Solución ejercicio 3.2: "Jugo de naranja".

Solución del problema “Jugo de naranja en una jarra”.
Usaremos subíndice “1” para las variables del fluido en la
superficie superior de jugo de naranja y el subíndice “2” para las
variables en el orificio de salida. La presión externa en ambas
superficies es la presión atmosférica: P1 = P2 = P0
La superficie superior baja con velocidad de módulo v1 mientras
que la altura h va disminuyendo. Por lo tanto:
dh
h&(t ) =
= −v1 (t )
dt
(1)
Por otro lado, entre el punto 1 y 2 se cumple la ecuación de
continuidad, por lo que la masa adentro del tanque dismunuye a
medida que sale el flujo por el punto 2:
dmT
= − m& 2 /
dt
m& 2 = ρ A2 v 2
y
dm& T
dh
= ρ A1
dt
dt
(2)
y, siendo el fluido incompresible, de densidad ρ: A1 v1 = A2 v 2 .
Primer pregunta: ¿Se cumple la ecuación de Bernoulli?
Apliquemos el principio de conservación de la energía, tomando en cuenta el que el
trabajo que ejerce la presión en los puntos 1 y 2 (ambos a presión atmosférica) es nulo,
dado que se verifica la ecuación de continuidad:
dET dE 2 dW1 dW 2
+
=
+
dt
dt
dt
dt
dW1 dW 2
dv1
dv 2
dv 
 dv1
+
= P1 A1
− P2 A2
= P0  A1
− A2 2  = 0
dt
dt
dt
dt
dt
dt 

En otras palabras, la variación de la energía del fluido adentro del tanque se convierte en
energía cinética del fluido de salida:
dET
v2
= −m& 2 2
dt
2
(3)
La energía del fluido adentro del tanque, considerando que el centro de masa de dicho
fluido se encuentra en el centro de la región que contiene jugo, se puede indicar cómo:
 v 2 g h(t ) 

ET (t ) = mT (t )  1 +
 2

2



 dv
dE
v 2 gh(t ) 
g h&(t ) 

y por lo tanto, derivando todos los términos: T = m& T (t )  1 +
+ mT (t )  v1 1 +

 2
dt
2 
dt
2 


Sustituimos por la ecuación (1), considerando, también, su derivada temporal:
& 
 v 2 g h(t ) 

dET
 + mT (t )  h&(t ) h&&(t ) + g h(t ) 
= m& T (t )  1 +

 2
dt
2 
2 


La ecuación (2) relaciona la masa del tanque con la altura de jugo. Re-agrupando
términos, se tiene que la energía del tanque varía de acuerdo a:
 v 2 g h(t ) 
 2

dET
 + ρA1 h((t ) )h&(t )  h&&(t ) + g  = ρA1 h&(t ) v1 + g + h&& h
= ρA1 h&(t )  1 +
 2
2 
2
dt


 2

(
)
Por último, considerando la ecuación (1), (2) y (3)...
v2

dET
v2
v2
= − ρA1 v1  1 + g + h&& h  = − m& 2 2 = − ρA2 v 2 2
dt
2
2
 2

(
)
De donde surge una ecuación similar (pero no idéntica) a la ecuación de Bernoulli:
 v12
(
)

v2
+ g + h&& h  = ρ 2
2
 2

ρ
Si despreciamos la aceleración de la superficie superior, frente a la aceleración de la
gravedad (h&& << g ) , el resultado que se obtiene es idéntico a la ecuación de Bernoulli, entre
un punto 1 y un punto 2, que se encuentran a la misma presión P0:
 v12

v2
+ g h = ρ 2
2
 2

ρ
Segunda pregunta: ¿Cuál es la ecuación diferencial que permite relacionar la altura
del tanque con el tiempo?
Considerando la ecuación de continuidad, y la ecuación (1) se tiene:
−1
2
 A2 
 A2 
 dh 
2 g h(t ) = v12  12 − 1 ⇒   = 2 g  12 − 1 h(t ) ⇒
 dt 


 A2
 A2
dh
= −K h
dt
⇒
dh
h
= − K dt
1
−1 2
  2
 
A1



donde K = 2 g 2 − 1  es una constante que representa la relación entre secciones.
 
  A2
 
 
Tercer pregunta: ¿Cuánto tarda en vaciarse la jarra?
El primer vaso tarda t1 = 12 s en llenarse y la jarra contiene en total, 15 vasos de jugo.
Si integramos la ecuación diferencial, a ambos lados, desde que comienza a vaciarse la
jarra (momento en que la altura de jugo en el tanque es h0) hasta que se llena un vaso (y
la altura del jugo en el tanque es 14/15 h0), es posible determinar:
14
h
15 0
⇒
∫
dh
h
h0
t1
∫
= − K dt
⇒ 2
(h
0
−
14
15
)
h0 = K t 1
⇒
h0
K
0
=
(
t1
2 1−
14
15
) = 177 s
Entonces, el tiempo que demora en llenarse un vaso determina esta relación entre los
parámetros geométricos de la jarra: h0 y (A1/A2).
Si integramos a ambos lados, desde que comienza a vaciarse la jarra hasta que se vacía
completamente, hallamos el tiempo t que tarda en vaciarse la jarra es:
o
⇒
∫
h0
dh
h
t
∫
= − K dt
0
⇒ 2 h0 = K t
⇒ t=2
h0
K
= 354 s
Por lo que el tiempo que tardan en llenarse los últimos 14 vasos es: 342 s = 5min y 42seg.