Document

Propiedades efectivas de medios
periódicos magneto-electroelásticos a través de funciones de
Green
Autores: Lázaro Maykel Sixto Camacho,
Julián Bravo Castillero,
Reinaldo Rodríguez Ramos,
LOGO
Raúl Guinovart Díaz
Introducción
No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e
insertarla de nuevo.
v  En un problema de valores de frontera
Lu=f, con condiciones de frontera de la
forma Bu=h, el par (f,h) es conocido
colectivamente como los datos para el
problema y u es la respuesta a ser
determinada. Para problemas de valores
de frontera lineales, el principio de
superposición (si u₁ es solución para los
datos (f₁;h₁) y u₂ para los datos (f₂;h₂),
entonces Au₁+Bu₂ es una solución para
los datos (Af₁+Bf₂;Ah₁+Bh₂))
Introducción
permite descomponer datos complicados
en posiblemente en partes simples, para
resolver cada uno de los problemas de
valores de frontera simples y entonces
reagrupar estas soluciones para buscar la
solución del problema original. La
determinación de sus propiedades
globales (efectivas) cuando las
características físicas y geométricas del
compuesto son conocidas pueden ser un
elemento útil para un estudio adecuado.
Introducción
v Una descomposición de los datos
frecuente es (f;h)=(f;0)+(0;h). En este
trabajo se hace un estudio de los
compuestos termo-magneto-electroelásticos lineales. Haciendo uso de esto,
para resolver el problemas de valores de
frontera para datos arbitrarios (f;h), se
define un problema accesorio donde f
representa una unidad de fuente
concentrada y h=0; este problema
accesorio se toma en lugar del problema
simple (f;0).
Introducción
La respuesta del problema accesorio es
conocida como la función de Green.
v En este trabajo siguiendo estrictamente la
teoría desarrollada por V.I. Gorbachev B. y
Ye. Pobedrya 1995 para obtener las
características efectivas de las
propiedades térmicas y parcialmente
elásticas de materiales inhomogéneos
incluyendo compuestos, se realiza una
extensión para el caso de un material
compuesto inhomogéneo con propiedades
magneto-electro-elásticas.
Introducción
v EL operador lineal L es tal que, para
Lu=f
el operador de Green G: LG=I es
conocido, entonces
u=Gf
Si los datos de entrada f no son
aleatorios, para el campo de entrada <u>
se tiene
<u>=<G>f
Introducción
v El operador efectivo L̂ está definido como
L̂<u>=f
luego
L̂ =<G>⁻¹
y el problema de materiales inhomogenéos
estocásticamente promediados se reduce
a la construcción de la función de Green
promediada.
Problema MEE lineal
v Compuesto magneto-electro-elástico
(MEE) con volumen V y acotado por una
superficie cerrada ∑
v En principio se tienen funciones materiales
suaves a pedazos.
Problema MEE lineal
cijk l Elástico
α ij Magneto-eléctrico
eijk Piezoeléctrico κ ij
Permitividad
eléctrica
qijk Piezomagnético µij
Permeabilidad
magnética
Problema MEE lineal
v  El comportamiento MEE del compuesto
está dado por
u
ϕ
ε
ψ
Campo de desplazamiento elástico
Campo potencial eléctrico
Campo potencial magnético
Problema MEE lineal
v Condiciones de simetría
cijkl = c jikl = cijlk = cklij
eijk = eikj ,
qijk = qikj
κ ij = κ ji , µij = µ ji , αij = α ji
Problema MEE lineal
v Condiciones de elipticidad
cijkl aijakl ≥ αaijaij ,
(E X , X ) ≥ α (X , X )
ij
j
i
i
i
donde
⎛ κ ij
Eij = ⎜⎜
α
⎝ ij
3
s
αij ⎞
⎟
µij ⎟⎠
3
s
para todo a ∈ E y X∈R⁶, E espacio de
las matrices simétricas de 3×3, (a,b)
producto escalar usual de R².
