nota: ñandutí significa tela de
araña en guaraní).
Edita
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
Apartado 329.
38200 La Laguna (Tenerife) España
Email: [email protected]
Web: http://www.sinewton.org
Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas
Ana Alicia Pérez Hernández (Presidenta), José Manuel Vidal González (Vicepresidente), Victoria Soto
Cabrera (Secretaria General), Sergio Alexander Hernández Hernández (Tesorero), María Jesús Rodríguez
Martín (Vicesecretaria), Manuel Herrera Pérez (Secretario de actas), Zoraida de Armas Ravelo
(Bibliotecaria). Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Luis López
García (Gran Canaria), Eustaquio Bonilla Ramírez (Lanzarote), Carmen San Gil López (La Palma), Dolores
de la Coba García (Tenerife).
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac
Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y
noviembre.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, páginas 3-4
Índice
Artículos
Algunas notas históricas sobre la correlación y regresión y su uso en el aula
A. Estepa Castro, M. Gea Serrano, G.R. Cañadas de la Fuente, J. M. Contreras García.
El potencial de los sistemas de álgebra computacional
R. S. Salat Figols
Errores en el producto, evaluación y gráficas de polinomios
F. Martínez de la Rosa
Una experiencia de aula usando Matemáticas en la Publicidad
D. Díaz Levicoy
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15
25
33
Secciones
Astronomía. Coordinador: L. Balbuena Castellano
Relojes de sol públicos de Canarias
43
L. Ramírez Castro, J. R. Reyes Rodríguez.
En la red
Descartes y la Gestalt: La ilusión encerrada en las imágenes
61
M. P. Velasco Cebrián.
Juegos
Juegos de lógica inductiva
67
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
Problemas
Educación Primaria: Problemas, Estrategias y Competencias. (Problemas
Comentados XXXII)
77
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
Experiencias de aula. Coordinador: C. Duque Gómez
Aprender funciones a través de modelización matemática
M. E. Reid; M. I. Gareis; A. E. Hernández; M. V. Roldán
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91
Índice (continuación)
Leer Matemáticas
La certeza absoluta y otras ficciones. Los secretos de la estadística. Pere Grima
103
Reseña: M. T. Bethencourt Viña
Matemáticas en la vida real. G.Barozzi, M.Bergamini, D.Boni, R.Ceriani, L.Pagani
Reseña: N. González Cruz
Informaciones
Normas para los autores
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ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, páginas 5-14
Algunas notas históricas sobre la correlación y regresión y su uso en el aula
Antonio Estepa Castro (Universidad de Jaén. España)
María Magdalena Gea Serrano (Universidad de Granada. España)
Gustavo R. Cañadas de la Fuente (Universidad de Granada. España)
José Miguel Contreras García (Universidad de Granada. España)
Fecha de recepción: 22 de abril de 2012
Fecha de aceptación: 17 de mayo de 2012
Resumen
Los currículos actuales nos aconsejan introducir los conocimientos matemáticos a partir
de situaciones reales donde intervengan con sentido los objetos matemáticos a estudiar.
Una fuente importante de casos reales la proporciona la historia, donde podemos
encontrar las situaciones que dieron origen al descubrimiento de los objetos matemáticos
e identificar algunas dificultades en su desarrollo que podrían reproducirse en los
estudiantes. En este trabajo se analizan brevemente algunos hechos que dieron lugar a la
creación de las nociones de correlación y regresión y se hace una reflexión general sobre
los posibles usos de la historia de la matemática en la enseñanza.
Palabras clave
Correlación, regresión, Historia de la Matemática, uso en el aula, obstáculos.
Abstract
Current curricula suggest introduce the mathematical concepts through real situations
where these concepts are used in a meaningful way. The history of mathematics provides
an important source of real examples, since we can find the situations that originate the
discovering of mathematical objects and identify some difficulties in their development
that may be reproduced in the students’ learning. In this paper we summarize some facts
that lead to the creation of correlation and regression and reflect on the possible uses of
the history of mathematics in the classroom.
Keywords
Correlation, regression, history of mathematics, its use in the classroom, obstacles.
1. Introducción
Entre las nociones estadísticas fundamentales, cuya enseñanza debe optimizarse, se encuentran
las de correlación y regresión. Desde la prehistoria hasta nuestros días, el discernimiento sobre la
posible relación que puede existir entre dos sucesos ha sido un aspecto importante del conocimiento
humano. “Conocer si los sucesos se relacionan y, con qué intensidad lo hacen, facilita a las personas
explicar el pasado, controlar el presente y predecir el futuro” (Crocker, 1981, p.272). De estas
palabras se desprende el valor que tiene por parte de los ciudadanos el dominio de las nociones de
correlación y regresión.
En esta dirección podemos destacar los importantes avances que desde diversas disciplinas y
ocupaciones del mundo actual, como por ejemplo la Economía, Dirección de Empresas, Estadística ó
Sociología, se han llevado a cabo en cuanto al estudio de la toma de decisiones. Dentro de este ámbito,
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Algunas notas históricas sobre la correlación y regresión y su uso en el aula
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una destreza importante es la realización de juicios sobre la existencia o inexistencia de asociación
entre variables (Alloy y Tabachnik, 1984), lo que nos lleva al núcleo del estudio de la correlación y
regresión. Una comprensión correcta de la misma es un prerrequisito básico para garantizar la
comprensión de muchos otros conceptos y procedimientos estadísticos. Podemos añadir que la
mayoría de los trabajos didácticos sobre correlación y regresión (por ejemplo: Estepa y Batanero,
1996; Castro et al., 2009) señalan la dificultad que tienen los estudiantes en el estudio de estos temas,
en consecuencia, debemos realizar esfuerzos con el fin de ayudar a disminuir dichas dificultades.
Un punto de arranque imprescindible en toda investigación es el estudio de resultados en áreas
de conocimiento afines y aunque las investigaciones didácticas sobre la correlación y regresión son
escasas, el tema ha sido objeto de gran interés en Psicología, debido en gran medida a su implicación
en la toma de decisiones, dado el comportamiento de un individuo en situaciones de incertidumbre
como la puesta en práctica de su racionalidad. Los resultados de estas investigaciones muestran que
una concepción correcta de la noción de asociación estadística (que incluye como caso particular la
correlación y regresión) no siempre se adquiere espontáneamente, incluso alcanzada la edad adulta.
Asimismo, las investigaciones psicológicas muestran los numerosos sesgos en las estrategias
empleadas para estimar la correlación o detectar la existencia de la misma y el peso de las teorías
previas sobre la interrelación entre variables sobre los juicios emitidos, esto es, el peso de la
“correlación ilusoria” (Chapman y Chapman, 1969).
En lo que sigue presentamos algunas notas sobre el origen de los problemas que dieron sentido
a las nociones de correlación y regresión, debida, como veremos más adelante, principalmente a
Galton, pero también a otros autores que hicieron posible el estudio de la interrelación entre variables
aleatorias, y por tanto extienden la idea de dependencia funcional, introduciendo modelos matemáticos
en gran número de ciencias como la Biometría o la Psicometría que, hasta entonces no habían contado
con un método científico especialmente adaptado a las mismas. A continuación, ofreceremos
observaciones de interés didáctico, en cuanto a la enseñanza de estas nociones, atendiendo al eje
transversal de la Historia de las Matemáticas.
2. Algunas notas históricas sobre la formación de las nociones de correlación y regresión
La formación de las nociones de correlación y regresión proviene, en gran parte, de estudios
realizados en Biología, Biometría y Eugenesia. El primer autor que se interesa en el tema fue LambertAdolphe-Jacques Quetelet (1796-1874), conocido como Adolphe Quetelet, nacido en Gante, Bélgica.
Obtuvo su doctorado en Matemáticas con una tesis sobre secciones cónicas, llegando a ser director del
observatorio astronómico de Bruselas. Fue un hombre de gran energía, entusiasmo y talento
organizativo que utilizó para crear varias instituciones internacionales.
Sus aportaciones sobre la correlación y regresión se originan desde sus estudios sobre el hombre
medio, estimando empíricamente las medias y desviaciones típicas de medidas antropométricas que,
suponía, dependen de varias variables independientes tales como el sexo, edad, profesión o nivel de
educación. En sus estudios relaciona dos o más variables, por ejemplo llega a obtener una ecuación de
una hipérbola que relaciona la edad y la altura de las personas entre cero y 30 años (Hald, 1998). Su
originalidad no consistió en haber calculado las medias de las magnitudes antropométricas, sino haber
considerado su dispersión y descubierto que la ley normal (bien conocida en Astronomía) ofrecía una
descripción aceptable de tal variabilidad, por lo que utilizó esta distribución como ajuste a sus medidas
antropométricas, introduciéndola en Biometría (Seal, 1967).
Augusto Bravais (1811-1863) contribuye al desarrollo de esta teoría desde otro campo: la
astronomía, al estudiar los errores en las medidas de las coordenadas de cuerpos espaciales. Fue él
quien utilizó por primera vez el término correlación en un estudio presentado en 1846 en la Academia
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de Ciencias en Francia (Seal, 1967). Sin embargo Pearson (1965) indicará que Bravais, al estudiar la
teoría de errores, no consideraba variables aleatorias correlacionadas, sino consideraba errores
independientes unos de otros; por tanto, no llegó a una verdadera idea de la correlación, tal como hoy
la conocemos.
Un avance en el desarrollo de estos conceptos se produce mediante el estudio conjunto de la
variación de dos medias realizado por Francis Galton (1822-1911). Según Hald (1998), Galton era hijo
de un banquero de Birmingham y se casó con una prima de Charles Darwin, por lo que se interesó por
sus estudios sobre la herencia. Estudió Medicina y Matemáticas en Londres y Cambridge, dedicando
una primera parte de su vida a estudios geográficos y meteorológicos, llegando a tener un papel
destacado en los mapas del tiempo diarios del periódico “The Times”. Tenía una destacada facilidad
para construir artificios mecánicos, habilidad que utilizó para construir sofisticados aparatos de
medida. Tuvo obsesivo interés por medir, hacer recuentos y gráficos de fenómenos de antropología,
biología, genética, sociología y psicología. A lo largo del periodo 1865-1890, su principal interés
fueron los estudios empíricos de las leyes de la herencia por medio de métodos estadísticos.
Desde el punto de vista de la Estadística matemática se puede considerar a Galton como un
ingenioso amateur, ya que, sin conocer los refinados métodos estadísticos de la época (usados, por
ejemplo, por Laplace y Gauss) y por medio de investigaciones empíricas, estudia la variabilidad de
características humanas. Desarrolla sus propios y rudimentarios métodos para describir observaciones
univariadas y bivariadas normalmente distribuidas, explicando la utilidad y el significado de la
regresión y correlación, no solamente en el contexto de la herencia, sino en general. Galton no conocía
la literatura estadística germana y para ajustar una distribución normal a sus datos utiliza el método de
Quetelet, muy simple desde el punto de vista numérico, ya que, requiere solamente el cálculo de
frecuencias relativas y la interpolación en la tabla de la binomial acumulativa. Como no domina con
soltura la matemática de su tiempo utiliza artificios mecánicos para “probar” las propiedades de la
distribución binomial como el que llamó “quincux”, hoy conocido como aparato de Galton.
Darwin propuso a Galton estudiar algún método que pudiese dar soporte a su teoría de la
evolución, tratando de comparar las características físicas de los hijos con las de sus padres, pues si
estos caracteres se heredan se confirmaría su hipótesis de que las características de los sujetos mejor
adaptados pasarían de una a otra generación; a la vez sería necesario una variabilidad dentro de los
hijos de los mismos padres (para poder pensar en sujetos mejor y peor adaptados) (Benzecri, 1982).
Galton acepta el reto, pero, al no tener suficientes datos humanos diseñó un experimento con semillas
de guisantes para estudiar la distribución de los pesos de las semillas en dos generaciones (Hald,
1998). Observó que la distribución de los pesos era normal, seleccionó siete grupos (clasificando los
guisantes por su peso, que era igual al peso medio global, más o menos 0, 1, 2, 3, desviaciones
típicas), conteniendo cada grupo 70 semillas del mismo peso. Pidió a siete amigos de diferentes partes
del país que cultivaran un grupo de semillas y que le enviaran las semillas cosechadas. Sus
conclusiones fueron las siguientes:
•
El peso medio de las semillas filiales era función lineal del peso de las semillas padres con
una pendiente menor que la unidad, es decir, el peso medio de la progenie se desvía menos
de la población media que de los padres. Galton llamó a esta propiedad reversión en un
discurso pronunciado en 1877 (después se llamará regresión). Por tanto, los padres de peso
M + x producen hijos adultos de peso medio M + r ⋅ x , para 0 < r < 1 .
• Para cada grupo de semillas padres, el peso de las semillas filiales estaba normalmente
distribuido. El peso de los hijos, debido a la variación aleatoria de entre hijos del mismo
grupo de padres, llega a ser M + r ⋅ x + y .
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•
La desviación probable del peso de las semillas filiales es la misma para todos los grupos y
más pequeña que la desviación probable del peso de las semillas padres. Esta es la propiedad
que hoy día se conoce como homocedasticidad u homogeneidad de las varianzas.
Para explicar estas propiedades se basa en gráficos y la identidad estadística de las dos
generaciones le sirve para dar la relación entre la varianza condicional (variación entre grupos), la
varianza marginal (la variación entre el total de la población) y el coeficiente de reversión. Numerosos
estudios, como el citado llevan a Galton a la noción de correlación. En 1869 publica el libro
“Hereditary Genius”, donde estudia la influencia de las características de los padres y otros
antepasados en las de los hijos. El método para expresar estas múltiples relaciones se le ocurre a
Galton una mañana, repasando unas notas de su libreta mientras esperaba el tren. Lo cuenta del
siguiente modo (citado por Newman, 1956, p. 239):
“Parecía evidente por observación, y había sido completamente confirmado
por esta teoría, que existía un “índice de correlación”; o sea, una fracción,
que ahora llamamos simplemente r que relaciona con la mayor aproximación
cada valor de desviación (de la media) por parte del sujeto con el promedio
de todas las desviaciones asociadas, del pariente, tal como ha sido descrito.
Por lo tanto, la aproximación de cualquier parentesco específico puede ser
hallada y expresada con un término único. Si un individuo particular se
desvía mucho, el promedio de las desviaciones de todos sus hermanos será
una fracción definida de esa cantidad; del mismo modo que los hijos, los
padres, primos hermanos, etc. Cuando no hay relación alguna, r se vuelve
igual a 0; cuando es tan cercana que sujeto y pariente poseen idéntico valor,
entonces r = 1. Por lo tanto, el valor de r reside siempre entre los límites
extremos de 0 y 1. Mucho más podría añadirse, pero no sin usar lenguaje
técnico, lo cual sería aquí inadecuado”. (Newman, 1956, p. 239).
Galton no había considerado más que la distribución conjunta de una medida x tomada sobre el
padre y la misma medida tomada sobre los hijos, pero con posterioridad se da cuenta de la posibilidad
de estudiar variaciones conjuntas de medidas biológicas diferentes sobre los mismos individuos. En su
obra, “Natural Inheritance”, publicada en 1889, Galton propone un formidable programa de
investigación biométrica: estudiar estadísticamente la variabilidad de las medidas físicas de distintas
especies, a fin de confirmar matemáticamente el mecanismo de la evolución descrito por Darwin
(Benzecri, 1982). En consecuencia, Galton fue consciente de que sus descubrimientos parecían dar
lugar a un amplio campo de aplicación de problemas que caerían bajo las leyes de la correlación.
La sugerencia fue recogida por prestigiosos autores como Edgeworth, Pearson, Yule, Seppard
(Hald, 1998) que en tiempos posteriores desarrollaron estas ideas en profundidad. Por ejemplo Weldon
calculó empíricamente coeficientes de correlación entre varias medidas físicas de órganos de
camarones, es decir correlaciones entre medidas del mismo sujeto. También contribuyó a crear la
teoría sobre la distribución muestral del coeficiente de correlación.
A pesar del enorme ingenio y como señala Pearson: “Galton no había aún alcanzado la idea de
correlación negativa” (Pearson, 1920, p. 199). Se basa en la definición que propone en el artículo
“Co-relación y su medida”, publicado en los Proceedings de la Royal Society, 45, pp. 135-145 en
1888:
“Co-relación o correlación de estructura es una frase de gran uso en biología
y no menos en la rama que estudia la herencia, y la idea es incluso más
frecuente que la frase; pero no soy consciente de ningún intento anterior de
definirla claramente, de trazar su forma de acción en detalle o mostrar cómo
medirla. Dos órganos variables se dicen co-relacionados cuando la variación
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en uno se acompaña en promedio por más o menos variación del otro y en la
misma dirección. Así, la longitud del brazo se dice correlacionada con la de
la pierna porque una persona de brazo largo usualmente tiene pierna larga y
al contrario. Si la correlación es cercana, entonces una persona de brazos muy
largos tendrá piernas muy largas; si es moderadamente próxima, entonces la
longitud de la pierna sólo será larga, no muy larga; y si no hubiese ninguna
correlación, entonces la longitud de la pierna sería, en promedio, mediocre”.
(citado por Pearson, 1920, p.199).
Pearson continúa el trabajo de Galton, interesado en la Biometría debido a los trabajos de éste y
de Weldon, quien en 1892 fue el primero que publicó un artículo en el que señala el significado de un
coeficiente de correlación negativo, indicando que era posible determinar una razón (coeficiente),
cuyo valor se convierte en ± 1 cuando un cambio en cualesquiera de los órganos implica un cambio
igual en el otro, y 0 cuando los dos órganos son bastante independientes (Pearson, 1920).
Las ideas modernas sobre regresión se originan en los trabajo de Legendre y Gauss, sobre el
método de mínimos cuadrados, para ajustar los datos sobre las órbitas de cuerpos celestes. El primer
estudio documentado sobre el método de mínimos cuadrados, de donde deriva la idea de regresión, es
debido a Legendre (1752-1833) en 1805. Esta técnica de optimización intenta encontrar la función
(dentro de una familia) que mejor se ajusta a los datos bivariantes, de acuerdo con el criterio de
mínimo error cuadrático, y siempre que los datos cumplan algunas condiciones (como independencia).
Se conocían las ecuaciones funcionales de estas órbitas, pero los errores de medida hacía que los
cálculos fuesen aproximados y se ajustaban ciertas familias de funciones, usando la teoría de errores (y
la distribución normal para describirlos). En 1829 Gauss fue capaz de establecer la razón por la cual
este procedimiento es muy adecuado desde el punto de vista estadístico, mediante lo que hoy se
conoce como teorema de Gauss-Markov, que muestra que los estimadores obtenidos con este método
son insesgados y no se requiere una distribución específica para los datos que se ajustan. El impulso
posterior lo dan los trabajos citados de Galton y Pearson sobre la herencia. Yule la utiliza para el
estudio de fenómenos sociales, como las causas de pobreza alrededor de 1899.
A lo largo del siglo XIX el trabajo de los estadísticos era mayormente descriptivo; la inferencia
estadística se va a desarrollar como consecuencia de la creación de la Escuela Biométrica del
University College de Londres bajo la dirección del matemático Karl Pearson (1857-1936), quien trata
de aportar bases matemáticas a los descubrimientos de Galton (Botasso, 2009). Pearson defiende que
el método científico es esencialmente estadístico, pues sus inferencias se basan en la asociación entre
antecedentes y consecuentes. Alrededor de 1895, Pearson había resuelto las propiedades matemáticas
del coeficiente de correlación y la regresión simple utilizada para la predicción lineal entre dos
variables continuas. También generaliza la idea de regresión de Galton a varias dimensiones,
comprobando que muchas variables biométricas siguen la distribución normal multivariante y por
tanto se podría aplicar la regresión múltiple para relacionar varias de estas medidas. Yule introduce la
notación e ideas para la correlación parcial de dos variables fijando una tercera en un artículo “Sobre
la teoría de la correlación para cualquier número de variables tratado mediante una nueva notación”
publicado también en los Proceedings de la Royal Society en 1907.
3. Uso de la Historia en la enseñanza de la matemática
Las breves notas históricas que acabamos de comentar podrían tener una utilidad didáctica, ya
que en los currículos actuales se enfatiza el uso de las Matemáticas en situaciones reales con las cuales
los estudiantes comenzarán la construcción de sus propios conocimientos matemáticos. Como se
indica en el Real Decreto de enseñanzas mínimas del Bachillerato: “Detrás de los contenidos que se
estudian hay un largo camino conceptual, un constructo intelectual de enorme magnitud, que ha ido
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evolucionando a través de la historia hasta llegar a las formulaciones que ahora manejamos.” (MEC,
2007, p. 45449). Un recurso importante al respecto es el uso de la Historia de la Matemática en el
diseño y construcción de secuencias de enseñanza-aprendizaje. Si observamos los sucesivos libros de
texto en las últimas décadas, cada vez se incluyen más referencias históricas en el desarrollo de los
temas. Creemos que el objetivo de los autores es situar el contenido de estudio y los problemas que
dieron origen a los conceptos que se van a estudiar, a la vez que motivar a los estudiantes.
La Historia de la Matemática nos revela el origen de los problemas donde surgieron los objetos
matemáticos, cómo se resolvieron dichos problemas (con las sucesivas aproximaciones a las
soluciones, hasta su resolución actual), construyendo de esta forma el conocimiento matemático.
Dichos problemas, la mayor parte de las veces, fueron extra-matemáticos y otras veces surgieron del
propio saber matemático y sus relaciones.
Como apunta Brousseau (1986), generalmente los conocimientos matemáticos se presentan en
los libros de una manera acabada, articulada, secuenciada y sin ningún indicio de su gestación y
evolución, ocultando los problemas que dieron origen a su germinación y desarrollo y el proceso de
elaboración que siguieron hasta constituirse en conocimientos socialmente aceptados y reconocidos
como objetos del saber matemático. Cuando un matemático, después de su labor de investigación,
encuentra un nuevo conocimiento matemático lo comunica de una manera “limpia” y, generalmente,
ocultando los problemas y situaciones que dieron lugar a la investigación, las conjeturas iniciales, los
intentos fallidos, las dificultades encontradas, las generalizaciones de interés; en pocas palabras,
ocultando la historia de la formación de ese saber. Sin embargo, pocas veces el científico encuentra un
nuevo saber directamente, sino que realiza conjeturas, inicia las primeras aproximaciones, muchas de
ellas erráticas, da las primeras soluciones, muchas de ellas incompletas, otras triviales, estas primeras
soluciones las va mejorando y delimitando hasta que encuentra el objeto matemático, que intenta
generalizar al máximo nivel.
El proceso de generación de un nuevo saber matemático está personalizado por el investigador,
contextualizado por las situaciones y problemas que se han estudiado. Sin embargo, el productor del
saber, cuando lo comunica, lo despersonaliza y lo descontextualiza, quedando oculto todo el proceso
de generación. Dicho proceso de generación puede tener un interés didáctico para que los que intentan
aprender se convenzan de su validez, aunque no tengan que seguir el mismo camino de
descubrimiento. Una vez constituido un saber, otras personas, lo transforman, reformulan, aplican,
generalizan, según sus necesidades. De acuerdo a Brousseau, el trabajo del profesor es, en cierta
medida, inverso al del productor del saber, debe producir una recontextualización y una
repersonalización de los conocimientos. Estos conocimientos van a ser los conocimientos del alumno,
es decir, una respuesta natural a las condiciones particulares y personales que son indispensables para
que los nuevos conocimientos tengan sentido para el estudiante.
La tarea del profesor de recontextualización del conocimiento para ser comunicado a los
estudiantes, puede quedar favorecida si conoce la génesis y evolución de los conocimientos
matemáticos, es decir, la historia de su formación y evolución. En el proceso de adquisición, el
estudiante lo personaliza contextualizado en las situaciones que ha trabajado y que han dado sentido al
objeto matemático en cuestión. Cuando el estudiante se ha apropiado de los nuevos conocimientos con
sentido y ha adquirido un cierto dominio de ellos, debe redescontextualizar y redespersonalizar sus
nuevos conocimientos e identificarlos con los existentes en la comunidad matemática científica. Por
ello, el conocimiento de la historia de la formación de los objetos matemáticos ayuda al estudiante a
comprenderlos mejor.
En general hay dos estrategias básicas para introducir la Historia de las Matemáticas en la
enseñanza (Radford, 1997; Fried, 2001): la estrategia de la adición y la de acomodación. La estrategia
de la adición consiste en introducir en los programas anécdotas, extractos de biografías, problemas,
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métodos de resolución, etc. Esta estrategia no altera el currículo, pero lo extiende; esto es un problema,
pues hay poco tiempo para desarrollar todos los contenidos. La estrategia de acomodación consiste en
utilizar un desarrollo histórico, la explicación de una técnica o una idea, para organizar una lección de
acuerdo con dicho tema histórico. Esta organización de los temas siguiendo su desarrollo histórico nos
proporcionaría una oportunidad para discutir la motivación que llevó al estudio del tema tanto dentro
de las Matemáticas como en otros campos científicos, aunque el profesor debe filtrar de la Historia lo
que es relevante de lo que no lo es (Fried, 2008).
El conocimiento de la Historia puede servir también para estudiar la epistemología de los
objetos matemáticos. Desde este punto de vista, la Historia de la Matemática se puede ver como un
laboratorio de epistemología en el que se estudia y analiza el desarrollo del conocimiento matemático
(Radford, 1997). Un ejemplo de este enfoque es el estudio de los obstáculos epistemológicos en la
formación y evolución de los objetos matemáticos. Esta noción, debida a Bachelard (1938), fue
introducida en la Didáctica de la Matemática por Guy Brousseau, para explicar errores frecuentes y
persistentes que cometen los estudiantes en su proceso de estudio de las nociones matemáticas y que
tradicionalmente se han interpretado como falta de conocimiento o de dominio de los conceptos
matemáticos. Brousseau cambia esta concepción del error:
“el error y el fracaso no tienen el papel simplificado que a veces se les
atribuye. El error no es solamente el efecto de la ignorancia, la incertidumbre
o el azar, sino de un conocimiento anterior, que tenía su interés, su éxito, pero
que ahora se revela falso o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo
no son erráticos e imprevisibles, se constituyen en obstáculos” (Brousseau,
1983, p. 173).
El autor distingue tres tipos de obstáculos: ontogenéticos, didácticos y epistemológicos. Estos
últimos se pueden encontrar en la evolución histórica de los propios conceptos y en los modelos
espontáneos de los alumnos. Como ejemplo, para el caso de la correlación, podemos citar los
encontrados en diferentes investigaciones (Estepa y Batanero, 1996; Truran 1995, 1997; Morris 1997,
1998; Batanero, Estepa y Godino, 1997; Batanero y Godino, 1998; Batanero, Godino y Estepa, 1998)
orientadas al estudio de las concepciones y comprensión de la correlación y regresión por estudiantes
universitarios. Se ha observado que los alumnos no aprecian, a veces, la correlación inversa, que
tienen un sentido determinista o local de la correlación y que identifican, con frecuencia, la correlación
con la causalidad. Hemos mostrado cómo Galton, en sus primeros trabajos, no considera la correlación
inversa, igual que algunos de nuestros estudiantes cuando comienzan el estudio de estos temas, en
consecuencia lo podemos considerar como un obstáculo epistemológico en el sentido descrito de
Brousseau, que se llega a superar con el estudio del tema. Por otra parte, como es conocido, asociación
y causalidad no siempre son coincidentes, a pesar de que uno de los pasos en la búsqueda de
relaciones causales es estudiar la covariación de las variables (Pozo, 1987).
El desarrollo en los estudiantes del pensamiento estadístico es objetivo prioritario en la
Educación Estadística porque ayudará a los estudiantes a superar las dificultades y obstáculos que
encuentren en su aprendizaje de los temas estadísticos. El uso de la Historia puede ayudar a desarrollar
el pensamiento estadístico, ya que, como afirman Pfannkuch & Wild (2004), el desarrollo del
pensamiento estadístico en los estudiantes presenta cuatro retos en su enseñanza y, en consecuencia a
los profesores. El primer reto para el educador es tomar conciencia de las características del
pensamiento estadístico, el segundo reto es el reconocimiento del pensamiento estadístico en una
variedad de contextos y situaciones y justificarlo en ellos, el tercer reto es desarrollar estrategias que
promuevan y faciliten la construcción del pensamiento estadístico en los estudiantes, el cuarto y
último reto es planificar e implementar una enseñanza que evalúe las estrategias que centran el
desarrollo del pensamiento estadístico en los estudiantes, para ello los estudiantes deben comprender
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cómo los estadísticos razonan y actúan dentro de la ciencia estadística, la historia del desarrollo de los
conceptos estadísticos ayudan en estos retos.
4. Conclusión
La mayoría de nuestros estudiantes de Educación Secundaria creen que los estudios sobre
correlación y regresión se deben a Karl Pearson, seguramente por el nombre que se le da al coeficiente
de correlación lineal (coeficiente de Pearson) (Stanton, 2001). Sin embargo, aunque Pearson realizó un
riguroso desarrollo matemático del coeficiente de correlación, fue el ingenio y la imaginación de Sir
Francis Galton lo que le permitió llegar a los conceptos de correlación y regresión tal y como hoy los
entendemos. Ello nos da una importantísima lección didáctica: personas con formación inicial
diferente a la matemática, como Galton, partiendo de problemas reales y con una fuerte motivación,
llegan a descubrir conceptos matemáticos, que han llegado a tener una importancia transcendental.
Algo parecido a lo que hoy nos proponen los nuevos currículos, donde se sugiere que partiendo de
problemas reales se debe conseguir que nuestros estudiantes descubran conceptos matemáticos
importantes.
En el apartado anterior hemos expuesto algunas ideas sobre la conveniencia del uso de la
Historia en la enseñanza. Otras razones señaladas por Fried (2001) son: (a) La Historia de las
Matemáticas humaniza las Matemáticas, ya que los desarrollos históricos se han llevado a cabo en
culturas diferentes, proporciona a los estudiantes el papel de los modelos utilizados, además de
conectar el estudio de las Matemáticas con las motivaciones humana; (b) La Historia hace las
Matemáticas más interesantes, más comprensibles y más accesibles porque da variedad a la enseñanza,
disminuye el miedo de los estudiantes a las Matemáticas y las sitúa en la sociedad; y (c) La Historia da
perspicacia y agudeza (insight) al estudiante respecto a los conceptos, problemas y resolución de
problemas, ya que proporciona ideas y contextos para los problemas bajo estudio, sugiere diferentes
enfoques para su resolución y muestra las relaciones que existen entre las ideas, definiciones y
aplicaciones.
Este uso no implica un incremento de los contenidos, sino tener en cuenta las situaciones que
dieron lugar a los conceptos matemáticos que, a nuestro juicio, motiva y enriquece el conocimiento de
nuestros estudiantes. Además, se puede aprovechar el ejemplo del nacimiento de la noción de
correlación en los trabajos de Galton a partir del estudio de la herencia biológica para seguir las
recomendaciones de desarrollo de una idea matemática a través de casos reales.
En nuestra descripción hemos visto ejemplos del paralelismo de algunos hechos del proceso de
descubrimiento y evolución de los conceptos matemáticos con el proceso de apropiación de las
nociones matemáticas por algunos de nuestros estudiantes. Por ejemplo, se constata que nuestros
estudiantes, al comienzo del estudio de la correlación, no admiten la correlación negativa, al igual que
ocurrió con Galton, en sus primeros estudios, aunque después se supere en estudios posteriores. Es por
ello que el conocimiento de la Historia puede también ayudar a los profesores para prevenir
dificultades en sus estudiantes.
Agradecimientos: Proyecto EDU2010-14947 (MCIN), beca BES-2011-044684 (MCIN), beca
FPU-AP2009-2807 (MCIN) y grupos FQM126 y HUM793 (Junta de Andalucía).
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Department Educational Psychology University of Minnesota.
Antonio Estepa Castro, nacido (13/05/1952) en Valdepeñas de Jaén (Jaén). Doctor en Matemáticas.
Catedrático de Didáctica de la Matemática de la Facultad Humanidades y Ciencias de la Educación de la
Universidad de Jaén. Su campo de investigación es la Didáctica de la Matemática, especialidad de
Didáctica de la Estadística y la Probabilidad. Ha publicado diversos trabajos de investigación en este
campo en revistas, libros y congresos. También ha realizado bastantes revisiones de trabajos de
investigación para revistas y congresos importantes en dicho campo de investigación.
Universidad de Jaén. Email: [email protected]
María Magdalena Gea Serrano, nacida (18/02/1980) en Cantoria (Almería). Licenciada en Matemáticas
(Universidad de Murcia), licenciada en CC. y TT. Estadísticas (Universidad de Granada), posee el Máster
en Estadística Aplicada (Universidad de Granada) y el Diploma de estudios avanzados (Universidad de
Jaén) bajo la tutela de D. Antonio Estepa Castro. Su investigación se proyecta en torno a la enseñanza y
aprendizaje de la asociación estadística. En la actualidad es becada bajo la tutela de Dra. Carmen
Batanero Bernabeu por el Plan de Formación de Personal Investigador (2011).
Universidad de Granada. Email: [email protected]
Gustavo R. Cañadas de la Fuente, nacido el 2/2/1983 en Linares (Jaén) es licenciado en CC. y TT.
Estadísticas (Universidad de Granada), posee el Máster en Metodología de las Ciencias del
Comportamiento por la UNED y el Máster en Didáctica de las Matemáticas por la Universidad de
Granada. Fue becado en el Plan de Formación del Profesorado Universitario para trabajar en la
Universidad de Granada en la convocatoria del 2009 bajo la tutela de Dra. Carmen Batanero. Ha
publicado trabajos relacionados con las tablas de contingencia.
Universidad de Granada. Email: [email protected]
José M. Contreras García, nacido en Granada; profesor ayudante doctor de la Universidad de Granada.
Licenciado en Ciencias Matemáticas (esp. Estadística e I.O.), licenciado en C.C. y T.T. Estadísticas,
Diploma de estudios avanzados en Estadística e I.O., Máster en didáctica de la matemática, Máster en
Estadística Aplicada y doctor en Didáctica de la Matemática. Publicaciones en didáctica de la
probabilidad.
Universidad de Granada. Email: [email protected]
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NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, páginas 15-24
El potencial de los sistemas de álgebra computacional
Ramón S. Salat Figols (Escuela Superior de Física y Matemáticas. Instituto Politécnico Nacional. México)
Fecha de recepción: 19 de diciembre de 2011
Fecha de aceptación: 27 de abril de 2012
Resumen
Este trabajo tiene como objetivo dar argumentos en favor de la inclusión de los sistemas
de álgebra computacional en el currículo de matemáticas desde el nivel medio de
enseñanza hasta el nivel superior. Primero, se presentan algunos conceptos relativos al
uso de estos sistemas en la educación. Después, se presentan varios ejemplos con el
propósito de mostrar el poder de estos sistemas como auxiliares en la solución de
problemas. Finalmente se hace una propuesta acerca de su uso en educación.
Palabras clave
Sistema de álgebra computacional, artefacto, instrumento, amplificación.
Abstract
This work aims to give arguments for the inclusion of computer algebra systems in
mathematics curriculum from middle school to the next level. First, we present some
concepts related to the use of these systems in education. Then several examples are
presented in order to show the power of these systems as aids in solving problems.
Finally, a proposal about its use in education.
Keywords
Computer algebra system, artifact, instrument, amplification, enhance.
1. Introducción
El uso de las computadoras como una herramienta para la investigación en matemáticas sigue
una tendencia creciente con algunos éxitos particularmente significativos, tales como la demostración
del teorema del mapa de los cuatro colores (Appel y Haken, 1977). Los sistemas de álgebra
computacional pueden usarse para explorar relaciones algebraicas y obtener conjeturas que después
sean probadas sin utilizar la computadora (Abramov y Ryabenko, 2008). Debido al uso creciente y
exitoso de los sistemas de álgebra computacional para explorar posibles soluciones a problemas
matemáticos, su estudio debe formar parte del currículo en matemáticas; lo que no está tan claro es
cómo distribuir el contenido a lo largo de los diferentes niveles educativos.
El término sistema de álgebra computacional (CAS, con las siglas en inglés), se refiere
usualmente al conjunto de herramientas con capacidades de cálculo numérico, gráfico y simbólico
(Nabb, 2010). La introducción de los CAS en niveles educativos anteriores al profesional está sujeta a
algunas controversias. Existen dos posiciones al respecto (Nabb, 2010): Aunque el CAS puede liberar
a los estudiantes de tareas algebraicas rutinarias, permitiendo usar el excedente de energía obtenido en
una reflexión sobre las matemáticas aprendidas, también es posible que los estudiantes dejen de
adquirir habilidades que posteriormente les harán falta.
Una cuestión importante en el uso de los CAS es la diferenciación entre artefacto e instrumento.
El artefacto es un objeto material y el instrumento es un constructo psicológico; el artefacto se
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convierte en instrumento cuando el sujeto se apropia de él, cuando es capaz de utilizarlo como un
medio para llegar a un fin (Verillon y Rabardel, 1995). El proceso de instrumentación de un CAS
específico requiere tiempo dentro del proceso educativo e interacciona con el uso de las reglas del
álgebra utilizadas con papel y lápiz. Es importante poner atención a la coordinación entre las
actividades con los CAS y las actividades con papel y lápiz (Fonger, 2009).
Los procesos de instrumentación de un CAS, se ven afectados por algunas deficiencias de éste:
dificultades de enlace en las aplicaciones para el paso de una representación a otra, las herramientas
para realizar sustituciones funcionan parcialmente, no siempre existe la posibilidad de evitar la
simplificación automática y la falta de compatibilidad entre diferentes CAS (Böhm, 2009).
Además de las dificultades señaladas, existen otras dignas de consideración. Por ejemplo, varios
CAS, pero no todos, cuando se les pide resolver la ecuación x 2 − 1 / (x − 1) = 2 , producen la solución
x = 1 ; para este valor de x , el miembro izquierdo de la ecuación no está definido. Algunos CAS al
graficar una función que tenga una discontinuidad en un punto en la forma de un salto, dibujan una
línea vertical, lo cual está en contradicción con el concepto de función.
(
)
Un aspecto importante es que la utilización del CAS en forma coordinada con el papel y lápiz,
en muchos casos, nos da una nueva perspectiva de un mismo problema y también, que permite
resolver problemas que utilizando solamente papel y lápiz serían de muy difícil o casi imposible
resolución. Es decir, la utilización de un CAS puede ir más allá de la mera reproducción de lo que
podría hacerse con papel y lápiz.
A continuación se darán algunos ejemplos acerca de cómo el uso de un CAS puede enriquecer
la gama de problemas que pueden plantearse en un curso, así como su discusión. Corresponden a
diferentes niveles educativos, dependiendo de la estructura del sistema educativo en cada país. En
todos ellos se usó el programa Sage (Stein, W. y The Sage Development Team, 2009).
2. Ejemplos
2.1. Problema 1
¿Cuál debe ser el ángulo de un segmento circular en un círculo de radio 6 para que su área sea
igual a 1?
El área del segmento de ángulo x es 18( x − sen ( x )) . Para encontrar la solución del problema
hay que resolver la ecuación:
18( x − sen ( x )) = 1
Esta ecuación puede replantearse como:
1
+ sen (x ) = x
18
Si se define a la función f (x ) =
1
+ sen (x ) , el problema se traduce en encontrar un valor de x
18
tal que f (x ) = x , es decir, hay que encontrar el punto de intersección de la recta y = x con la gráfica
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de la función f . La Figura 1 nos da una idea de cómo hacerlo. Comenzamos en un punto sobre la
gráfica de f y nos movemos horizontalmente hasta encontrar a la recta y = x ; luego, de ahí nos
movemos verticalmente hasta encontrar nuevamente a la gráfica de f . Repitiendo este proceso, nos
podemos acercar cada vez más al punto buscado. Analíticamente, esto es equivalente a construir la
sucesión de números x1 , x2 = f (x1 ), x3 = f (x2 ), x4 = f (x3 ), ... Esta sucesión puede rescribirse como
x1 , f (x1 ), f ( f (x1 )), f ( f ( f (x1 ))), ... Esta sucesión de números reales puede converger o no a un límite,
dependiendo de la función f y del punto inicial x1 ; esta cuestión se aborda en los teoremas
conocidos como de punto fijo, dentro de los cursos de Análisis Matemático. Definiendo
g n ( x ) = f ( f ( f ...( f ( x )))) , aplicando f n veces, el problema de la convergencia puede explorarse
estudiando el comportamiento de g n (x ) para diferentes valores de n . En la Figura 2, aparecen las
gráficas de g8 (x ), g16 (x ) y g 32 (x ) .
Figura 1
Como puede observarse en esta Figura 2, g 32 (x ) es prácticamente constante desde
x = −10 hasta x = 10 . Por lo tanto, si empezamos con valores iniciales entre éstos dos valores,
después de 32 aplicaciones de la función f , obtendremos aproximadamente siempre el mismo valor
x = 0.7 , que además tendrá la propiedad f (x ) = x .
Luego, este valor de x = 0.7 , será aproximadamente una solución de nuestra ecuación.
En este ejemplo, la ventaja de usar el CAS está en poder analizar el comportamiento de g n (x )
para diferentes valores de x .
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Figura 2
Los cálculos y la gráfica se obtuvieron con Sage, usando:
f(x)=(1./18.)+sin(x)
g(x)=f(f(x))
g2(x)=g(g(x))
g4(x)=g2(g2(x))
g8(x)=g4(g4(x))
g16(x)=g8(g8(x))
g32(x)=g16(g16(x))
p1=plot(g8(x),(-a,a),axes_labels=["$x$","$y$"],color='blue',fontsize=16)
p2=plot(g16(x),(-a,a),color='black')
p3=plot(g32(x),(-a,a),color='red',ymin=-0.1,ymax=0.8)
p1+p2+p3
Como puede observarse en la Figura 2, después de aplicar 32 veces la función f se obtiene
aproximadamente el mismo valor para cualquier x1 entre − 10 y 10 . La obtención de la expresión
simbólica g 32 y su gráfica, nos permiten llegar a la conclusión. Llegar a la misma conclusión
utilizando solamente papel y lápiz hubiera sido muy difícil.
Considerando la Figura 1, puede invitarse a los estudiantes a imaginarse gráficas de funciones
en las que el proceso no converja y a obtener conclusiones de su análisis.
2.2 Problema 2
Encontrar la fórmula de un polinomio cuya gráfica pase por los puntos (1, 5), ( 2 , 6) y (3 , 8) .
Para resolver este problema se puede utilizar la técnica de los polinomios de Lagrange.
Supongamos que queremos construir un polinomio cuya gráfica pase por los puntos
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) . Primero, se construyen los polinomios:
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l0 ( x ) =
( x − x1 )(x − x2 )
(x0 − x1 )(x0 − x2 )
l1 (x ) =
(x − x0 )( x − x2 )
( x1 − x0 )( x1 − x2 )
l2 ( x ) =
( x − x0 )(x − x1 )
( x2 − x0 )(x2 − x1 )
Estos
polinomios
tienen
las
propiedades
l0 (x0 ) = 1, l0 (x1 ) = l0 (x2 ) = 0 , l1 (x1 ) = 1,
l1 (x0 ) = l1 (x2 ) = 0 , l2 (x2 ) = 1, l2 (x0 ) = l2 (x1 ) = 0 . Luego, el polinomio que buscamos se puede
escribir como:
p( x ) = y0 ⋅ l0 (x ) + y1 ⋅ l1 ( x ) + y2 ⋅ l2 (x )
Para los datos específicos del problema:
l0 ( x ) =
1 2 5
1
3
x − x + 3 l1 (x ) = − x 2 + 4 x − 3 y l2 (x ) = x 2 − x + 1
2
2
2
2
1 2 1
x − x + 5 . El mismo procedimiento se usa para encontrar un polinomio de grado
2
2
n − 1 que pase exactamente por n puntos. Pero evidentemente, conforme n crece las dificultades de
cálculo aumentan y la probabilidad de cometer algún error, también aumenta. Utilizando un pequeño
programa en Sage, podemos obtener el polinomio.
Y p( x ) =
Se puede utilizar el polinomio de Lagrange, por ejemplo, para aproximar la función seno en el
intervalo [0, π / 2] , por un polinomio de grado 5, con el siguiente programa:
var('x,f,s')
x0=[0,0.3,0.6,0.9,1.2,1.5]
y0=[]
n=len(x0)
for i in range(n):
y0.append(sin(x0[i].n()))
s=0
for i in range(n):
f=1
for j in range(n):
if j<>i:
f=f*((x-x0[j])/(x0[i]-x0[j]))
show(f.expand().simplify())
l.append(f)
for i in range(n):
s=s+y0[i]*l[i]
show((s.expand()).simplify())
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Y se pueden obtener las gráficas superpuestas del polinomio obtenido y la función seno con las
tres siguientes líneas:
p1=plot(sin(x),(0,3),color='blue',axes_labels=["$x$","$y$"],fontsize=16)
p2=plot(s,(0,3),color='yellow',axes_labels=["$x$","$y$"],fontsize=16)
p1+p2
En la Figura 3 se muestra la gráfica del polinomio obtenido y la gráfica de la función seno.
El polinomio que se obtuvo para aproximar a la función seno fue:
0.999762 x + 0.001766 x 2 − 0.171262 x 3 + 0.005224 x 4 + 0.005984 x 5
Está claro que es bastante difícil obtener el polinomio con papel y lápiz exclusivamente. Por
otro lado, elaborar el programa es bastante sencillo si se ha trabajado con Sage. Si en el programa que
se presentó se cambia a la función seno por otra y los valores de x , se obtiene inmediatamente la
aproximación para otra función en un intervalo específico.
Figura 3
2.3 Problema 3
Resolver la ecuación diferencial de primer orden, no lineal
inicial y (0) = 0 .
dy
= x + y 2 , sujeta a la condición
dx
x
Esta ecuación puede expresarse en forma integral de la siguiente manera: y ( x ) = ∫ [ s + y ( s ) 2 ] ds ;
0
si se derivan ambos miembros de esta ecuación, usando el teorema fundamental del Cálculo, se
obtiene la ecuación diferencial. Este problema se parece al primero, en el sentido de que si definimos
x
F ( y ( x )) = ∫ [ s + y ( s ) 2 ] ds , para resolver el problema, hay que encontrar una función y ( x ) , tal que
0
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F ( y (x )) = y (x ) ; se aplicará el mismo método de iteraciones sucesivas, usado en el problema 1. Para
ello, se utilizan las siguientes instrucciones en Sage:
var('x,y,s')
f(x,y)=x+y**2
g1(x)=1
show(g1(x))
g2(x)=integral(f(s,g1(s)),0,x)
show(g2(x))
g3(x)=integral(f(s,g2(s)),0,x)
show(g3(x))
g4(x)=integral(f(s,g3(s)),0,x)
show(g4(x))
g5(x)=integral(f(s,g4(s)),0,x)
show(g5(x))
g6(x)=integral(f(s,g5(s)),0,x)
show(g6(x))
g 2 (x ) =
1 2
x +x
2
1 5 1 4 1 3 1 2
g3 (x ) =
x + x + x + x
20
4
3
2
1 11
1 10
23 9 13 8 13 7 1 6 1 5 1 2
g 4 (x ) =
x +
x +
x +
x +
x + x +
x + x
4400
400
2160
480
252
18
20
2
Figura 4
En la Figura 4, se puede observar que las gráficas de g1 , g 2 , g 3, ... prácticamente coinciden a
partir de g 5 .
El método que hemos utilizado se llama de iteraciones sucesivas de Picard y se utiliza en la
demostración del teorema de existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial. Pero
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ahora con la utilización del CAS, se convierte en un método posible para obtener soluciones
aproximadas de por ejemplo, ecuaciones diferenciales no lineales.
2.4 Problema 4
En un hospital existen seis salas numeradas del 1 al 6 conectadas por pasillos cubiertos como se
muestra en la Figura 5.
Figura 5
Se quiere unir mediante un pasillo a la sala 6 con la 1 o con la 5 o con la 4, de tal manera, que se
pueda ir de una sala a otra teniendo que recorrer a lo más dos pasillos. Para resolver el problema
podemos construir la matriz de incidencia de la red; ésta es una matriz 6 × 6 , en la cual, la entrada de
la fila i y columna j , es 1 o 0 , según si la sala i está o no conectada con la sala j .
0

