TEMA 5. CUESTIONES Y PROBLEMAS

TEMA 5. CUESTIONES Y PROBLEMAS
Movimiento de cargas y corriente
1. Por un conductor filiforme circula una corriente continua de 1 A.
a) ¿Cuánta carga fluye por una sección del conductor en 1 minuto?
b) Si la corriente es producida por el flujo de electrones, ¿cuántos electrones atravesarán
esta sección al mismo tiempo?
Sol.: a) 60 C;
b) 3,75·1020 electrones.
2. Si la sección de un conductor de cobre es circular de radio 1 mm y se admite que cada átomo
tiene un electrón libre, calcular la velocidad de arrastre de los electrones cuando la intensidad es de
1 A. (Datos: ρCu= 8,93 g/cm3, MCu= 63,5 g/mol, NA= 6,02x1023 átomos/mol).
Sol.: 2,35 .10-5m/s.
3. Por un alambre de aluminio de 1,3 mm de radio circula una corriente de 20 A. Suponiendo que
hay 3 electrones libres por cada átomo de aluminio, determinar la velocidad de arrastre de los
electrones. (Datos: densidad aluminio=2,7.103kg/m3, MAl=27,0 g/mol).
Sol.: 1,3.10-4 m/s
4. En un tubo fluorescente de 4,0 cm de diámetro pasan por una sección determinada y por cada
segundo 2,0x1018 electrones y 1,0x1017 iones positivos (con carga +e), ¿Cuánto vale la intensidad
de corriente que circula por el tubo?
Sol.: 0,336 A
5. Un anillo de radio R tiene una densidad lineal de carga λ. Si el anillo gira con una velocidad
angular w alrededor de su eje, determinar el valor de la correspondiente intensidad de corriente.
Sol.: I = λwR
6. Un disco de radio R, cargado con una densidad superficial de carga σ , gira con una velocidad
angular w alrededor de su eje. Calcular la intensidad de corriente.
Sol.: I = σ w R2/2
7. La corriente que circula por un hilo metálico varía de acuerdo con el tiempo según la expresión I
= 20 +3t 2, donde I se expresa en A y t en s.
a) ¿Cuántos coulombios se transportan por el hilo entre t = 0 y t = 10 s?
b) ¿Qué corriente constante transportaría la misma carga en igual intervalo de tiempo?
Sol.: a) 1200 C,
b) 120A
8. La carga que pasa por la sección de un hilo metálico esta definida por Q(t) = 6,5 t2 + 3,5 C,
para t desde 0,0 s a 8,0 s.
1
Sol.:
a) ¿Qué expresión tiene la corriente I(t) en este intervalo de tiempo?
b) ¿Cuánto vale la corriente en t = 3 s?
a) I= 13t,
b) 39 A
9. La densidad de corriente en un conductor de sección transversal circular de radio R, varía de
acuerdo con la distancia al eje r según la expresión J = Jor/R. Calcular la intensidad de corriente en
el conductor.
Sol.: I = 2π JoR2/3
Ley de Ohm y resistencia
10. Por un conductor de 10 m de longitud, 1 mm2 de sección y una resistencia de 0,2Ω, circula una
corriente de 5 A.
a) ¿Cuál es la ddp entre los extremos del conductor?
b) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico en este conductor?
c) ¿Qué valores tienen la densidad de corriente y la conductividad?
Sol.: a) 1V,
b) 0,1V/m,
c) J= 5.106 (Am-2),
σ=5.107 (Ω m)-1
11. Sea un conductor en forma de tronco de cono, con los radios de las bases r1 y r2= 2r1, de
resistividad uniforme y recorrido por una intensidad I. Calcular la relación entre los módulos del
campo eléctrico en los puntos 1 y 2 situados, respectivamente, a los centros de las bases del
conductor.
Sol.: E1/E2= 4
12. Qué diferencia existe entre resistencia y resistividad? Qué es lo correcto, hablar de resistencia
del cobre o de resistividad del cobre; de resistencia de una peseta o de resistividad de una peseta?
13. Una barra de tungsteno tiene una longitud de 1m y una sección de1 mm2. Se aplica una ddp
entre sus extremos de 10 V.
a) Cuál es su resistencia a 20ºC?
b) Cuál es su resistencia a 40ºC?
c) Cuánto vale la intensidad de corriente a 20ºC?
Sol.: a) 0,056Ω,
b) 0,061Ω,
c) 178,57 A
14. ¿A qué temperatura será la resistencia de un conductor de cobre el 10% mayor que cuando
está a 20ºC?
Sol.: 45,6 ºC.
2
15. Calcular la resistencia equivalente
entre los puntos A y B y entre C y D
cuando corresponda en los circuitos de
las figuras.
Sol.: a)RAB=5Ω , RCD=19/20Ω ;
b)RAB=0Ω, RCD=RΩ;
c)RAB=3/2Ω=RCD;
d)RAB=R/2Ω;
e)RAB=(R1+R2)/2Ω,
RCD=2R1R2R3/(2R1R2+R1R3+R2R3)Ω
16. Sea un conductor rectilíneo de sección S longitud L, con una resistividad ρ =ρo+ ax +b x2,
siendo X la distancia a el eje Y, indicada en la figura. Determinar:
a) La resistencia del conductor,
b) ¿Qué longitud de conductor de la misma sección y ρ = ρo consume la misma potencia
cuando se somete a la misma ddp?
Sol.: a) R= (ρoL + a L2/2 + bL3/3)/ S Ω ;
b) L´= (ρoL + a L2/2 + bL3/3)/ρo m
17. Calcular la resistencia de una pieza de cobre de
resistividad ρ como la que se indica en la figura.
Sol.:
R = ρ L /π r1 r2
18. Dado el conductor tronco-piramidal de la figura, de
resistividad ρ uniforme, bases cuadradas de lados a y
b, y longitud L, calcular,
a) la resistencia entre las bases,
