eserved@d = *@let@token fg]bla Lógica II
Anuncio
Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Lógica II Pablo Cobreros [email protected] Tema 2: Elementos I P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Numeros Resumen Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Introducción Conjuntos Conjuntos Relaciones Tratamiento extensional de las relaciones Producto cartesiano Relaciones de equivalencia Ordenaciones Funciones Funciones Numeros Números Resumen P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Numeros Resumen Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen I En este tema vamos a ver desarrollar algunas nociones que ya han aparecido como las nociones de relación y función. I Las nociones introducidas aquı́ serán empleadas luego en temas posteriores. I Además hablaremos también un poco sobre los números. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen I En este tema vamos a ver desarrollar algunas nociones que ya han aparecido como las nociones de relación y función. I Las nociones introducidas aquı́ serán empleadas luego en temas posteriores. I Además hablaremos también un poco sobre los números. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen I En este tema vamos a ver desarrollar algunas nociones que ya han aparecido como las nociones de relación y función. I Las nociones introducidas aquı́ serán empleadas luego en temas posteriores. I Además hablaremos también un poco sobre los números. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Conjuntos Qué es un conjunto Intuitivamente un conjunto es una colección de objetos. Los alumnos matriculados en 2o de Filosofı́a, por ejemplo, forman un conjunto (llamémosle ∆). Expresamos la relación entre un objeto y un conjunto al que pertenece empleando ‘∈’. Por ejemplo, Helena∈ ∆ pero Pablo∈ / ∆. Podemos definir los conjuntos de, al menos, dos maneras distintas: I Por intensión: especificando una propiedad que poseen los miembros del conjunto. {n | n ∈ Nat} (donde Nat expresa la condición de ser número natural). I Por extensión: nombrando cada uno de los elementos de un conjunto. {0, 1, 2, 3, . . .}. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Conjuntos Relaciones entre conjuntos Los conjuntos son extensionales en el sentido de que lo que define a un conjunto son los elementos de ese conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los alumnos matriculados en 2o Filosofı́a es igual al conjunto de los alumnos que han venido hoy a clase. Se dice que B está incluı́do en A, B ⊆ A, cuando todo elemento de B es también un elemento de A. Según lo anterior, si B ⊆ A y A ⊆ B entonces A y B son el mismo conjunto. El conjunto vacı́o, ∅, es el conjunto que no tiene elementos. Sólo hay un conjunto vacı́o (por qué?) El conjunto vacı́o está incluı́do en todo conjunto (por qué?). Los conjuntos son a su vez objetos, de modo que un conjunto puede ser un elemento que pertenezca a otro conjunto. El conjunto de todas las cosas que no son alumnos de 2o Filosofı́a tiene como elemento ∅ (dado que ∅ no es un alumno de 2o de Filosofı́a). Sin embargo no hay que confundir las relaciones ∈ y ⊆: ∅ ⊆ ∅ pero ∅ ∈ / ∅. P. Cobreros La simplicidad Lógica II: 2 lasTema ramas de los conjuntos es engañosa: la teorı́a de conjuntos es una de más potentes de la matemática. Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Conjuntos Conjuntos Vs. tuplas ordenadas Como hemos mencionado, lo que define a un conjunto es su extensión. El conjunto {a, b, c} es igual al conjunto {b, c, a}. Una n-tupla es un conjunto ordenado de n elementos. Expresamos las n-tuplas de esta manera: ha1 , . . . , an i. A diferencia de los conjuntos, el orden importa en las tuplas. Por ejemplo, el par hLa Pantoja, Paquirrı́ni es distinto del par hPaquirrı́n, La Pantojai. La operación Producto cartesiano genera un conjunto de pares ordenados a partir de un conjunto: Definición: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, escrito A × B, es la relación que empareja cada elemento de A con cada elemento de B, es decir, A × B = {hx, y i | x ∈ A, y ∈ B}. Usaremos esta operación en breve. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Conjuntos Operaciones entre conjuntos Empleamos operaciones para definir conjuntos a partir de conjuntos. I (Unión) A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}. I (Intersección) A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}. I (Complemento) ∼ (A) = {x | x ∈ / A}. I (Conjunto potencia) ℘(A) = {x | x ⊆ A}. Esto es suficiente de momento P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Resumen Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Tratamiento extensional de las relaciones Tratamiento extensional En la lógica de primer orden, un predicado se interpreta con un conjunto de elementos. Por ejemplo, el predicado ‘es hombre’ se interpretará con el conjunto: {Jesús, Marı́a, La Pantoja, Paquirrı́n...