V - Cimec

v1
5
4
1
S
v2
2
Introducción al Método
de los Elementos Finitos
Parte 2
Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos
Alberto Cardona, Víctor Fachinotti
Cimec-Intec (UNL/Conicet), Santa Fe, Argentina
7-Oct-2011
Espacios de Hilbert
1. En formulaciones variacionales para solución de BVP, trabajaremos con
espacios V más grandes que los vistos hasta ahora, llamados espacios de
Hilbert. Se dotará a V de varios productos escalares determinados por el BVP.
2. Sucesión de Cauchy: sucesión v1 , v2 ,
, vn  V que verifica
  0, N  / vi  v j   si i, j  N
La sucesión de Cauchy converge a v si v  vi  0 cuando i  
3. Espacio de Hilbert: Es un espacio lineal V, equipado de producto escalar y
norma asociada, completo (o sea que las sucesiones de Cauchy convergen
respecto de la norma del espacio).
Introducción al Método de los Elementos Finitos
2
Espacios de Hilbert: ejemplos 1D
•
Espacio L2(I) de funciones de cuadrado integrable en I=(a,b)


L2 (I)  v : v está definida en I y  v 2 dx  
I
dotado del producto interno: (v, w)   vwdx
y la norma:
v
L2 (I)

  v dx 
2
I
La desigualdad de Cauchy:
1
2
I
 (v, v)
(v, w)  v
1
2
L2 (I)
wL
2 (I)

Ejemplo: v( x)  x , x  I  (0,1)
1
v
2
L2 (0,1)
  x 2 
0
1

ln x 0  
si   1/ 2


dx   x1 2  1 

si   1/ 2


1
(1

2

)
si   1/ 2  v  L2 (0,1) si  <1/2
1

2



0

Introducción al Método de los Elementos Finitos
3
Espacios de Hilbert: ejemplos 1D (cont.)
•
Espacio H1(I) en I(a,b): H1 (I)  v : v, v  L2 (I)
dotado del producto interno: (v, w)H1 (I)    vw  vw  dx
I
y la norma: v
H1 (I)

 v  v  dx  (v, v)
2
I
2
1
2
H1 (I)


1
2
•
Espacio H10 (I) en I=(a,b):
H10 (I)  v : v  H1 (I) y v(a)  v(b)  0
•
Dado el problema modelo:
 u ''  f ( x),
(D) 
u (a)  u (b)  0
luego:
(V) Hallar u  H10 (I) /  u, v   f , v  v  H10 (I)
•
xI
Nota:
– H10 (I) es más grande que el espacio V de funciones lineales a trozos que
veníamos usando.
– En MEF, la norma del error es simplemente la norma en H1(I).
Introducción al Método de los Elementos Finitos
4
Ejemplos funciones polinomiales a trozos
0
0
Funcion constante por tramos, discontinua C 0,1
Funcion lineal por tramos, continua  C 0,1
1
1
f ( x)  L2 0,1
0
-0.5
-1
0
0
-0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
-1
0
1
x
Derivada de func.cte. por tramos discontinua
0.2
0.4
0.6
10
10
f ( x)  L2 0,1
1
f ( x)  L2 0,1
5
f(x)
5
0.8
x por tramos continua
Derivada de funcion lineal
15
f(x)
2
0.5
f(x)
f(x)
0.5
 L 0,1
f ( x)  H 01 0,1
0
0
-5
-5
-10
-15
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
-10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Introducción al Método de los Elementos Finitos
5
Ejemplos funciones polinomiales a trozos
Funcion constante por tramos, discontinua  C 0 0,1
1
1
f ( x)  L2 0,1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f ( x)  H 0,1
1
0
 L 0,1
f ( x)  H 01 0,1
2
0.2
0.4
0.6
 L 0,1
0.8
1
x
Funcion lineal por tramos, discontinua  C 0 0,1
1
 H 0,1
f ( x)  L2 0,1
2
1
0
0.5
f(x)
0.5
f(x)
0
-1
0
1
x
0
Funcion cuadratica por tramos, continua  C 0,1
0
0
-0.5
-0.5
-1
0
2
-0.5
-0.5
-1
0
 L 0,1
f ( x)  H 01 0,1
0.5
f(x)
f(x)
0.5
Funcion lineal por tramos, continua  C 0  0,1
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
-1
0
0.2
Introducción al Método de los Elementos Finitos
0.4
0.6
x
0.8
1
6
Espacios de Hilbert en d, d=2,3