1
0
m=
0
1

0

1 0 0 1 0

0 1 1 0 0
1 0 0 0 1

1 0 0 1 0
0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 
Elevando esta matriz al cuadrado, se obtiene en la entrada de la fila i y columna j , el número
de caminos posibles para ir de sala i a la sala j , pasando exactamente por dos pasillos. Y m + m 2 , en
la entrada de la fila i y columna j , contiene el número de formas posibles para ir de sala i a la sala j ,
pasando por uno o dos pasillos. Análogamente para las entradas de la matriz
sn = m + m 2 + m 3 + ... + m n . La idea para resolver el problema es substituir las entradas
correspondiente por las variables binarias (que solamente pueden valer cero o uno) a, b y c , y
observar que ocurre con la matriz sn para diferentes valores de n , particularmente nos interesa n = 2 .
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Vol. 81
noviembre de 2012
NÚMEROS
El potencial de los sistemas de álgebra computacional
R. S. Salat Figols
0

1
0
m=
0
1

a

1 0 0 1 a

0 1 1 0 0
1 0 0 0 1

1 0 0 1 b
0 0 1 0 c

0 1 b c 0 
Para calcular m + m 2 , se pueden utilizar las siguientes instrucciones en Sage:
var('a,b,c')
m=matrix([[0,1,0,0,1,a],[1,0,1,1,0,0],[0,1,0,0,0,1],[0,1,0,0,1,b],[1,0,0,1,0,c],[a,0,1,b,c,0]])
show(m+m**2)
 a2 + 2

1
a + 1 ab + 2 ac + 11
a+c


3
1
1
2
a + b +1 
 1


a +1
1
2
b +1
c
1

m + m2 = 
 ab + 2

1
b + 1 b2 + 2
bc + 1
b+c


2
2
c
bc + 1 c + 2
a+b+c 
 ac + 1
 a + c a + b +1
1
b + c a + b + c a 2 + b 2 + c 2 + 1