}. Aunque este modo de proceder es una idealización (puesto que los predicados son sensibles a contextos intensionales), resulta muy útil. Este modo de tratar los predicados se conoce como ‘extensional’ ya que identifica el predicado con su extensión. Cuando veamos la semántica para lenguajes de primer orden nos preguntaremos qué aspecto deben tener las interpretaciones. Por ejemplo, pregunaremos cómo interpretar una oración de la forma Pa. El predicado se interpretará con un conjunto de elementos del universo de discurso. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Tratamiento extensional de las relaciones Tratamiento extensional En la lógica de primer orden, un predicado se interpreta con un conjunto de elementos. Por ejemplo, el predicado ‘es hombre’ se interpretará con el conjunto: {Jesús, Marı́a, La Pantoja, Paquirrı́n...}. Aunque este modo de proceder es una idealización (puesto que los predicados son sensibles a contextos intensionales), resulta muy útil. Este modo de tratar los predicados se conoce como ‘extensional’ ya que identifica el predicado con su extensión. Cuando veamos la semántica para lenguajes de primer orden nos preguntaremos qué aspecto deben tener las interpretaciones. Por ejemplo, pregunaremos cómo interpretar una oración de la forma Pa. El predicado se interpretará con un conjunto de elementos del universo de discurso. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Tratamiento extensional de las relaciones Tratamiento extensional En la lógica de primer orden, un predicado se interpreta con un conjunto de elementos. Por ejemplo, el predicado ‘es hombre’ se interpretará con el conjunto: {Jesús, Marı́a, La Pantoja, Paquirrı́n...}. Aunque este modo de proceder es una idealización (puesto que los predicados son sensibles a contextos intensionales), resulta muy útil. Este modo de tratar los predicados se conoce como ‘extensional’ ya que identifica el predicado con su extensión. Cuando veamos la semántica para lenguajes de primer orden nos preguntaremos qué aspecto deben tener las interpretaciones. Por ejemplo, pregunaremos cómo interpretar una oración de la forma Pa. El predicado se interpretará con un conjunto de elementos del universo de discurso. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Tratamiento extensional de las relaciones Tratamiento extensional El tratamiento extensional se puede extender al caso de las relaciones. En este caso, una relación se interpretará con un conjunto de pares ordenados. Esto es ası́ porque en las relaciones el orden importa: ...es madre de... es verdadero de hLa Pantoja, Paquirrı́ni pero falso de hPaquirrı́n, La Pantojai. En lógica de primer orden, las relaciones, como los predicados, se tratan extensionalmente. Una interpretación para una relación R consistirá, por tanto, en un conjunto de pares ordenados del universo de discurso. Por ejemplo, si queremos interpretar R con la relación ...es madre de..., la interpretación será el conjunto de pares: {. . . hLa Pantoja, Paquirrı́ni, hMarı́a, Jesúsi . . . } P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Tratamiento extensional de las relaciones Tratamiento extensional El tratamiento extensional se puede extender al caso de las relaciones. En este caso, una relación se interpretará con un conjunto de pares ordenados. Esto es ası́ porque en las relaciones el orden importa: ...es madre de... es verdadero de hLa Pantoja, Paquirrı́ni pero falso de hPaquirrı́n, La Pantojai. En lógica de primer orden, las relaciones, como los predicados, se tratan extensionalmente. Una interpretación para una relación R consistirá, por tanto, en un conjunto de pares ordenados del universo de discurso. Por ejemplo, si queremos interpretar R con la relación ...es madre de..., la interpretación será el conjunto de pares: {. . . hLa Pantoja, Paquirrı́ni, hMarı́a, Jesúsi . . . } P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Tratamiento extensional de las relaciones Tratamiento extensional El tratamiento extensional se puede extender al caso de las relaciones. En este caso, una relación se interpretará con un conjunto de pares ordenados. Esto es ası́ porque en las relaciones el orden importa: ...es madre de... es verdadero de hLa Pantoja, Paquirrı́ni pero falso de hPaquirrı́n, La Pantojai. En lógica de primer orden, las relaciones, como los predicados, se tratan extensionalmente. Una interpretación para una relación R consistirá, por tanto, en un conjunto de pares ordenados del universo de discurso. Por ejemplo, si queremos interpretar R con la relación ...es madre de..., la interpretación será el conjunto de pares: {. . . hLa Pantoja, Paquirrı́ni, hMarı́a, Jesúsi . . . } P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Producto cartesiano Producto cartesiano Definición: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, escrito A × B, es la relación que empareja cada elemento de A con cada elemento de B, es decir, A × B = {hx, y i | x ∈ A, y ∈ B}. El producto cartesiano nos sirve para definir el conjunto de pares en el que se encuentrar incuı́da una relación. Por ejemplo, la