2
• L2 ()  v : v está definida en  y  v d   
– Producto escalar: (v, w)   vwd 

– Norma:
v 
  v d 
2
1
2


v
 L2 (), i  1,
• H ()  v : v  L2 (),
xi

1

,d 

– Producto escalar: (v, w)H1 ( )    vw  v w d 

– Norma: v
•
    v  v v  d   (v, v)H1 ( ) 

 
 
2
H1 (  )
1
2
1
2
H10 ()  v : v  H1 (), v   0
Introducción al Método de los Elementos Finitos
7
Espacios de Hilbert en d, d=2,3 (cont.)
•
Dado el problema modelo (ec. de Poisson + CB homogéneas)
Du  f
(D) 
 u0
luego: (V)
en 
sobre 
Hallar u  H10 () /


u v d    fv d 

v  H10 ()
 ( f , v)
a(u, v)
o, equivalentemente:
(M) Hallar u  H10 () /
1
1
a(u, u)  ( f , u)  a(v, v)  ( f , v)
2
2
F(u )
•

v  H10 ()
F (v )
Nota: (V) se dice la formulación débil de (D), y la solución de (V) es la
solución débil de (D). Ésta no es necesariamente una solución clásica de (D).
Para que lo sea, u debe ser suficientemente regular de modo que Du esté
definida en el sentido clásico.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
8
Interpretación geométrica del MEF
Consideremos el BVP de difusión-reacción con CB homogéneas:
en 
Du  u  f
(D) 
u0
sobre 

(V) Hallar u  H10 () /  u v d    uv d    fv d  v  H10 ()



 ( f , v)
u, v
Sea Vh un subespacio de dimensión finita de H10 () . El MEF
aplicado al problema de difusión-reacción da:
(Vh ) Hallar uh  Vh / uh , v  ( f , v)
v  Vh
Tomando v  Vh  H10 () en (V), (V)(Vh) resulta:
u  uh , v  0 v  Vh
La solución MEF uh es la proyección con resp a , de
la solución exacta u sobre Vh, o sea que uh es el
elemento de Vh más próximo u con resp a ||.|| H10 (  ), i.e.:
u  uh H1 ( )  u  v H1 ( ) v  Vh
0
u
recta  Vh
uh
plano  H10 ()
0
Introducción al Método de los Elementos Finitos
9
CB naturales y esenciales
Consideremos el BVP de difusión-reacción con CB Neumann:
en 
Du  u  f

(D) 
u
g
sobre 

n

(V) Hallar u  H1 () /
  u v  uv  d    fv d    gv d 
v  H1 ()
 ( f , v)  ( g , v) 
1
(M) Hallar u  H1 () / F(u)  a(u, u)  ( f , u)  ( g, u)   F(v) v  H1 ()
2
u, v
• La CB Neumann, que no tiene que ser impuesta explícitamente sobre u, se
denomina CB natural.
• La CB Dirichlet uu0 sobre , que debe ser satisfecha explícitamente por u, se
conoce como CB esencial.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
10
Problema continuo en forma abstracta
•
•
Objetivos:
– Dar un tratamiento unificado a muchos problemas de la Mecánica y la Física,
a fin de no repetir el mismo argumento en distintos casos concretos.
Entender la estructura básica del MEF.
Los ingredientes de una formulación abstracta son:
1. Un espacio de Hilbert V, con producto escalar (.,.)V y norma ||.||V, donde se busca
la solución.
2. Una forma bilineal a:V×V, determinada por el problema (elíptico) a resolver,
t.q. u,vV:
a(u, v)  a(v, u )
(simetría)
  0 /
a(u, v)   u
  0 /
a(v, v)   v
V
2
v
V
V
(continuidad)
(coercividad o V-elipticidad)
3. Una forma lineal L:V, determinada por los datos del problema, continua, i.e.,
  0 / L(v)   v
V
v  V
Introducción al Método de los Elementos Finitos
11
Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos (cont)
1
(M) Hallar u  V / F(u)  min F(v), con F(v)  a(v, v)  L(v)
vV
2
(V) Hallar u  V / a(u, v)  L(v), v  V
Teorema: (M) y (V) son equivalentes, i.e., u satisface (M) si y sólo
si u satisface (V). Además, uV, y se verifica la estimación de
estabilidad
u
V