La única forma en que podemos dar valores a a, b y c , de tal manera que uno de ellos sea uno
y los otros dos sean cero en la matriz m + m 2 y que la matriz tenga todas sus entradas diferentes de
cero (excepto posiblemente en la diagonal), es tomar a = 0, b = 0 y c = 1 . Por lo tanto, hay que unir
con un pasillo las salas 5 y 6 .
En este problema, la utilización de un programa de cálculo simbólico como Sage, permite
calcular la suma de la matriz simbólica con su cuadrado. Si la red fuera más grande y complicada, se
podría resolver el problema del mismo modo. Dado un cierto número de vértices, Sage es capaz de
generar todo los posibles gráficos o digráficos y estudiar sus propiedades, por ejemplo, si son planares
o no; esto permite conjeturar propiedades de carácter general.
3. Una propuesta
En el nivel medio de enseñanza, la utilización del CAS, no debe sustituir a los cálculos que los
estudiantes pueden y deben hacer con papel y lápiz, porque el estudiante necesita primero,
instrumentar las reglas del álgebra, apropiarse de ellas; porque el CAS puede dar respuestas
inesperadas que podrían desviar la discusión importante de los conceptos matemáticos, e incluso, en
algunos casos, pueden dar respuestas erróneas que confundan al estudiante. Pero aún a nivel medio, es
conveniente introducir la utilización del CAS como un recurso para resolver problemas que sin su
utilización, sería prácticamente imposible resolver y para procurar en el estudiante una coordinación
cognitiva de las diferentes representaciones de un objeto matemático, para que le ayuden a
conceptualizarlo.
En algún momento de su educación, el estudiante debería recibir un mínimo de información
acerca de los algoritmos y procedimientos que utiliza algún CAS, para poder analizar las respuestas
obtenidas, y evitar que lo considere una caja negra con las consecuentes supersticiones que pudiera
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 81
noviembre de 2012
23
El potencial de los sistemas de álgebra computacional
R. S. Salat Figols
desarrollar. Algunos de los CAS son de código abierto, pero aun así, se requiere una explicación de los
procedimientos y algoritmos para los usuarios finales, que pueden no conocer el lenguaje en el que se
codifica el programa.
Mucho de lo que todavía queda por hacer en el asunto de la introducción de los CAS en la
educación, está a nivel de coordinación entre diferentes sectores sociales, profesores, investigadores en
educación y fabricantes de software.
4. Conclusiones
La utilización de un CAS amplía las posibilidades de exploración de los objetos matemáticos,
tanto en la educación, como en la investigación. Su uso en educación está sujeto a un proceso de
mejora continua de acuerdo a los criterios que aportan los profesores y los investigadores en
educación. Se requiere de la participación de diferentes sectores: profesores, padres de familia,
empresa productoras de CAS y quienes definen las políticas educativas para lograr una educación con
tecnología que considere la creatividad de la mente humana (Pea, 1985), y que considere las
deficiencias que tienen los sistemas. También es importante el diseño de actividades para el estudiante
usando CAS que promuevan el análisis y la discusión individual y colectiva de los conceptos.
Los ejemplos presentados en este trabajo son una pequeña muestra de la diversificación y
enriquecimiento de las experiencias de aprendizaje, que puede aportar el uso de un CAS.
Es necesaria una mejor documentación de los CAS, de tal manera, que el usuario final pueda
utilizarlo con certeza.
Bibliografía
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Abramov, S.A.; Ryabenko, A.A. (2008). On a Computer-Algebraic Technology. Programming and
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Böhm, J. (2009). Improving CAS: Critical Areas and Issues. Proceedings of the 6th CAME Symposium,
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Pea, R.D. (1985). Beyond Amplification, Using the Computer to Reorganize Mental Functioning.
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Relation to Instrumental Activity. European Journal of Psychology of Education, 10(1), 77-101.
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of the 6th CAME Symposium, Megatrend University, Belgrade, Servia. Editores: Kadijevich y
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Stein, William et al. (2009) The Sage Development Team. Sage Mathematics Software (Version 4.3)
http://www.Sagemath.org.
Ramón Sebastián Salat Figols, Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico
Nacional, México D.F. Licenciatura en Física y Matemáticas en la misma escuela. Maestría y Doctorado
en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa en el CINVESTAV. Becario de los sistemas de
Estímulo al Desempeño Docente y de Beca de Exclusividad del Instituto Politécnico Nacional.
[email protected]; [email protected]
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Vol. 81
noviembre de 2012
NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, páginas 25-32
Errores en el producto, evaluación y gráficas de polinomios
Félix Martínez de la Rosa (Universidad de Cádiz. España)
Fecha de recepción: 13 de marzo de 2012
Fecha de aceptación: 3 de agosto de 2012
Resumen
En este artículo se analizan ciertos errores detectados en el producto, evaluación y
representación gráfica de polinomios.
Palabras clave
Polinomios, errores, producto, evaluación, gráficas.
Abstract
In this paper are analyzed some errors detected in the product, evaluation and graphical
representation of polynomials.
Keywords
Polynomials, errors, product, evaluation, graphics.
1. Introducción
Durante los últimos años, en los que he impartido docencia en las asignaturas de matemáticas de
la Facultad de CC.EE. y Empresariales de la Universidad de Cádiz, he observado ciertos errores que
cometen los alumnos, y que he clasificado como sigue,
Errores de tipo operativo: son los que se cometen en el cálculo básico, como realizar mal una
operación, despejar mal una incógnita o equivocarse al simplificar en un cociente o una raíz.
Unos nos parecen más graves que otros, por ejemplo no es lo mismo efectuar mal un producto
que creer que el cuadrado de la suma es la suma de los cuadrados, pero en general son el resultado de
la precipitación y falta de concentración en la resolución del ejercicio, sin olvidar una cierta falta de
base operativa.
Errores de concepto: son los que tienen que ver con la deficiente comprensión de un concepto.
Se detectan al observar el desconocimiento de ciertas características del mismo o, en un sentido más
amplio, por la escasa utilización de algún recurso relacionado con ellos.
Suelen estar causados porque esas características o recursos, a pesar de que se les hayan
explicado correctamente, en realidad no forman parte de los esquemas conceptuales de los alumnos
(entendiendo como tales las imágenes mentales o la idea que guardan en la memoria, lo que tienen
interiorizado, acerca de determinado concepto, y que proviene del término “concept image” [Tall y
Vinner, 1981]).
Pero otras veces el motivo es que esa determinada característica o resultado relacionado no ha
sido lo suficientemente destacada, o se ha introducido con demasiada premura o simplemente nunca se
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de Profesores de Matemáticas
Errores en el producto, evaluación y gráficas de polinomios
F. Martínez de la Rosa
ha hecho. Por esto los profesores, con nuestras propias limitaciones, somos a veces los causantes de
algunas de las carencias de nuestros alumnos.
Un error de tipo operativo es, por ejemplo, equivocarse en calcular la suma de los infinitos
términos de una progresión geométrica, mientras que un error de concepto es creer que la suma de
infinitos números es siempre infinita. De este mismo tipo es emplear la fórmula de la suma de los
infinitos términos de una progresión geométrica en una cuya razón sea 2: se obtiene un resultado que
no significa absolutamente nada. Es un tipo de error de concepto que se caracteriza por la aplicación,
de forma indiscriminada de la fórmula que nos proporciona un teorema, sin verificar antes si se
cumplen los requisitos para poder utilizarla. Un estudio de errores de esta clase puede verse en
[Martínez, 2006].
Los profesores de matemáticas tenemos la obligación de prestar mucha atención a los errores
operativos, pero para que un alumno comprenda la materia es imprescindible que no cometa los del
segundo tipo. De otra forma podrá calcular algo relacionado con un concepto, pero quizás sin saber
muy bien lo que está haciendo y empleando técnicas inadecuadas que requieren un esfuerzo
innecesario.
En este artículo se analizarán los errores de tipo operativo y de concepto, relacionados con el
producto, la evaluación y la representación gráfica de los polinomios, y que han sido detectados en mis
alumnos universitarios de matemáticas.
2. Producto de dos polinomios
Analicemos el producto de dos polinomios. Tomemos por ejemplo,
(3x
3
− 4 x 2 + 2 x + 3)(5 x 2 + 7 x + 3)
Para calcularlo a mano, se elige el primer término de la izquierda y lo multiplicamos por cada
uno de los de la derecha, se sigue con el segundo término de la izquierda y volvemos a hacer los
productos con los de la derecha, y así hasta el final. El continuo ir y venir del polinomio de la
izquierda al de la derecha es un perfecto abono para los errores. Los tipos de errores detectados son,
1. Olvido de algún producto.
2. Equivocaciones con los signos.
3. Equivocaciones con las potencias.
Los tres son errores de tipo operativo. En el artículo [O’Neil, 2006] está documentada la
utilización de una configuración tabular para el producto. Consiste en escribir los polinomios en la
parte superior y en el lado derecho, descompuestos en potencias de x. Se multiplica cada término de la
fila superior por cada uno del lado derecho, y el resultado se obtiene sumando todas las cuadrículas,
3x3
15x5
21x 4
9x3
26
Vol. 81
−4x 2
−20x 4
−28x3
−12x 2
noviembre de 2012
2x
3
2
10x
14x 2
6x
15x 2
21x
9
5x 2
7x
3
NÚMEROS
Errores en el producto, evaluación y gráficas de polinomios
F. Martínez de la Rosa
Esta forma de realizar el producto está relacionado con el antiguo método árabe Gelosia para
multiplicar dos números [ver Suzuki, 1999]. En la dirección de Internet www.divulgamat.net/ del
centro virtual de divulgación de las matemáticas divulgaMAT, de la RSME puede encontrarse
información sobre el mismo.
El método logra indudablemente un objetivo: desaparece el riesgo de olvidarnos de algún
producto porque quedaría vacía la casilla. Las confusiones en los signos y en las potencias seguirán
apareciendo, aunque el formato tabular ofrece una visión más clara de la operación lo que hace
disminuir la frecuencia con la que aparecen los errores, y facilita la revisión de los cálculos.
3. Evaluación de un polinomio
Supongamos que se quiere calcular el valor de un polinomio en un número. Tomemos por
ejemplo uno de grado 5,
P( x ) = a5 x 5 + a4 x 4 + a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0
Para evaluarlo, los alumnos suelen emplear la técnica de la sustitución de la variable por el
número. El problema es que ya sea a mano o empleando una calculadora se necesita realizar nada
menos que 4 potencias, 5 productos y 5 sumas. Si expresamos cada término como un producto, por
ejemplo a5 x 5 = a5 ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x , entonces serían 15 productos y 5 sumas. En cualquier caso, es un
considerable número de cálculos que lleva consigo un riesgo altísimo de equivocarse.
Pero en esta operación no todos son errores de tipo operativo. A continuación se detallan los que
se han detectado,
1. Equivocaciones en el cálculo de sumas y productos.
2. Equivocaciones en el cálculo de las potencias.
3. No relacionar la evaluación con el teorema del resto y la regla de Ruffini.
1. Equivocaciones en el cálculo de sumas y productos
Son errores de tipo operativo ocasionados por las muchas operaciones que se efectúan.
2. Equivocaciones en el cálculo de las potencias
Si el número donde se va a evaluar el polinomio es positivo, entonces el error en el cálculo de
una potencia es un error de tipo operativo.
Sin embargo si el número para evaluar es negativo, se producen equivocaciones que tienen un
origen distinto. Se deben a la no utilización de los paréntesis. Es el síntoma de que en el esquema
conceptual de algunos alumnos relativo a las potencias, no se incluye el hecho de que no es lo mismo,
por ejemplo, (−2) 4 que − 2 4 . Aquí tenemos el primer error de concepto.
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de Profesores de Matemáticas
Vol. 81
noviembre de 2012
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Errores en el producto, evaluación y gráficas de polinomios
F. Martínez de la Rosa
3. No relacionar la evaluación con el teorema del resto y la regla de Ruffini
Los errores anteriores se producen al evaluar el polinomio mediante la técnica de la sustitución
del número en la variable. Sin embargo los alumnos no se dan cuenta que el teorema del resto ofrece
una alternativa mejor que la simple sustitución,
El resto que se obtiene al dividir un polinomio P(x ) entre x − a es el valor del polinomio en el punto x = a
En definitiva, el valor buscado es el resto de una división. Pero ya que el divisor es x − a se
dispone de una herramienta muy buena para obtenerlo: la división sintética, más conocida como la
regla de Ruffini. Esta regla presenta una configuración tabular fácil de recordar y que disminuye los
cálculos (por ejemplo para un polinomio de grado 5, sólo se requieren 5 productos y 5 sumas para
evaluarlo). El problema es que los alumnos han asimilado el uso de este recurso exclusivamente para
la obtención de raíces y no para la evaluación: para eso sólo emplean la técnica de la sustitución.
La no inclusión del teorema del resto ni de la regla de Ruffini en los esquemas conceptuales
relativos a la evaluación de polinomios, es el síntoma de un claro ejemplo de error de concepto.
4. Representación gráfica de polinomios
Evidentemente, la representación gráfica completa de un polinomio no puede hacerse hasta no
disponer de los conceptos de derivada, extremo relativo y punto de inflexión. A pesar de eso, en cursos
tempranos de matemáticas se pueden realizar gráficas de polinomios con coeficientes enteros de una
forma rápida y eficaz.
A la hora de representar la gráfica de un polinomio se observa que los alumnos tienen
interiorizada una forma de hacerlo que es claramente deficiente y que tiene su origen en la forma de
representar una recta. Para ello los alumnos dan valores a la variable x, después sustituyen en la
ecuación para obtener el correspondiente valor de y, y tras obtener algunos puntos los unen y ya tienen
la gráfica.
Ocurre que esta técnica la usan para representar la gráfica de cualquier polinomio (e incluso
para no polinomios) pero lo que obtienen es una función lineal a trozos que no tiene demasiada
relación con la verdadera gráfica que se busca. Por otro lado, como dan muchos valores a la variable y
deben realizan muchas evaluaciones de polinomios (todas por sustitución), los errores de cálculo se
multiplican.
Ésta y otras carencias son los errores que se han detectado y que se exponen a continuación,
1.
2.
3.
4.
Representar los polinomios dando valores.
Desconocer el aspecto aproximado de la representación gráfica de un polinomio.
Desconocer los números candidatos a ser raíces de un polinomio.
No relacionar la multiplicidad de las raíces con los cambios de signo del polinomio.
1. Representar los polinomios dando valores
Esta práctica tan arraigada, es causa de numerosas equivocaciones. Como ya dijimos antes, su
origen está en la representación de rectas y resulta muy difícil de erradicar porque forma parte del
esquema conceptual de los alumnos en lo relativo a las gráficas. Es claramente un error de concepto,
como también lo es el hecho de que para dibujar una recta los alumnos necesiten obtener más de dos
puntos para hacerlo.
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NÚMEROS
Errores en el producto, evaluación y gráficas de polinomios
F. Martínez de la Rosa
2. Desconocer el aspecto aproximado de la representación gráfica de un polinomio
En los cursos que imparto, insisto mucho en que los alumnos tengan una noción inicial del
dibujo que debe obtenerse, sólo conociendo el grado del polinomio y el signo del coeficiente del
término de mayor grado,
a. Polinomios de grado impar
1. Los de grado uno corresponden a rectas y bastan dos puntos para dibujar su gráfica.
2. Los de grado mayor que uno corresponden a curvas que recorren el plano, desde la parte
superior derecha a la parte inferior izquierda si el coeficiente del término de mayor grado es
positivo, y desde la desde la parte inferior derecha a la parte superior izquierda si es negativo
(de forma similar a como lo hace una recta).
La figura 1 representa un polinomio de grado impar mayor que uno con el coeficiente del
término de mayor grado positivo. Negativo en el caso de la figura 2,
Figura 1
Figura 2
b. Polinomios de grado par
1. Los de grado dos corresponden a parábolas. Van hacia arriba si el signo del coeficiente de x 2
es positivo, y hacia abajo si es negativo.
2. Los de grado mayor que dos corresponden a curvas que recorren el plano, desde la parte
superior derecha a la parte superior izquierda si el coeficiente del término de mayor grado es
positivo, y desde la desde la parte inferior derecha a la parte inferior izquierda si es negativo
(de forma similar a como lo hace una parábola).
La figura 3 representa un polinomio de grado par mayor que dos con el coeficiente del término
de mayor grado positivo. Negativo en el caso de la figura 4,
Figura 3
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Figura 4
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Errores en el producto, evaluación y gráficas de polinomios
F. Martínez de la Rosa
El recurso de hacer un esbozo con una simple mirada al grado y al signo del coeficiente no suele
formar parte del esquema conceptual de los alumnos en lo relativo a las gráficas, y constituye una
deficiencia que entra en la categoría de error de concepto.
3. Desconocer los números candidatos a ser raíces de un polinomio
El siguiente paso en la realización de estas gráficas es obtener las raíces del polinomio, para
saber los puntos de corte con el eje x. Ya mencionamos antes que los alumnos tienen interiorizada la
obtención de las raíces utilizando la regla de Ruffini. El problema es que para aplicarla eficazmente
conviene saber de antemano cuáles son los números candidatos para serlo. De hecho, si alguna de las
raíces no es 0, ± 1, ± 2 , algunos alumnos piensan que el ejercicio es de una complejidad extrema.
Es muy útil conocer el criterio de localización de raíces enteras para polinomios con
coeficientes enteros,
Si un número entero es raíz de un polinomio con coeficientes enteros, entonces tiene que dividir al
término independiente.
El desconocimiento de quiénes son los candidatos a ser raíz entera provoca que el alumno
intente acertar con números al azar, causando su frustración si no las encuentra, y es el síntoma de un
claro error de concepto.
4. No relacionar la multiplicidad de las raíces con los cambios de signo del polinomio
El esbozo de la representación gráfica de un polinomio (previo al concepto de derivada) se
completa con el análisis de los cambios de signo a su paso por las raíces, único sitio por donde toca al
eje x. El polinomio debe ser positivo o negativo en cada uno de los intervalos en los que el eje x queda
dividido por ellas.
De nuevo se observa que el esquema conceptual de los alumnos, en este campo, se reduce a la
mera evaluación del polinomio en un punto de cada intervalo: algunos sustituyen el valor directamente
en el polinomio (lo que puede llegar a ser tedioso si hay que tomar valores no enteros) y otros realizan,
previamente a la sustitución, la descomposición en factores del polinomio, una técnica que facilita la
obtención del signo en cada intervalo.
En mis cursos, hago ver a los alumnos que los cambios de signo de un polinomio están
relacionados con la multiplicidad de sus raíces,
1. Si una raíz tiene multiplicidad par, el polinomio no cambia de signo al pasar por ella
(la gráfica no atraviesa el eje x por ese punto).
2. Si una raíz tiene multiplicidad impar, el polinomio cambia de signo al pasar por ella
(la gráfica atraviesa el eje x por ese punto).
Es notable la cantidad de cálculos y de errores de tipo operativo que se pueden evitar con el uso
de las técnicas adecuadas. Su desconocimiento es también un error de concepto.
La utilización de los recursos y técnicas descritos en los puntos 2, 3 y 4, permite representar
gráficas fiables de polinomios sólo con cuatro datos: el grado, el signo del coeficiente del término de
mayor grado, las raíces y su multiplicidad. Los dos primeros se conocen a simple vista. El tercero y
cuarto sólo requieren aplicar la regla de Ruffini a un número limitado de candidatos.
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NÚMEROS
Errores en el producto, evaluación y gráficas de polinomios
F. Martínez de la Rosa
Por ejemplo, el esbozo de la gráfica del polinomio ( x + 1) 3 ( x − 1)( x − 2) 2 debería ser
automático. En una etapa inicial obtener como resultado, sin necesidad de cálculo alguno, la figura 5
sería la demostración de que los alumnos van asimilando la materia.
1
-1
2
1
-1
Figura 5
2
Figura 6
Un salto cualitativo en la ejecución de una gráfica lo constituye la figura 6. En ese dibujo se
muestran, además de los cambios de signo, las tres maneras que tiene un polinomio de pasar por sus
raíces,
1. El eje x puede ser una recta secante al polinomio en ese punto (es el caso de raíces
simples como x=1).
2. El eje x puede ser tangente al polinomio de dos maneras posibles,
- el polinomio no atraviesa el eje x (es el caso de raíces dobles como x=2, o de otras de
multiplicidad par)
- el polinomio sí atraviesa el eje x (es el caso de raíces triples como x=-1, o de otras de
multiplicidad impar)
Aunque el concepto de recta tangente lleva a un escenario que no es el objetivo de este artículo,
diremos que la multiplicidad de las raíces ofrece la posibilidad, previa al concepto de derivada, de
realizar una interesante exploración didáctica acerca del tipo de contacto que se produce entre un
polinomio y el eje x, y que añade calidad a la gráfica.
El concepto de tangencia y los esquemas conceptuales erróneos que los alumnos tienen de la
misma (por ejemplo que una tangente no puede atravesar una curva en el punto de tangencia) se
analizan con profundidad en [Martínez, 2009]).
5. Resumen final
Curso tras curso hemos observado que los alumnos cometen una serie de errores relacionados
con el producto, la evaluación y la representación gráfica de polinomios previa al concepto de
derivada, que pueden ser de tipo operativo o de concepto.
En el caso del producto se han detectado tres errores operativos, y se ofrece un método que
erradica uno de ellos y minimiza los otros dos.
En el caso de la evaluación aparecen errores de concepto como el olvido del uso del paréntesis
en el cálculo de potencias de números negativos y la no aplicación del teorema del resto ni la regla de
Ruffini.
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Errores en el producto, evaluación y gráficas de polinomios
F. Martínez de la Rosa
En el caso de las gráficas, los errores de concepto consisten en no saber de antemano el aspecto
aproximado de la gráfica de un polinomio, quiénes son los candidatos para ser raíces enteras y no usar
su multiplicidad para conocer los cambios de signo.
Todos ellos los intentamos solucionar aplicando las técnicas relatadas en este artículo. Sin
embargo hay prácticas extremadamente implantadas o interiorizadas en las mentes de los alumnos, que
forman parte de sus esquemas conceptuales, y que son muy difíciles de sustituir por otras más
convenientes. Los profesores hemos de insistir en prevenir los errores de tipo operativo pero sin
descuidar la introducción adecuada de los conceptos y de algunos resultados relacionados con ellos
que, además de redundar en un mejor entendimiento de la materia ahorran cálculos y equivocaciones
innecesarias.
Bibliografía
Martínez de la Rosa, F. (2006). ¿Teoremas o fórmulas? Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje
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Martínez de la Rosa, F. (2009). La recta tangente: notas históricas y actividades para el aula. Suma:
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O’Neil, M. C. (2006). Multipying polynomials. Mathematics Teacher, 99(7), 508-509.
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Tall, D.; Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular
reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics Education, 12, 151-169.
Félix Martínez de la Rosa. Catedrático de E. U. de Matemática aplicada en la Facultad de CC. EE. y
Empresariales de la Universidad de Cádiz. Investigaciones en educación matemática sobre las funciones
reales de una y dos variables, sobre la visualización y sobre la detección de errores de aprendizaje.
Email: felix.martinez@uca.
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NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, páginas 33-41
Una experiencia de aula usando Matemáticas en la Publicidad
Danilo Díaz Levicoy (Colegio Proyección Siglo XXI. Chile)
Fecha de recepción: 20 de enero de 2012
Fecha de aceptación: 27 de agosto de 2012
Resumen
La matemática es una de las ciencias que presta ayuda al bienestar del hombre y de la
sociedad. En este ámbito, la publicidad se ve enormemente beneficiada, pues una gran
parte de los anuncios que se muestra en los medios de comunicación hacen clara
referencia a descuentos, operaciones aritméticas e incluso a contenidos matemáticos no
tan comunes. Este artículo muestra las producciones de alumnos del Colegio Proyección
Siglo XXI de Osorno – Chile, relativas a la creación de publicidad con diferentes
propósitos y utilizando contenidos matemáticos de su elección. Como resultado de la
experiencia, se logró que los alumnos desarrollen y potencien habilidades extra
matemáticas, las apliquen y se destaquen entre sus pares.
Palabras clave
Matemática, Publicidad, Experiencia de Aula, Creaciones Estudiantiles, Secundaria
Abstract
Mathematics is one of the sciences that provide assistance to the welfare of men and
society. Within this field, advertising has been greatly benefitted since a large number of
announcements shown on the different means of communication make clear reference to
discounts, arithmetic operations and even to not very common mathematic contents. This
article shows the outputs of students from Colegio Proyección Siglo XXI de Osorno –
Chile, related to the creation of advertising with different purposes, and using
mathematic contents of their election. As result of the experience, the students were able
to develop and foster extra-mathematic skills, to apply such skills and to excel among
their peers.
Keywords
Mathematics, Advertising, Classroom experience, Students’ works, Highschool.
1. Introducción
En muchas oportunidades, los estudiantes de diferentes niveles, preguntan ¿para qué enseñan
esto?, ¿para qué sirve?, ¿dónde lo aplicamos? Frente a esta realidad, ha surgido la idea-propuesta de
unir, mediante creaciones estudiantiles, la matemática y la publicidad, con el fin de buscar una
aplicación concreta de los diferentes contenidos de la matemática en secundaria y el desarrollo de
habilidades no matemáticas en los estudiantes del Colegio proyección Siglo XXI de la comuna de
Osorno, Región de Los Lagos, Chile. Son estas creaciones, las que se presentan a continuación.
Esta experiencia de aula ha nacido de una preocupación por las dificultades en el proceso de
enseñanza y aprendizaje de la matemática, que señala Díaz (2009):
• Rechazo a la asignatura de matemática y negativa a su estudio
• Bajos resultados en evaluaciones
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Una experiencia de aula usando Matemáticas en la Publicidad
D. Díaz Levicoy
• Dependencia de la “formula”
• Falta de una base matemática sólida
• Ausencia de contextos, diferentes del matemático, para abordar los contenidos de
secundaria nacional.
Como resultado de las consideraciones anteriores, se plantea la idea de solicitar a los estudiantes
de secundaria del Colegio Proyección Siglo XXI de Osorno – Chile la creación de un afiche
publicitario con el lema “Chile ayuda a Chile”, tras el trágico terremoto y tsunami que afectó a un
número importante de compatriotas el 27 de febrero del 2010, y con el lema “Chile, un solo corazón”
de la Teletón del mismo año, una de las instancias solidaria más importante que nos une como país.
La realización de esta experiencia es de vital importancia, debido a que contribuye
significativamente al desarrollo de otras habilidades –no matemáticas– en los estudiantes y permite ver
una aplicación concreta de la matemática. Además, de contribuir a la formación de valores y fomentar
la participación ciudadana.
2. Matemática Contextualizada
La escuela debe proporcionar instancias para que los estudiantes comprendan la utilidad de la
matemática en diferentes contextos, es decir, mostrar al hombre haciendo y usando matemática en un
determinado contexto y no sólo la producción matemática final que logra, sino también del mundo de
las ciencias naturales, sociales, del arte y la tecnología (Guimarães, 2009; Buendía, 2009; Mineduc,
2009). Además, según los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la
Propuesta Ajuste Curricular (Mineduc, 2009) el propósito formativo de la Matemática Escolar es:
“Aprender matemática proporciona herramientas conceptuales para analizar
la información cuantitativa presente en las noticias, opiniones, publicidad y
diversos textos, aportando al desarrollo de las capacidades de comunicación,
razonamiento y abstracción e impulsando el desarrollo del pensamiento
intuitivo y la reflexión sistemática”.
2.1. Matemática y Publicidad
La palabra “publicidad” surge del término latino publicus, que significa “público, oficial”. A
pesar de que no existe un consenso sobre la definición de publicidad en el ámbito de las
comunicaciones (Méndiz, 2007), se entiende como un género discursivo desarrollado en la sociedad
de consumo, de carácter argumentativo (persuadir, convencer), con el fin de influir en los demás,
utilizado para dar a conocer bienes o servicios, generalmente a través de los medios de comunicación
masivos.
Según Méndiz (2007), existe un tipo de comunicación que es subjetiva e interesada, con la
finalidad de persuasiva, con un fin comercial (publicidad) y con un fin ideológico (propaganda).
La publicidad en diferentes ocasiones hace alusión a la matemática, ya sea, para reforzar una
idea o para darle mayor precisión a la información que desea entregar. Aunque muchas veces se hace
de forma absurda y errónea, salvo excepciones, (Muñoz, 2005; Díaz, 2009; Díaz, 2010a; Díaz, 2010b),
por lo que se hace difícil utilizarla como material didáctico, a no ser que se haga para evidenciar los
errores que se cometen.
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Un ejemplo claro de estos errores, es una publicidad del día 21 de diciembre del 2008 en el
