Lectura 4

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ENSEÑAR MATEMÁTICA CON SU HISTORIA
MESOPOTAMIA ASIÁTICA
Los Sumerios
La civilización más antigua fue la de los Sumerios, establecidos en la Baja
Mesopotamia, cuyos documentos nos permiten remontarnos hasta el 3.500 a.C. Nada
se sabe de sus orígenes, no eran semitas.
Gracias a sus representaciones artísticas tenemos una perfecta idea de su físico:
hombres de baja estatura, pero de cuerpo musculoso, que llevaban rasurada la cara y
la cabeza. Eran agricultores y ganaderos, construían canales y caminos, trabajaban los
metales, tejían la lana y practicaban el tráfico fluvial.
Su gran invento fue la escritura cuneiforme, con la cual fue posible la transmisión de su
pensamiento y de los acontecimientos que los afectaron a las generaciones futuras.
Era un sistema complejo, que alcanzaba los 700 signos o pictografías. Primero fueron
de carácter ideográfico (signos) y luego fonéticos (sonidos).
Actividad Nº 3
*** Observe en el siguiente cuadro1, que describe la evolución de la escritura sumeria,
las modificaciones sufridas por distintas palabras. ¿Encuentra alguna característica
digna de ser señalada en esta evolución? ¿Cuál?
1
www.proel.org/alfabetos/sumerio.html
El más interesante poema épico en esta escritura, y que se encuentra casi completo, es
la Epopeya de Gilgamesh, un héroe perseguidor de monstruos e incansable viajero. Los
primeros astrónomos y astrólogos fueron los sumerios. Ellos estudiaron y definieron los
movimientos de la Luna, inventaron los doce signos del zodíaco y precisaron la
duración del año en 365 días y 6 horas, con 12 meses lunares.
Sus conocimientos matemáticos los desarrollaremos a continuación.
Inventaron, además, el ladrillo, la irrigación artificial, el arado y la rueda.
La organización política de los sumerios consistía en ciudades-Estados, las más
importantes fueron Kish, Ur, Uruk, Umma y Lagash.
Las luchas de estas ciudades por la hegemonía política, sumadas a su ubicación
geográfica, facilitaron o permitieron que fueran conquistadas por pueblos extranjeros.
En esta región, donde la arcilla es abundante, se escribía sobre tablillas de arcilla
blanda, que luego se cocían o se secaban al sol. Para hacerlo, en los primeros tiempos,
se utilizaban dos cilindros rectos de diferentes radios, que luego se reemplazaron por
un único prisma triangular, que imprimía marcas en forma de cuña, de ahí el nombre de
escritura cuneiforme.
Esta escritura, creada por los sumerios, tuvo una gran difusión en los 3000 años
siguientes. Cuando los acadios (que aún no tenían escritura) los invaden, la adoptan
para su propio idioma; también fue utilizada por los hititas, elamitas y otros muchos
pueblos del Cercano Oriente en la Antigüedad; no desapareció hasta comienzos de
nuestra era.
Los documentos mesopotámicos, realizados sobre tablillas de arcilla, presentan un alto
grado de permanencia, se han conservado miles de ellas y algunas datan de hace unos
5000 años. Naturalmente sólo una pequeña parte se refieren a cuestiones que tengan
que ver con la Matemática y hay que considerar que hasta fines del siglo XIX no se
había descifrado la escritura asiria.
En 1870, gracias al hallazgo de un texto escrito en asirio, elamita y persa, se pudo
traducir del asirio con el conocimiento del persa 2. En el segundo cuarto del siglo XX se
tuvo un panorama definido en cuanto a los aportes matemáticos que las tablillas
demuestran, cuyo análisis fue muy lento hasta los trabajos de F. Thureau-Dangin (en
Francia) y O. Neugebauer (en Alemania y EE.UU.)
Los escribas3
Toda la información de la que disponemos, extraída
de las tablillas, nos llega por obra de los escribas.
¿Quiénes eran? ¿Cómo se formaban para su
profesión?
Existieron escuelas desde la época de la invención de
la escritura. La extrema complejidad de ésta, con más
de 700 símbolos diferentes, exigía años de estudio.