Introducción al Método de los Elementos Finitos
12
Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos (cont)
Demo. (M )(V ): sea vV y  arbitrarios. Luego, vuV, así que
F(u )  F(u   v),  
g(0) 
g( )  g tiene un mínimo en   0
1
a(u   v, u   v)  L(u   v)
2
1


2
 a(u, u )  a(u, v)  a(v, u )  a(v, v)  L(u )   L(v)
2
2
2
2
1
2
 a(u, u )  L(u )   a(u , v)   L(v)  a(v, v)
2
2
luego g( )  a(u, v)  L(v)   a(v, v)
Siendo g( ) 
Como g tiene un mínimo en 0, debe cumplirse
g(0)  a(u, v)  L(v)  0
( V)
(QED)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
13
Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos (cont)
Demo. (V )(M ): dados u (solución) y w (arbitrario) en V, uwV, así que
1
F(u  w)  a(u  w, u  w)  L(u  w)
2
1
1
1
1
 a(u, u )  a(u, w)  a( w, u )  a( w, w)  L(u )  L( w)
2
2
2
2
1
1
(M)
 a(u, u )  L(u )  a(u, w)  L( w)  a( w, w)  F(u ),
2
2 0
 0 (V )
(QED)
 F( u )
Introducción al Método de los Elementos Finitos
14
Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos (cont)
Demo. estimación de estabilidad:
a(u, v)  L(v)
v  V
 ||u||  a(u, u )  L(u )  ||u||V
2
V
V-elipticidad de a
Continuidad de L

 || u ||V 

(QED)
Demo. unicidad: supongamos que u1,u2V sean soluciones de (V)

a(u1 , v)  L(v)
v  V
a(u2 , v)  L(v)
v  V
a(u1  u2 , v)  0
v  V
Definiendo uu1u2, llego a un nuevo BVP con L(v)0  vV, i.e. 0. Luego:
Estimación de estabilidad ||u||V  0  u  u1  u2  0  u1  u2
Introducción al Método de los Elementos Finitos
(QED)
15
Estimación del error de discretización
• Sea Vh un subespacio de V, con dimensión finita M, y sea {1, 2,…, M}
una base para Vh, de modo que toda vVh puede representarse
M
v   
i i,
i 
i =1
• Usando Vh, obtenemos los problemas discretos análogos a (M) y (V):
(Mh ) Hallar uh  Vh / F(uh )  F(v), v  Vh
(Vh ) Hallar uh  Vh / a(uh , v)  L(v), v  Vh
– Como  j  Vh  a(uh ,  j )  L( j ), j  1, 2,
M
– Como uh  Vh  uh =i i , i 
i =1
,M
M
  a(i ,  j )i  L( j ), j  1, 2,
,M
i 1
– Forma matricial de (Vh): Aξ  b con Aij  a(i ,  j ), b j  L( j ).
Introducción al Método de los Elementos Finitos
16
Estimación del error de discretización (cont)
• Dado que a(.,.) es simétrica: a(i ,  j )  a( j , i )  Aij  Aji
 la matriz A es simétrica
• Dado que a(.,.) es V-elíptica:
M
M
M
M
a(v, v)  a(
i i ,   j j ) i a(i ,  j ) j  η  Aη   v
i 1
j 1
i 1 j 1
 la matriz A es positiva definida
 la matriz A es no singular
 !ξ / Aξ = b  !uh  Vh solución de (Vh )
Además, uh  Vh verifica la estimación de estabilidad ||uh ||V 
Demo.:
a(uh , v)  L(v)
2
V
 0 si v  0 (η  0)


v  Vh
 ||uh ||2V  a(uh , uh )  L(uh )  ||uh ||V
V-elipticidad de a
Continuidad de L
Introducción al Método de los Elementos Finitos
17
Estimación del error de discretización (cont)
•
Teorema: Sea uV la solución de (V) y uhVhV. Entonces:
u  uh
•
V


