Cap´ıtulo 1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 1.1

FERNANDO MESA
Licenciado en matemáticas, graduado de
la Universidad Tecnológica de Pereira con
honores. Tiene estudios de posgrado en
Matemáticas, Instrumentación Física y
Docencia Universitaria. Con experiencia de
más de 20 años, profesor titular del
Departamento de Matemáticas de la
Universidad Tecnológica de Pereira en
donde se ha destacado como directivo e
investigador. E-mail: [email protected]
ALEJANDRO MARTÍNEZ ACOSTA
Licenciado en Educación, Especialidad
Matemática de la Universidad del Cauca.
Candidato a magíster en Enseñanza de las
Matemáticas de la Universidad Tecnológica
de Pereira. Actualmente, se desempeña
como docente asociado en el Departamento de Matemáticas de la Universidad
Tecnológica de Pereira; es investigador en
las áreas de Ecuaciones diferenciales y
Educación matemática. E-mail:
[email protected].
JOSÉ RODRIGO GONZÁLEZ GRANADA
Matemático, con Maestría en Matemáticas y
doctorado en Matemáticas. Investigador en
matemáticas puras y aplicadas con resultados originales en la teoría de bifurcación,
deformación y deducción de la teoría de
micro-deformación. Investigador en ecuaciones diferenciales parciales. Profesor asociado
de la Universidad Tecnológica de Pereira.
mail: [email protected].
Contenido
Presentación
iv
1 Introducción a las ecuaciones diferenciales
1
1.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Definiciones y terminologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Soluciones y problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Ecuación diferencial de una familia de curvas . . . . . . . . . . 12
1.5
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Ecuaciones diferenciales de primer orden
19
2.1
Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2
Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3
Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4
Factores integrantes especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5
Transformaciones y sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6
Trayectorias ortogonales y oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7
Ecuación diferencial de primer orden en coordenadas polares . 48
2.8
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8.1
Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8.2
Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
i
CONTENIDO
3 Ecuaciones diferenciales de orden superior
3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Introducción: sistema masa-resorte . . . . . . . . . .
3.1.2 Operadores diferenciales lineales . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Soluciones fundamentales de ecuaciones homogéneas .
3.1.4 Reducción de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Teorı́a básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . .
3.2.3 Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Operadores anuladores . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Variación de los parámetros . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ecuación de Cauchy–Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Transformada de Laplace
4.1 Definición y transformadas
4.2 Propiedades . . . . . . . .
4.3 Transformada inversa . . .
4.4 Los teoremas de traslación
4.5 Funciones periódicas . . .
4.6 Función delta de Dirac . .
4.7 Función de transferencia .
4.8 Ejercicios . . . . . . . . .
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115
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155
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. 165
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. 170
básicas
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5 Sistemas de ecuaciones diferenciales
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Teorı́a preliminar . . . . . . . . . . . .
5.3 Métodos de solución . . . . . . . . . .
5.3.1 Método de eliminación . . . . .
5.3.2 Solución mediante transformada
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de Laplace
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59
59
60
63
66
71
71
75
83
87
89
95
98
107
CONTENIDO
5.4
5.5
5.6
5.7
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes
Sistemas lineales no homogéneos . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Variación de los parámetros . . . . . . . . . . . .
Matriz exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Solución de ecuaciones diferenciales mediante series
6.1 Introducción y preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Solución mediante series de potencias . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Solución en torno a puntos ordinarios . . . . . . . . .
6.2.2 Solución en torno a puntos singulares: método de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Ecuaciones y funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Ecuación de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Ecuación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Ecuación hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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171
181
181
182
185
191
193
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. 197
. 198
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202
207
208
212
214
217
Respuestas
219
Bibliografı́a
229
Índice alfabético
230
iii
Presentación
Esta obra ha sido realizada para que sea usada como texto guı́a en los cursos de ecuaciones diferenciales, que se ofrecen en las diferentes universidades
en los distintos programas de ingenierı́as y tecnologı́as. En particular, en la
Universidad Tecnológica de Pereira en su programa de licenciatura en matemáticas y fı́sica.
Esta edición es el resultado de varios años de trabajo y dedicación, lo que
permitió basados en la experiencia, mejorar los distintos borradores que fueron utilizados como notas de clase de quienes somos sus autores.
Se desarrollaron seis capı́tulos, en los que sin perder de vista la formalidad
de los contenidos, el lector podrá encontrarse con una presentación sencilla, práctica y amena haciendo posible un primer acercamiento al estudio de
las ecuaciones diferenciales ordinarias. Es ası́ como en los capı́tulos 1 y 2 se
presentan los aspectos relacionados a las ecuaciones diferenciales de primer
orden, tema que corresponde a la unidad I del programa oficial del curso de
matemáticas IV que se orienta en la Universidad Tecnológica de Pereira. El
siguiente capı́tulo coincide con la unidad II del programa de matemáticas
IV en el que se desarrollan los elementos más importantes de las ecuaciones
diferenciales de orden superior. En el capı́tulo 4 se lleva a cabo el desarrollo
de la transformada de Laplace y sus diferentes usos en la solución de sistemas de ecuaciones y otras aplicaciones. Por último en el capı́tulo final de
v
Presentación
esta obra está dedicado a desarrollar lo referente a la solución de ecuaciones
diferenciales mediante el método de Series de Potencias.