Escribas asirios
El aprendizaje de la aritmética se iniciaba en una fase
muy temprana.
Había dos tipos de alumnos: los hijos de los ricos y poderosos, de donde surgirían
reyes y altos funcionarios (eran una minoría) y los que habían tenido la suerte de
acceder a una institución educativa, excepcional medio de ascenso social, y se
convertirían en escribas profesionales.
El tiempo de escolaridad mínimo era diez años.
En un escrito que ha llegado hasta nosotros, un escriba alardea de su capacidad ante
otro:
“Quiero escribir tablillas:
tablas (de medidas) desde 1 gur de cebada hasta 600 gur;
tablas (de peso) desde 1 siclo hasta 20 minas de plata,
2
Es notable y sorprendente la similitud con lo sucedido con la piedra de Rosetta, hallada en 1799, escrita en
jeroglífico, demótico y griego, que permitió descifrar las escrituras egipcias.
3
En la figura: Escribas asirios registrando el saqueo después de una campaña victoriosa en Babilonia. Un escriba
está escribiendo en acadio cuneiforme sobre una tablilla y el otro escribe en arameo sobre un papiro o un pergamino
de cuero.
con los contratos de matrimonio que pueden presentarme,
los contratos comerciales,...
la venta de viviendas, campos, esclavos,
prendas de plata, contratos de arriendo de campos,
contratos de cultivo de palmeras, incluso las tablas de adopción, todo eso sé escribir.” 4
Sistema de numeración sumerio
En cuanto al sistema de numeración, los símbolos utilizados por los sumerios fueron:
1
=
Repetían el
10
=
hasta nueve veces. El
60 =
hasta cinco veces.
Por ejemplo: 31 =
Aunque para el 60 utilizaban el mismo símbolo que para el 1, esto no daba lugar a
confusiones porque en todos los casos los números estaban referidos a situaciones
concretas y de ellas dependía que una misma inscripción se leyera de uno u otro modo.
Como se observa, utilizaban una combinación de base 10 y base 60. Aún hoy
empleamos la base 60, al medir tiempos o ángulos, y esto es heredado del sistema de
numeración sumerio.
Veamos un ejemplo, el número 8256, escrito combinando base 10 y base 60 es, con
nuestros símbolos: 8256 = 2 x 602 + 17 x 60 + 36 = 2 17 36 5
en escritura sumeria:
4
Ritter, James – “Las fuentes del número” en el “Correo de la Unesco”, París, Francia, Noviembre 1989
Diferentes autores separan los números que corresponden a distintas potencias de 60 con coma, punto y coma o
espacios. Hemos optado por éste último y por el punto y coma sustituyendo la coma decimal.
5
En textos que datan de comienzos del segundo milenio, se observa el empleo de un
principio de sustracción para la escritura numérica a partir de un símbolo que restaba
uno al número que se hubiera escrito (equivalente a -1)
En los lugares en que debían ir ceros, dejaban un espacio mayor. Esto resultaba un
tanto confuso. La primera evidencia de que utilizaran un símbolo para el cero data del
300 a.C., aproximadamente. No se hallaron evidencias de que usaran este símbolo al
final de un número. También operaron con fracciones, utilizando el mismo sistema de
numeración que para los naturales.
Por ejemplo:
podía representar: 2x60 + 2 ó 2 + 2x60-1 ó 2x60-1 + 2x60-2 ó
la misma suma con otras dos unidades consecutivas.
Símbolo para el cero:
Símbolo para restar uno:
Observemos que, en la numeración de los pueblos mesopotámicos, junto a los números
naturales aparecen los racionales positivos, en forma de fracciones, y también un
primer intento para el 0 y una forma de representar el -1, pero no como un número
independiente, sólo como una manera de indicar que se le resta 1 a otro número dado.
B- Sugerencias de actividades para el aula
Trabajo Práctico: Sistemas de Numeración
1) Escriban en nuestro sistema decimal:
2) Escriban utilizando la numeración sumeria:
39 =
84 =
320 =
453 =
3) ¿Qué ventajas o desventajas presenta la numeración sumeria?