u v

V
v  Vh
Demo.:
1. u solución de (V )  a(u, w)  L( w), w  Vh  V
2. uh solución de (Vh )  a(uh , w)  L( w), w  Vh
3. Restando: a(u  uh , w)  0, w  Vh
4. Sea w  uh  v, con v  Vh arbitrario.
2
5. Operando:  u  uh V  a(u  uh , u  uh )
V-elipticidad de a
 a(u  uh , u  uh )  a(u  uh , w)
 a(u  uh , u  uh  w)
Continuidad de a
 a(u  uh , u  v)   u  uh
Introducción al Método de los Elementos Finitos
V
u v
V
(QED)
18
Norma de energía
Considerando
1. a(.,.) es continua, i.e.,   0 / a(u, v)   u
V
v
V
u, v  V
2. a(.,.) es V-elíptica o coerciva, i.e.,   0 / a(v, v)   v
2
V
v  V
podemos definir una nueva norma llamada norma de energía:
v a  a(v, v) , v  V
1
2
Esta norma es equivalente a ||.||V, i.e.,  constantes positivas c   , C   , tal que
cv
V
 v a C v
V
v  V
El producto escalar asociado a ||.||a es (u, v)a  a(u, v)
Verifica la desigualdad de Cauchy
(u, v)a || u ||a || v ||a
Introducción al Método de los Elementos Finitos
19
Estimación del error de discretización en norma de energía
•
Teorema: Sea uV la solución de (V) y uhVhV. Entonces:
u  uh
a
 u v
a
v  Vh
 Medida en la norma de energía, uh es la mejor aproximación a u.
•
Demo.:
1. u solución de (V )  (u, w)a  L( w), w  Vh  V
2. uh solución de (Vh )  (uh , w)a  L(w), w  Vh
3. Restando: (u  uh , w)a  0, w  Vh
4. Sea w  uh  v, con v  Vh arbitrario.
2
5. Operando: u  uh a  (u  uh , u  uh )a
 (u  uh , u  uh )a  (u  uh , w)a
 (u  uh , u  uh  w)a
Desigualdad
de Cauchy
 (u  uh , u  v)a  u  uh
a
u v
Introducción al Método de los Elementos Finitos
a
(QED)
20
Ejemplos concretos
1
Ejemplo 1: sea V=H (),  
2
.
a(u, v)    uv  u v  dx

L(v)   fv dx,

f  L2 ()
En este caso, a(u, v)  L(v), v  H1 () es la forma débil del problema de Neumann
u
(D)  Du  u  f en ,
 0 sobre 
n
1
Se verifica v, w  H ()
• a(v, w)  a(w, v)  a(.,.) es una forma bilineal simétrica
• a(v, v)  v
2
H1 (  )
 a(.,.) es V-elíptica con 1
• a(v, w)  a(v, v)2 a(w, w) 2  v
1
• L(v)   fv dx  f
1
L2 (  )
v
L2 (  )
H1 (  )
w H1 ( )  a(.,.) es continua con 1
 L(.) es continua con   f
– Estimación de estabilidad:
u
– Estimación de error:
u  uh
H1 (  )
 f
H ()
1
L2 (  )
L2 (  )
 u v
H ()
1
Introducción al Método de los Elementos Finitos
v  H1 ()
21
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 2: sea V=H10 (I), I  (0,1), a(v, w)=  vwdx, L(v)=  fv dx.
I
I
En este caso, a(u, w)  L(v), v  H10 (I) es la forma débil del problema:
•
(D)  u  f en I, u(a)  u(b)  0
Se verifica v, w  H10 (I)
a(v, w)  a(w, v)  a(.,.) es simétrica
a(v, w)  v L
a(v, v)   v
2 (I)
w L
2
H1 (I)
L(v)   fv dx  f
I
2 (I)
 v
H1 (I)
 a(.,.) es continua con   1
w H1 (I)
 a(.,.) es V-elíptica con   1 2
L2 (I)
v
L2 (I)
 L(.) es continua con   f
L2 (I)
• Luego:
– Estimación de error:
u  uh
H (I)
– Estimación de estabilidad:
u
 f
H1 (I)
1
 2 u v
1
H (I)
v  H10 (I)
L2 (I)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
22
Ejemplos concretos (cont. Ejemplo 2)
Demo. de V-elipticidad de a(.,.):
0
x
v( x)  v(0) +  v( y) dy
Desigualdad de Cauchy
0
1
2
 2  

