Demostración del binomio de Newton

Demostración del Binomio de Newton.
La idea es ir paso a paso, en forma simple e intuitiva, como probablemente hizo Newton, desarrollando la potencia un binomio en
sus componentes. Gradualmente, voy elevando la potencia del binomio hasta generalizarlo en n. Voy a comenzar con la potencia 4
del binomio, sólo por un tema de visualización:
(a+b)4
= (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
(por definición algo elevando a n es n veces ese algo)
= [(a+b)(a+b)][(a+b)(a+b)]
(propiedad conmutativa, es decir, a por b, es lo mismo que, b por a)
= [aa+ab+ba+bb][aa+ab+ba+bb]
=(aaaa+aaab+aaba+aabb) + (abaa+abab+abba+abbb) +
(baaa+baab+baba+babb) +(bbaa+bbab+bbba+bbbb)
Observa los términos subrayados, los que contienen tres letras a y una letra b ¿De cuántas formas/colores se pueden agrupar tres
letras a y una letra b sin que el orden en que aparezcan importe (propiedad conmutativa). Es decir, imagina un grupo de cuatro
casilleros: para la letra a, hay cuatro colores posibles, de los cuales, debemos elegir sólo tres colores, para llenar así los primeros tres
casilleros, mientras que, para la letra b, también hay cuatro colores posibles, pero podemos escoger sólo un casillero de los cuatro
que se deben llenar. En forma coloreada:
{aaab, aaba, abaa, baaa}
{aaab, aaab, aaab, aaab}
ó reordenando
4 posibilidades, que contienen tres a y una sola.
Dejé la b al final por estética.
Alterar el orden de los casilleros que contienen letras a, por ejemplo, no cuenta como una nueva combinación pues, por propiedad
conmutativa, el orden en que aparecen no importa.Es fácil ver que para el primer casillero, tengo 4 opciones posibles de colores para
la letra a, para el segundo casillero, sólo tendré 3 opciones posibles de colores para la letra a (porque el primer color ya no está
disponible para ser seleccionado), y para el tercer casillero sólo tendré 2 opciones de colores posibles para la letra a (los dos colores
restantes). Es decir, la cantidad de combinaciones posibles de letra a está dada por 4x3x2.
Ahora, dado que el orden con que aparece el trío de colores no me importa (cuenta como un sólo trío independiente del orden en
que estén los colores dentro de él) tengo que descontar esas veces en que aparece un mismo trío de colores pero desordenado,
pues, como dije, sólo debe contar como un único trío. Para lograrlo, procedo a dividir por la cantidad de veces en que un trío dado de
colores dado puede reordenarse a sí mismo (es decir, el número de veces en que puedes desordenar un trío de colores dado,
intercambiando la posición en que aparecen sus colores). Esto último es, 3x2x1 veces, o más conocido como tres factorial (3!) veces.
Es decir, un trío de colores dado puede desordenarse de tres factorial formas distintas. Como, para nuestro ejercicio, todas estas
formas de desordenar un trío cuentan sólo como una vez, procedo a realizar el cociente:
Cantidad de combinaciones posibles cuando
el orden del trío no importa (cuenta como uno)
=
4×3×2×1
N° de formas distintas de escoger 3 colores dados de entre 4 colores disponibles
N° de formas distintas en que los tres colores ya escogidos puede reordenarse en el trío
4!
4×3×2 [ 1 ]
4!
𝑛!
(4−3)!
=
=[
]=[
]=
3×2×1 3×2×1
3!
3! (4 − 3)!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
Donde n es el número de posibilidades (colores) y r es el número de casilleros (posiciones) a llenar con esos colores, para el caso de
la letra a. Esta ecuación suele escribirse en matemática de la siguiente manera:
𝑛!
𝑛
( )=
𝑟
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
Es decir, cuando tengamos tres letras a y una letra b el coeficiente que acompaña a este término equivale a la cantidad de veces en
que se pueden multiplicar las cuatro letras “a” posibles (los cuatro colores posible para la letra a) con las cuatro letras “b” posibles
(colores), de forma tal que conformen una agrupación de cuatro casilleros, donde, a su vez, 3 de esos casilleros son llenados con
letras “a” y sólo uno de los casillerospuede contener la letra “b”. Esto es, 3a3b1, donde la potencia indica el número de casilleros que
llena cada letra (en este caso, “a” llena 3 casilleros y “b” llena sólo uno). En forma matemática
4!
4
( )=
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑎
3
3! (4 − 3)!
4!
4
( )=
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑏
1
1! (4 − 1)!