b) la longitud que debería tener un conductor
de la misma resistividad que el anterior, y de sección
cuadrada constante de lado a, para que tuviera la
misma resistencia que el del apartado a.
Sol.: a) ρL/ab ;
b) La/b
3
Energía en los circuitos eléctricos
19. Se calcula una resistencia de 10 Ω para disipar 5,0 w como máximo.
a) ¿Qué corriente máxima puede tolerar esta resistencia?
b) ¿Qué tensión entre sus bornes producirá esta corriente?
Sol.: a) 0,707 A,
b) 7,07 V
20. Si la energía cuesta 15 pesetas por Kilovatio-hora., ¿cuánto costará hacer funcionar un
ordenador durante 4 horas si tiene una resistencia de 220 Ω y está conectado a una tensión de 220
V?
Sol.: 13,2 pts
21. Un conductor de cobre de sección 1 mm2 puede transportar una corriente máxima de 6 A, y
admite un aislamiento de goma.
a) ¿Cuál es el valor máximo de la ddp que puede aplicarse en los extremos de 40 m de un
conductor de este tipo?
b) Calcular la densidad de corriente y el campo eléctrico en el conductor cuando circulan
por él 6A.
c) Calcular la potencia disipada en el conductor en este último caso.
Sol.: a) 4 V,
b) 6.106A/m2 , 0,1V/m,
c) 24 W
22. Una correa de un acelerador de Van de Graaff transporta una densidad superficial de carga de
5 mC/m2. La correa tiene una anchura de 0,5 m y se mueve a 20 m/s.
a) ¿Qué corriente transporta?
b) Si esta carga ha de elevarse hasta un potencial de 100kV, ¿Cuál es el menor valor de la
potencia del motor para accionar la corriente?
Sol.:
a) 0,05 A,
b) 5 kW
23. En el circuito de la figura, indicar:
a) ¿Qué resistencia disipa más potencia por
efecto Joule?
b) ¿Qué resistencia disipa menos potencia?
Justificar las respuestas.
Sol.:
a) R2 ,
b) R1
24. Dos resistencias iguales se conectan en serie a una tensión V. Posteriormente se montan en
paralelo y se conectan a la misma tensión V. ¿En cuál de los dos montajes se disipa menos
potencia?
Sol.: PS < Pp
4
T5.p1.- Un hilo de cobre de 2.5 mm. de diámetro, transporta una corriente de 15 A. Suponiendo
que cada átomo de cobre cede en promedio 1.2 electrones a la conducción, calcula la velocidad de
arrastre de los electrones.
Nota: Son datos conocidos: la carga del electrón (q=1.6x10-19 C); el peso atómico del cobre
(M=63.5 gr/mol), su densidad (ρ=8.9x103 kg/m3) y el Número de Avogadro (NA=6.02x1023
átomol/mol).
Solución:
Para conocer la velocidad de arrastre de los electrones, deberemos relacionar esta
magnitud la intensidad y la geometría del conductor, que son datos conocidos del problema.
Para ello, supongamos
un tramo de
conductor entre dos secciones rectas, de
longitud ∆L. Un electrón que parte de S1
empleará un tiempo ∆t en recorrer esta longitud.
En ese mismo tiempo, todos lo electrones que
se encontraban en el volumen de conductor
definido, habrán cruzado la superficie S2. La
relación entre la longitud recorrida y el tiempo
empleado es la velocidad promedio del electrón,
denominada velocidad de arrastre (v a), que en condiciones de régimen permanente se considera un
valor común a la velocidad de todos los electrones.
Teniendo en cuenta que la intensidad es la relación entre la carga que atraviesa una sección del
conductor (por ejemplo, S2) y el tiempo empleado para hacerlo (∆t), obtenemos:
La carga que atraviesa S2 en ∆t, es la presente en el volumen (∆V) de la figura en un instante de
tiempo:
∆Q = n.q. ∆V
siendo n, el número de electrones por unidad de volumen y q la carga del electrón. La intensidad
que circula por el conductor será:
∆Q n. q . ∆V n. q. S . ∆L
I=
=
=
= n. q. S. v a
∆t
∆t
∆t
Esto nos permite conocer la velocidad de arrastre de los electrones, a falta de conocer el valor del
coeficiente n:
I
va =
n. q . S
5
n viene dado en electrones/m3. Como cada átomo de cobre cede 1.2 electrones a la conducción,
atendiendo a los parámetros conocidos del cobre podremos determinar una relación que nos
permita calcular el valor de n:
El Nº de Avogadro nos da el número de átomos presentes en una mol de cualquier material.
Dado que conocemos el número de gramos que tiene una mol de cobre (peso atómico), podremos
conocer el número de átomos presentes en un gramo de cobre:
atomos N A (at./mol)
=
gr
M (gr / mol)
El valor de la densidad nos da a conocer la masa de cobre presente en una unidad de volumen, lo
que nos permitirá calcular el número de átomos de cobre presentes en una unidad de volumen.
atomos N A
=
(atomos / gr). ρ(gr / m 3 )
m3
M
Con lo cual, el número de electrones:
n=
electrones
atomos
N
= 1.2
= 1.2 A . ρ
m3
m3
M
Tomando valores en el Sistema Internacional:
6.02x10 23
n = 12
. x
x 8.9 x 10 3 ≈ 101
. x 10 29 ( electrones / m3 )
-3
63.5x10
La velocidad con que se mueven estas cargas es:
I
15
va =
≈
≈ 189
. x10−4 m / s
2
n. q. S
 2.5

