Universidad Del Cauca Departamento de Matemáticas

Universidad Del Cauca
Departamento de Matemáticas
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TALLER SOBRE MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
Definicion: Diremos que un número natural a es divisor de b cuando existe otro número natural k tal
que: b = ak. Expresado de otra forma, la división entre b y a ha de ser exacta. La relación de “ser divisor”
o de divisibilidad se representa con el sı́mbolo |. Ası́, “a divide a b” se escribe como a | b.
Demostrar que:
1. El cuadrado de un entero impar es impar
2. El cuadrado de un entero par es par
3. La suma de dos enteros pares es par
4. La suma de dos enteros impares es par
5. La suma de un entero par y uno impar es impar
6. El producto de dos enteros pares es par
7.
a
b
+
c
d
=
ad+bc
bd
8.
a
b
×
c
d
=
ac
bd
con b, d 6= 0
con b, d 6= 0
9. El producto de dos enteros impares es impar
10. Si a | b y b | c, entonces a | c
11. Si a es un entero no nulo, entonces a | 0
12. Si a es un entero no nulo, entonces a | a
13. Si a es un entero no nulo, entonces 1 | a
14. Si a es un entero no nulo, entonces (−1) | a
15. Si b es un entero y a | b, entonces a | bc
16. Si el cuadrado de un número entero es par, entonces el número es par
17. Si el cuadrado de un número entero es impar, entonces el número es impar
18. Si el producto de dos enteros es es par, entonces uno de ellos es par
19. Si el producto de dos enteros es es impar, entonces ambos números son impares
20. Todo primo mayor que dos es impar
21. Sean x e y números reales. Una y sólo una de las siguientes afirmaciones es cierta x < y; x > y; x = y
1
22. Si el cuadrado de un número real es positivo entonces el úmero es diferente de cero
23. El producto de dos números reales es igual a cero, si y sólo si uno de los dos números es cero
24. Sean x, y y z números reales. Si x < y entonces x + z < y + z
25. Sean x, y y z números reales con z > 0 . Si x < y entonces xz < yz
26. Sean x, y y z números reales con z < 0 . Si x < y entonces xz > yz
27. El cuadrado de todo número real es no negativo
28. La suma de dos números racionales es racional
29. La suma de un número racional con un irracional es irracional
√
30. 2 es irracional
31. Sean x e y números reales. Probar que (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 .
Demostrar o refutar las siguientes afirmaciones
1. El cuadrado de todo número impar es par
2. El cuadrado de todo número impar es impar
3. El cuadrado de todo número par es par
4. El cuadrado de todo número par es impar
5. Todo número primo es impar
6. El cuadrado de todo número real es positivo
7. El cuadrado de cada número real es mayor que el número
8. Para todo número real x, existe un número real y tal que xy = 1
9. Si x, y, z son números enteros, entonces se cumple que (∀x)(∀y)(∀z)(x | z ∧ y | z ⇒ xy | z)
10. Si x es un números enteros, entonces se cumple que (∀x)((6 | x ∧ 4 | x) ⇒ 24 | x)
11. Si x, y, z son números reales no nulos, entonces se cumple que (∀x)(∀y)(x > y ⇒
2
1
x
< y1 )