4) ¿Qué otro sistema de numeración conocen?
5) Escriban los números indicados en 2) utilizando los símbolos romanos.
6) Resuelvan 320 + 453, pero utilizando sólo los símbolos sumerios.
7) Intenten resolver el mismo cálculo utilizando sólo los símbolos romanos. ¿Es posible
realizarlo?
8) ¿Cuál es la característica de un sistema de numeración que permite realizar las
operaciones?
9) ¿Cuál es la base del Sistema de Numeración que nosotros utilizamos? ¿Sería el
mismo en el caso de que tuviéramos otro número de dedos entre ambas manos?
Investiguen sobre los orígenes de la base del sistema de numeración que nosotros
utilizamos.
10) En ocasiones utilizamos otras bases: ¿cuáles empleamos para:
- comprar facturas, rosas o claveles?
- comprar zapatos o guantes?
- medir el tiempo?
- medir ángulos?
11) ¿Cuál es la base del Sistema de Numeración Sumerio?
Nota para el docente: Si en los contenidos que usted imparte se incluye numeración
binaria y en otras bases, sería oportuno integrarlas a este práctico.
La tablilla Plimpton 322
La primera publicación sobre la tablilla conocida bajo dicho nombre, es de 1975 en
Mathematical Cuneiform Texts. Fueron O. Neugebauer y A. J. Sachs quienes la
descifraron y la analizaron.
La tablilla, escrita en escritura cuneiforme, pertenece al periodo 1900 a 1600 a.C., y su
nombre se debe al número que lleva en el catálogo de la colección Plimpton de la
Universidad de Columbia.
Como se puede observar en la imagen, le faltan algunas secciones pero la columna
dañada pudo ser reconstruida.
Analizando su contenido se puede apreciar tres columnas completas y parte de una
cuarta. A continuación le presentamos la reproducción publicada, en donde los números
entre paréntesis, como los ceros fueron añadidos por Neugebauer.
IV
III
b
II
c
I
(1 ; 59 0 ) 15
1 59
2 49
1
(1 ; 56 56 ) 58 14 50 6 15
56 7
3 12 1
2
(1 ; 55 7 ) 41 15 33 45
1 16 41
1 50 49
3
( 1 ; ) 5 ( 3 1 ) 0 29 32 52 16
3 31 49
5 9 1
4
(1 ; ) 48 54 1 40
1 5
1 37
5
(1 ; ) 47 6 41 40
5 19
8 1
6
(1 ; ) 43 11 56 28 26 40
38 11
59 1
7
(1 ; ) 41 33 59 3 45
13 19
20 49
8
( 1 ; ) 38 33 36 36
9 1
12 49
9
1 ; 35 10 2 28 27 24 26 40
1 22 41
2 16 1
10
1 ; 33 45
45
1 15
11
1 ; 29 21 54 2 15
27 59
48 49
12
(1 ; ) 27 0 3 45
7 12 1
4 49
13
1 ; 25 48 51 35 6 40
29 31
53 49
14
(1 ; ) 23 13 46 40
56
53
15
La primera columna, empezando desde la derecha, enumera cada una de las líneas, las
dos siguientes corresponden a los valores de la hipotenusa y a uno de los catetos, en
dicho orden.
c
b
α
a
A las columnas II y III, las designamos con las letras c y b respectivamente,
asociándolas con los lados del triángulo rectángulo, entonces se obtiene lar relación de
Pitágoras: c2 = b2 + a2, aunque en la tablilla no esta presente el valor de a en forma
directa, vemos que lo conocían.
Esto no nos permite asegurar que llegaron a demostrar el teorema para cualquier
triángulo rectángulo, sólo podemos conjeturar que conocían la relación de ciertas ternas
numéricas.
Si nos detenemos en la columna IV, veremos que los números disminuyen de manera
continua de arriba hacia abajo.
En cada línea si calculamos el valor del cateto a, podremos verificar que el cociente c2 /
a2 coincide con los valores de la última columna. Por lo tanto representa los valores de
la secante al cuadrado para el ángulo α.