2





v( x)   v ( y ) dy   1 v dy    1 dy    v dy 
0
0
0
 0

x
1
1
1 1
1
1
1
2
1
 v dx     v dydx    v dx
2
2
0
1
2
0 0
1
0
1
2
v
 dx    v dx  2   v dx
2
0
2
0
(QED)
0
||v||
a ( v ,v )
H1 ( 0,1)
Teorema: vH1(),  cte. C  dependiente de , t.q.
v
2
L2 (  )

C v
2
L2 (  )
 v
2
L2 (  )

Desigualdad de
Poincaré-Friedrichs
• Para I(0,1), v(0)0, resulta C 1.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
23
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 3: sea V=H10 (),  
2
, a(u, v)=  u v d , L(v)=  fv d .


En este caso, a (u, v)=L(v), v  H () es la forma débil del problema de Poisson
(D)  Du  f en , u  0 sobre 
• Se verifica v, w  H10 ()
a (v, w)  a (w, v)  a(.,.) es simétrica
1
0
a(v, w)  v
L2 (  )
w L
 v
2 ( )
H1 (  )
w H1 ( )
a(v, v)   v v d   C 1  v 2 d , C 



 a(.,.) es continua con   1
 Desigualdad de Poincaré-Friedrichs
 C  1 a(v, v)   v 2 d    v v d   a(.,.) es V-elíptica, con   (C  1) 1

1/ 
L(v)   fv d   f


||v||2 1
H ()
L2 (  )
v
 L(.) es continua con   f
L2 (  )
• Estimación de error:
u  uh
• Estimación de estabilidad:
u
H1 (  )
H ( )
1
  C  1 u  v
  C  1 f
H ( )
1
L2 (  )
v  H10 ()
L2 (  )
Introducción al Método de los Elementos Finitos
24
Ejemplos concretos (cont)
d 4u
 f en I=(0,1), u (0)  u(0)  u (1)  u(1)
Ejemplo 4: ( D)
4
dx
• Definimos los espacios H2 (I)= v : v, v, v  L2 (I)
H02 (I)= v : v  H2 (I), v(0)  v(0)  v(1)  v(1)  0
con norma v
•
H
2
=
(I)
I
I
1
2
I
v  H 02 (I)
a(u, v)  L(v)
a(.,.) es una forma bilineal y simétrica
• a(v, w)  v L2 (I) w L2 (I)  v
H2 (I)
w H2 (I)
 a(.,.) es continua con 1
2
2
2





v

v

v
I       dx  a(.,.) es V-elíptica con 1/3
H2 (I)
L(.) es continua con   f L (I)
• a(v, v)   v
•
2
2
La forma débil del problema (D) consiste en hallar u  V=H02 (I) tal que
 uvdx =  fv dx
•
 v  v  v  dx
2
2
2
• Luego: u
2
H (I)
3 f
L2 (I)
u  uh
2
H (I)
 3 u v
Introducción al Método de los Elementos Finitos
2
H (I)
v  H02 (I)
25
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 5: Consideremos el problema bi-armónico:
u
(D) D 2u  f en   d , d  1,2,3,
u
 0 sobre 
n
 D u  D  Du  
2
• Definimos el espacio Hk ()= v : v  L2 (), D v  L2 (),|  | k
con norma v
donde
=
Hk (  )
 2

D
  v d
| | k 
| |v
D v  1 2 ,   (1 ,  2 );|  |  1   2 ;1 ,  2  0,1, 2,
x1 x2

• La forma débil del problema (D) resulta:
v


Hallar u  H02 ()= v : v  H 2 (), v 
 0 sobre   , tal que
n


0
(V )


0

v
Du  v d    Du  Dv d    Du d 

 n


n
fv d    D 2u v d       Du  v d   


=L( v )
=a ( u , v )
Introducción al Método de los Elementos Finitos
26
Ejemplos concretos (cont. Ejemplo 5)
Demostraremos la identidad :
Dv
1  v 
  (Dv)2 d      D v  d      d , v suave t.q. v   0.
R  n 
 2 


2
2
L2 (  )
2
D) Aplicando Green
Dv
2
L2 (  )
  (Dv)2 d    v,ii v, jj d  


  v,i v, jj ni d    v,i v,ijj d  


   v,i v, jj ni  v,i v,ij n j  d    v,ij v,ij d 


Cambiamos coordenadas en un punto del contorno. El borde, localmente,
resulta x2*  g ( x1* ) y como v   0  v  x1* , g ( x1* )   0 en torno a x1*  0
Luego:
v,1  v,2 g '  0,


*
en
torno
a
x

1 0
2
v,11  2v,12 g,1  v,22  g '  v,2 g ''  0. 