relación ‘... es marido de...’ será un subconjunto de Varones×Mujeres. La relación ‘...es amigo de...’ será un subconjunto de Humano×Humano (suponiendo que es una relación que se da únicamente entre seres humanos). P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Producto cartesiano Ejemplos Ejemplo: Sea A = {1, 2} y B = {a, b}. Calcular A × B Toda relación en un conjunto A es un subconjunto de A × A. Ejemplo: Sea A = {Felipe (padre), Marı́a (madre), Juan (hijo), Patricia (hija)}. Cualquier relación que podamos considerar dentro de este conjunto está en A × A: {hFelipe, Felipei, hFelipe, Marı́ai, hFelipe, Juani, hFelipe, Patriciai, hMarı́a, Felipei, hMarı́a, Marı́ai, hMarı́a, Juani, hMarı́a, Patriciai, hJuan, Felipei, hJuan, Marı́ai, hJuan, Juani, hJuan, Patriciai, hPatricia, Felipei, hPatricia, Marı́ai, hPatricia, Juani, hPatricia, Patriciai} P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Relaciones de equivalencia Reflexividad, simetrı́a, transititvidad Definiciones I Una relación R en un conjunto A es reflexiva ssi todo elemento de A está conectado por R consigo mismo. I Una relación R en un conjunto A es simétrica ssi para cualesquiera elementos a, b en A, si Rab entonces Rba. I Una relación R en un conjunto A es transitiva ssi para cualesquiera elementos a, b, c en A, si Rab y Rbc entonces Rac. Ejercicio: De las siguientes relaciones diga si tienen las propiedades mencionadas: ...es padre de... ...está casado con... ...es hermano de... P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Relaciones de equivalencia Relación de equivalencia Definición: Una relación R en un conjunto A es una relación de equivalencia ssi R es reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplos: ...estudió en Universidad de... ...pertenece a la familia de... Las relaciones de equivalencia expresan que cierto aspecto es el mismo entre los elementos que relacionan. La relación de equivalencia por excelencia es la de identidad. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Resumen Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Ordenaciones Antisimetrı́a y ordenación parcial Definición: Una relación R es antisimétrica ssi si Rab y a 6= b entonces no es el caso que Rba. Definición: Una relación R en un conjunto A es una ordenación parcial de A ssi R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Ejemplos: Los árboles generados por las tablas analı́ticas son ordenaciones parciales. Una relación de este tipo establece cierto orden entre los elementos del conjunto al que se aplica. En una ordenación parcial de un conjunto puede haber elementos que no estén conectados por la relación. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Resumen Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Ordenaciones Ordenación lineal Definición: Una ordenación parcial R de un conjunto A es lineal ssi para cualesquiera elementos a, b en A al menos uno de ellos está conectado con el otro por R. Ejemplos: Una ordenación lineal es la relación ‘...mayor o igual que...’ sobre el conjunto de números naturales. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Resumen Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Ordenaciones Elementos máximos y mı́nimos Definición: Sea R una ordenación parcial de un conjunto A. Un elemento de a es máximo (respecto a R) ssi no está conectado por R con ningún otro elemento de A. Un elemento de A es mı́nimo (respecto a R) precisamente si ningún otro elemento de A está conectado por R con él. Ejemplos: Los árboles de las tablas analı́ticas tienen un único elemento mı́nimo y un número finito de elementos máximos. Una ordenación lineal puede tener a lo sumo un elemento mı́nimo y un elemento máximo (ejercicio). P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Ordenaciones Irreflexividad y ordenaciones estrictas Definición: Una relación R en un conjunto A es irreflexiva ssi si ningún objeto está conectado por R consigo mismo. Definición: Una relación R en un conjunto A es una ordenación estricta de A ssi R es irreflexiva y transitiva. Ejemplos: La relación ‘ser un ancestro de’ es una ordenación estricta sobre el conjunto de los hombres. Las nociones de ordenación estricta lineal y de elemento máximo y elemento mı́nimo respecto a una ordenación estricta se definen de manera análoga a los de ordenación lineal y elemento máximo y elemento mı́nimo respecto a una ordenación parcial. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Funciones Qué es una función Una función es una relación que empareja uno o varios elementos de un conjunto A con un único elemento de un conjunto B. Ejemplos: La suma y la multiplicación son funciones de dos argumentos del conjunto de números naturales al conjunto de números naturales. Definición: Una relación R de un conjunto A a un conjunto B es una función de A a B precisamente si cada elemento de A está conectado por R con exactamente un elemento de B. El conjunto A es el dominio de la función y B el alcance. Utilizaremos las letras f , g , h para designar funciones. Una función f de A a B se designa: f : A → B. Si b es el elemento de B con que f empareja al elemento a de A, b es la imagen bajo f de a, escrito f (a). P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Funciones Qué es una función Una función es una relación que empareja uno o varios elementos de un conjunto A con un único elemento de un conjunto B. Ejemplos: La suma y la multiplicación son funciones de dos argumentos del conjunto de números naturales al conjunto de números naturales. Definición: Una relación R de un conjunto A a un conjunto B es una función de A a B precisamente si cada elemento de A está conectado por R con exactamente un elemento de B. El conjunto A es el dominio de la función y B el alcance. Utilizaremos las letras f , g , h para designar funciones. Una función f de A a B se designa: f : A → B. Si b es el elemento de B con que f empareja al elemento a de A, b es la imagen bajo f de a, escrito f (a). P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Funciones Composición Definición: Si f y g son funciones tales que el alcance de f es un subconjunto del dominio de g , la composición de g y f , escrito g ◦ f , es la función que empareja cada elemento del dominio de f con la imagen bajo g de su imagen bajo f ; es decir, para todo elemento del dominio de f , g ◦ f (x) = g (f (x)). Ejemplos: Sean Juan, José y Vicente nieto, padre y abuelo. La función f =‘El padre de...’ aplicada a Juan da como resultado José. La composicion f ◦ f aplicada a Juan da como resultado Vicente. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Funciones Funciones biunı́vocas Definición: Una función es biunı́voca ssi nunca asigna la misma imagen a más de un elemento de su dominio. Ejemplos: La función que empareja cada embajador en Washington con el paı́s que representa es biunı́voca (cada embajador representa a un paı́s distinto). Definición: Si f es una función biunı́voca, la inversa de f , escrito f −1 , es la función que empareja cada elemento del alcance de f con el elemento del dominio del que es imagen bajo f . El resultado de invertir una función biunı́voca es una función (trivial). Además es una función biunı́voca (Zalabardo: 48, Lema 1.40). P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Funciones Correspondencia biunı́voca Definición: Una correspondencia biunı́voca entre un conjunto A y un conjunto B es una función biunı́voca que tiene la totalidad de B como alcance. La noción de función cumplirá un papel importante en lo que veremos más adelante. La noción de correspondencia biunı́voca será importante sobre todo a partir del tema 6. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Números Naturales I El conjunto de los números naturales, N, contiene 0, 1, 2, 3, ... 1. Tienen un único elemento mı́nimo (0), 2. no tienen elemento máximo, 3. y están ordenados linealmente por ≤. I Los enteros positivos, son los naturales sin 0. I P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Papel auxiliar en los subı́ndices de conjuntos y tuplas. Resumen Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Números Enteros I El conjunto de los números enteros, Z, contiene ...−3 − 2, −1, 0, 1, 2, 3, ... es decir, 1. 2. 3. 4. 5. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Los enteros positivos, Z+ , Los enteros negativos, Z− , 0, están ordenados linealmente por ≤, aunque sin elementos mı́nimos ni máximos. Numeros Resumen Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Números Racionales I El conjunto de los números racionales, Q, es el conjunto de números expresables como una fracción de enteros, como 1/2 o 45/ − 36 1. Los números racionales tienen más de una expresión, como 1/2 y 2/4, 2. Z ⊆ Q, 3. están ordenados linealmente por ≤, 4. sin elementos mı́nimos ni máximos, 5. aunque densamente: Si a < b entonces hay un c distinto de a y distinto de b tal que a < c < b (esto es, entre cualesquiera dos racionales hay otro). 6. Sobre la expansión decimal de un número racional. P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros Resumen Números Reales I Hay números √ que no son expresables como una fracción de enteros: π, 2. Éstos pertenecen a una categorı́a más amplia, la de números reales, R, que consiste en la clase de números expresables por una expansión decimal. 1. Q ⊆ R, 2. Los reales no racionales se llaman irracionales. Su expansión decimal es infinita y no uniforme. 3. están ordenados lineal y densamente por ≤, 4. sin elementos mı́nimos ni máximos, 5. aunque ≤ es una ordenación continua P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Introducción Conjuntos Relaciones Funciones Numeros En esta sección hemos visto: 1. Relaciones I I I Producto cartesiano Relaciones de equivalencia Ordenaciones (parciales, lineales, estrictas, con elementos mı́nimos y máximos) 2. Funciones I I Qué es una función Composición, biunı́vocas y correspondencias 3. Números I P. Cobreros Lógica II: Tema 2 Naturales, enteros, racionales y reales Resumen