diario de circulación nacional Las Ultimas Noticias (Figura 1), donde se promociona un plan de
telefonía móvil y lo hace asociando la oferta a una potencia de exponente tres, a multiplicar tres veces
el número, y no a triplicar una cifra, que es a lo que realmente apunta la publicidad. Lo que se puede
justificar por un sentido estético o visual, pero que no corresponde a una adecuada utilización de los
contenidos matemáticos.
Figura 1. Publicidad con error matemático.
3. Descripción de la Experiencia
La experiencia de aula se desarrolló en el Colegio Proyección Siglo XXI de la comuna de
Osorno, provincia de Osorno, en la décima región de Los Lagos, Chile. Colegio particular
subvencionado de modalidad Científico-Humanista, que cuenta con una matrícula de 244 estudiantes
distribuidos en los niveles de pre-básica, básica (primaria) y media (secundaria). El grupo de alumnos
que formó parte de esta experiencia estuvo constituido por 34 personas, entre alumnas y alumnos del
primer (20 alumnos) y segundo (14 alumnos) año medio del colegio antes mencionado, quienes tenían
una edad promedio de 15 años.
El desarrollo de esta experiencia se dividió en dos etapas, la primera, con alumnos de segundo
año de secundaria, donde crearon un afiche publicitario con el lema “Chile ayuda a Chile”, con el
propósito de colaborar con las familias chilenas afectas con el terremoto y posterior tsunami que dañó
a varias localidades del centro–sur de Chile en febrero de 2010, y con un contenido matemático de su
elección. La segunda, con alumnos de primer año de secundaria, se basó en la utilización de un
contenido matemático de su elección visto durante el año académico 2010 y con el slogan “Chile, un
solo corazón” de la Teletón, que es un evento benéfico televisivo desarrollado desde 1978 para ayudar
a la construcción y mantención de los Institutos de Rehabilitación Infantil para el tratamiento de niños
y jóvenes con discapacidades motrices, transformándose en la fiesta solidaria más grande de Chile.
Para la evaluación de la experiencia, las y los estudiantes presentaron al profesor de matemática,
un avance voluntario dos semanas antes de la entrega final, para sugerir modificaciones, si fuera
necesario. Luego, para la evaluación final, se presenta ante el grupo-curso y el profesor, cada una de
las creaciones de los estudiantes, mostrando y justificando la elección del contenido matemático, curso
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al que pertenece, su pertinencia y el contexto en el que se desarrolla. Además, se generó el espacio
para una retroalimentación.
4. Resultados
4.1. Producciones de alumnos de segundo año medio
Creación 2º-1
En esta publicidad el autor utiliza el contenido de porcentajes, señalando que si una persona
hace una compra, la empresa hará una donación del 25% para la construcción de viviendas en las
localidades más afectadas por el terremoto y tsunami, Duao e Iloca. Además, hace alusión a “Super
Zafrada”, Víctor Díaz (9 años), un niño que se hizo conocido a nivel nacional por relatar cómo vivió el
terremoto, y que en una de las entrevistas dadas a la televisión dijo “… hacen falta zafradas…”, para
indicar que les faltaban frazadas (Figura 2).
Figura 2. Publicidad creada por estudiante con el contenido de Porcentajes.
Creación 2º-2
Con una secuencia de rotaciones, se muestran los cambios sufridos por el país tras el terremoto,
y explica que sólo con la ayuda de las personas el país volverá a ser el mismo. Además, se muestra un
hombre con una bandera destruida, haciendo alusión a Bruno Sandoval, “el Hombre Bandera”,
persona que encontró y levantó una bandera de Chile, ajada y sucia entre los escombros en la localidad
costera de Pelluhue, convirtiéndose en unos de los personajes más representativos del espíritu de
superación de la catástrofe vivida, al dar la señal de esperanza y que es posible la reconstrucción del
país (Figura 3).
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Figura 3. Publicidad creada por estudiante con el tema de la transformación isométrica de rotación.
Creación 2º-3
Mediante una ruleta, el alumno explica que por compras superiores a $20.000 en un
supermercado, los clientes tienen la posibilidad de girar una ruleta que indica las donaciones que va a
efectuar la empresa a las familias damnificadas por el terremoto, entre las que se encuentran frazadas,
materiales de construcción, canastos de alimentos o un porcentaje de la compra efectuada (10 o 20%).
Además, indica que el contenido que aplica son los de probabilidad y su escritura en forma porcentual
(Figura 4).
Figura 4. Publicidad creada por estudiante con el contenido de Probabilidades.
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Creación 2º-4
En esta publicidad se utiliza el tema de ubicación de puntos en el plano cartesiano, donde cada
uno de ellos representa productos de fabricación propia del supermercado y que al ser comprados se
estará ayudando a la donación de viviendas de emergencias a las familias damnificadas por el
terremoto y/o tsunami. Esta idea queda reflejada en la publicidad mediante la unión de los puntos,
donde se forma una casa (Figura 5).
Figura 5. Publicidad creada por estudiante con el contenido de ubicación de puntos en el plano cartesiano.
4.2. Producciones de alumnos de primer año medio
Creación 1º-1
En esta publicidad, el estudiante usa el contenido de conjuntos numéricos, específicamente la
característica de los números irracionales de tener infinitos números en su escritura decimal con la
gran cantidad de niños y jóvenes que son ayudados por la Teletón, y dependen de la solidaridad de los
chilenos. Para ello, el creador de la publicidad indica: “…el número π es un irracional con infinitos
dígitos, y que los niños de la Teletón son muchos y necesitan de la ayuda de todos los chilenos…”
(Figura 6).
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Figura 6. Publicidad creada por estudiante con el tema de Números Irracionales
Creación 1º-2
En la publicidad que se presenta a continuación, el estudiante utiliza la ubicación cartesiana de
un punto para formar el lema de la Teletón 2010 “Chile un solo corazón”, este tópico que es abordado
en la unidad de transformaciones isométricas (Figura 7).
Figura 7. Publicidad creada por estudiante mediante ubicación de puntos en el plano cartesiano
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Creación 1º-3
En esta creación el estudiante parte de expresiones algebraicas fraccionarias y mediante la
factorización, potencias y simplificación forma la palabra Teletón. Además, con la resolución de
ecuaciones de primer grado encuentra un valor para cada letra de la palabra Chile (Figura 8).
Figura 8. Publicidad creada por estudiante usando álgebra y potencias.
5. Conclusiones
Con el desarrollo de esta experiencia se ha logrado que los estudiantes comprendan el potencial
y aplicabilidad de la matemática en diferentes contextos, es decir, que vean la matemática como una
disciplina cercana y con diferentes aplicaciones. Además, que los alumnos hagan uso concreto de
contenidos matemáticos trabajados en un contexto específico y con un objetivo claro. Por otro lado, da
lugar a recordar y reforzar algunos temas del currículo de secundaria en educación matemática chilena
y potencia el desarrollo de la creatividad y otras habilidades extra-matemáticas.
Sin duda, que esta experiencia permite comprobar que unir la matemática con la publicidad es
un tema interesante, pero a su vez desafiante, pues implica un dominio de temas matemáticos y utilizar
la creatividad para unir de manera armónica y coherente en una situación que no se produce en un
contexto común.
La principal dificultad detectada durante el desarrollo de la actividad es el incumplimiento de
los alumnos en la entrega de sus avances, pues en esta instancia se podía orientar y sugerir mejoras en
la producción de cada publicidad, oportunidad que algunos estudiantes no aprovecharon.
Los desafíos que plantea esta experiencia son relativos a replicar en otros niveles educaciones y
con otros objetivos, a estudiar cómo un uso adecuado de publicidad con matemática, creada o
existente, motiva o favorece el aprendizaje de la matemática, y si es posible la creación de una línea de
experimentación e investigación sobre la Matemática y Publicidad.
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Bibliografía
Buendía, G. (2009) Construcción Social del Conocimiento Matemático: Generando Epistemología de
Prácticas. Acta VI Congreso Iberoamericano de Educación Matemática. 721–726
Díaz, D. (2009). La Matemática en los Medios de Comunicación. Acta LXXIX Encuentro Anual de la
Sociedad de Matemática de Chile, pp 89
Díaz, D. (2010a). Matemática, ¿Dónde estás? Acta Resúmenes III Congreso Nacional de Estudiantes
de Pedagogía en Matemática, pp 14
Díaz, D. (2010b). Matemática y Publicidad. Resúmenes Tercera Jornada Nacional de Estudio de
Clases y Primer Seminario Regional de Formación de Profesores de Matemática. Innovaciones en
la Enseñanza Aprendizaje de la Matemática. Universidad Católica del Maule, Talca, Chile
Guimarães, H. (2009) O novo programa de Matemática para o Ensino Básico de Portugal-propostas e
perspectivas. Acta VI Congreso Iberoamericano de Educación Matemática. 106–111
Méndiz, A. (2007) Diferencias conceptuales entre publicidad y propaganda: una aproximación
etimológica. Questiones Publicitarias, 12(1), 43-61.
Sin Autor. (2008). Diario Las Últimas Noticias [en línea]. Página 17. Recuperado el 21 de diciembre
de 2008, de http://www.lun.com/default.aspx?dt=2008-12-21
Danilo Díaz Levicoy, Profesor del Colegio Proyección Siglo XXI, Osorno. Nació el 19 de Junio de 1986
en Castro, Provincia de Chiloé, Chile. Profesor de Educación Media, Mención Matemática y
Computación (Universidad de Los Lagos). Licenciado en Educación (Universidad de Los Lagos).
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, páginas 43-59
Relojes de sol públicos de Canarias
Luis Miguel Ramírez Castro (Instituto de Enseñanza Secundaria Realejos. España)
Juana Rosa Reyes Rodríguez (Instituto de Enseñanza Secundaria Puerto del Carmen. España)
Palabras clave
Reloj de sol, cuadrante solar, gnomónica, marcadores horarios, señas horarias.
Abstract
Despite being touted for years as a sunny destination, the existence of sundials in the
Canaries is less than what might be expected. Currently the oldest clock was made at the
eighteenth century, while most of the twentieth century are existing. There are also socalled Canary "hour-markers" or "signing time". The development of a sundial is a
project from the classroom, a job that requires multi-trans-inter-disciplinary knowledges.
Keywords
Sundial, gnomonic, hour marker, signing time.
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A pesar de haberse promocionado durante años como un destino de sol, la existencia de
relojes de sol en Canarias es menor de lo que podría esperarse. Actualmente el reloj más
antiguo data del siglo XVIII, mientras que la mayoría de los existentes son del siglo XX.
Existen también en Canarias los denominados “marcadores horarios” o “señas horarias”.
La elaboración de un reloj de sol es un proyecto que, desde las aulas, requiere de un
trabajo multi-trans-inter-disciplinar.
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Resumen
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Este artículo no pretende ser un catálogo exhaustivo de los existentes en Canarias, ni un tratado
sobre las técnicas de diseño y construcción; simplemente pretende ser un elemento que permita iniciar
un acercamiento a los mismos.
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Las preguntas que surgen entonces son: ¿cómo es posible que
en Canarias con la cantidad de horas de sol que tenemos, no exista un
mayor número de relojes de sol? ¿Existieron en otra época un mayor
número de ellos? ¿Siguen siendo útiles? ¿Deben ser tratados como decoración, como mobiliario
urbano, o como parte de nuestro patrimonio? ¿Dónde están y cómo son? ¿Qué aspectos didácticos
podemos utilizar de ellos?
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Cuando se pregunta por la existencia de algún reloj de sol en alguna localidad de Canarias, lo
más habitual es obtener como respuesta: el silencio, la duda, una negativa, o directamente una
respuesta errónea (se refieren a un reloj “de flores”, a uno “de arena”, etc.). Más preocupante es
cuando este tipo de respuesta viene de algún Ayuntamiento, en cuyo
municipio sí que existe alguno. Cuando las respuestas son afirmativas,
en la mayoría de estos casos el objeto en cuestión es algo parecido al
que aquí se muestra: un reloj de cerámica, fabricado para una latitud
distinta de la del lugar donde se encuentra ubicado, y colocado en una
pared, mejor o peor orientada (en ocasiones el gnomon tampoco está
correctamente colocado)
Coordinador: Luis Balbuena Castellano
1. Introducción
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Los autores agradecerían cuanta información relacionada con alguno de los aspectos tratados, o
“pendientes”, en el presente artículo pudiesen aportar los lectores.
2. ¿Qué entendemos por un reloj de sol público?
El diccionario de la Real Academia define un reloj de sol como un:
Para la realización de este trabajo se han estudiado únicamente los relojes de sol públicos de
Canarias. Entendiendo por públicos aquellos de propiedad pública (Iglesia o Ayuntamientos), o bien
de utilidad pública (expuestos a plazas o calles); solo en contadas excepciones se han considerado
algunos de tipo privado (aquellos que reúnen condiciones de interés: antigüedad, diseño, etc.).
Eliminándose así muchos de los relojes de cerámica que decoran patios, balcones, jardines, y hasta
incluso salones.
Si tuviésemos que dar en pocas palabras las características de los relojes de sol públicos de
Canarias, podrían ser “monumentales, escultóricos y recientes”.
• Monumentales, porque en ocasiones ocupan buena parte de plazas o fachadas, cuando no son
realmente la plaza o la fachada
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3. Características generales
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”artificio ideado para señalar las diversas horas del día por medio de la
variable iluminación de un cuerpo expuesto al sol, o por medio de la sombra
que un gnomon o estilo arroja sobre una superficie, o con auxilio de un
simple rayo de luz, ya directo, ya reflejado o refracto, proyectado sobre
aquella superficie.”
• Escultóricos: porque en ocasiones podrían entrar en la categoría de esculturas, si no
conociésemos su utilidad
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• Recientes: porque, salvo raras excepciones, la mayor parte de ellos datan de la segunda
mitad del siglo XX
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4. Distribución geográfica
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No es posible representar, de manera precisa en un mapa, la distribución y número de los relojes
de sol públicos de Canarias, principalmente por la facilidad con la que puede aparecer o desaparecer
un ejemplar. Pero de forma general podríamos decir que es:
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Donde se ha indicado con color verde el número de ejemplares que se consideran en buen
estado, en amarillo los que se encuentran en mal estado de conservación, en rojo aquellos colocados
fuera de su ubicación original, y en negro aquellos de los que se tiene constancia que están
desaparecidos. Por último, la interrogación se deja para indicar que existe un número indeterminado,
bien por desconocimiento, o bien por tratarse de piezas sin interés (“cerámicas clónicas”) que no se
encuentran incluidas en el presente trabajo.
A la vista de la representación, una de las preguntas que surgen es: ¿Cómo es posible que no
existan más con la de horas de sol que tenemos?
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5. Posibles razones para su existencia, y desaparición
En el caso de Canarias, a diferencia de otros lugares de España o Europa, convergen varios
factores que pueden ser determinantes a la hora de explicar el número de relojes.
No debemos olvidar que, para cuando concluye la conquista de Canarias, ya existían los relojes
mecánicos, con mejor o peor funcionamiento. Se da la circunstancia de que, a pesar de la aparición de
los relojes mecánicos, los de sol no desaparecieron al momento, ya que siguieron siendo necesarios
para “componer” a los mecánicos cada vez que se paraban o rompían. La única prueba de ello que
existe en Canarias, que conozcamos, se encuentra en el municipio de Garachico, en la isla de Tenerife.
Donde junto al antiguo reloj mecánico (1861) de la iglesia de Santa Ana, se encontró un documento
(1883) que indicaba cómo “ajustar” la hora del reloj por la hora solar.
Aparte de la lógica función de regir la vida diaria en la ciudad, se han encontrado ciertas
relaciones con la disposición de las horas de riego. Ejemplos de esto pudieran ser los relojes de La
Frontera (El Hierro) y en cierta forma el de Arucas (Gran Canaria).
Sin embargo, a pesar de la existencia hoy en día de los relojes mecánicos y digitales, hay
espacios y ocasiones donde siguen prestando su servicio, probablemente avalados por su carácter de
durabilidad y resistencia a la intemperie, como son los casos del reloj privado de Bajamar (Tenerife), y
el de Puerto Naos (La Palma)
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5.1. Funcionalidad y necesidad
Otro bloque lo forman todas aquellas iniciativas de “decoración” que han visto al reloj de sol
como un elemento a tal efecto, en ocasiones mejor o peor instalado.
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El último bloque lo forman los relojes creados al amparo del potencial didáctico que poseen.
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5.2. “Titularidad” de la isla durante la conquista
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Destaca lo que aparece en el “Gran Libro de Provisiones y Reales Cédulas” de Gran Canaria a
fecha 20 de diciembre de 1494: “Otrosí ordenamos, é mandamos, que haya reloz, e Hospital e
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Dado que las islas durante la conquista se clasificaron en “de realengo, o de señorío”, es
probable que el interés de los conquistadores en cuanto a dotar de servicios a las islas fuese diferente
una vez concluido el proceso. Así por ejemplo, en las islas de realengo, encontramos que:
carnicería e matadero de las carnes fuera de la Villa”.
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En el caso de Tenerife, la primera referencia a un reloj se encuentra en los acuerdos del
Cabildo del día 19 de octubre de 1529, donde se establece un sueldo para un relojero.
En la isla de La Palma, la primera referencia a un reloj aparece el 3 de noviembre de 1559,
donde se dispone la compra de uno nuevo. En documentación posterior se dice que el reloj al
que vino a sustituir era de sol, si bien este dato no ha sido posible comprobarlo.
5.3. Donaciones
Pese a lo anterior, la aparición de algunos de los relojes de sol más antiguos, pudieran estar
relacionados con donaciones a la Iglesia: es el caso del reloj de Tinajo (Lanzarote) y alguno de los
desaparecidos en La Palma. La donación bien pudiese ser como agradecimiento, o como signo para
“ganar valor” ante la sociedad.
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5.4. Durabilidad de los materiales
Dado que la mayoría de los relojes de sol antiguos fueron fabricados sobre madera pintada,
obviamente a la intemperie, no es de extrañar que el propio paso del tiempo fuese debilitando su
“estructura” hasta hacerlos desaparecer en ocasiones ayudados por alguna tormenta o viento, que
terminó de arrancarlos de la fachada en que se encontraban, para romperlos contra el suelo.
5.5. Robos, saqueos y vandalismo
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No es difícil pensar que, de existir relojes públicos en las antiguas capitales canarias, y de ser
éstas objetos de saqueo, los mismos pudieron ser destruidos en caso de incendiarse el edificio o
estructura que los albergaba. El citado documento de La Palma, especifica refiriéndose al primer reloj:
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Robos y “saqueos” más recientes son los que han hecho desaparecer por ejemplo el reloj que
existió en la plaza del municipio de Vilaflor (Tenerife), o el de Vallehermoso (La Gomera). Hechos
estos ocurridos en la última parte del siglo XX.
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en clara referencia al ataque sufrido por la ciudad el día 21 de julio de 1553.
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“…por haber quemado los franceses el que existía”
Está también la vertiente del vandalismo, probablemente derivada de que: “lo que no se conoce
no se valora”, o bien por el valor material de algunos componentes del reloj (generalmente bronce).
Dos ejemplos son el reloj de Tazacorte (La Palma) y el de San Sebastián de La Gomera.
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5.6. Interés por la conservación
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Entrado el siglo XIX, cuando los relojes de sol dejaron de ser útiles y funcionales, o bien su
estado de conservación comenzó a ser malo, es muy probable que fuesen retirados de las fachadas que
ocupaban, y nunca más colocados. Desgraciadamente, la mayor parte de este tipo de desapariciones
tuvo lugar en la segunda mitad del siglo XX. Por desgracia una vez retirados, muchos de ellos han sido
destruidos, por lo que son irrecuperables, al menos en su forma original.
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Más graves son los casos en los que detrás de la desaparición se encuentra algún organismo
público titular del reloj. Como ha sido el caso del Ayuntamiento de Las Palmas de Gran Canaria, con
el reloj del parque Hermanos Millares, o el Museo de la Ciencia y el Cosmos en la ciudad de San
Cristóbal de La Laguna (Tenerife)
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Afortunadamente, el caso contrario se ha dado durante el verano de 2012, cuando el
Ayuntamiento de Santa Cruz de La Palma, con el asesoramiento de los profesores Luis Balbuena
Castellano y Luis Ramírez Castro, ha repuesto tres réplicas de sendos relojes desaparecidos.
Los relojes de sol más antiguos de Canarias se encuentran en la El Santuario de Nuestra Señora
de Las Nieves (Santa Cruz de la Palma) (en el momento en que se escribe este artículo, está en proceso
de restauración y conservación), y en la Iglesia de San Roque (Tinajo - Lanzarote). Datando
respectivamente de 1740 y 1851
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6. Los más antiguos que aún se conservan
Sigue siendo el de La Palma, aún un misterio: su autor y la razón de su existencia; mientras que
en el caso de Lanzarote, tanto su autor como su carácter de donación está perfectamente documentado.
Se tienen constancia de otros que existieron a finales del siglo XVIII y XIX, pero que
desgraciadamente no han llegado hasta hoy.
7. Los más representativos
Sin pretender hacer un catálogo exhaustivo de todos los existentes, se podrían destacar los
siguientes como imprescindibles en una primera aproximación. Se puede obtener una información más
completa solicitando la exposición “Relojes de sol de Canarias” a la Sociedad de Profesores de
Matemáticas Isaac Newton.
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7.1. Lanzarote
Destaca el reloj que se encuentra en la Iglesia de San Roque, en el municipio de Tinajo.
Probablemente se trata de una donación realizada por un marinero “F, R. Fernández” allá por 1850. Es
un reloj en madera, con marcas horarias de precisión 15 minutos y que indica la hora solar local. A lo
largo de su existencia ha sido retirado, desparecido, recuperado y restaurado en varias ocasiones. Su
antigüedad e interés bien merecerían su declaración como bien de interés cultural.
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Otro reloj que bien merece una visita es el que se encuentra en Puerto Calero, en el municipio
de Tías. Se trata de una donación de D. Hermann Weisweiler en el año 1991. Destacan sus citas en
alemán, inglés, francés, español, latín y griego. Indica el tiempo medio civil, y se le ha puesto una
doble numeración para poder ser usado tanto en horario de invierno como de verano. Lástima que su
ubicación entre dos árboles haya privado al mismo de la luz que necesita para funcionar.
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7.2. Fuerteventura
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Prácticamente señalar el ejemplar que se encuentra en Puerto del Rosario, en la conocida como
“rotonda del cementerio”. Obra de D. Javier Camarazas, en 1995, se trata de uno de esos relojes que
podríamos llamar escultóricos-monumentales, por sus dimensiones. Destaca además por poseer un
mástil con piezas aeromóviles. Indica la hora solar local.
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7.3. El Hierro
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Lamentablemente es la única isla en la que no se ha podido constatar la existencia de un reloj
solar público. Existen algunos ejemplares, privados, entre los que cabe destacar el que perteneció al
Pozo de Agua Nueva en Frontera; ejemplar que actualmente se encuentra en los fondos del Cabildo en
Valverde. Su interés radica en que su construcción y funcionalidad estuvo ligada probablemente a los
turnos/usos des agua. El una lástima que la llamada “isla del meridiano” no haya encontrado lugar o
motivo necesario para colocar uno de estos ejemplares.
Situado en la entrada de la “Playa de la Cueva” en San Sebastián de La Gomera, se trata de un
ejemplar diseñado por D. Rafael Soler (probablemente la máxima autoridad en gnomónica de España),
en 1996. Se trata de un ejemplar escultórico-monumental, del que se puede extraer muchísima
información: hora solar local, tiempo medio civil, calendario, y la hora de salida y puesta del sol; lo
que lo hace de difícil lectura. Por su ubicación, y materiales ha sido recientemente fruto de robos y
actos vandálicos. Si bien no se trata de una obra original, bien merece una mejor conservación por su
precisión y complejidad.
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7.4. La Gomera
7.5. La Palma
En la Iglesia Parroquial de Nuestra Señora de Las Nieves (Santa
Cruz de la Palma), se encuentra el ejemplar más antiguo de Canarias, que
data de 1740. En realidad se trataba de un ejemplar de “doble cara” del
que hoy sólo se conserva una de ellas; situado en un lateral del Santuario,
su origen sigue siendo hoy un misterio. Indica la hora solar local con una
precisión de media hora. Por su antigüedad e interés, debería ser
catalogado como bien de interés cultural, y tomar las medidas oportunas
para evitar su desaparición.
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Relojes de sol públicos de Canarias
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Desde el verano de 2012, es posible contemplar dos réplicas de los citados cuadrantes, que el
Ayuntamiento de Santa Cruz de la Palma, con el asesoramiento de los profesores Luis Balbuena
Castellano y Luis Ramírez Castro, ha procedido a colocar para evitar la continuidad del proceso de
deterioro al que estaba sometido el ejemplar que ha llegado hasta nuestros días.
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En el mismo proceso de recuperación patrimonial, se ha colocado una réplica del cuadrante que
existió en la Parroquia del San Francisco de la misma capital (Santa Cruz de La Palma). El reloj
original databa de comienzos del S XVIII
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El otro ejemplar que merece la pena visitar es el que se encuentra en Puerto Naos, el municipio
de Los Llanos de Aridane. Se trata de un reloj particular de uso público que da a la playa. Su interés
radica por su sencillez en la construcción (el puntero es el “tubo de desagüe de una terraza”), y se
encuentra pintado directamente sobre la fachada. Su propietario y autor D. Conrado Hernández, lo
ideó como medio para “notificar” la hora a sus hijos, mientras estos se encontraban en la playa. Por
esta razón marca la hora civil media.
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Antes de abandonar la isla, y si para entonces no ha llegado a desaparecer, merece la pena
visitar el que se encuentra en el paseo marítimo del puerto de Tazacorte. Obra también de D. Rafael
Soler (2001). Se trata de un ejemplar escultórico-monumental, del que se puede extraer muchísima
información: hora solar local, tiempo medio civil, calendario. Por su ubicación y el valor de los
materiales de que está hecho ha sido recientemente fruto de robos y actos vandálicos. Si bien no se
trata de una obra original, bien merece una mejor conservación por su precisión y complejidad.
Destaca por sus grandes dimensiones el que se encuentra en San Agustín, en el municipio de
San Bartolomé de Tirajana, hasta el punto que podría decirse que es la plaza la que se encuentra en el
interior del reloj, y no al contrario. Diseñado por Rune Hannäs en 1973, marca la hora solar local.
Destaca su óptimo estado de conservación, tanto del reloj como de su entorno.
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7.6. Gran Canaria
Merece la pena destacar también el ejemplar que se encuentra frente a la puerta principal del
Museo Elder de la Ciencia y la Tecnología (Las Palmas de Gran Canaria), donado al museo en el año
2000. Diseñado por D. Pedro Romera, y Dña. Ángela Ruiz, se trata de otro ejemplar escultóricomonumental. Destaca por dos razones: es el único ejemplar que, además de la sombra, utiliza un haz
de luz para indicar la hora; y en segundo lugar por su diseño podría decirse que estamos frente a una
pieza de “aceroflexia” gigante. Indica la hora solar local. Por su cercanía al mar y los materiales de
construcción, se hace necesario una mejor y mayor labor de mantenimiento.
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7.7. Tenerife
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Uno de los más precisos y mejor conservados se encuentra en el Observatorio Astrofísico de
Izaña. En realidad se trata de un reloj de cuadrante doble, diseñado por D. Mario Salomone a finales
de los 80 (del siglo XX) y colocado en 1994. Indica la hora solar local mediante analemas horarias, y
la declinación solar para una serie de días concretos. Sus materiales y las extremas condiciones
ambientales a las que se encuentra expuesto hacen que merezca un especial cuidado en su
mantenimiento.
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Hay que destacar también el ejemplar que se encuentra en el IES Viera y Clavijo, en el
municipio de San Cristóbal de La Laguna. Se trata de un reloj analemático, y por lo tanto tiene como
característica el carecer de puntero (gnomon), debiendo ser la persona que desea conocer la hora quien
deba colocarse en un lugar concreto, según la fecha, para, con su sombra, poder leer la hora. Indica la
hora solar local. Diseñado por profesores y alumnos del centro en 1996, el reloj se encuentra incluido
en una plaza decorada con cerámica con motivos canarios.
Relojes de sol públicos de Canarias