Resumiendo:
La tablilla representa una terna pitagórica donde el valor de uno de los catetos se
encuentra en forma implícita al calcular el valor de la secante al cuadrado.
Pero en las quince líneas hay cuatro excepciones, en donde el cociente hallado no
coincide con los otros dos valores de los lados. Ellas son las líneas 2, 9, 13 y 15.
C- Sugerencias de actividades para el aula
1) Expresar en sistema decimal los valores c y b de las líneas 1, 3, y 11. Luego calcular
el cateto a para dichos valores.
2) Verificar si la primera columna corresponde a cuadrado de la secante del ángulo α.
3) Averiguar entre que valores aproximados varia el ángulo α, desde la primera a la
última línea (se recomienda solo utilizar los valores dados en la II y III , en particular en
la segunda columna de la última línea el valor para c es 106, sistema decimal, en lugar
de 53.)
4) Demostrar que son excepciones las líneas mencionadas.
En cuanto a las operaciones
Como su sistema de numeración era posicional, para realizar las operaciones no tenían
grandes dificultades. A esto se agrega que los matemáticos mesopotámicos se
mostraron extremadamente hábiles para inventar métodos algorítmicos, contaban con
tablas de multiplicación, cuadrados, cubos, inversos, raíces cuadradas y cúbicas.
D- Sugerencias de actividades para el aula
Trabajo práctico: Operaciones en decimal y en sumerio
1) Realizar las siguientes operaciones
2) Escriban en símbolos sumerios, los factores y los resultados de:
15 x 9 =
16 x 9 =
3) Realizar la descomposición polinómica en base 10 de los siguientes números:
1035 =
6408 =
648 =
64800 =
4) Realizar la descomposición polinómica, en base 60, de los siguientes números:
58 =
1593 =
4224 =
Reproducimos a continuación una tabla de multiplicación por nueve6:
6
Collette, Jean-Paul, “Historia de las Matemáticas, Tomo 1”, Siglo veintiuno editores, México, 1985.
Las tablas de inversos y las que permitían multiplicar por ellos eran las que se utilizaban
para dividir. Por ejemplo: si se desea dividir 47 por 8, se utiliza el inverso de 8 que es:
7.60-1+30.60-2=
= 7 30 y luego la tabla de multiplicar.
Un ejemplo de tabla de inversos, que aparece en escritura cuneiforme en el original, es:
Número
Inverso
Número
Inverso
2
30 = 30.60-1
6
10
3
20
9
6 40
4
15
10
6
5
12
12
5
No aparecen los inversos de 7 y 11, seguramente porque su expresión sexagesimal es
infinitamente larga; el de 8 ya lo hemos dado como ejemplo anteriormente.
No existen tablas de multiplicación de los inversos de números como 11; 13; 14; 17; 19;
etc. Se debe a que estos números no pueden tener un desarrollo finito en base 60.
Para dividir por 11; 13; 14, etc. usaron aproximaciones obtenidas, al parecer, por
interpolación.
Nota para el docente: Si lo considera adecuado, escriba los inversos de 6 y 9 en
función de las potencias de 60 y proponga a sus alumnos que lo hagan. Pregúnteles
qué operación realizaban los sumerios utilizando los inversos?
Antiguos problemas
Los sumerios y los babilonios tuvieron conocimientos de álgebra. He aquí ejemplos de
los problemas que ellos resolvían, hallados en tablillas:
** Largo y ancho. He multiplicado largo y ancho y he obtenido el área. He agregado al
área el exceso del largo sobre el ancho: 183, además he sumado largo y ancho: 27. Se
pide largo, ancho y área. 7
** He sumado el área y los dos tercios del lado de mi cuadrado y me ha dado 0; 35.
Encontrar el lado. Indicación: observe que 2/3 y 0; 35 están expresados en diferentes
sistemas; elija en cuál prefiere trabajar. 8
Actividad Nº 4
*** Resuelva estos problemas utilizando las herramientas actuales de la Matemática.
*** Observe que en algunos de ellos se suman magnitudes diferentes. Conjeture cuál
podría ser el propósito de estos enunciados.