1.01x1029 x 1.6x10-19 x π x 
x10 −3 
 2

El resultado obtenido nos aporta la idea de que la intensidad que circula por un conductor es
debida al gran número de cargas libres que se desplazan por el mismo, dado que su velocidad, en
términos macroscópicos, parece bastante baja. Esta idea se verá con más comodidad después del
siguiente cálculo.
Si la intensidad es de 15A, esto implica que la superficie S2 es atravesada por 15C cada segundo.
Conocida la velocidad de arrastre, podemos saber que longitud de conductor contiene esta carga
libre:
L = va .t = 1.89x10 -4 m = 0.189 mm
ello implica que 0.189mm de conductor (con un radio de 1.25mm), contiene una carga de 15C.
6
T5.p2.- Sea un conductor, homogéneo de
conductividad σ, con la forma de un cono recto,
truncado y de bases paralelas (ver figura).
Responde las siguientes cuestiones:
a) Si por el conductor circula una
intensidad I entre ambas bases, determina como
varían en el mismo las siguientes magnitudes:
1. Intensidad.
2. Densidad de corriente.
3. Campo eléctrico.
4. Potencial (d.d.p. entre la superficie recta A y un punto del interior).
b) Resistencia del conductor entre ambas bases.
Solución:
a.1.- La inexistencia de fuentes o sumideros de carga eléctrica en el interior del conductor
implica que la intensidad que atraviesa cualquier sección del conductor tiene un mismo valor. Luego
I = cte en cualquier sección del conductor.
a.2.- Para resolver este punto supondremos que las cargas eléctricas se desplazan en todos
los puntos en la dirección perpendicular a la sección recta. Esta hipótesis tiene validez cuando existe
un cambio progresivo y suave de la sección recta a lo largo del eje.
Como el vector densidad de corriente tiene la misma dirección que la velocidad de arrastre,
también será perpendicular a la sección recta. Además, por tratarse de un conductor homogéneo, la
densidad de corriente tendrá el mismo valor en cada punto del conductor de una misma sección
recta (ver nota 1, al final del problema). En estas condiciones:
r r
I = ∫ J ⋅ ds = ∫ J ds = J ∫ ds = J SR
SR
SR
SR
de donde, teniendo en cuenta que su sentido es el del movimiento de las cargas positivas, el vector
densidad de corriente será:
r I r
J=
i
SR
Dado que la sección recta depende de su posición
respecto al eje OX:
2
SR ( x ) = π r 2 ( x ) = π ( r1 + m. x )
donde m es la pendiente de la recta r(x) y tiene
como expresión:
7
r2 − r1
L
Entonces la densidad de corriente sigue la expresión:
r
r
I
J( x) =
i
2
π ( r1 + m. x )
m = tg (α ) =
a.3.- El campo eléctrico lo podemos conocer en cada punto sin más que aplicar la Ley de
Ohm, que relaciona campo eléctrico y densidad de corriente:
r
r
r
r
J( x)
ρI
E ( x) =
= ρ J ( x) =
i
2
σ
π ( r1 + m. x )
dado que la resistividad ρ tiene el mismo valor en cualquier punto del material, el campo eléctrico
varía con la posición del punto considerado de forma análoga al vector densidad de corriente.
a.4.- En primer lugar vamos a ver la forma de las superficies equipotenciales. La relación
entre campo eléctrico y potencial electrostático
viene dada por la expresión:
r
E = −∇V
donde ∇V es la función gradiente.
Dado que el gradiente es perpendicular a las
superficies equipotenciales, también lo será el campo eléctrico.
Como el campo eléctrico es perpendicular a la sección recta
del conductor, de aquí deducimos que las secciones rectas del
conductor son superficies equipotenciales.
La diferencia de potencial entre la superficie A y cualquier
punto P del conductor la podremos calcular como VA-Vx ,
donde Vx es el potencial de la sección recta que contiene al
punto P y se halla en la posición x del eje.
teniendo en cuenta que la superficie A se halla en x=0, si
calculamos esta diferencia de potencial:
x
x
x
r r x