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8. Marcadores horarios, o señas horarias
Aunque no pueden considerarse relojes de sol como tales, si aplicamos la definición estricta de
la palabra, debemos incluir en un estudio de estas características lo que podríamos llamar “marcadores
horarios” o “señas horarias”; este concepto se podría definir como:
Se trata de un elemento común a varios colectivos y pueblos, especialmente aquellos con una
fuerte dedicación a actividades relacionadas con el entorno, como pueden ser el pastoreo o la
agricultura. En ocasiones estos elementos son “fáciles” de encontrar ya que su propia toponímica los
delata “Cueva del mediodía (La Aldea de San Nicolás-Gran Canaria”, “Cueva de las horas
(Valsequilo-Gran Canaria)”, “Solapón del mediodía (San Agaete-Gran Canaria)”, etc.
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”sistema ideado para señalar alguna hora (por lo general el mediodía), o
diversas horas del día por medio de la variable iluminación del sol sobre un
elemento del paisaje.”
En otras ocasiones, se trata de elementos cuya existencia se transmite mediante la tradición oral.
Son estos últimos son los que están en serio riesgo de desaparición, dada la elevada edad de los
informantes.
“Cuando la sombra llega al pie del risco, son las doce antiguas; la una,
cuando se pierde el sol en las dos higueras; duraznero las dos;…..”
“Juegos guanches inéditos”; García Talavera y J. Espinel; Ed. Tara; 1990
“Sí por los astros, antes no había relojes. Nos marcábamos con una piedra
cuando eran las 12 por la sombra del sol….”
“El Cielo de los Magos”; Juan Antonio Belmonte Aviles y Margarita Sanz de Lara Barrios; Ed
La Marea; 2001; pp44
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9. Potencial didáctico de los relojes de sol
Con cierta frecuencia es posible encontrar en los libros de texto de matemáticas
recomendaciones, o “invitaciones” a la realización de un reloj de sol, generalmente relacionando su
construcción con el trabajo de magnitudes angulares y las relaciones trigonométricas. Para ayudarnos
en esta labor existe una bibliografía fácilmente accesible y unos recursos en Internet bastante
clarificadores. Si bien es cierto que, una vez se comienza, es posible descubrir que la necesidad de
conocimientos se extiende a otras muchas áreas: Educación Plástica y Visual, Ciencias Naturales
(Astronomía), Ciencias Sociales (Geografía e Historia), Tecnología, Lenguas Extranjeras, Latín…Pero
sobretodo su realización contribuye a mejorar y desarrollar las estrategias necesarias para el trabajo en
equipo.
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Si hubiese que destacar dos ejemplos, serían:
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• El del IES Viera y Clavijo en San Cristóbal de La Laguna (Tenerife), por ser uno de los
primeros y por la originalidad que supuso en su momento el diseño. Se trata de un reloj de
tipo analemático, del que merece la pena observar no sólo el reloj en sí, sino su entorno
cuidadosamente diseñado: poste de direcciones, y bancos de cerámica con motivos de las
islas
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• Probablemente el trabajo más completo es el que corresponde al IES Granadilla (Granadilla
de Abona-Tenerife). Trabajo realizado por D. Marcos Antonio Méndez Oramas y D. Pedro
Agustín Carballo Álvarez. Su valor radica en que no se trató “únicamente” de la elaboración
de un reloj de sol, sino que se realizó la recuperación del reloj de sol de la plaza de San
Pedro (Vilaflor- Tenerife). Dicho reloj fue robado a finales del siglo XX. El trabajo contó
con una excelente investigación “etnográfica” y con un cuidadoso trabajo de diseño y
fabricación en bronce de dicho reloj, basándose en la información extraída de diversas
fuentes.
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• Si bien se pueden destacar otros muchos y buenos ejemplos de su aplicación en el aula, como
son los siguientes:
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CEO Barlovento. La Palma
IES Eusebio Barreto. Los Llanos de Aridane. La Palma
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IES Tamaraceite. Las Palmas de Gran Canaria. Gran Canaria
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IES Agustín de Betancourt. Puerto de la Cruz. Tenerife
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Luis Ramírez Castro. Es profesor de Enseñanza Secundaria (Tecnología) en el IES Realejos (Los
Realejos-Tenerife). Ha trabajado sobre los relojes de sol desde el año 1994 en diversos aspectos: diseño y
construcción, catalogación, conservación. Desde el año 2007 colabora con la Sociedad Isaac Newton en
la exposición itinerante “Relojes de sol de Canarias”, que se acompaña con la realización de charlas y
talleres sobre gnomónica. E-mail: [email protected].
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Juana Rosa Reyes Rodríguez. Es profesora de Enseñanza Secundaria (Matemáticas) en el IES Puerto
del Carmen (Lanzarote). Centra parte de su actividad docente en hacer ver las matemáticas como
“elemento oculto y cotidiano” en el entorno que rodea al alumnado. Parte de dicha actividad la ha
desarrollado en el proyecto CLIL, consiguiendo aunar: matemáticas, entorno y lengua inglesa.
Agradecimientos a: Luis Balbuena Castellano, Luis Cutillas Fernández, Lola de la Coba García, Carlos
Mederos Martín, a los alumnos del “grupo de relojes del IES Viera y Clavijo”, y a cuantas
administraciones locales han colaborado de manera desinteresada con la elaboración de este trabajo.
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, páginas 61-66
Descartes y la Gestalt: La ilusión encerrada en las imágenes
M. Pilar Velasco Cebrián
Palabras clave
Gestalt, percepción visual, imágenes ilusorias, geometría imposible
Abstract
Often we obtain a vision of the reality that does not correspond with the reality, since the
mind interrelates the visual perception and the representations that we kept in the
memory. This web show how the Mathematics underlies to these visual illusions.
Keywords
Gestalt, visual perception, illusory images, impossible geometry
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Muchas veces obtenemos una visión de la realidad que no se corresponde con la realidad
en sí misma, ya que la mente interrelaciona la percepción visual y las representaciones
que guardamos en la memoria. Se muestra en esta web cómo las Matemáticas subyacen a
estas ilusiones visuales.
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Resumen
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1. Introducción
A
La página web que aquí se presenta se titula Descartes y la Gestalt
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/gestalt/gestalt_intro.htm, creada en
el año 2009 por Juan Guillermo Rivera Berrío, profesor de origen colombiano que realizó su
doctorado sobre estudios de ciencia y tecnología en la Universidad del País Vasco y cuyas líneas de
investigación actuales son la informática educativa y las soluciones integradas con tecnologías de
información y comunicación.
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Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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En dicha web encontramos además otros enlaces a lecciones interactivas de matemáticas, breves
y desarrolladas, enlaces para conocer, adaptar y desarrollar los materiales didácticos de la web y un
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Dicha
página
web
está
albergada
dentro
del
Proyecto
Descartes
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ creado por el Ministerio de Educación, Cultura y
Deporte español y el Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado en
1998, con el fin de parar el retraso de la utilización de las Tecnologías de la Información y la
Comunicación (TIC) como elemento didáctico en la educación. Para ello, en este portal se presentan
diferentes materiales didácticos para el aprendizaje de las matemáticas donde las unidades didácticas,
algunas en castellano, otras en inglés y otras en catalán, aparecen organizadas bien por cursos, para
primaria, secundaria, bachillerato y Universidad, bien por temática, Álgebra, Geometría, Análisis,
Estadística y Probabilidad y Matemáticas Aplicadas, de forma que estos materiales puedan ser
expuestos por el profesor en clase de forma controlable en el tiempo y adaptable al desarrollo de la
asignatura en el aula, y puedan ser utilizados fácilmente por los alumnos. A este respecto, se ofrece un
enlace a diferentes materiales didácticos diseñados para la ecuación a distancia que permiten un
aprendizaje autónomo. Con todo ello se pretende conseguir que la enseñanza de las Matemáticas se
realice son una metodología activa, creativa, cooperativa e individualizada, pues los alumnos pueden
tomar decisiones, trabajar en común con otros alumnos y avanzar a su ritmo personal de aprendizaje.
Descartes y la Gestalt: La ilusión encerrada en las imágenes
M. P. Velasco Cebrián
enlace al Proyecto Canals para el desarrollo del conocimiento de las Matemáticas en Infantil y
Primaria. Otros enlaces permiten a los profesores leer las últimas noticias relacionadas con el
desarrollo de las TIC en la educación, analizar planes de experimentación con Descartes en diferentes
Comunidades Autónomas y en diferentes aulas, acceder a la página de presentación del proyecto, a las
novedades, al buscador o a la ayuda, obtener una relación de enlaces web relacionados con las
matemáticas y ponerse en contacto con el administrador del portal.
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R
2. Contenidos de la Web
La motivación principal que da pie al desarrollo de este tema viene dada a partir de la pregunta:
¿El mundo que vemos alrededor de nosotros es el mismo mundo real o es simplemente una
reproducción perceptiva de este mundo? Muchas veces obtenemos una visión de la realidad que no se
corresponde con la realidad en sí misma. Estas ilusiones que surgen a partir de las imágenes se
producen debido a que la mente configura los elementos que llegan a ella a través de una interrelación
entre la percepción visual y las representaciones que guardamos en la memoria.
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Para su uso sólo es necesario tener instalado en el ordenador el programa Flash Player 7 y la
maquinaria virtual de JAVA con el complemento applet Descartes 2.0, que puede instalarse desde la
misma web.
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De esta manera, la página web que aquí comentamos contiene la unidad didáctica Descartes y la
Gestalt, destinada para alumnos y profesores a partir de 15 años (4º ESO). Se trata de una página con
material didáctico online, con un índice inicial de temas o actividades de la unidad y con capacidad de
volver al inicio, avanzar o retroceder en cada uno de los temas, lo que ofrece un uso rápido y fácil de
la página. El diseño es claro y atractivo, donde los títulos y subtítulos aparecen resaltados para no
perder el punto de referencia; es de agradecer la nula publicidad que encontramos en la página.
Como respuesta a esta cuestión inicial, se hace en esta página un amplio desarrollo de los
aspectos que relacionan la percepción visual y las matemáticas, jugando con diferentes imágenes que
cuestionan la racionalidad de la vista y de la percepción, y de las cuales sólo es posible obtener la
realidad de dichas imágenes haciendo uso de la capacidad mental de las matemáticas.
A lo largo de esta unidad se muestran por tanto multitud de formas o estructuras que se perciben
en la mente con una configuración distinta de la real o que parecen imposibilidades geométricas
debido a la posición desde la que las observamos. El estudio de estas imágenes y su percepción se
conoce con el nombre de corriente o psicología Gestalt, cuyo principio fundamental es la ley de la
Prägnanz (Pregnancia), que afirma la tendencia de la experiencia perceptiva a adoptar las formas más
simples posibles. Junto a este principio se encuentran en esta corriente otras leyes relacionadas como
son la ley de proximidad, la ley de semejanza y la ley de ajuste o de completamiento de figuras, por las
cuales la mente tiende a unir objetos próximos, agrupar objetos similares o completar figuras simples.
Esta unidad didáctica guarda la estructura natural de las unidades didácticas del Proyecto
Descartes, como puede verse en la figura 1, con una primera página donde se incluye el Índice,
Introducción y Objetivos. La introducción nos aclara y abre el apetito para entrar en las páginas de
desarrollo, con algunas imágenes iniciales muy ejemplares de lo que vendrá después.
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Figura 1.
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A lo largo de los diferentes temas o actividades se van sucediendo multitud de imágenes que
ponen de manifiesto las leyes de la corriente Gestalt, incluyendo incluso escenas animadas con
algunos botones para ampliar o modificar algunos de los rasgos de la percepción, sea color, tamaño,
etc. Todas estas figuras vienen acompañadas de explicaciones para una mejor observación de las
escenas y argumentos relacionados con la lógica visual, así como de enlaces a otras webs donde
ampliar la galería de imágenes y el estudio de las mismas. Como ejemplos se muestran las figuras 2 y
3.
Figura 2.
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Figura 3.
La unidad didáctica presentada en esta web es muy interesante por la capacidad de motivación
hacia el estudio de las Matemáticas que puede generar en el alumnado, pues queda patente la
interrelación entre la experiencia visual, la percepción de la realidad y las matemáticas. Las
matemáticas subyacen a la construcción y visualización de este tipo de figuras, que suelen llamarse
simplemente figuras curiosas, pues es el sentido de ciencia de lo exacto y de la razón el que permite
profundizar en el por qué de estas curiosidades. Es el razonamiento matemático el que permite
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evidenciar lo que ocurre en la percepción y el juego de la mente sobre ella. En este sentido, los
contenidos curriculares presentes en esta unidad didáctica están relacionados con el área de Geometría.
Con las escenas incluidas en esta unidad didáctica el estudiante podrá evidenciar que algunas veces
nuestra mente construye imágenes diferentes a los objetos que percibimos. De esta manera se pretende
que el alumno visualice las leyes de la Gestalt presentes en la representación de un objeto y descubra
cuáles son dichas leyes.
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Por otro lado, la claridad en la exposición de las explicaciones, el fácil seguimiento de la web y
el predominio de actividades prácticas, de juego con las imágenes y de enlaces de ampliación de los
contenidos que se presentan, permite una gran interactividad del alumno con la web, además de
favorecer el autoaprendizaje del alumno y el posible trabajo, discusión o debate en grupo. Esta web
fomenta así el estudio de la geometría tanto de forma individualizada para el alumno en casa como de
forma colectiva al poder considerarla actividad de apoyo en el aula o en pequeños grupos.
Con todo esto, podemos señalar el desarrollo de varias competencias básicas en esta unidad:
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A
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E
• Comunicación lingüística: conocer y comprender vocabulario del lenguaje matemático,
aprender a usarlo como un lenguaje más, con sus particularidades y características comunes
a todo lenguaje.
• Matemática: Valorar y entender la utilidad de las Matemáticas en nuestra sociedad.
• Conocimiento e interacción con el mundo físico: Reconocer figuras geométricas como base
de determinados aspectos de decoración.
• Tratamiento de la información y competencia digital: Usar el ordenador como herramienta
para comprender y trabajar el conocimiento.
• Competencia cultural y artística: Reconocer y construir formas geométricas que sirven de
base para el diseño y modelo de determinados objetos artísticos y culturales que nos rodean.
• Aprender a aprender: Tomar conciencia sobre la necesidad de adquirir conocimientos
aplicables a la vida cotidiana.
• Autonomía e iniciativa personal: Poner en práctica los conocimientos adquiridos en esta
unidad acerca de las leyes de la Gestalt para reconocer y reproducir modelos de decoración.
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Conclusiones
La claridad en el seguimiento de la unidad, la concisión en las explicaciones, la completa
visualización de los principios expuestos y la interactividad que se desprende de las actividades
propuestas en esta web hacen de ella una herramienta muy útil para promover el interés y aumentar la
motivación de los alumnos por las matemáticas, principalmente en el área de Geometría.
Por ello, cabe considerar esta web como actividad complementaria que refuerce el aprendizaje
de los alumnos y les enseñe que las matemáticas subyacen a una gran cantidad de hechos cotidianos,
lo cual muchas veces pasa desapercibido.
M. Pilar Velasco Cebrián. Doctora en Matemáticas por la Universidad Complutense de Madrid.
Actualmente finalizando beca FPU en la Universidad Complutense de Madrid (Departamento de
Matemática Aplicada) y pendiente de incorporación como profesora en el Centro Universitario de la
Defensa de Zaragoza (Departamento de Matemáticas, Estadística e Investigación Operativa). Coautora de
12 artículos de investigación publicados en revistas internacionales, la mayoría de ellas indexadas en
JCR, 1 libro y 1 capítulo de libro.
Email: [email protected]
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, páginas 67-76
Juegos de lógica inductiva
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
Presentamos el juego skedoodle sobre tablero, al que llamamos skedoodtable.
Exponemos tres juegos de lógica, que en versiones simplificadas permiten su uso en la
última etapa de la Primaria y en la Educación Secundaria Obligatoria (ESO): Eleusis,
Zendo y Mastermind, con variantes. Son juegos que aunque conocidos, permanecen
olvidados. Por ello presentamos algunas orientaciones didácticas.
Palabras clave
Juegos de tablero; Juegos didácticos; Juegos de cálculo; Juegos de lógica; Skedoodle;
Eleusis; Zendo; Mastermind; Aplicaciones didácticas de juegos de lógica.
Abstract
The on board game skedoodle, which will be called skedoodtable, is introduced. Three
logic games whose simplified versions can be used in the last stage of the Elementary
and in the Secondary level are presented: Eleusis, Zendo and Mastermind, with
variations. These games, although known, are forgotten. Hence some teaching guidelines
are provided.
J
Keywords
Board games, Educational games, Calculation games; Logic games; Skedoodle; Eleusis;
Zendo; Mastermind; Educational applications of logic games.
E
U
Resumen
G
1. Skedoodtable: el skedoodle en tablero
Cada jugador ha de disponer de un lápiz o bolígrafo y el juego se realiza en una hoja de papel.
El juego comienza acordando cuál de los números 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9 es elegido como número
fundamental (NF); supongamos que sea el 6. Cualquier resultado que contenga esta cifra (16, 26,…)
puntúa un punto. Luego, uno de los jugadores escribe un número entre 1 y 30 que no contenga el
número fundamental (no puede ser 6, ni 16 ni 26) y del que por las operaciones de suma, resta o
multiplicación entre sus cifras, ni que elevado al cuadrado, duplicado, dividido entre dos o extraída su
raíz cuadrada, dé alguno que contenga la cifra 6. Pues si contiene el resultado la cifra 6, puntuará un
1
El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]
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de Profesores de Matemáticas
S
Este juego de lápiz y papel lo consideramos un juego de cálculo por razones obvias, que
apreciamos en su descripción. La sencillez de sus elementos y el poder jugarlo entre dos o tres
alumnos, lo hace ideal para un “descanso” de las clases canónicas.
O
Veamos primero un Juego de Cálculo con lápiz y papel, relacionado con los vistos en el anterior
artículo, el SKEDOODLE, del Padre Daniel, publicado por Sid Sackson en su libro A Gamut of
Games (Sackson, 1992).
Juegos de lógica inductiva
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
punto, por ejemplo: 28 (2x8=16), 15 (1+5 = 6), 24 (2+4 = 6), 4 (42 = 16), etc. El otro jugador, obtiene
un número a partir del escrito por el jugador anterior El juego termina cuando un jugador no puede
obtener un número no empleado antes, de acuerdo con las operaciones aceptadas. Gana el jugador que
obtenga más puntos.
Este juego, puede convertirse en un juego de tablero (SKEDOODLE para tablero
“SKEDOODTABLE”) para cuatro jugadores, si nos fabricamos los siguientes materiales:
• Tablero de 6x6 cuadrículas, ampliando a 36 el conjunto de valores posibles para adaptarlo al
tablero.
• 30 marcadores de color “neutro” (botones, monedas, fichas,…)
• 4 juegos de 6 fichas de 4 colores diferentes, uno para cada participante.
En el tablero de 6x6 se dibujan los números del 1 al 36, de forma ordenada o aleatoria o por
ejemplo, siguiendo los movimientos del caballo de ajedrez, lo que constituye ya en si un ejercicio de
lógica.
S
Aquí tenemos un ejemplo de tablero:
G
O
1
20 13 24
3
33 25
8
19
2
21 12 29
26
9
4
32
14 23
6
17 22 15
34 18 11 28
E
7
5
30
U
10 27 35 31 16 36
Figura 1
J
Se elige el número fundamental (NF), una cifra distinta de 0, 1 ó 2, como en el juego original
Se acuerdan las operaciones a realizar para derivar números, que dependerán del nivel de los
participantes.
Se acuerda un valor de desplazamiento (VD) que debe ser un valor impar, en principio del
conjunto {3, 5, 7}, con la práctica se puede optar por otro valor. Este VD se utilizará para añadirlo o
restarlo al número dado y derivar un nuevo número.
El primer jugador elige un número que no puntúe de acuerdo con las reglas explicadas para el
SKEDOODLE y lo cubre con una ficha neutra, el segundo jugador realiza una operación válida con el
número elegido y marca el resultado de la operación en el tablero, con una ficha de su color si puntúa,
es decir: si logra el NF; o con una neutra si no lo hace. Así continúa el juego hasta que sea imposible
obtener nuevos números. Si el jugador que declara no poder seguir jugando es rectificado por otro de
los participantes, se le retira una ficha de las que haya puntuado y se sustituye por otra del jugador que
encontró el error, y que ha realizado la nueva jugada que corrige la incorrecta del otro jugador.
Lógicamente gana el que al final de la partida tenga más puntos, uno por cada ficha de su color sobre
el tablero.
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NÚMEROS
Juegos de lógica inductiva
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
2. Eleusis y otros juegos de inducción
Abordamos ahora una clase de juegos que en algunos momentos, lugares y ambientes han sido
populares. Su utilización en el aula para desarrollar ciertos aspectos del llamado curriculum oculto es,
desde nuestro punto de vista, muy interesante. El más conocido es, desde luego, el Mastermind y el
menos, en nuestras latitudes, el Zendo. El Eleusis es el más valorado y analizado. De los tres hay
suficiente información en Internet y en la bibliografía por lo que no vamos a dar aquí una explicación
exhaustiva y larga; nos limitamos a recordarlos, para quienes los hayan olvidado, y darlos a conocer a
quienes tienen pocas o nulas referencias de ellos.
2.1 Eleusis
El objeto de este juego será deducir, de las cartas colocadas en la mesa y que se califican como
válidas o inválidas, la regla mediante la cual se produce su validación.
Tomamos las barajas de naipes, de ser posible de reversos diferentes, y las repartimos a los
alumnos. No es necesario que se baraje mucho o que la distribución sea muy rigurosa, porque el juego
no depende de las cartas que tengan los jugadores en la mano.
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S
Instrucciones
O
2.2 Nueva Eleusis
G
Eleusis es un juego de cartas inventado por Robert Abbott (2008), quién también ha inventado
otros juegos y muchos laberintos novedosos de los que habla en su página
http://www.logicmazes.com/. Martin Gardner presento este juego en su columna de American
Scientific y luego publicó Nueva Eleusis, mejorando las reglas del juego.
E
No cabe duda que Eleusis es un juego interesante y original que lo convierte en un pilar
fundamental de los juegos deductivos. Si tienes curiosidad puedes descargarte las reglas del Eleusis en
español en BGG (http://boardgamegeek.com/filepage/14979/eleusis-reglas-doc). Años más tarde
apareció New Eleusis (1, 2 y 3), una versión más completa del Eleusis clásico.
U
Para las primeras versiones de Eleusis se utilizaron barajas de póquer estándar (3 o 4 barajas, lo
más económico y accesible posiblemente en aquellos tiempos). Las reglas son simples en esta primera
versión: cada jugador, en su turno, pone en juego una carta y el maestro debe aclarar si la carta
cumplía la regla. El ganador, por supuesto, es el jugador que resuelve o adivina correctamente la regla.
Para la confección de la regla secreta el maestro podría utilizar únicamente características descriptivas
de las cartas: par o impar, rojas o negras, cartas numéricas o figuras, palos (corazones, picas,
diamantes o tréboles), o su valor numérico.
J
El material de juego consiste en dos o tres mazos de cartas e intervienen de tres a ocho
jugadores. La idea básica del Eleusis es que un jugador, conocido como dios o maestro, debe imaginar
o confeccionar, mediante operaciones simples con estos componentes cotidianos, una regla o modelo
relativamente sencillo. El resto de los jugadores deben entonces descubrir esta regla preguntando al
maestro o realizando experimentos sobre diversas situaciones, que debe aclarar si cada situación
propuesta por los jugadores cumple la regla o no. Actúan como científicos que formulan hipótesis y
luego tratan de comprobarlas. Unas pocas fichas blancas y negra y lápiz y papel son también
convenientes. Si en el transcurso del juego, un jugador cree conocer la regla, se puede autoproclamar
“profeta”, ya se verá luego si es auténtico o falso.
Juegos de lógica inductiva
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Se extrae una carta al azar y se coloca abierta en un extremo de la mesa de juego, a fin de
que sirva como carta de arranque al juego. A partir de la carta inicial se colocarán en orden las cartas
que sucesivamente irán aportando los estudiantes, una a la vez, y que constituirán el material, los
“hechos científicos” sobre los cuales se hará la inducción de la regla. Antes se habrán repartido 14
cartas a cada jugador.
En este juego el profesor actuará como “Dios” o bien como “La Naturaleza” o como “Principio
Último del Conocimiento”, pues es el encargado de fijar las reglas mediante las cuales serán juzgadas
las cartas (o los hechos científicos) y es el que conoce las reglas “secretas” que determinan que una
carta sea declarada válida o no. En cada uno de los juegos, la regla se escoge al inicio, y se mantiene
invariable hasta el final del mismo.
Básicamente, los elementos que podemos combinar en las reglas son complementarios dos a
dos:
par – impar;
S
rojo – negra;
O
número – figura;
mayor que – menor o igual que,
G
conectores lógicos (o; y; no),
J
U
E
…
pero también el resultado de una operación aritmética o lógica (y, o, no), de un condicional que no
incluya elementos externos, etc.
Cada una de las cartas jugadas será declarada válida o no válida por el profesor (¿dios?), que es
quien fija las reglas, y dependiendo de si cumple o no dicha regla, será colocada a la derecha de la
carta de base formando una fila, o debajo de esta formando una columna. Un jugador o “científico”,
puede jugar en su mano hasta un máximo de cuatro cartas, encadenadas en lo que él piensa que es una
secuencia correcta.
Las reglas del juego deben enunciarse de tal
manera que se relacionen exclusivamente con la
serie de cartas jugadas, no son válidas aquellas que
se relacionen con circunstancias externas al sistema
de las cartas. Un ejemplo de regla inválida sería
aquella que pidiera que la carta jugada fuera par si la
juega con la mano derecha e impar si la juega con la
mano izquierda. Una regla válida podría ser: si la
suma de las 2 cartas anteriores es par, entonces debe
jugarse impar, y si la suma de ellas es impar,
entonces debe jugarse par. Pero, y es un añadido del
juego, antes de proponer una regla hay que estudiar
que la regla pueda conducir a jugadas imposibles o
que la regla sea cumplida, a partir de un momento
dado, por muy pocas cartas o ninguna. En las
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Figura 2
NÚMEROS
Juegos de lógica inductiva
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
instrucciones para los estudiantes deberá indicarse la regla como que “estas reglas tienen que ver con
la suma de las dos cartas anteriores”, aclarando que las figuras tienen un valor numérico que
corresponde a la serie “ascendente”, es decir: J(11), Q(12), K(13); As (1), …
En la imagen (figura 2) tenemos un principio de juego donde la regla contiene un conector
lógico (“o” – “y”) que es otro de los aspectos que interviene en el juego. ¿Ya saben cuál puede ser la
regla? Conviértanse en “Profeta” y hagan su predicción. No es frecuente, pero puede ocurrir que una
distribución de cartas responda a dos o más reglas diferentes.
Las cartas al inicio se juegan al azar, ya que no hay suficientes elementos de juicio que permitan
determinar cuáles son las que se puedan jugar correctamente, pero a medida que se van formando
series de cartas, la carta que se añade trata de probar las suposiciones de los estudiantes acerca de la
posible regla que origina el juego.
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de Profesores de Matemáticas
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71
S
• Se identifica al jugador con el mayor número de cartas en la mano, y llamamos M a ese
número de cartas.
• Cada jugador suma tantos Puntos de Victoria (PV) como la diferencia de su mano (mi) al
máximo (M): PV = M-mi
• El jugador sin cartas en la mano calcula su PV con la siguiente expresión PV= M - mi + 4 PV
O
Puntuación
G
Este modelo tiene una limitación y es que en la ciencia no existe el ser que nos diga quien tiene
la razón, pero para acortar el juego, y permitir que se haga en un tiempo finito se acepta esta
restricción, y el profesor encargado o bien el estudiante escogido para dirigir el juego pueden ponerle
punto final señalando cual es la regla. La forma de puntuar, un tanto complicada, trata de impedir las
reglas muy sencillas o muy complejas, penalizando al dios.
E
En cualquier momento el estudiante que crea tener la regla mediante la cual se genera la serie de
cartas, levantará la mano, pidiendo turno para publicar su regla (igual que el investigador envía su
artículo a una revista para su publicación). Una vez autorizado, procede a enunciar su teoría de la
regla. Si la teoría es correcta y corresponde a la regla secreta, el profesor le declarará profeta,
(científico emérito). Si la teoría es incorrecta, será declarado falso profeta (pseudocientífico) y no