7
Ídem 11
E- Sugerencias de actividades para el aula
Trabajo práctico: Ecuaciones de segundo grado. Problemas
1) Resolver:
3 x2 – 7x + 2 = 0
0,25 x2 2 x + 4 = 0
– 2 x2 + x – 5 = 0
2) El producto entre un número negativo aumentado en 3 y ese mismo número
disminuido en 5 es – 12. ¿Cuál es el número?
3) El producto de un número natural por su consecutivo es 122. ¿Cuál es el número?
4) El cuadrado de un número es igual a a ese mismo número disminuído en 1/4. ¿Cuál
es el número?
5) Los siguientes problemas fueron enunciados y resueltos por los antiguos sumerios
hace más de 4000 años. Resuélvanlos.
a) He sumado la superficie y el lado de mi cuadrado, lo que me ha dado 0; 45.
Encontrar el lado. 9
b) He sumado siete veces el lado de mi cuadrado y once veces la superficie, lo que me
ha dado 6; 15. Encontrar el lado del cuadrado. 10
c) En estos problemas se indican sumas entre longitudes y superficies. ¿Tiene sentido
un cálculo así? ¿Qué propósito habrán tenido al redactar estos enunciados?
6) Intenten resolver alguno de ellos en numeración sumeria y tomen nota de las
dificultades que aparecen.
8
9
Collette, Jean-Paul; “Historia de la Matemática I”, Siglo XXI Editores, México, 2000
Ídem 13
F- Sugerencias de actividades para el aula
Trabajo práctico: Teorema de Pitágoras
1) ¿Cuál es el enunciado del Teorema de Pitágoras?
2) Si los lados de un cuadrado miden 30 cm cada uno, ¿Cuál es la longitud de su
diagonal?
3) La diagonal de un rectángulo mide 50 cm y su base 30 cm ¿Cuál es la longitud de su
altura?
4) En una carpintería un tablón está apoyado contra la pared. Su extremo superior está
a 1,20 m del piso y su extremo inferior esta a 0,50 m de la pared. ¿Cuál es su longitud?
5) Resuelvan el siguiente enunciado que fue extraído de una tablilla babilónica de
alrededor de 2000 años a.C.:
Una puerta. Altura: medio ninda y 2 codos. Ancho: 2 codos. ¿Cuál es su diagonal? “11
(Una ninda equivale a 12 codos y un codo a 30 dedos. La longitud de un codo se ubica
entre los 45 y 50 centímetros, o sea que todos estos resultados serán aproximados.)
6) Expresar el resultado en dedos y en codos.
7) Expresar el resultado en metros, en decímetros y en centímetros.
G- Sugerencias de actividades para el aula
10
11
Ídem 13
. Sestier, Andrés – “Historia de las Matemáticas”, Limusa Noriega editores, México, 1996
Trabajo Práctico: La Matemática Sumeria
1) Investiguen sobre las características de la Civilización Sumeria: su ubicación
geográfica; sus principales actividades; su organización social; sus creencias religiosas.
Escriban una síntesis de lo recopilado.
2) Hallen la solución de los siguientes problemas, que fueron enunciados y resueltos
por los antiguos sumerios:
** Se conoce la extensión total (1800) de un campo compuesto por dos parcelas, en
cada una de las cuales el rendimiento del grano por unidad de área está afectado por
coeficientes diferentes (2/3 y 1/2) Se desea saber la extensión de cada parcela
conociendo la diferencia (500) del producido de la cosecha. 12
Aclaración: el mayor rendimiento corresponde a la parcela mayor.
** Un cateto de una propiedad en forma de triángulo rectángulo mide 50 unidades de
longitud; paralelamente al otro cateto y a una distancia de él de 20 unidades se traza
una recta que corta del triángulo un trapecio rectángulo cuya área es de 5,20 unidades.
Hállense las longitudes de los dos lados paralelos de este trapecio. 13
3) Escriban las ecuaciones que resuelven estos problemas y sus resultados en
numeración sumeria.