Introducción al Método de los Elementos Finitos
27
Ejemplos concretos (cont. Ejemplo 5)
Al ser g '(0)  0 y por definición: g "(0)  1/ R
v,1 (0, 0)  0,
v,11 (0, 0)  v,2 g ''  
Por último, siendo n   0 1
T
v,2
R
en x   0 0 
T
v,i v, jj ni  v,i v,ij n j  v,2v, jj  v,i v,i 2  v,2  v,11  v,22   v,1v,12  v,2v,22  v,2v,11
0
v 


2
,2
R
con lo cual logramos
 2

v,ij v,ij  v,11v,11  v,12v,12  v,21v,21  v,22v,22   D v
 2
Dv
2
L2 (  )
1  v 
  (Dv) 2 d      D v  d      d 
R  n 
 2 


2
Introducción al Método de los Elementos Finitos
2
(QED)
28
Ejemplos concretos (cont. Ejemplo 5)
• a(.,.) es una forma bilineal simétrica, pues a(u, v)   Du  Dv d   a(v, u)
• a(.,.) es continua con 1, pues
a(u, v)  Du
L2 (  )
Dv
L2 (  )
 Du
H2 (  )
Dv
H2 (  )
• a(.,.) es V-elíptica con 1(1CC2). Usamos la identidad :
Dv
1  v 
  (Dv)2 d      D v  d      d  , v suave t.q. v   0.
R  n 
 2 


2
2
2
L2 (  )
0
Luego añadimos los términos que faltan para lograr v
Dv
2
L2 (  )
 v
2
L2 (  )
 v
2
L2 (  )

2
 2

D
v
d


v

2
L2 (  )
 2 
:
H2 ()
 v
2
L2 (  )
 v
2
H2 (  )
Usando Poincaré-Friedrichs :
v
2
H2 (  )
 Dv
2
L2 (  )
 (C  1) v
• L(.) es continua con
2
L2 (  )
 f
 Dv
2
L2 (  )
 (C  1)C Dv
2
L2 (  )
 1  C  C 2  Dv
L2 (  )
Introducción al Método de los Elementos Finitos
29
2
L2 (  )
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 6: Consideremos el problema estacionario de convección-difusión:
(D)  mDu  β u  f en , m 

,β
2
,
u  0 sobre 
Supongamos ||||/m moderado.
• La forma débil del problema (D) se obtiene haciendo
(V )


0
u
fv d      mDu  β u  v d     mu v   β u  v  d    m v d 



n
=L( v )
=a ( u , v )
• L(.) es una forma lineal continua.
• a(.,.) es una forma bilineal, continua y V-elíptica, pero no simétrica.
Teorema: si L(.) es una forma lineal continua, y a(.,.) es una forma bilineal, continua
y V-elíptica, pero no simétrica, se puede demostrar que hay solución única a (V), y
está acotada. Sin embargo, en este caso no existe problema de minimización
asociado a (V).
Introducción al Método de los Elementos Finitos
30
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 7: Consideremos el problema estacionario de conducción de calor en 3
(D)


   ku   f


u  0


ku  n  g
 k1
en , con k   0
 0
en 1
0
k2
0
0
0  , ki 
k3 

Ecuación del calor
CB Dirichlet
en  2
CB Neumann
1
Definimos como espacio para la solución V  v : v  H (), v  0 sobre 1
• La forma débil del problema (D) se obtiene haciendo


fv d        ku  v d    ku v d    ku  n v d    ku v d    g v d 




2
  ku v d    fv d    g v d 


a ( u ,v )
2
L( v )
• L(.) es una forma lineal continua si f L2(), gL2(2).
• a(.,.) es una forma bilineal, simétrica, continua y V-elíptica si
c, C   / c  ki (x)  C x 
Introducción al Método de los Elementos Finitos
31