podrá hacer nuevas teorías en lo que dure esta ronda del juego. En cualquier caso, aquí se coloca una
señal que se repetirá cada diez cartas jugadas, y que a partir del curto indica final del juego.
U
Debe tenerse presente que en la búsqueda de la regla, las cartas inválidas son tan importantes
como las válidas, porque nos informan acerca de las opciones que son rechazadas, (falsificadas de
acuerdo con la terminología de K. Popper) siendo este uno de los puntos cruciales, porque a veces una
pseudoregla puede explicar la serie de cartas que observamos, simplemente debido a que no ha
aparecido la excepción que nos rechace dicha regla y nos haga buscar la regla verdadera. La regla debe
estar por escrito antes de comenzar el juego.
J
Como se puede ver, las cartas quedan a la vista de todos los jugadores y por lo tanto, todos
pueden juzgar y analizar los “hechos” igual que todos pueden juzgar los artículos científicos, de
manera que no es indispensable, para el acierto en el juego, tener en la mano una carta determinada
(además, así como se puede intercambiar información en el mundo científico, el profesor podrá
determinar que se intercambien cartas a la hora de jugar entre los estudiantes a fin de que puedan
comprobar su hipótesis).
Juegos de lógica inductiva
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
• Profeta no eliminado: Puntúa como científico + (1 PV por cada carta de experimento positivo)
- (2 PV por cada carta de experimento negativo) [desde el primer marcador negro]
• El dios puntúa la menor cantidad entre:
o La Puntuación más alta de un jugador o profeta.
o El doble del número de cartas desde el marcador negro (si hay un profeta en juego).
Si no hay Profeta en juego al final de la ronda y todos los jugadores han sido eliminados, quien
actúa de dios obtiene cero puntos de victoria.
S
3. Zendo
Zendo es otro juego de lógica inductiva en el que el
Maestro crea una regla que los estudiantes tratan de descubrir
por la construcción y el estudio de los arreglos de plástico en
forma de pirámides (conocido como "piezas Icehouse"). El
primer estudiante que enuncia la regla correctamente gana.
O
Lo que se necesita:
Una serie de conjuntos Icehouse idénticos. (Cuanto
G
más, mejor. Cuatro es lo mínimo recomendable.)
Un buen número de piedras negras y blancas, (sirven las
del Go)
E
Un buen número de piedras de un tercer color, (o
botones, fichas plásticas,…)
Inicio
U
J
Figura 3
Elegido alguien para ser el Maestro, los otros jugadores son los estudiantes. Se da a cada
estudiante una piedrecita negra y otra blanca, que servirán como "piedras de respuesta".
Las piedras blancas y negras que quedan son las "piedras para marcar”, y las piedras del tercer
color son las "piedras de adivinación", que se colocan frente al Maestro. Todas las pirámides se ponen
en un grupo común al alcance de todos los estudiantes.
Koans
Durante el curso del juego, los jugadores crean diferentes disposiciones de una o más pirámides
sobre la mesa. Cada disposición se conoce como un "koan". Los koans se pueden configurar de
cualquier modo, siempre y cuando no se toquen otros objetos u otros koans.
La elección de una regla
Una vez que se haya seleccionado a la persona que será el Maestro, su primera tarea es crear
una regla secreta que se utilizará durante el juego de Zendo (existen páginas con ejemplos de reglas
para principiantes). Una ver elegida la regla, el Maestro crea dos koans iniciales. A continuación, el
Maestro selecciona a alguien para jugar primero. En este caso, el Maestro tiene un papel más activo
que en el juego anterior.
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Juegos de lógica inductiva
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De acuerdo con la regla, algunos koans tendrá la naturaleza de “Buda" si cumplen esa regla, y
otros no. Para los estudiantes, el objetivo del juego es tratar de averiguar cuál es su regla secreta. Para
el Maestro, tu trabajo consiste en actuar como facilitador del desarrollo del juego, no es realmente un
jugador, y no está compitiendo con ninguno de los jugadores.
Una regla sencilla
Ejemplos de reglas:
Una regla simple: Un koan tiene la naturaleza de Buda, si
y sólo si una pieza se apoya en otra azul.
Una regla muy difícil: Un koan tiene la naturaleza de
Buda, si y sólo si contiene un número impar de piezas que
apuntan a otras piezas.
Una regla en negativo: Un koan es aquel que no tiene la
naturaleza de Buda si contiene exactamente tres piezas que
tocan la mesa, de lo contrario lo hace. Es decir, todas las
demás disposiciones tienen la naturaleza de Buda.
Figura 4
J
U
Como podemos apreciar, las características propias de las pirámides (color, tamaño) se ven
enriquecidas por las posiciones relativas o absolutas que estas pueden adoptar: una encima de otra, con
sus bases en contacto, enfrentando sus vértices, formando sus aristas una línea, etc. Por tanto una
infinidad de disposiciones que dependen de la imaginación del maestro.
Koans iniciales:
E
G
Para facilitar el juego, el Maestro inicia la partida construyendo dos koans en el centro del
campo de juego. Uno debe tener la naturaleza de Buda de acuerdo con su regla y colocará una piedra
blanca a su lado. El otro no tendrá la naturaleza y colocará una piedra negra a su lado. Debe marcar
todos los koans de esta manera durante todo el juego. Los koans de partida no tienen por qué ser
complicados, incluso con jugadores experimentados.
O
1. Construir un koan mediante una o varias pirámides: a continuación actuaría el Maestro o bien el
llamado “mondo”.
Si actúa el Maestro: El maestro inmediatamente marcará el koan nuevo con una piedra de
color negro o blanco.
Si actúa el Mondo: Todos los estudiantes tienen que adivinar si el nuevo koan tiene la
naturaleza de Buda o no. Cada estudiante recoge de sus propias piedras de contestación su
respuesta (negro o blanco) y la oculta en un puño. Sujeta el puño sobre el campo de juego y
espera a que todos los estudiantes hagan lo mismo. Cuando todos estén listos, revelan su
suposición. El Maestro marcará el koan con la respuesta correcta, y otorgará una piedra de
adivinar a cada jugador que contestó el Mondo correctamente.
2. Hacer una conjetura sobre la regla.
Hacer una conjetura: Si el estudiante tiene “piedras adivinanza”, puede elegir usar una o
más de ellas para tratar de adivinar la regla del Maestro. Da una “piedra adivinanza” al
Maestro y luego indica su respuesta con la mayor claridad posible.
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S
Los estudiantes juegan por turno, por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj. Cada
estudiante, en su turno, tiene dos opciones:
Juegos de lógica inductiva
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Aclarar la conjetura: Si el Maestro no entiende su conjetura, o si es ambigua, de alguna
manera hará preguntas aclaratorias hasta que la incertidumbre se ha resuelto. La conjetura no
es considerada oficial hasta que el estudiante y el maestro estén de acuerdo en que es así. En
cualquier momento antes de eso, se puede retirar la respuesta y recuperar la “piedra
adivinanza”, o puede cambiar su suposición. Si algún koan sobre la mesa contradice su
respuesta, deberá señalarse esto, y entonces puede retirar su piedra o cambiar su suposición.
Es responsabilidad del Maestro asegurarse de que una conjetura es inequívoca y no es
contradicha por un koan existente. Todos los estudiantes pueden participar en este proceso.
Maestro refuta adivinanza: Después de que el Maestro y el estudiante se ponen de acuerdo
sobre una estimación oficial, el Maestro lo refuta, si es posible. El maestro construye un koan
que tiene la naturaleza de Buda, pero que su conjetura dice que no, o construye un koan que no
tiene la naturaleza de Buda, pero que su conjetura dice que sí.
Repetición: Una vez que el Maestro ha construido un contra-ejemplo y marcados de manera
apropiada, puede pasar otra “piedra adivinanza”, si tiene una, para tomar otra suposición.
Pueden usarse la cantidad de piedras de adivinar que se desee durante esta parte del turno de
un jugador. Cuando haya terminado, la jugada pasa al estudiante a su izquierda.
G
Si el maestro no puede refutar su respuesta, es que el estudiante ha alcanzado la iluminación, ha
descubierto la regla secreta del Maestro y habrá ganado la partida.
Con materiales que podemos tener en el aula, es posible sustituir las pirámides y jugar a
versiones simplificadas del Zendo. Por ejemplo con regletas de colores y tamaños distintos, con
bloques de construcción, pentaminos, etc.
E
O
S
Ganar
4. Mastermind
J
U
Es un conocido juego de mesa para dos personas, de ingenio y reflexión.
El tablero consta de dos partes: una para el jugador que
plantea el reto (retador), que está oculta a la vista del otro
jugador (solucionador), y otra donde el solucionador presenta su
posible respuesta y el retador, con fichas blancas y negras
pequeñas, informa si en el planteamiento hay aciertos de color, o
de color y lugar respectivamente.
El reto se plantea colocando cuatro fichas de entre seis
colores, de un tamaño algo superior, ocultas al solucionador (en
algunas de las variantes pueden ser más de cuatro). El retador
escoge un número de fichas de colores y las pone en el orden que
quiera en una línea de agujeros oculta del otro jugador. Éste,
tomando fichas de colores del mismo conjunto, aventura una
posibilidad, a la que contesta el retador colocando fichas negras
(fichas de color bien colocadas) o blancas (fichas de color con el
color correcto, pero mal colocadas). Para ello tiene unas hileras
de agujeros para las fichas de color y a la altura de cada hilera
hay cuatro pequeños orificios para las piezas blancas y negras.
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Figura 5
NÚMEROS
Juegos de lógica inductiva
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
El juego termina al averiguarse la combinación (es decir, se consigue una combinación con
cuatro negras), o bien se agota el tablero (depende del tamaño, aunque generalmente son 10 las
respuestas previstas).
Figura 6
Puede acordarse el no repetir colores para disminuir la
cantidad de permutaciones posibles y, en cualquier caso, elaborar
una estrategia con jugadas iniciales que nos den la mayor
información posible, pudiendo elaborar un árbol con las posibles
colocaciones de los colores en función de las respuestas que se van
obteniendo. También es posible que, en un tablero como el de la
figura 4 se simplifique el juego indicando la posición correcta del
color bien colocado o acertado, haciendo que los peones blancos y
negros estén colocados en los agujeros correspondientes a las
posiciones de las piezas de colores de su línea.
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Figura 8
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75
S
Mastermind es actualmente una marca comercial
propiedad de Pressman Toys; el origen puede derivar de un
juego tradicional inglés denominado Toros y vacas, (muertos y
heridos en una versión española con números o letras) se jugaba
O
Existen muchas versiones comercializadas de este juego:
con colores, números, figuras, etc. En la figura 7 podemos ver
una variante para que puedan jugar simultáneamente dos
jugadores, enfrentados en un tablero doble, donde alternan su
jugada y su respuesta, ganando el que primero averigüe la clave
oculta de su contrincante.
G
Como se puede apreciar, dependiendo del
resultado de la primera jugada, podemos planificar
qué hacer a continuación. Hay 15 respuestas
posibles a la primera jugada: cinco donde
responderán con 4 fichas, cuatro de 3 fichas, tres de
2, dos de 1 y aquella en la que no coloca ninguna
ficha. Pero al no haber repeticiones en los colores,
como mínimo debe haber dos fichas cuyos colores
son acertados en la primera jugada, lo que reduce a
12 las posibles respuestas. Una cantidad que puede
Figura 7
ser analizada en el transcurso de una clase de
combinatoria. En la figura 6 podemos ver un posible desarrollo arbóreo de las respuestas.
E
Si nos pusieran dos blancas, ¿cómo se actuaría? Y si fuera una negra la respuesta a la primera
propuesta, ¿qué seguiría?
U
La respuesta de una ficha blanca, nos permite conocer que tres de los colores no intervienen, y
el que sí lo hace no está en su lugar. Ahora podemos ir combinando D, E, F y G con los tres colores no
usados A, B y C para buscar la colocación correcta.
J
Así, si suponemos la permutación ABCD, jugando con seis colores que calificamos y
clasificamos como A, B, C,… ¿cuál sería mejor jugada: BEAC ó DEFC? Podrá pensarse que
desconociendo la clave oculta, igual es una que otra, pero hay una diferencia: en la segunda iniciamos
un orden de colocación de los colores, mientras que la primera parece aleatoria.
Juegos de lógica inductiva
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
sobre papel: los "toros" equivalían a las fichas negras, y las "vacas" a las blancas. También podemos
convertir la información del juego en el enunciado de un problema de lógica como el siguiente:
Caza al tesoro
El otro día, rebuscando en el desván, Marcos descubrió un viejo baúl que contiene un
pergamino y un cofre. Leyendo el pergamino, comprendió que el cofre conserva un tesoro protegido
por una cerradura con una combinación numérica de tres cifras (de 1 a 9). Además el pergamino
aporta estas informaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
en
en
en
en
en
en
345
236
678
472
859
582
una sola cifra es correcta, pero no está en su lugar correcto (un herido)
ninguna cifra es correcta (ni muertos ni heridos)
una sola cifra es correcta y está en el sitio correcto (un muerto)
una sola cifra es correcta y está en el sitio correcto (etc.)
dos cifras son correctas, pero sólo una está en el sitio correcto
una sola cifra es correcta y está en el sitio correcto
Y esto, amigos, es todo por el momento. Esperamos de ustedes, queridos lectores, que habiendo
despertado su curiosidad y el interés por los juegos que presentamos, los usen y nos envíen sus
propuestas y comentarios, poniendo de manifiesto si algún error hemos cometido, por ejemplo, o, si
conocen otros juegos de corte similar, escriban presentándolos al resto de los seguidores de esta
sección.
Hasta el próximo
E
G
O
S
Ayudad a Marcos a encontrar la combinación correcta para abrir el cofre.
NÚMEROS
Revista de Didáctica de las Matemáticas
pues. Un saludo.
J
U
Club Matemático
76
Vol. 81
noviembre de 2012
NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, páginas 77-90
Educación Primaria: Problemas, Estrategias y Competencias
(Problemas Comentados XXXII)
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
Presentamos las soluciones a los ejercicios propuestos en anterior artículo, con
comentarios didácticos para su utilización en el aula, en los niveles de primaria, con
opciones de manipulación y modelizaciones, y vuelven a proponerse problemas
provenientes del Rally Matemático Transalpino, cuyas soluciones, con las aportaciones
que puedan hacer los lectores, se expondrán en un próximo artículo.
P
Palabras clave
Problemas para Primaria; resolución mediante manipulación, cálculo elemental,
modelizaciones o álgebra. Propuestas de uso didáctico de los ejercicios resueltos.
R
Abstract
We present solutions to the exercises in previous article, with instructional feedback for
use in the classroom, at primary levels, with manipulation and modeling options, and
again proposed problems from the Mathematical Transalpine Rally, whose solutions,
with contributions they can make readers, will be presented in a future article.
Keywords
Primary Problems; resolution through manipulation, numeracy, modeling or algebra.
Proposed educational use of exercises done.
L
E
M
Veamos la manera de resolverlos:
B
Se dejaron propuestos en el artículo Problemas comentados XXXI (De nietos y aves, volumen
80 de Números) cuatro problemas muy sencillos, aptos para proponer a los alumnos de Primaria,
procedentes todos ellos de la 18ª edición del Rally Matemático Transalpino.
O
Resumen
A
En el autobús
¿Cuál es el número de asientos para pasajeros del autobús?
1
El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
S
Lino sube el último en el autobús que parte de la estación. Va a sentarse y observa que
hay otros 5 pasajeros.
- En la primera parada, delante de Correos, descienden 3 personas y suben 6.
- En la segunda parada, en la plaza del mercado, no desciende nadie y suben 13 personas.
- En la tercera parada, delante del Ayuntamiento, descienden 5 personas y no sube nadie.
- En la cuarta parada, delante de la escuela, descienden 2 personas y suben 12, pero 4 de
ellos deben quedar de pie porque todos los asientos están ya ocupados por un pasajero.
Educación Primaria: Problemas, Estrategias y Competencias. (Problemas Comentados XXXII)
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Este problema es adecuado para el primer ciclo de Primaria. Sólo es necesario saber hacer
sumas y restas con números pequeños de una o dos cifras. Los profesores del RMT tienen la
costumbre de retomar con frecuencia algunos problemas de Rallyes anteriores y modificarlos
ligeramente para hacerlos más adecuados. Esa es una medida muy interesante que permite corregir
posibles defectos y realizar mejores redacciones para una nueva propuesta. Este, en concreto, proviene
del 3º RMT, prueba I, nº 9, modificado y simplificado.
Fase I. Comprender
Datos:
S
El autobús es una situación cambiante, donde hay una situación inicial y otra final.
Situación inicial, Estación: 5 pasajeros + Lino = 6 pasajeros
Situación final: 4 de pie, el resto sentados
A
Objetivo:
M
Número de asientos del autobús
Relación:
Los pasajeros que suben se añaden (suma) a los que estaban; los pasajeros que bajan se
descuentan (resta) a los que estaban.
O
B
L
E
La situación del autobús, en cada parada, sufre una modificación.
1ª Parada: bajan 3, suben 6
2ª Parada: bajan 0, suben 13
3ª Parada: bajan 5, suben 0
4ª Parada: bajan 2, suben 12
Las acciones de subir y bajar pasajeros se encadenan hasta llegar a la situación final.
P
R
Diagrama:
Se puede representar el autobús dibujando un diagrama rectangular o modelizar usando la tapa
rectangular de una caja de cartón. Los pasajeros se pueden representar con números, con puntos
dibujados o modelizados mediante piedrecillas, por ejemplo.
Al llegar a la situación final se analiza la situación del total de pasajeros con los que están de pie
y se deduce el número de asientos.
78
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NÚMEROS
Educación Primaria: Problemas, Estrategias y Competencias. (Problemas Comentados XXXII)
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Otra forma de representar la situación cambiante es utilizar un diagrama lineal de flechas que
representarían las acciones que se realizan en cada parada. A cada acción se modifica la etiqueta del
diagrama (rectangular o circular) que representa al autobús. El diagrama resultante es una “máquina de
calcular”, similar a la que se utiliza para los ejercicios de cálculo mental. Al llegar a la situación final
(después de las acciones de la cuarta parada) el diagrama se transforma en uno de partes-todo para
diferenciar los pasajeros sentados de los que están de pie.
6
Suben 6
Bajan 3
Suben 13
P
R
Suben 12
Bajan 2
Bajan 5
O
Pasajeros
B
De pie
Sentados
L
E
Fase II. Pensar
A
Modelización
Organizar la información
La organización será una secuenciación de las acciones descritas, fácilmente realizables
mediante sumas y restas. Al final, basta con utilizar la técnica de partes-todo para tener el número de
pasajeros sentados (asientos del autobús).
Fase III. Ejecutar
La ejecución dependerá de la estrategia elegida.
Para modelización, construir el modelo previsto. Cada equipo buscará un elemento para
representar el autobús (tapa de caja de cartón, trozo de cartulina, tablero de madera, etc.) y la cantidad
adecuada de elementos que representen a los viajeros del autobús (30 o más piedrecitas, boliches,
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79
S
La situación es fácilmente modelizable (modelo descrito) y manipulable (acciones sucesivas).
Al final, basta con diferenciar los pasajeros de pie y los sentados.
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M
A la vista de lo realizado en el anterior paso del proceso y de la lista de estrategias, podemos
concluir que tenemos elección:
Educación Primaria: Problemas, Estrategias y Competencias. (Problemas Comentados XXXII)
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
fichas de parchís, garbanzos, etc.). A continuación, se irán colocando dentro del autobús los pasajeros
que ya estaban en la estación, antes de llegar Lino y el propio Lino. A partir de aquí, se introducen en
el autobús tantos elementos como pasajeros suben en cada parada y se extraen del mismo tantos
elementos como pasajeros bajan. Al final de la cuarta parada habrá una cantidad determinada de
elementos (pasajeros) dentro del modelo (autobús). En ese momento se separan, dentro del modelo,
cuatro de ellos (pasajeros de pie) y se cuentan los restantes (pasajeros sentados). Esa es la solución del
problema: 23 pasajeros sentados.
S
Para organizar la información, usaremos como organizador secuencial el diagrama lineal
indicado en la primera fase. Se realiza la acción o acciones de cada parada (indicadas una a una en el
diagrama) y se coloca cada resultado parcial en la parte del diagrama que representa al autobús en
cada momento. El número del diagrama final será el número de pasajeros que hay en ese momento.
3
9
bajan 3
22
suben 6
suben 13
M
A
6
6
E
17
15
27
bajan 2
bajan 5
L
suben 12
B
En este momento se utiliza el diagrama de partes-todo para representar la situación final.
R
O
27 Pasajeros
De pie
Sentados
P
4
Se corresponde este diagrama (conocida la etiqueta del todo y la de una parte, averiguar la
etiqueta de la otra parte) con la realización de una resta: 27 - 4 = 23 pasajeros sentados, que es la
solución del problema.
Es interesante, con vistas a la conexión entre diagrama y operaciones (prepararles gradualmente
para un trabajo más operatorio y menos dependiente de lo manipulativo), realizar ahora, por escrito y
secuencialmente, las sucesivas operaciones realizadas.
Salida de la estación: 5 + 1 = 6
Primera parada, Correos: 6 – 3 = 3, 3 + 6 = 9
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Segunda parada, Plaza del Mercado: 9 + 13 = 22
Tercera parada, Ayuntamiento: 22 – 5 = 17
Cuarta parada, Escuela: 17 – 2 = 15 , 15 + 12 = 27
27 pasajeros – 4 de pie = 23 pasajeros sentados
Fase IV. Responder
Habrá que transforma esa solución en una respuesta. Para ello, primero habrá que comprobarla
y, después, sobre el contexto del problema, ver si es adecuada y redactarla de manera correcta.
R
O
B
L
En cualquier caso, la solución es correcta. Ahora hay que redactar la respuesta. Para ello es
necesario darse cuenta de que el objetivo no es el número de pasajeros sentados (que es lo que
sabemos en la fase de ejecutar), sino el número de asientos del autobús. Una sencilla transferencia
lógica de pensamiento nos resuelve la situación: número de pasajeros sentados es lo mismo de número
de asientos del autobús (no vale pensar en dos pasajeros sentados en el mismo asiento o en un pasajero
que ocupa dos asientos).
P
Para la comprobación, se puede realizar de dos maneras. Una, la habitual, consiste en repetir
todo el proceso verificando la corrección de lo realizado anteriormente. Otra, más divertida e
interesante, realizando el proceso totalmente al revés, desde la cuarta parada hasta la estación y
haciendo que los que bajaron suban y viceversa. Esto les familiariza con el uso de operaciones
inversas y el uso posterior de la estrategia de ir hacia atrás.
Respuesta
E
El autobús tiene 23 asientos para pasajeros.
M
Veamos ahora los otros tres problemas de manera más sucinta.
A
El paquete de caramelos
S
En un paquete de caramelos, algunos son azules, otros son
rojos y otros son verdes.
28 caramelos no son rojos.
39 caramelos no son azules.
31 caramelos no son verdes.
¿Cuántos caramelos de cada color hay en el paquete?
Este problema es de tercer Ciclo de Primaria, aunque bien pudiera ser utilizado también en el
segundo Ciclo. Evidentemente, en primer Ciclo de Secundaria tampoco desentonaría. Puede ser
ejecutado mediante operaciones aritméticas o con Álgebra o Preálgebra. También tiene un peculiar
aspecto lógico relacionado con la negación, que no debemos dejar en el aire.
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J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Datos
Hay caramelos de tres colores: rojos, verdes y azules.
28 caramelos no son rojos.
39 caramelos no son azules.
31 caramelos no son verdes.
Objetivo
Caramelos que hay de cada color.
Son, evidentemente, al menos 40 (> 39).
Relación
M
A
S
Los caramelos que no son rojos son 28.
Los caramelos que no son azules son 39.
Los caramelos que no son verdes son 31.
Estas relaciones deben ser mejor explicitadas, eliminando la negación. Así podrán ser
representadas en diagramas o utilizar la información en formato aritmético o algebraico. La mejor
manera es dar una etiqueta a cada colección de caramelos: rojos (R), verdes (V) o azules (A).
E
También, de manera evidente (o casi), tenemos que R > V > A.
L
Así, transformamos las tres relaciones en las siguientes:
A + V = 28
R + V = 39
A + R = 31
B
Y se corresponderían con los siguientes diagramas:
V
R
V
A
R
O
A
R
39
Estrategias
P
28
Ensayo y error
31
Es bastante tedioso resolver el problema por ensayo y error, pero es posible. Establecer un
número de caramelos de un color para deducir los de los otros colores de acuerdo a las relaciones
encontradas a fin de que se cumplan las tres de forma simultánea. Aquí se debe tener en cuenta la otra
relación obtenida: R > V > A).
Organizando la información
Con aritmética
Juntando los tres diagramas para formar uno solo:
A
82
Vol. 81
V
R
28 + 31 + 39 = 98
noviembre de 2012
V
A
R
NÚMEROS
Educación Primaria: Problemas, Estrategias y Competencias. (Problemas Comentados XXXII)
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Se ha formado un duplicado de la colección original de caramelos, con una etiqueta que vale
28 + 31 + 39 = 98.
Este número es el doble del número total de caramelos.
A partir de aquí, mediante las tres relaciones, podemos deducir que en el paquete hay:
98: 2 = 49 caramelos
y que:
49 – 28 = 21 son de color rojo,
P
49 - 31 = 18 son verdes
R
y 49 - 39 = 10 son azules.
O
La solución es, pues, R = 21, V = 18, A = 10.
Con álgebra
B
En un nivel superior, el problema podría ser resuelto con un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas:
L
A + V = 28
E
R + V = 39
M
A + R = 31
cuya solución es R = 21, V = 18, A = 10
A
Comprobación
S
Basta con hacer tres sumas para verificar que las tres relaciones se cumplen:
21 + 18 = 39 no azules; 21 + 10 = 31 no verdes; 18 + 10 = 28 no rojos
Respuesta:
La única posibilidad es que haya 49 caramelos, de los cuales 21 son
rojos, 18 son verdes y 10 son azules.
Fichas en triángulos
Ana posee una caja con 120 fichas redondas, todas idénticas.
Las dispone sobre la mesa y forma una sucesión regular de “triángulos” en los cuales las
fichas están colocadas unas contra otras. He aquí los primeros cinco triángulos:
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 81
noviembre de 2012
83
Educación Primaria: Problemas, Estrategias y Competencias. (Problemas Comentados XXXII)
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
¿Cuáles son los triángulos de Ana que Pedrito podría haber utilizado
completamente para construir el suyo?
L
E
S
A
Un poco más tarde, su hermano Pedrito pasa delante de la mesa y observa las
construcciones hechas por Ana. Calcula después el número de fichas que habría
necesitado para hacer el triángulo siguiente. Puesto que no hay más fichas en la caja,
deshace algunos triángulos de su hermana, utiliza todas las fichas de los triángulos que ha
deshecho y acaba exactamente el triángulo que viene a continuación del que Ana había
construido por último.
M
Ana continúa así y forma nuevos triángulos que tienen siempre una fila más que los
anteriores. En el momento en que ha finalizado uno de estos triángulos, se da cuenta que
su caja está vacía y que ha utilizado las 120 fichas para hacer todos los triángulos.
Se trata de un bonito problema de secuencias numéricas, donde sólo es necesario sumar y restar
números naturales. También se puede trabajar desde la óptica de sucesiones de números (triangulares,
en este caso). Se puede trabajar desde el segundo Ciclo de Primaria, bueno también para el tercer
Ciclo e, incluso, en Secundaria.
B
Datos
O
Los triángulos formados por Ana que vemos:
P
R
T 1: 1
T 2: 1 + 2 = 3
T 3: 1 + 2 + 3 = 6
T4: 1 + 2 + 3 + 4 = 10
T5: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Objetivo
Primero encontrar el último triángulo de Ana. Después, el triángulo que fabrica Pedrito. Por
último, los triángulos que ha tenido que deshacer para su construcción.
Relación
Para construir cada nuevo triángulo se añade al anterior una nueva fila que es el siguiente
número a la fila mayor del mismo: 1 + 2 + 3 + 4 + … + n + (n + 1).
Como diagrama podemos tener presente el que aparece en el problema, fácilmente modelizable. Pero
también, si queremos trabajar numéricamente, necesitaremos un diagrama que nos ayude a realizar
una distribución espacial de toda la información que se genere: diagrama de doble entrada, por
ejemplo:
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Vol. 81
noviembre de 2012
NÚMEROS
Educación Primaria: Problemas, Estrategias y Competencias. (Problemas Comentados XXXII)
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Triángulo
T1
T2
T3
T4
T5
T6
Formación
1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
1+2+3+4+5
Número
1
3
6
10
15
Total
1
4
10
20
35
Estrategias
A
S
Total
1
4
10
20
35
56
84
120
Los totales parciales conforman la sucesión: 1, 4, 10, 15, 20, 35, 56 cuya suma da el total de 120
fichas que tiene Ana para construir ocho triángulos.
A continuación se determina el número de fichas que necesitará Pedrito para construir el
siguiente (el 9º) triángulo, que estará compuesto por 45 fichas.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 81
noviembre de 2012
M
Número
1
3
6
10
15
21
28
36
45
E
Formación
1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
1+2+3+4+5
1+2+3+4+5+6
1+2+3+4+5+6+7
1+2+3+4+5+6+7+8
1+2+3+4+5+6+7+8+9
L
Triángulo
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
B
Calcular el número total de fichas utilizadas después de 5, 6, 7... triángulos para saber cuándo se
llega a 120.
O
Para utilizar la estrategia de organizar la información debemos comprender la regla de
transición de uno a otro. Por ejemplo, ver que del 1º al 2 ° ha sido añadida una segunda línea de 2
fichas, del 2 ° al 3 ° se agregaron 3 fichas ..., ver que se necesitarán seis más para el 6 º, y considerar la
secuencia 1, 3, 6, 10, 15, ... que da el número de fichas de los triángulos siguientes.
R
Usar la modelización para construir los triángulos de Ana, utilizando material apropiado (fichas
de parchís o similares). O dibujarlos. Hacer el recuento de las fichas necesarias para construir cada
uno de los que corresponden a Ana hasta utilizar las 120 fichas y construir también el de Pedrito. A
partir de aquí utilizar la estrategia de ensayo y error para determinar qué triángulos podrían juntar sus
fichas para realizar el de Pedrito.
P