Es de anotar que en cada uno de estos capı́tulos nos preocupamos por entregar
una gran variedad de ejemplos, los que le permiten al estudiante desarrollar
los ejercicios y problemas que se proponen; casi en su totalidad con su respuesta.
Por último, queremos manifestar que junto con el propósito inicial, también
deseamos hacer un aporte para que la complejidad de las matemáticas se presente sin perder rigurosidad pero estando cada vez más al alcance de todos.
Nos hacemos responsables de los errores que pueden llegarse a filtrar en esta
primera edición, y agradecemos de antemano las sugerencias y observaciones
que pudieran hacernos llegar.
Los autores.
vi
Capı́tulo 1
Introducción a las ecuaciones
diferenciales
1.1
Introducción
En las ciencias y en la ingenierı́a se desarrollan modelos matemáticos para
entender mejor los fenómenos fı́sicos. A menudo, estos modelos conducen a
una ecuación que contiene algunas derivadas de una función desconocida.
Esta ecuación se denomina una ecuación diferencial.
Comenzamos esta sección con unos ejemplos, los cuales dan origen a ecuaciones diferenciales.
t = 0, v = 0
Ejemplo 1.1 (Caı́da libre). Un objeto de masa m se deja caer desde una
altura h (por encima del suelo) y cae
por la fuerza de gravedad, (Fig. 1.1).
Determine la ecuación diferencial que
describe la trayectoria del objeto.
y
h
mg
Nivel del suelo
Figura 1.1. Cuerpo en caı́da libre
1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución.
Podemos aplicar al objeto que cae la segunda ley de Newton, la cual establece
que la masa de un objeto por su aceleración es igual a la fuerza total que
actúa sobre él. Esto conduce a la ecuación
m
d2 y
= −mg,
dt2
2
donde m es la masa del objeto, y es la altura sobre el suelo, ddt2y es su aceleración, g es la aceleración gravitacional (constante) y −mg es la fuerza debida
a la gravedad.
Esta es una ecuación diferencial que contiene la segunda derivada de la al, se obtiene la
tura desconocida y como función del tiempo. Al hacer v = dy
dt
ecuación diferencial de primer orden en la incógnita v:
dv
= −mg
dt
Ejemplo 1.2 (Vaciado de un tanque). La ley de Torricelli establece que la
rapidez v de flujo (o salida) del agua a través de un agujero de bordes agudos
en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad)
h, es igual a la rapidez de un objeto que cae libremente desde una altura
√
h, en este caso v = 2gh, donde g es la aceleración de la gravedad, (figura
1.2). Deduzca una ecuación diferencial que exprese la altura h en cualquier
momento t, que hay en el tanque.
m
V (t)
h
A0
Figura 1.2. Vaciado de un tanque
2
h
Otros títulos de interés:
∙ Estadística básica aplicada,
Ciro Martínez Bencardino
∙ Estadística y muestreo,
Ciro Martínez Bencardino
∙ Fundamentos de estadística.
Para la investigación en educación,
Mireya Ardila Rodríguez
∙ Álgebra lineal y programación lineal
Francisco Soler, Fabio Molina y
Lucio Rojas.
∙ Didáctica de las matemáticas
Robinson Castro Puche y
Rubby Castro Puche.
∙ Fundamentos de matemática
Francisco Soler Fajardo y
Reinaldo Nuñez.
∙ Matemáticas financieras aplicadas
Jhonny de Jesús Meza Orozco
∙ Matemáticas financieras
empresariales
Jhonny de Jesús Meza Orozco
∙ Matemáticas para informática
Ismael Gutiérrez García.
Ecuaciones
Diferenciales
Ordinarias
una introducción
Las ecuaciones diferenciales han permitido acercar estrechamente al
ser humano con la realidad expresada en las matemáticas; es por ello,
que los autores de esta completa obra la ponemos a su alcance para
que sea utilizada como texto guía o de consulta en los cursos de
Ecuaciones diferenciales ordinarias que se ofrecen en los programas
de ingenierías, tecnologías, matemáticas y licenciaturas en matemáticas y física, de las diferentes universidades del país.
Esta primera edición es el resultado de varios años de trabajo y dedicación, lo que permitió mejorar los distintos borradores que fueron
utilizados como notas de clase de quienes somos sus autores. Se
desarrollaron seis capítulos, en los que sin perder de vista la formalidad de los contenidos, el lector podrá encontrarse con una presentación sencilla, práctica y amena; haciendo posible un primer acercamiento al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Cabe resaltar que en cada uno de los capítulos nos preocupamos por
entregar una gran variedad de ejemplos, que le permitirán al estudiante desarrollar los ejercicios y problemas que se proponen; casi en
su totalidad con su respuesta.
Área: Ciencias Exactas
Colección: Matemáticas