ρ I dx
ρI x
dx
ρI 
-1
VA − V X = ∫ E ⋅ dx = ∫ E dx = ∫
=
=


2
π ∫0 ( r1 + m. x) 2
π  m( r1 + m. x )  0
0
0
0 π ( r1 + m. x)
ρI 
-1
1  ρ I ( −r1 + r1 + mx) ρ I
x
VA − V X =
+ =
=

πm  ( r1 + m. x ) r1  π m ( r1 + m. x )r1
π r1 ( r1 + m. x )
Cómo VA-Vx ≥ 0 (∀x>0), el potencial eléctrico disminuye al aumentar x, cumpliendo la relación
hallada.
8
b) Para calcular la resistencia del conductor bastará aplicar la ley de Ohm. Supuesta una
intensidad I y calculada la diferencia de potencial entre ambas caras VA-VB, la resistencia R, del
conductor, será:
V −V
R= A B
I
Como la cara B se corresponde con la posición x=L y teniendo en cuenta el valor de m:
ρI
L
ρI
L
ρIL
VA − V X =
=
=
π r1 ( r1 + m. L) π r1  r + r2 − r1 . L π r1 r2
 1



L
Entonces la resistencia del conductor, será:
V − VB
ρL
R= A
=
I
π r1 r2
Expresión que, tal como era de esperar, solo depende de la geometría del conductor y de las
propiedades eléctricas del material de que está compuesto.
Ê : Esta afirmación puede comprobarse a partir de un razonamiento por reducción al absurdo:
Mantenemos la hipótesis aproximativa de que el movimiento de las cargas es perpendicular
a la sección recta en cada punto. Entonces, la sección recta, por su parte, es una superficie
equipotencial por ser perpendicular al campo eléctrico.
Supongamos que J es diferente para 2 puntos (A y B) de una sección recta del
conductor. A partir de La ley de Ohm verificamos que el módulo del campo eléctrico también es
diferente en estos puntos de la sección recta.
Dado que una superficie recta es equipotencial, el valor de la diferencia de potencial entre
dos superficies rectas debe ser único de forma independiente a la forma elegida para su cálculo
Calculamos la diferencia de potencial entre esta superficie recta y otra superficie recta
separada una distancia dx de la anterior.
Si lo hacemos partiendo del punto A, obtenemos: ∆VA=E(A).dx,
Si lo hacemos partiendo del punto B. obtenemos: ∆VB=E(B).dx
Como E(A) ≠ E(B), entonces ∆VA≠ ∆VB , lo que supone valores distintos de diferencia de
potencial entre dos superficies equipotenciales. Como esto no puede ser cierto, la hipótesis de
partida debe ser falsa, luego J, en el problema propuesto, debe tener un único valor para todos los
puntos de una misma superficie equipotencial.
También se puede comprobar como una deducción realizada a partir de conocimientos previos.
Para ello calcularemos el vector densidad de corriente en cualquier punto de una misma superficie
recta y verificaremos que es independiente de sus coordenadas.
Partimos del hecho de que una superficie recta es equipotencial. Tomamos dos superficies rectas,
S y S'. En ellas se verificará que:
9
∀x ∈ S 
 ⇒ ∆V = Vx ' − Vx = cte
∀ x' ∈ S '
Calculamos el campo eléctrico como el gradiente de la
función potencial.
r
∆V r →
∀ x ∈ S ⇒ E = −∇V = −
i = Cte
∆X
r r
siendo nulas sus componentes en las direcciones j y k .
Dado que el conductor es uniforme (ρ=cte), por aplicación
de la ley de Ohm:
r
→
r
∀ x ∈ S ⇒ j = σE = Cte
r
Lo que significa que j debe tener un único valor para todos
los puntos de una misma superficie equipotencial.
10