Es un ejemplo claro de problema que puede ser trabajado utilizando diferentes estrategias y
mediante combinaciones diferentes de ellas. Cada grupo de alumnos podrá elegir un camino diferente
de resolución y en la fase final, en la puesta en común de los resultados, aprender mucho de los
intentos de resolución de los compañeros.
85
Educación Primaria: Problemas, Estrategias y Competencias. (Problemas Comentados XXXII)
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Falta encontrar entre los números de la secuencia de los primeros ocho triángulos: 1, 3, 6, 10,
15, 21, 28, 36, los números que permitan formar una suma de 45. Evidentemente, podrá usarse el
ensayo y error, pero también podremos ayudarnos con algo de información complementaria y
deducciones lógicas (ensayo y error dirigido).
Se aprecia de manera inmediata que con dos términos no es posible sumar 45. Tampoco es
posible con más de cuatro términos.
Las soluciones aparecerán con tres términos (una) o con cuatro (dos), ya que 45 = 36 + 9, y
como 9 = 6 + 3 tendremos 45 = 36 + 6 + 3, y, comenzando a partir de aquí, como 36 = 21 + 15
tendremos 45 = 21 + 15 + 6 + 3; pero también propiciar que se pueda encontrar la otra solución
existente 45 = 1 + 6 + 10 + 28.
En Secundaria (también al final del tercer Ciclo de Primaria) se puede intentar que los patrones
visuales encontrados, y resueltos mediante aritmética, se conviertan en una ley algebraica que pueda
ser utilizada directamente para encontrar los valores de los triángulos formados, sin necesidad de
realizar la secuencia completa. En realidad, el proceso seguido es el mismo pero se utiliza como
organizador de la información el álgebra.
Se puede aprovechar la circunstancia para provocar en los alumnos que se interesen por los
números figurados, su historia y, generalizando, la matemática clásica griega.
Respuesta
L
E
M
A
S
Buscar un patrón
B
Pedrito pudo haber utilizado los siguientes grupos de triángulos de Ana:
R
Como ven, un problema realmente valioso, ya que no sólo nos permite el uso de varias
estrategias y diagramas, sino que además se obtienen varias respuestas, con lo que se ponen en marcha
la sistematicidad y la exhaustividad, elementos clave del desarrollo de las competencias básicas.
P
O
Primera opción, triángulos T2, T3 y T8,
Segunda opción, triángulos T2, T3, T5 y T6,
Tercera opción, triángulos T1, T3, T4 y T7.
La cara escondida del cubo
Sobre las caras de un cubo están dibujadas las seis figuras siguientes:
A la derecha hay tres fotos de este cubo colocado en posiciones
diferentes: a), b), c).
Observando estas fotos decir cuál es la figura dibujada
sobre la cara opuesta a aquella en la cual está dibujado el
círculo.
Tenemos aquí un problema que puede trabajarse en el segundo
Ciclo (o en el tercero) de Primaria. En él se reúnen la Geometría
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Vol. 81
noviembre de 2012
NÚMEROS
Educación Primaria: Problemas, Estrategias y Competencias. (Problemas Comentados XXXII)
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
espacial (visión del cubo en el espacio y de su representación en perspectiva) con la Lógica
(separación de los casos y deducción).
Datos
Un cubo; las seis figuras dibujadas en las caras del cubo: doble círculo, círculo sencillo,
cuadrado, estrella de cuatro puntas, estrella de ocho puntas y cruz.
Objetivo
Figura dibujada sobre la cara opuesta a aquella en la que está dibujado el círculo.
Relación
P
Las tres posiciones a), b), c) conocidas del cubo a través de los dibujos en perspectiva.
R
Diagrama
O
Listas, modelo de cubo, desarrollo de cubo (dibujado), diagrama de árbol.
Estrategias
B
Modelización, ensayo y error, organizar la información, eliminación.
L
A continuación observamos la imagen c) y, girando el modelo, comprender que hay una sola
manera de colocar las figuras de las otras dos caras contiguas a la del cuadrado. La cara opuesta al
círculo es la de la estrella de ocho puntas. Comprobar ahora que la imagen b), no usada, es compatible
con esta disposición encontrada.
E
También se puede trabajar razonando la disposición que presentan, en cada una de las tres
imágenes dadas, las posiciones relativas de tres figuras, precisamente las que se encuentran en dos de
ellas. Cada vez que utilizamos una de estas figuras buscamos cuáles son las figuras de las cuatro caras
adyacentes a la utilizada. Por eliminación, encontramos la sexta figura, es decir, la que está sobre la
cara opuesta al círculo.
A
1. Si elegimos el cuadrado como figura común a dos imágenes, tendremos que el cuadrado
está en las imágenes a) y c) con el círculo, el doble círculo, la cruz, la estrella de ocho
puntas en las caras adyacentes, y la estrella de cuatro puntas está en el lado opuesto del
cuadrado.
2. Si elegimos el doble círculo como figura común a las imágenes a) y b) con el círculo, el
cuadrado, la estrella de cuatro puntas y la estrella de ocho puntas en las caras adyacentes, y
la cruz está en el lado opuesto del doble círculo.
3. Si elegimos la estrella de ocho puntas como figura común a las imágenes b) y c) con el
doble círculo, la cruz, la estrella de cuatro puntas y el cuadrado en las caras adyacentes, y el
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 81
noviembre de 2012
87
S
Hay tres casos:
M
Podemos construir un cubo (o su desarrollo) y dibujar sobre sus caras las figuras de una de las
tres imágenes, por ejemplo la a). Tomamos como referencia el cuadrado.
Educación Primaria: Problemas, Estrategias y Competencias. (Problemas Comentados XXXII)
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
círculo está en el lado opuesto al de la estrella de ocho puntas, que nos da, precisamente, la
solución al problema.
También se podría utilizar la orientación del cubo, mediante giros, para determinar la posición
relativa de las figuras. Se van colocando (con unas pegatinas, por ejemplo) las determinadas en la
primera figura. Luego se hace lo mismo, partiendo del resultado anterior, y utilizando la segunda
figura. Finalmente, se repite el procedimiento para la tercera figura, con lo cual bastará con “leer” el
cubo ya completo y se determina la solución.
Si partimos, por ejemplo, de la figura a), donde aparecen el círculo, el doble círculo y el
cuadrado, ver las seis posibilidades de colocar las otras tres figuras (estrella de cuatro puntas, estrella
de ocho puntas y cruz) en las caras ocultas del cubo. Tendríamos algo así:
Ahora se trata de ver cuáles no son compatibles con las figuras b) y c). Las que resulten
compatibles serán solución del problema.
L
E
M
A
S
Finalmente, podríamos hacer una lista de los casos posibles, a partir de una de las tres figuras, y
realizar un análisis de tipo combinatorio.
P
R
O
B
El cubo 1 no es compatible según c), porque la estrella de ocho puntas está al lado del cuadrado.
El cubo 2 no es compatible según c), porque la cruz está al lado del cuadrado.
El cubo 3 es compatible, porque a), b), y c) son respetados.
El cubo 4 no es compatible según b), porque la estrella de cuatro puntas está al lado del doble
círculo.
El cubo 5 no es compatible según c), porque la estrella de ocho puntas está al lado del cuadrado.
El cubo 6 no es compatible según b), porque la estrella de ocho puntas está al lado del doble
círculo.
Una sola compatibilidad implica solución única. Observar la figura combinatoria número 3 y
extraer la posición opuesta al círculo y ver qué figura es.
Respuesta:
La figura dibujada en la cara opuesta al CÍRCULO es la ESTRELLA
DE OCHO PUNTAS.
En el artículo anterior hemos presentado un escrito de Alegría Calderón, una compañera
andaluza que trabaja en Educación Primaria. No fue gratuito. Tenía su fundamento en el hecho de que
los Centros de Profesores de la provincia de Sevilla han realizado una formación abundante sobre
resolución de problemas, estrategias y competencias en muchos Centros de Primaria y Secundaria.
Profesoras y profesores que tenían preocupación por este asunto, otros que conocían algo pero querían
más o, simplemente, el deseo de mejorar su trabajo con los alumnos, durante estos tres últimos años se
han acercado a los CEP de Sevilla, Lora del Río, Écija-Osuna, Alcalá de Guadaíra o Castilleja de la
Cuesta para trabajar la formación en resolución de problemas. Esto se ha traducido en el trabajo en
clase con nuevas perspectivas y abundante innovación en la manera de acercarse a las matemáticas
88
Vol. 81
noviembre de 2012
NÚMEROS
Educación Primaria: Problemas, Estrategias y Competencias. (Problemas Comentados XXXII)
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
con los alumnos. Un ejemplo de la rigurosidad y el entusiasmo con que se está trabajando es lo que
nos ofrecía Alegría en su escrito. Y parece que va a seguir…
En Canarias se hizo un trabajo de ese estilo, “La enseñanza activa de las matemáticas”, que
durante tres años fue un movimiento renovador extraordinario. Pero no duró lo suficiente. Alcanzó a
unos 80 Centros, pero no se generalizó ni se incorporó a Secundaria.
Cada vez está más claro que la innovación educativa necesita un trabajo casi permanente para
poder superar los obstáculos que suponen el continuo movimiento del profesorado (traslados,
jubilaciones, nuevas incorporaciones, cambios de gestores, etc.). Ya es bastante duro sin estas
circunstancias…
R
O
Los problemas que proponemos para su resolución en este artículo provienen del 19° Rally
Matemático Transalpino, concretamente de la Prueba Final, correspondiente a mayo - junio de 2011
(©ARMT 2011).
P
Pero parece que de nuevo se pone en marcha en Canarias un proyecto de formación. El Consejo
Escolar de Canarias, en colaboración con la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de
Matemáticas, ha realizado una experiencia piloto en dos zonas de Tenerife, con tres Colegios en cada
una, para analizar la posibilidad de redactar un Proyecto ambicioso que permita una acción más amplia
y continuada durante el próximo curso y siguientes. En eso están y nosotros podremos dar cuenta, en
su momento, de cómo han ido las cosas.
B
L
Los gestores del Rally advierten que dichos problemas están protegidos por derechos de autor.
Para su utilización en clase, se ruega indicar la procedencia del problema con la formula "©ARMT" o
informar de la dirección de la página web.
Para su utilización comercial, se ruega contactar con los coordinadores internacionales a partir
del sitio Internet de la Asociación del Rally Matemático Transalpino (www.armtint.org).
E
Para el próximo volumen proponemos problemas que se corresponden a niveles de Secundaria
Obligatoria, aunque, como siempre, es posible aplicarlos en el tercer Ciclo de Primaria, con las
debidas precauciones o con la adaptación conveniente.
M
A
El regalo de cumpleaños
S
Los trillizos Aldo, Giovanni y Giacomo han decidido regalar a su mejor amigo, para su
cumpleaños, el videojuego que desea desde hace tiempo. Sin embargo, ninguno de los
trillizos tiene en su propia hucha el dinero suficiente para comprar el videojuego: a Aldo
le faltan 17 euros, a Giovanni 13 euros y a Giacomo 21 euros.
Ellos deciden juntar sus ahorros y descubren así que, no sólo pueden regalar el
videojuego a su amigo, sino que también pueden comprarse otro igual y tener todavía un
sobrante de 7 euros.
¿Sabéis decir cuánto cuesta el videojuego y cuántos euros tenía cada trillizo en su
propia hucha?
La espiral
Leonardo forma rectángulos juntando cuadrados. Ha comenzado con dos pequeños
cuadrados, uno de los cuales tiene un vértice en el punto A, después ha continuado
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 81
noviembre de 2012
89
Educación Primaria: Problemas, Estrategias y Competencias. (Problemas Comentados XXXII)
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
adosando un cuadrado a la derecha, después uno debajo, después uno a la izquierda,
después uno encima, después de nuevo uno a la derecha y así sucesivamente.
En la figura está representado el rectángulo formado por los primeros siete cuadrados,
que tiene un vértice en el punto B.
Leonardo ha dibujado a continuación un cuarto de circunferencia en el interior de cada
uno de los siete cuadrados; cada
cuarto de circunferencia une dos
vértices opuestos de un cuadrado y
tiene el centro en otro vértice del
mismo cuadrado.
S
Los primeros siete cuartos de
circunferencia forman una “espiral”
que va desde A hasta B.
A
El perímetro del rectángulo formado
por los primeros siete cuadrados
mide136 cm.
El código de Toni
Toni ha elegido un código para la combinación de su maleta.
Este código es un número de tres cifras todas diferentes entre sí y ninguna es igual a 0. Si
se suman todos los números de dos cifras que se pueden formar con las tres cifras del
código y después se multiplica la suma así obtenida por dos, se encuentra exactamente el
código.
B
L
E
M
¿Cuál es la longitud de la espiral desde A hasta B?
Escribe la medida utilizando π o con una aproximación al milímetro.
P
R
O
¿Cuál es el código de Toni?
Y quedamos así hasta la próxima entrega. Pero seguimos insistiendo: resuelvan los problemas,
utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la revista, sus soluciones e,
incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de la clase en que
probaron el problema. Eso nos alegraría mucho y también al resto de lectores. Aplíquense…
Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista. ¡Y ya
van 82!
Un saludo afectuoso del Club Matemático.
90
Vol. 81
noviembre de 2012
NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
E
ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, páginas 91-101
X
Funciones con modelización matemática
P
E
A
U
Generalmente en las clases de Matemática se hace hincapié en la resolución de problemas
matemáticos rutinarios en un ambiente libre de contexto. Incluso en alguna ocasión, cuando un
problema de la vida real se discute en el aula, suele ser un problema bastante artificial creado con el
propósito de introducir un tema o de aplicar algún contenido ya estudiado. Este tipo de prácticas hace
que sea difícil convencer a los alumnos de que las aplicaciones de esta área de conocimiento a la vida
real realmente existen.
D
En este trabajo se describe y analiza una experiencia de modelización en el aula desarrollada
con alumnos de entre 14 y 15 años. Las distintas etapas del proceso de modelización se reportan a
través del trabajo de un grupo de alumnos de 9.º año de Educación General Básica (E.G.B).
S
1. Introducción
A
Mathematical modeling – Teaching secondary – Learning – Functions.
I
Keywords
C
In this paper we describe and analyze an experiment carried out with students of 14 and
15 year olds using mathematical modeling as a pedagogical strategy.
From the productions of the students we want to point out that it is through the
construction of models that students relate mathematical concepts with the reality and
they understand its importance in the application to other disciplines.
The analysis of some observations is presented through the implementation in the
classroom of the mathematical modeling based on a topic of the high school curriculum.
N
Abstract
E
Modelización Matemática – Enseñanza Secundaria – Aprendizaje – Funciones.
I
Palabras clave
R
En este trabajo describimos y analizamos una experiencia llevada a cabo con alumnos de
14 y 15 años utilizando la Modelización Matemática como estrategia pedagógica.
A partir de las producciones de los alumnos se destaca que es a través de la construcción
de modelos, que el alumno relaciona los conceptos matemáticos con la realidad y
entiende la necesidad del estudio de la Matemática y su importancia en la aplicación a
otras disciplinas.
Se presenta el análisis de algunas observaciones acerca de la implementación en el aula
de la Modelización Matemática a partir de un tema de la currículos de la escuela
secundaria.
Coordinador: Carlos Duque Gómez
Resumen
E
Marisa Elisabet Reid (Universidad Nacional de La Pampa. Argentina)
María Inés Gareis (Universidad Nacional de La Pampa. Argentina)
Araceli Elisabet Hernández (Universidad Nacional de La Pampa. Argentina)
Marina Vanesa Roldán (Universidad Nacional de La Pampa. Argentina)
L
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
A
A menudo la matemática es considerada por los alumnos como un conjunto de distintos temas
que están fragmentados y no se les presentan situaciones donde tengan la necesidad de relacionar
diferentes contenidos. En la vida real, sin embargo, las situaciones problemáticas que se nos presentan
Funciones con modelización matemática
A
Motivadas por el deseo de lograr un modo de trabajo más satisfactorio, más placentero, más
motivador, tanto para el alumno como para el profesor, nos centramos en la búsqueda de nuevos
caminos, considerando a la enseñanza de la Matemática ya no como una mera transmisión de técnicas
de resolución, sino como un instrumento relevante para el abordaje de las situaciones, que ofrece
asimismo la oportunidad de conectar y utilizar ideas de diferentes áreas de conocimiento. Debemos
considerar el aprendizaje matemático como una construcción del conocimiento, asumiendo que
definir, probar y modelar son elementos clave en la construcción del conocimiento matemático
(Sánchez y otros, 2008).
En estos términos, entendemos que más importante que transmitir información o contenidos
para ser reproducidos cuando sea solicitado es desarrollar en los alumnos habilidades y estrategias que
les permitan, de forma autónoma, generar nuevos conocimientos a partir de otros ya previamente
adquiridos. Para desarrollar en los alumnos tales habilidades, se hace necesario invertir en estrategias
de enseñanza que los habitúen a tener disponibles los conocimientos necesarios para las situaciones
planteadas.
La modelización matemática vista como un proceso implica una serie de acciones. El ciclo
comienza con la determinación de un fenómeno o problema del mundo real, el cual es observado y
sometido a un proceso de experimentación con lo que se pretende profundizar en su comprensión y en
la búsqueda de datos. Como no es posible considerar y/o identificar todos los factores involucrados en
el fenómeno, se hacen las simplificaciones y supuestos que eliminen algunos de éstos para con ello
construir un modelo matemático que represente al fenómeno. Construido el modelo, se generan todos
los análisis posibles y se utilizan las herramientas matemáticas para determinar una solución teórica de
la cual se desprenden las conclusiones del modelo. Estas conclusiones deben ser posteriormente
interpretadas a la luz del fenómeno.
Leinhardt et al (1990) sostienen que las prácticas de modelización y de graficación han
contribuido a proporcionar acercamientos innovadores al concepto de función en la enseñanza de la
Matemática.
En la búsqueda de la coherencia entre las conclusiones del modelo y el fenómeno mismo se
plantean estrategias de evaluación y validación. Si después de la validación el modelo es acorde al
problema inicial, finaliza el ciclo. En caso contrario debe comenzarse un nuevo ciclo.
La modelización es una actividad compleja por el gran número de conexiones y relaciones que
requiere establecer, y que tienen que ver con que los estudiantes:
•
•
•
•
•
estructuren y analicen la situación o problema inicial,
expresen esa situación en términos matemáticos,
construyan o usen herramientas matemáticas para resolver ese problema,
interpreten los resultados obtenidos en términos de la situación o problema inicial, y
analicen y critiquen ese modelo y sus resultados.
Desarrollar tareas que promuevan todas esas actuaciones puede resultar muy complejo, pero es
posible diseñarlas de manera que se centren sólo en algunas de ellas.
E
X
P
E
R
I
E
N
C
I
A
S
D
E
A
U
no están generalmente bien definidas y frecuentemente tenemos que aplicar ideas y conceptos de un
área para resolver los problemas que surgen en otro.
L
M. E. Reid; M. I. Gareis; A. E. Hernández; M. V. Roldán
92
Vol. 81
noviembre de 2012
NÚMEROS
Funciones con modelización matemática
M. E. Reid; M. I. Gareis; A. E. Hernández; M. V. Roldán
E
Desde el punto de vista metodológico, es esencial destacar que es a través de la construcción de
modelos cuando el alumno relaciona los conceptos matemáticos con la realidad y entiende la
necesidad del estudio de la Matemática y su importancia en la aplicación a otras disciplinas.
X
P
E
R
La modelización permite al profesor considerar el entorno físico y social para abordar
situaciones problema dentro de contextos vinculados a los alumnos, es decir, el docente tendrá en este
organizador muchas opciones que le puedan ayudar a relacionar los conceptos matemáticos con el
mundo real, de tal manera que los alumnos puedan vislumbrar una mayor importancia a los temas de
Matemática. La modelización también contribuye a que los alumnos perciban la Matemática como una
disciplina que puede utilizarse para comprender y modificar la realidad, mediante el planteamiento de
situaciones problema del mundo real, lo más cercanas posibles a la sensibilidad del estudiante (Castro
y Castro, 1997; Ortiz, 2000).
I
2. Descripción general de la experiencia
E
2.1. Contexto donde se realizó la experiencia
I
A
S
La falta de interés por la matemática y la pasividad del alumnado ante su aprendizaje fueron
algunas de las causas que motivaron a la docente a la búsqueda de otra forma de abordar un nuevo
concepto matemático de los currículos.
C
La institución escolar contaba con importantes recursos edilicios, como laboratorios y sala de
computación. La docente a cargo de los alumnos y autora del presente trabajo realizaba sus primeras
experiencias con modelización.
N
La experiencia fue llevada a cabo por una de las autoras de este trabajo y docente de
Matemática en el Tercer Ciclo del colegio secundario “Educadores Pampeanos”, ex Unidad Educativa
N.º 13 de General Pico (La Pampa, Argentina), con la intención de ofrecer al alumno estrategias para
enfrentar los desafíos del mundo contemporáneo.
2.2. Temporalización
D
La experiencia se realizó en el año 2010, y las actividades fueron planificadas para desarrollarse
en tres clases semanales, dos de 80 minutos cada una y una de 40 minutos, destinadas a la asignatura
de Matemática, en un curso de 9.º año de 26 alumnos cuyas edades rondaban entre los 14 y 15 años.
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2.3. Metodología
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Dado el nivel de abstracción necesario para la exploración de las representaciones funcionales y
su vínculo con los conceptos matemáticos, el tema puede ser abordado inicialmente de manera
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En el eje “el lenguaje de las funciones” de los contenidos curriculares para el Tercer Ciclo de
EGB, la acción está orientada en proponer a los estudiantes actividades abiertas y creativas,
provocando la mayor cantidad y variedad de respuestas escolares sobre las nociones de función y su
representación, tratando de encauzar los intereses de los alumnos hacia una mayor riqueza y
profundidad de las interpretaciones. A partir del análisis de determinadas situaciones análogas de la
vida cotidiana, se puede construir un modelo matemático que describa estas situaciones en términos de
relaciones matemáticas y que permita hacer predicciones. Este modelo no siempre describe
exactamente la realidad, sino que lo hace de manera aproximada y debe elegirse el más satisfactorio.
Funciones con modelización matemática
La propuesta fue una invitación al estudio de Funciones a partir de la modelización matemática
como estrategia pedagógica. La primera parte de la actividad se desarrolló en el laboratorio del
colegio, con una participación activa de los alumnos que trabajaron en grupo de cuatro o cinco
integrantes. La segunda parte de esta experiencia se llevó a cabo en el aula.
Aunque la docente participó en uno de los grupos de trabajo como una integrante más del
mismo, su rol fundamental fue acompañar y guiar a todos los alumnos en este proceso de aprendizaje,
convirtiéndose éstos en los verdaderos protagonistas activos de la experiencia.
3. Desarrollo de la experiencia
El concepto a desarrollar fue Funciones, uno de los conceptos más importantes del Análisis
Matemático y esencial para la comprensión de los temas siguientes (de este 9.º año y de cursos
posteriores) como así también uno de los más complejos y, por lo tanto, de difícil interpretación.
Tradicionalmente se enseñan conocimientos sin atribuir ningún protagonismo a los procesos de
modelización de los sistemas (matemáticos o extramatemáticos) que los han generado. Y se acaba
mostrando los usos o aplicaciones de estos conocimientos al final, de forma independiente de las
problemáticas que les dieron origen. Sin embargo, resulta ser más interesante ver cómo un gráfico y la
función pueden surgir de una situación real.
Estamos convencidas de que la interrelación de los contenidos matemáticos con otras áreas del
saber permite apreciar mejor los conceptos y ser consciente de su aplicabilidad y, desde el punto de
vista didáctico, ello da lugar a un aprendizaje más integrador y relacional de los conceptos, procesos y
aplicación de los mismos ante situaciones similares.
Para comenzar con la experiencia de modelización, se les pidió a los alumnos que llevaran a la
clase de Matemática botellas de distintas formas. La docente también llevó varias botellas, cuyos
modelos le servirían para explicar el nuevo concepto a abordar.
La actividad se desarrolló en el laboratorio. La tarea consistió en medir el tiempo que se tarda
en el llenado de una botella, usando para esto una canilla, un bidón o una jarra.
Es importante mencionar algunas conclusiones a las que los chicos arribaban mientras
realizaban las mediciones:
• los valores medidos no eran exactos porque eran diferentes las personas que medían y
llenaban la botella;
• aparecieron errores debido a que el cronómetro no se detenía en el momento exacto;
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La participación de la docente en ese grupo se debió a que el mismo estaba conformado por
alumnos que habitualmente molestaban y presentaban bastantes problemas de conducta a la hora de
trabajar, impidiendo así el buen desarrollo de la clase. Para sorpresa de la profesora, todos los
integrantes se mostraron muy interesados en la actividad y participaron en las mediciones.
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informal. El trabajo con la relación de proporcionalidad, su utilización para la construcción del
concepto de función, la interpretación y organización de la información, la lectura, análisis y la
traducción entre los distintos modos de representación, son considerados como saberes previos
indispensables en el desarrollo de esta experiencia. Janvier (1987) enfatiza la importancia de las tareas
de conversión entre diferentes tipos de representaciones (verbal, tabla, gráfica y expresión algebraica).
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M. E. Reid; M. I. Gareis; A. E. Hernández; M. V. Roldán
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• observaron que al llenar la botella, ya sea utilizando la canilla, el bidón o la jarra,
obtenían distintos caudales de agua.
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Con el fin de simplificar la cuestión, la docente decidió que todos los alumnos consideren que el
caudal de agua es constante a lo largo del tiempo que dura el llenado de la botella. Con estos acuerdos
cada grupo representó los datos en una tabla y luego los representaron gráficamente. En la Figura 1
mostramos el trabajo de uno de los grupos.
E
Ahora bien, el modelo hallado por el grupo de estudio se halla en consonancia con la definición
dada por Biembengut y Hein (2003) quienes afirman que un modelo matemático puede ser formulado
en términos familiares, tales como: expresiones numéricas o fórmulas, diagramas, gráficos o
representaciones geométricas, ecuaciones algebraicas, tablas, programas computacionales, etc. Dicho
modelo proviene de aproximaciones realizadas para poder entender mejor un fenómeno y retrata,
aunque con una visión simplificada, aspectos de la situación investigada.
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En este contexto, la comprensión del hecho de que existe una conexión entre el tiempo
empleado y la altura que alcanza el agua en la botella nos llevó a la formulación de un primer
problema sobre el cual trabajar: “¿Cuánto tiempo se emplea para llenar una botella?”. Para poder
responder esta pregunta la docente propone que se identifiquen las variables. Así surgen cuestiones
tales como caudal de agua, forma de la botella, etc., que regulan el uso de agua durante el llenado.
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Todas estas conclusiones fueron rescatadas por la docente a cargo de la experiencia en el
momento de la puesta en común, con el propósito de analizarlas y someterlas a discusión del conjunto
de la clase.
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Figura 1
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Funciones con modelización matemática
Ante el planteo de uno de los grupos: “hay un recipiente en el que la altura del líquido avanza
de manera constante en relación con el tiempo”, se decide analizar el caso de una botella de forma
cilíndrica. Los datos organizados fueron representados gráficamente. En la Figura 2 presentamos los
gráficos obtenidos por dos grupos.
En la Figura 2 (a), se evidencia que la relación planteada es directamente proporcional y los
alumnos no tuvieron dificultad para responder la pregunta planteada por la docente: “¿Cuánto tiempo
se necesitará para llenar la botella a la mitad? ¿Y a la cuarta parte?”.
El grupo que presentó el gráfico de la Figura 2 (b) argumentó que si unían los puntos la gráfica
no sería una recta, pero que ese error seguramente se debía a sus mediciones.
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(b)
Figura 2
A través de este tipo de experiencias, el alumno forma sólidas raíces cognitivas para el
aprendizaje del concepto de función y de las diferentes representaciones conectadas al gráfico.
Además, el estudiante es capaz de interpretar el llenado de botellas matemáticamente, al cambiar la
pendiente de la recta del modelo según cambie el flujo del agua. Reproducimos en la Figura 3 una de
las respuestas respecto a la velocidad de llenado de las botellas de forma cilíndrica planteada por la
docente.
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(a)
Figura 3
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Posteriormente, la profesora preguntó: “Si inicialmente la botella no estaba completamente
vacía, ¿cómo sería el gráfico?”
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Esta experiencia y reflexión son ciertamente una buena base para el aprendizaje del concepto de
pendiente de una función lineal.
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A partir de los datos tomados de la vida real se debe validar el modelo matemático que permita
explicar el fenómeno, cuestionando las suposiciones básicas, los datos usados para estimar los
parámetros, predecir o anticipar lo que podría suceder, por ejemplo, con otra botella de diferente
ancho.
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A continuación la docente dejó planteadas las siguientes preguntas: “Si se utiliza la misma