La raíz cuadrada
En la tablilla Yale 7289 se encuentra un valor aproximado de
, obtenido por un
método que luego se adjudicó a diversos matemáticos (Arquitas, Herón, Newton) y es
de origen babilónico. Se parte de x =
, la raíz que se desea calcular y a1 es una
primera aproximación; a partir de ella se calcula una segunda aproximación b1 = a:a1. Si
12
Rey Pastor J. y Babini J., “Historia de la Matemática – Vol. 1”, Gedisa, Barcelona 2000.
a1 era demasiado pequeña, entonces b1 será demasiado grande y viceversa y, por lo
tanto, la media aritmética a2 = (a1+b1):2 será una aproximación mejor. Suponiendo que
a2 es aún demasiado grande, la siguiente aproximación b2 = a:a2 será demasiado
pequeña y la media aritmética a3 = (a2+b2):2 será una aproximación mejor.
Por ejemplo para calcular
podríamos proceder así:
Tomamos a1 = 2 como una primera aproximación, entonces b1 = 5:2 = 2,5. Luego
tendremos las siguientes aproximaciones:
a1 = 2
a2 = (2+5:2):2 = 2,25
a3 = (2,25+5:2,25):2 = 2,236111111....
a4 = (2,236111...+5:2,236111...): 2 = 2,23606797791580400276052449965...
En una computadora moderna se obtiene:
= 2,23606797749978969640917366873128...
Si comparamos ambos resultados observamos que el obtenido en sólo cuatro pasos
con el método babilónico tiene 9 cifras decimales correctas.
El proceso puede continuarse indefinidamente, este método iterativo pudo haber puesto
a los matemáticos de la época en contacto con los procesos infinitamente largos, pero
el hecho es que no percibieron las implicaciones de tales problemas.
H- Sugerencias de actividades para el aula
1) Calculen, con el método sumerio, la raíz cuadrada de 18 realizando dos pasos.
Utilicen todas las cifras decimales que aparezcan.
2) Comparen el resultado obtenido con el que indica la calculadora y observen cuántas
cifras decimales exactas obtuvieron.
13
Ídem 13
3) Calculen, nuevamente con el método sumerio, la raíz cuadrada de 27. Realicen 3
pasos, utilizando todas las cifras decimales que obtengan.
4) Calculen la raíz cuadrada de 27 en la calculadora y comparen ambos resultados.
Epílogo: Otros aportes de la Civilización Mesopotámica
En ciertos documentos aparecen relaciones exponenciales, en términos de potencias
sucesivas de un número dado.
Hay tablas, por ejemplo, de las diez primeras potencias de 9; 16; 100..., que permitían
encontrar el exponente al que hay que elevar un número para obtener otro dado; no
debemos pensar que allí está la función logarítmica como la conocemos actualmente,
pero es notable que tan pronto aparecieran relaciones exponenciales de este tipo.
Los babilonios aplicaron sus conocimientos aritméticos al comercio, los contratos, el
cálculo de intereses simples y compuestos, los sistemas de pesos y medidas, el
calendario, etc.
No sólo el sistema sexagesimal sigue empleándose al medir ángulos o tiempo, muchos
de los aportes hechos por la Civilización Mesopotámica fueron semillas de importantes
temas de la ciencia Matemática.
Actividad para entregar
TRABAJO PRÁCTICO
UNA CLASE CON HISTORIA
Realizar el esquema de una clase conectando un tema de los contenidos escolares con
sus antecedentes históricos; eligiendo entre todo lo desarrollado en este módulo.
Mencionar los contenidos matemáticos que correspondan.
Sintetizar los conceptos correspondientes a la Historia de la Matemática, según el tema
seleccionado, de modo apropiado para alumnos de Escuela Media. Esta síntesis puede
actuar sólo como disparador u ocupar otro lugar; también puede facilitarles usted los
contenidos históricos o solicitarles que investiguen.
Preparar actividades para los alumnos, incluyendo tanto los aspectos históricos como
los específicamente matemáticos, intentando integrarlos.
Temas sugeridos: Sistemas de numeración. Descomposición polinómica en distintas
bases – Operaciones aritméticas – Problemas con ecuaciones de segundo grado –
Método mesopotámico para la obtención de la raíz cuadrada – Teorema de Pitágoras.