Lo interesante de notar es que, escoger las 3 letras “a” de entre los 4 posibles colores, es equivalente a escoger una sola letra “b” de
entre sus, también, cuatro posibles colores. Observa el siguiente ejercicio coloreado que gráfica lo señalado:
Opción o posibilidad 1
Opción o posibilidad 2
Opción o posibilidad 3
Opción o posibilidad 4
aaab
aaab
aaab
aaab
Es decir, el número de formas de escoger 3 colores de 4 posibles, es igual al número de formas de escoger un único color de entre los
mismos cuatro posibles, siempre y cuando el orden no importe.
En términos matemáticos, esta increíble simetría es bien conocida y se expresa así:
4
4
( )= ( )
3
1
Nota: En forma equivalente, para el grupo de cuatro casilleros, pero que esta vez tiene dos letras “a” y dos letras “b” (en lugar de las
3 letras “a” y una letra “b” que vimos anteriormente), el coeficiente que los acompaña equivale a la cantidad de veces en que se
pueden multiplicar, conmutativamente, las cuatro posibles letras “a” con las cuatro posibles letra “b” de forma tal que conformen
una agrupación con cuatro casilleros, donde,dos de ellos son llenados con letras “a”, y doscasilleros son llenados con letras“b”.
Utilizando la fórmula vista anteriormente, el nuevo caso sería:
4!
4
( )=
=6
2
2! (4 − 2)!
Esto es, 6a2b2, donde la potencia indica el número de casilleros que cada letra está llenando, en el grupo de cuatro casilleros.
Entonces volviendo al primerísimo ejemplo de la primera página:
(a+b)4
= (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
(por definición algo elevando a n es n veces ese algo)
= [(a+b)(a+b)][(a+b)(a+b)]
(propiedad conmutativa, es decir, a por b, es lo mismo que, b por a)
= [aa+ab+ba+bb][aa+ab+ba+bb]
= (aaaa+aaab+aaba+aabb) + (abaa+abab+abba+abbb) +
(baaa+baab+baba+babb) + (bbaa+bbab+bbba+bbbb)
= aaaa+4aaab+6aabb+4abbb+bbbb
“4aaab” significa que hay 4 términos -combinaciones conmutativas posibles de
colores- que contienen 3 letras a y una letra b, sin importar el orden.
Esto puede escribirse, como hemos visto, en nomenclatura combinatoria. Recuérdese la propiedad de simetría:
4
4
4
4
4
= ( )aaaa+( )aaab+( )aabb+( )abbb+( )bbbb
3
0
4
2
1
para el caso de la letra a, o también:
4
4
4
4
4
= ( )aaaa+( )aaab+( )aabb+( )abbb+( )bbbb
0
3
1
2
4
en el caso de la letra b
Como se vio, por simetría, ambas formas de escribir la serie son completamente equivalentes, pues, cuando el orden no importa,
escoger 3 letras a de cuatro posibles es lo mismo que escoger una letra b de entre 4 posibles. Escojamos por conveniencia y belleza
matemática la última nomenclatura. (La escogí en realidad por el hecho de que sigue una progresión ascendente de números
enteros, lo cual será útil más adelante como se verá a continuación)
Entonces:
(a+b)4
4
4
4
4
4
= ( )aaaa+( )aaab+( )aabb+( )abbb+( )bbbb
0
3
1
2
4
(a+b)4
4
4
4
4
4
= ( )a4+( )a3b+( )a2b2+( )ab3+( )b4
0
3
1
2
4
(a+b)4
4
4
4
4
4
= ( )a4b0+( )a3b1+( )a2b2+( )a1b3+( )a0b4
0
3
1
2
4
(a+b)4
=[
4!
]a4b0+[
0!(4−0)!
4!
]a3b1+[
1!(4−1)!
4!
]a2b2+[
2!(4−2)!
se agregan términos en rojo
4!
]a1b3+[
3!(4−3)!
4!
]a0b4
4!(4−4)!
Lo anterior puede generalizarse (por inducción) para cualquier potencia n del binomio de la siguiente forma:
(a+b)n
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
= ( )anb0+( )an-1b1+( )an-2b2+( )an-3b3+( )an-4b4+…
0
3
1
2
4
(a+b)n
=[
(a+b)n
𝑛 n-r r
𝑛!
𝑟=𝑛
n-r r
= ∑𝑟=𝑛
(
𝑟=0 𝑟 )a b = ∑𝑟=0 [𝑟!(𝑛−𝑟)!]a b
𝑛!
]anb0+[
0!(𝑛−0)!
𝑛!
]an-1b1+[
1!(𝑛−1)!
𝑛!
]an-2b2+[
2!(𝑛−2)!
𝑛!
]an-3b3+[
3!(𝑛−3)!
𝑛!
]an-4b4+…
4!(𝑛−4)!
Esta es la deducción binomio de newton, esencial para el cálculo diferencial e integral. La demostración de esta sucesión puede
lograrse mediante la técnica conocida como “inducción” y está en la web.