canilla, que arroja siempre el mismo caudal de agua, pero se considera una botella más ancha y de
forma cilíndrica, ¿cómo se modificaría el gráfico? ¿Responden a funciones directamente
proporcionales? ¿Por qué? ¿Y si fuera más angosta la botella?”
E
La respuesta de uno de los grupos la mostramos en la Figura 4:
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Figura 4
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Las preguntas que realizó la docente estaban organizadas para que los alumnos elaboraran
conclusiones acerca de la relación entre la altura del líquido en la botella y el tiempo transcurrido para
colocar ese líquido en la misma.
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• La curva es continua porque no hay un corte en la medición del tiempo de llenado.
• Las variables tiempo y altura del líquido en la botella cambian simultáneamente.
• A medida que transcurre el tiempo la imagen de estos puntos corresponde a alturas cada
vez mayores, ya que la cantidad de agua en la botella aumenta.
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En la puesta en común, a partir de los comentarios de los alumnos y de la observación de las
gráficas surgen cuestiones tales como:
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• Si se le agrega una cantidad fija de agua, los intervalos de tiempo permanecen
constantes.
• Si se añade a la botella una cantidad fija de agua antes de comenzar con el llenado,
entonces la gráfica ya no corresponde a proporcionalidad directa.
• Se identificaron los problemas que influían negativamente en las mediciones.
En este momento fue importante la intervención de la docente para terminar con una
institucionalización: a partir de lo que aparece en el transcurso de la gestión de la clase la docente
institucionaliza lo que debe ser conservado como saber.
En la Figura 5 se muestra la tabla realizada por uno de los grupos, mostrando los datos
empíricos que obtuvieron en el laboratorio, y la gráfica realizada con el programa mencionado.
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Una vez que los estudiantes se mostraron familiarizados con el concepto de función, la docente
llevó a los alumnos a la sala de computación para que utilizaran el software Graph1.
y
PointSeries1
PointSeries2
8
(2.3,8)
(7.57,8)
7
S
6
(1.9,6)
(6.61,6)
5
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4
(1.3,4)
(5.32,4)
3
2
(0.79,2)
(2.12,2)
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1
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0.5
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1.5
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2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
C
-0.5
Posteriormente se ajustaron los valores obtenidos empíricamente para el caso de recipientes de
forma cilíndrica utilizando las potencialidades del software para obtener la fórmula de la función lineal
correspondiente.
Al finalizar la actividad y el análisis de la relación entre las dos magnitudes presentadas, los
alumnos estaban en condiciones de comprender el concepto de función. De esta manera se pudo
observar que la experiencia llevada a cabo fue de suma importancia en la adquisición de este nuevo
conocimiento.
Una vez trabajada la definición del concepto en cuestión se realizaron actividades de aplicación.
Se les presentaron a los alumnos actividades donde se mostraban gráficos que describían la relación
entre dos magnitudes y se les solicitaba la representación en su contexto físico y viceversa, es decir, se
busca generar en ellos la articulación de un contexto físico a una representación gráfica.
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Figura 5
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1
Software que permite la construcción de gráficos de funciones a partir de su expresión analítica o de una tabla
de datos. Disponible gratuitamente en http://www.padowan.dk/graph/
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4. Resultados y evaluación de la experiencia
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• Las actividades con uso de TIC demandan más tiempo del planificado, lo que llevó a
una modificación continua del cronograma de clase.
• La planificación y desarrollo de este tipo de actividades requiere mayor tiempo debido a
la escasa bibliografía disponible.
• Falta de organización institucional para el uso de la sala de computación.
• La elección de una situación a modelizar no es una tarea sencilla ya que debe lograr
motivar e interesar al alumno.
E
Sin duda alguna, la evaluación fue muy positiva en todos los aspectos y para todos los actores
implicados. Sin embargo, podemos mencionar algunas dificultades observadas:
I
Durante el proceso de modelización, cada uno de los grupos puso especial énfasis en la
organización e interpretación de la información, lo que les permitió adecuarse a las condiciones del
problema e interpretar la información en términos matemáticos, identificando constantes y variables
relevantes, tanto en la descripción de la situación planteada como en la solución, así como en la
correspondiente representación gráfica
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La actividad permitió usar la tecnología para solucionar un problema en contexto real. El
software Graph fue utilizado como herramientas de apoyo en la solución del problema, posibilitando
ampliar el dominio de recursos a disposición del estudiante y contribuyendo a que los alumnos
pudieran hacer ajustes de curvas y realizar tareas de tratamiento de distintas representaciones (tabular,
gráfica y algebraica).
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En el proceso de resolución del problema se integraron diferentes contenidos: los conceptos de
variable independiente, dependiente y de función. Además los estudiantes pusieron en práctica varios
procesos centrales del pensamiento matemático, como el uso de distintos registros de representación,
hacer interpretación de gráficos, predecir y construir un modelo matemático a partir de un fenómeno
real.
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La actividad planteada les permitió a los estudiantes solucionar un problema en contexto real.
En este sentido, los alumnos se involucraron de manera directa en la búsqueda de la solución del
problema asumiendo un rol activo, el cual les demandó tomar datos reales del fenómeno, procesar
dichos datos, construir un modelo matemático y socializar los procedimientos y los resultados con sus
compañeros de clase.
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Los alumnos no tenían conocimiento formal acerca de la modelización matemática antes de la
experiencia, y los pasos del proceso de modelización en su trabajo no se hicieron explícitos por parte
de la docente. Sin embargo, la planificación del curso y las interacciones de la docente con los
alumnos fueron guiadas por la idea de enseñar Matemática a través de actividades de modelización, y
tal como fue demostrado, la experiencia pudo ser descripta y analizada con referencia a las etapas de
un proceso de modelización.
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5. Reflexiones finales
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M. E. Reid; M. I. Gareis; A. E. Hernández; M. V. Roldán
Acordamos con Blomhøj (2004) en que los argumentos más importantes a favor de la
modelización matemática como elemento central en la enseñanza de la Matemática son:
Los alumnos se mostraron muy interesados en el tema y comprendieron muy bien los distintos
registros en que trabajaron la función lineal, especialmente la representación gráfica ya que todos
podían verificar que el procedimiento era incorrecto si al graficar no quedaban puntos alineados.
Los resultados de este estudio sugieren que la exploración informal puede promover un mayor
compromiso y sentido por parte de los estudiantes.
En forma general, podemos mencionar varios logros sobre la puesta en marcha de la
experiencia:
• El uso de herramientas informáticas como el software Graph resultó motivador en el
trabajo de los alumnos.
• La posibilidad de que los estudiantes verbalicen su razonamiento y la retroalimentación
generada en el grupo de compañeros.
• La producción de una respuesta razonable al problema planteado debido a que los
estudiantes continuaron refinando sus soluciones.
• El intercambio de ideas en el desarrollo de la clase fortaleció la posibilidad de
argumentación.
• A través de un proceso de modelización, los alumnos forman sólidas raíces cognitivas
para el aprendizaje del concepto de función y de las diferentes representaciones
conectadas al gráfico de la recta.
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• Tiende puentes entre la experiencia de la vida diaria de los alumnos y la Matemática.
Esto motiva el aprendizaje de la Matemática, provee de apoyo cognitivo directo a las
conceptualizaciones de los alumnos y coloca a la Matemática como un medio para
describir y entender situaciones de la vida diaria.
• En el desarrollo de sociedades altamente tecnológicas, las competencias para establecer,
analizar y criticar modelos matemáticos son de crucial importancia.
Bibliografía
Barbosa, J. C. (2001). Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico, en
Reunião anual da ANPED, 24, Caxambu. Anais... Rio Janeiro: ANPED.
Bassanezi, R. C. (2002). Ensino-aprendizagem com modelagem matemática - uma nova estratégia.
São Paulo: Editora Contexto.
Biembengut, M., Hein, N. (2003). Modelagem Matemática no Ensino. 3a ed., São Paulo: Contexto.
Blomhøj, M. (2004). Mathematical Modelling – A Theory for Practice. In Clarke, B. et al. (eds.),
International Perspectives on Learning and Teaching Mathematics. Göteborg: National Center for
Mathematics Education, pp. 145-159.
Borba, M. C., Villarreal, M. E. (2005). Humans-with-Media and the Reorganization of Mathematical
Thinking: Information and Communication Technologies, Modeling, Visualization and
Experimentation. New York: Springer Science+Business Media, Inc.
Castro, E. & Castro E. (1997). Representaciones y Modelización. En L. Rico (Coord.), La educación
Matemática en la enseñanza secundaria. Barcelona, España: Horsori.
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Funciones con modelización matemática
M. E. Reid; M. I. Gareis; A. E. Hernández; M. V. Roldán
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Janvier, C. (1987). Representation and understanding: The notion of function as an example. In C.
Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (pp. 67-70).
Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
Johansen Ivan. (2009). “Manual Graph Versión 4.4”. Traducido al español por Francisco Oliver.
Leinhardt, G., Zaslavsky, O., & Stein, M. K. (1990). Functions, graphs, and graphing: Tasks, learning,
and teaching. Review of Educational Research, 60(1), 1-64.
Materiales Curriculares Tercer Ciclo EGB (1997). Ministerio de Cultura y Educación de la provincia
de La Pampa.
Ortiz, J. (2000). Modelización y calculadora gráfica en la formación inicial de profesores de
Matemática. Granada: Universidad de Granada.
Sadovsky, P. (2005). Enseñar Matemática hoy. Miradas, sentidos y desafíos. Libros del Zorzal.
Sánchez, M. V., García, M., Escudero, I., Gavilán, J. M. & Sánchez-Matamoros, G. (2008). Una
aproximación a las matemáticas en el bachillerato. ¿Qué se pretende que aprendan los alumnos?,
Enseñanza de las Ciencias, 26(2), 271-280.
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A
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D
Marina Vanesa Roldán, Profesora en Matemática por la Universidad Nacional de La Pampa. Docente
auxiliar en Matemática Discreta, cátedra de la Facultad de Ingeniería de la UNLPam. Integrante del
proyecto de investigación “Modelización como estrategia pedagógica y empleo de tecnologías de la
información y la comunicación en educación matemática”.
C
Araceli Elisabet Hernández, Licenciada en Matemática por la Universidad Nacional de La Pampa.
Profesora Adjunta en Matemática Discreta de la Facultad de Ingeniería (UNLPam) y Ayudante Simple en
Matemática Discreta en la carrera Profesorado en Computación de la Facultad de Ciencias Exactas y
Naturales (UNLPam). Integrante del proyecto de investigación “Modelización como estrategia
pedagógica y empleo de tecnologías de la información y la comunicación en educación matemática”.
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María Inés Gareis, Profesora en Matemática por la Universidad Nacional de La Pampa. Docente auxiliar
en Análisis Ia y Análisis Ib de la Facultad de Ingeniería de la UNLPam. Integrante del proyecto de
investigación “Modelización como estrategia pedagógica y empleo de tecnologías de la información y la
comunicación en educación matemática”.
E
Marisa Elisabet Reid, Licenciada en Matemática por la Universidad Nacional de La Pampa. Profesora
Adjunta en Análisis III de la carrera Licenciatura en Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y
Naturales (UNLPam). Integrante del proyecto de investigación “Modelización como estrategia
pedagógica y empleo de tecnologías de la información y la comunicación en educación matemática”.
Cuenta con publicaciones en el área de educación matemática y presentaciones de comunicaciones en
congresos nacionales e internacionales.
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Vol. 81
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, páginas 103-105
La certeza absoluta y otras ficciones. Los secretos de la estadística
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Pere Grima
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EDITORIAL RBA
Colección: El mundo es matemático
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ISBN: 9788498679441
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de Profesores de Matemáticas
I
La estadística y la probabilidad son áreas de la matemática que se hacen fundamentales hoy en
día para interpretar y comprender la información del mundo en que vivimos, son imprescindibles, por
ejemplo, para interpretar correctamente datos que continuamente aparecen en todos los medios de
comunicación. Elegir e interpretar los datos que nos ayuden a responder una pregunta no siempre es
fácil. Incluso los más experimentados científicos pueden cometer errores que lleven a consecuencias
desastrosas, como ocurrió en el despegue del transbordador espacial Challenguer en 1986. Este
proyecto se había desarrollado para que el lanzamiento se realizara a temperaturas mucho más altas de
las que había el día previsto para el despegue. Se analizaron los datos de otros lanzamientos
realizados, donde las juntas habían sufrido algún deterioro y se concluyó que no había evidencias de
que la temperatura afectara a este deterioro. Uno de los errores que se cometió fue que no se tuvieron
en cuenta los vuelos en los que las juntas no se habían deteriorado. Un análisis detallado del
comportamiento de las juntas en todos los lanzamientos hubiera puesto de manifiesto la relación entre
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142 páginas
La certeza absoluta y otras ficciones. Los secretos de la estadística. Pere Grima
Reseña: M. T. Bethencourt Viña
los desperfectos observados y la temperatura de lanzamiento. Tal vez la explosión del Challenguer se
podría haber evitado.
Está escrito de forma muy amena y sencilla, con distintos ejemplos que facilitan la comprensión
de conceptos básicos de la estadística y la probabilidad. Al mismo tiempo reflexiona sobre algunos
errores que suelen cometerse y, siguiendo la pauta de utilizar ejemplos, las más de las veces reales,
consigue que sin fórmulas se entienda dónde está el error y por qué se ha cometido. Un ejemplo es
cómo varía visualmente un gráfico como el histograma dependiendo de las escalas elegidas o la
anchura de sus intervalos.
Está escrito en un lenguaje claro y correcto lo que lo hace útil para ser usado por educadores
que quieran presentar ejemplos que resulten más reales a su alumnado. Muchos de los ejemplos que
presenta el libro resultan curiosos, cosa que los hace interesantes. Además estos ejemplos pueden
usarse para no caer en la trampa de sacar conclusiones erróneas en distintas situaciones.
El libro consta de cinco capítulos que abarcan desde la estadística descriptiva a los contrastes de
hipótesis. Veamos más detenidamente qué trata cada capítulo:
Capítulo 1: Estadística descriptiva: cómo sacar información relevante de una maraña de datos.
Sitúa históricamente la necesidad de desarrollar estrategias para analizar la realidad. A través de
la gran epidemia de cólera de 1854, en el distrito londinense del Soho, el autor nos relata cómo el
doctor John Snow construyó un gráfico sobre un mapa, indicando el número de víctimas sobre cada
vivienda, que demostraba que el origen de la epidemia estaba en una de las fuentes públicas. Esto hizo
que las autoridades la desmantelaran, consiguiendo así la erradicación puntual de esta epidemia y la
constatación de que el cólera podía transmitirse por un medio acuoso.
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El libro objeto de esta reseña puede ser una herramienta útil para establecer ese puente entre la
matemática, como disciplina, y sus aplicaciones a situaciones de la vida real.
Se describen y ejemplifican los distintos tipos de medidas para resumir la información y las
formas de representarla. Hay ejemplos interesantes como la forma en que la enfermera Florence
Nightingale consigue a mediados del siglo XIX que la mortalidad en un hospital militar en el frente
pasara del 40 al 2%, todo gracias a que documentó con datos la asociación entre la masificación de
enfermos y la tasa de mortalidad, centrando sus actuaciones en mejorar la limpieza, la nutrición y el
orden en los cuidados a los enfermos. En este capítulo también se recuerdan casos donde el análisis
erróneo de los datos tuvo consecuencias desastrosas como la explosión del transbordador espacial
Challenguer en 1986 que comentamos al inicio de esta reseña.
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NÚMEROS
La certeza absoluta y otras ficciones. Los secretos de la estadística. Pere Grima
Reseña: M. T. Bethencourt Viña
Capítulo 2: Cálculo de probabilidades: criterios para movernos en un mundo de incertidumbre.
De la misma forma amena se exponen los orígenes y utilidades de la probabilidad. Analiza las
distribuciones más sencillas (binomial, Poissson y normal), generalizando sus expresiones.
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Capítulo 3: Conocer el todo mirando una parte.
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Acaba el capítulo con un recorrido por “probabilidades sorprendentes” como pueden ser los
falsos positivos en una enfermedad o la probabilidad de que dos estudiantes de una clase celebren su
cumpleaños el mismo día.
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Describe con multitud de ejemplos cómo podemos obtener información de una población sin
analizarla de forma exhaustiva. De forma muy sencilla explica cómo el tamaño de la muestra casi no
depende del tamaño de la población y que descuidar la representatividad de la muestra es lo que en
realidad puede conducir a errores.
Capítulo 4: Cómo razonamos para tomar decisiones.
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Capítulo 5: ¿Es mejor? ¿es más eficaz? Cómo diseñar pruebas para responder a estas preguntas.
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Mediante el ejemplo de una catadora de té que dice ser capaz de distinguir un sabor diferente si
el té se pone antes o después de la leche se hace necesario contrastar esta afirmación desarrollando
todo el razonamiento previo.
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En relación con la docencia, este libro es un instrumento interesante para los profesores de
secundaria. Puede ser útil darles a los estudiantes apartados o ejemplos concretos para que los lean,
sirviendo como toma de contacto en unos casos y para que puedan profundizar en otros. Los dos
primeros capítulos pueden utilizarse en toda la secundaria, sin embargo los tres últimos son más
apropiados para bachillerato. Este libro utiliza el lenguaje habitual para describir las matemáticas que
nos encontramos continuamente y eso facilita que sea utilizado en niveles diferentes. El libro como
lectura complementaria sería recomendable sólo a alumnos de 2º de bachillerato.
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María Teresa Bethencourt Viña (Licenciada en Matemáticas)
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Recorre distintos casos, entre ellos el desarrollo de la vacuna contra la poliomelitis y las
dificultades que fueron apareciendo de forma experimental, como la elección de un grupo de control o
la necesidad de que fuera un diseño doble ciego, y cómo esas dificultades se fueron subsanando para
que los resultados del estudio fueran fiables.
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ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, páginas 107-110
Matemáticas en la vida real
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G. Barozzi, M. Bergamini, D. Boni, R. Ceriani, L. Pagani
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EDITORIAL Octaedro
ISBN: 978-84-9921-135-0
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159 páginas
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A raíz de este nuevo enfoque de la enseñanza, en el mercado han surgido diversos materiales
cuyo objetivo es tratar de ayudar al profesorado en la tarea de comprender qué son las competencias
básicas, cómo se trabajan y cómo pueden evaluarse. El libro que nos ocupa en esta reseña es uno de
esos materiales, centrado en la evaluación de las competencias básicas, aspecto que trae de cabeza al
profesorado en general y al de matemáticas en particular.
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Los que nos dedicamos a la enseñanza, ya sea de las matemáticas o de cualquier otra disciplina,
hemos tenido que adaptarnos a numerosos cambios que se han introducido en el sistema educativo. El
más reciente y quizás el que ha provocado mayor revuelo e inquietud ha sido la introducción de las
competencias básicas.
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Los autores de Matemáticas en la vida real han reunido en este libro una colección de
problemas inspirados en las propuestas de PISA (Programa para la Evaluación Internacional de
Estudiantes) que puede ayudar al profesor/a tanto a plantear problemas a sus estudiantes como a
evaluarlos de manera adecuada. Puesto que la evaluación de las competencias básicas es un tema que
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Matemáticas en la vida real. G. Barozzi, M. Bergamini, D. Boni, R. Ceriani, L. Pagani
Reseña: N. González Cruz
El libro cuenta con treinta y cuatro problemas relacionados, como su título bien indica, con
acontecimientos y situaciones que podemos encontrar en la vida real, en los que están involucrados
diferentes aspectos de las matemáticas (lógica, ecuaciones, números enteros, radicales, probabilidad,
triángulos,…). Con cada problema se proporciona al profesor/a su solución y una tabla de evaluación,
en la que se especifican los aspectos a evaluar, posibles respuestas, la puntuación a calificar según el
tipo de respuesta y, por último, una serie de notas que podrían incluso ser incluidas en la propia
corrección (por ejemplo: “respuesta incompleta”, “correctos los pasos pero incorrectos los cálculos”, o
“respuesta correcta y procedimiento explicado de forma precisa”).
Los problemas planteados están dirigidos a alumnos/s de quince años, público objetivo de la
prueba PISA, lo que no quiere decir que debamos ceñirnos a chicos/as de esa edad. Algunas de las
actividades pueden ser realizadas por estudiantes con doce o trece años, quizás no de forma individual,
pero sí en pareja o incluso en grupo. De esta forma, se contribuiría además al desarrollo de otras
competencias como la social y ciudadana o aprender a aprender.
Yo, en particular, he realizado una pequeña experiencia con Lucía y Mario (seudónimos), dos
alumnos de trece años, no diagnosticados de altas capacidades, pero sí con facilidades para las
matemáticas, estudiantes de un céntrico colegio de la ciudad de La Laguna (Santa Cruz de Tenerife).
Dicha experiencia dio resultados muy satisfactorios, y se basó en exponerles a los alumnos antes
citados todos los problemas del libro y darles un tiempo para que trataran de resolverlos en sus ratos
libres, de forma voluntaria. Es de destacar que desde un principio no se les limitó el número de
problemas que podían hacer. Fueron ellos mismos los que averiguaron, al leer los enunciados y tras
razonar un poco, sus propias limitaciones.
El primero de los problemas del libro que les planteé se basa en los famosos cuadrados mágicos,
que dan origen a los también conocidos sudokus. En el primer apartado se pide resolver el siguiente
cuadrado mágico, con la única condición de que la suma de los números de cada fila, columna y
diagonal sea 15.
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
S
nos preocupa a la gran mayoría del profesorado de matemáticas, este texto se convierte en una
herramienta muy útil para nuestro quehacer diario.
Éste es, en principio, un problema no demasiado complicado, que Lucía y Mario resolvieron sin
dificultad (Figura 1). Lo interesante viene a continuación, cuando, en el segundo apartado, se les pide
que la suma de los números de cada columna, fila y diagonal sea 16, en lugar de 15, y se elimina la
restricción del valor 5 colocado en el centro del cuadrado mágico.
L
E
E
R
5
Figura 1. Respuestas de Lucía y Mario al primer apartado del problema
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Vol. 81
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NÚMEROS
Matemáticas en la vida real. G. Barozzi, M. Bergamini, D. Boni, R. Ceriani, L. Pagani
Reseña: N. González Cruz
¿Cómo se enfrentaron los alumnos a este cambio? Mario y Lucía se enfrentaron al problema de
forma totalmente distinta, aunque igualmente válidas: mientras que Mario aumentó un número en cada
fila y columna, Lucía optó por colocar un 6 en el lugar central, reduciendo así el problema al caso
anterior (Figura 2).
L
E
E
R
Figura 2. Respuestas de Lucía y Mario al segundo apartado del problema
M
A continuación se adjunta la tabla de evaluación correspondiente:
A
T
E
M
Á
T
I
Tabla 1.
C
Pueden apreciarse en la tabla los apectos citados anteriormente (tipo de respuesta dada, posibles
comentarios,…).
A
1. La mayoría de los problemas pueden plantearse a alumnos/as mayores de doce años, salvo
aquéllos para los que se necesiten conceptos de cursos superiores.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 81
noviembre de 2012
109
S
A partir de las respuestas y comentarios de Lucía y Mario pueden observarse algunos aspectos
interesantes:
Matemáticas en la vida real. G. Barozzi, M. Bergamini, D. Boni, R. Ceriani, L. Pagani
Reseña: N. González Cruz
Á
T
I
C
A
S
2. Cada alumno/a sigue su propio criterio a la hora de enfrentarse a cada problema. Al no ser
los problemas exclusivos del temario expuesto en el aula, los alumnos/as no se ciñen a una
manera determinada a la hora de plantear el problema y resolverlo, sino que para ello
utilizan su imaginación, el ensayo y error.
3. Algunos problemas plantean al alumnado realizar pequeñas demostraciones (con ayuda
del mismo libro). En esos casos, y con alumnos/as menores de quince años, es necesario
que el profesor/a también les preste algo de ayuda debido a la dificultad que encuentran
cuando se enfrentan, sobre todo, con expresiones algebraicas en lugar de con números.
4. Los enunciados de ciertos problemas (muy pocos de ellos) son algo confusos, no sólo para
el alumnado, sino para cualquier lector.
Con lo anterior se puede concluir que Matemáticas en la vida real es un libro no de lectura, pero
sí de gran utilidad para el profesorado de Educación Secundaria Obligatoria, no sólo por la gran
variedad de problemas que incluye, sino también por las tablas de evaluación adjuntas a cada uno de
los problemas. Una ayuda más para estos tiempos en los que la enseñanza parece centrarse más en las
capacidades y competencias que adquiere cada alumno/a que en los conceptos en sí, tal y como se
venía haciendo hasta ahora.
L
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E
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Noelia González Cruz (Licenciada en Matemáticas)
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Vol. 81
noviembre de 2012
NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, páginas 111-112
Congresos
I
N
Conferencia
Latinoamericana de
Geogebra
F
O
R
Fecha: 8 al 10 de noviembre de 2012
Lugar: Montevideo, Uruguay.
Información: www.geogebra.org.uy/2012/paginas/img/1erAnuncio.pdf
M
A
C
Día GeoGebra 2012
I
O
N
E
Fecha: 24 de noviembre de 2012.
Lugar: Campus de Segovia de la Universidad de Valladolid. Segovia. España.
Convoca: Los institutos de geogebra españoles.
Información: http://www.fespm.es/Dia-GeoGebra-2012
S
Fecha: 6 al 10 de febrero de 2013
Lugar: Manavgat-Side, Antalya, Turquía.
Información: http://cerme8.metu.edu.tr/
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
S
E
Fecha: 2 al 5 de julio del 2013
Lugar: Ciudad de Palma. Palma de Mallorca. España.
Convoca: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas.
Organiza: Societat Balear de Matemàtiques
Información: http://xvi.jaem.es/
37th Conference of the International Group
for the Psychology of Mathematics Education
Fecha: 28 de julio al 2 de agosto de 2013
Lugar: Kiel, Alemania.
Información: http://www.pme2013.de/en
I
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M
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XVI Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas
Fecha: 16 al 20 de septiembre de 2013
Lugar: Montevideo, Uruguay.
Información: http://www.cibem7.semur.edu.uy/home.php
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Vol. 81
noviembre de 2012
NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
L O S
A U T O R E S
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.
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electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de
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de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha
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• Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,
ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:
o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y
científicos en los niños. Madrid: Morata.
o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on
whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on
Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New
York.
o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a
conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.
o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008).
Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de
febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/
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colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo
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N O R M A S
ISSN: 1887-1984
Volumen 81, noviembre de 2012, página 113