Problemas de frontera
v Sea el problema de frontera
(A
jl
( x )U ,l (x )), j + F ( x ) = 0,
U ∑ = U 0 (y)
x ∈V ,
y∈∑
donde
T
⎛ cijkl elij
qlij ⎞
U = (ui ,ϕ ,ψ )i =1,2,3
⎜
⎟
Ajl = ⎜ e jkl − κ jl − α jl ⎟
T
F
=
(
−
f
,
0
,
0
)
i
i =1, 2, 3
⎜ q − α − µ ⎟
jl
jl ⎠i ,k =1, 2 , 3
⎝ jkl
∂g
con
g, i =
∂xi
Problemas de frontera
v El problema anterior se llama primer
problema de valores de frontera
(Problema 1) dada la condición
AijU, j ni
Σ
= S0 ( y )
ni
componentes del vector unitario de la
normal exterior a la superficie
S0 = ( s ) vector de funciones
α
0
Problemas de frontera
v Para la formulación dual del segundo
problema de valores de frontera se define
ε i ≡ U i ,i
y las relaciones
⎧ I , si i = j
σ i = Aijε j , ε i = J ijσ j , Aik J kj = J ik Akj = I ij = ⎨
⎩0, si i ≠ j
A = ( Aij )
donde J = ( J ij ) es el tensor inverso
a
, I es la matriz identidad de 5×5,
0 denota la matríz nula de 5×5
Problemas de frontera
v El segundo problema de valores de
frontera en la formulación dual es
(Problema 2)
σ i ,i ( x ) + F ( x ) = 0, x ∈V
con la condición de frontera
σ i ( y)ni ( y) Σ =S 0( y)
y la ecuación de compatibilidad
ε ijk ( J jl ( x )σ l ( x )) ,k = 0
Problemas simples (0;h)
v Para determinar las componentes de los
ˆ , Ĵ respectivamente
tensores efectivos A
ij
ij
se fórmulan el primero y el segundo
problema de valores de frontera con
condiciones de frontera especiales y
cuando no hay campo externo F(x); estos
problemas de valores de frontera son los
problemas simples (0;h)
Problemas simples (0;h)
v Primer problema de valores de frontera
especial (Problema 1₀)
(A ( x )U )
ij
, j ,i
= 0,
U Σ = γ i yi
x ∈V
γ i =const
v El segundo problema especial de frontera
(Problema 2₀) en la formulación dual
σ i ,i ( x ) = 0,
σ i ni Σ = τ i ( y )
x ∈V
τ i =const
Resultados
v Para los problemas 1 y 1₀, al igual que en
Gorbachev 1995, resultan las identidades
1
ε i ( x ) = ∫ U 0 ( y )ni ( y )dΣ y = γ i
V Σ
y para los problemas 2 y 2₀ se obtienen
1
σ i ( x) = ∫ S0 ( y ) yi dΣ y + F ( x) xi = τ i
VΣ
donde
g ( x)
≡
1
g ( x )dV
∫
VV
Resultados
v A partir de la solución del problema 1₀
σ i ( x ) = Aˆijγ j
y de la solución del problema 2₀
ε i ( x ) = Jˆijτ j
los tensores con componentes Aij y
son mutuamente inversos (Pobedrya
1984)
J ij
Funciones de Green
v Se asume que las funciones de Green para
el Problema 1₀ G(x, ξ ) y del Problema 2₀
~
G(x, ξ ) son conocidas
v  Para el Problema 1₀ el problema accesorio
es
(Ajl ( x)G,l ( x,ξ )), j = −δ ( x − ξ ) I , x, ξ ∈V
G( y , ξ ) Σ = 0
y para el Problema 2₀
~
Ajl ( x )G,l ( x, ξ ) , j = −δ ( x − ξ ) I , x, ξ ∈V
~
Ajl ( y )G,l ( y , ξ )n j ( y ) = 0
(
)
Σ
Funciones de Green
v  Se definen
Ei ( x, ξ ) = G,i ( x, ξ ), Γi ( x, ξ ) = Aij ( x )G, j ( x, ξ )
~
~
~
~
Ei ( x, ξ ) = G,i ( x, ξ ), Γi ( x, ξ ) = Aij ( x)G, j ( x, ξ )
v  Análogamente a Gorbachev 1995
1
~
Γi ( x, ξ ) = ξi I
x
V
con
g| i =
∂g
∂yi
1
~
Γi| j ( x, ξ ) = δ ij I
x
V
Funciones de Green
v  La solución del Problema 1 en términos
de la función de Green G ( x, ξ )
U (ξ ) = − ∫ ΓiT| j ( y , ζ )U 0 ( y )n j ( y )dΣ y + ∫ G T (x, ξ )F ( x )dVx
V
Σ
ε j (ξ ) = − ∫ ΓiT| j ( y, ξ )U 0 ( y )n j ( y )dΣ y + ∫ G T (x, ξ )F ( x )dVx
V
Σ
σ j (ξ ) = − Ajk (ξ ) ∫ ΓiT| j ( y, ξ )U 0 ( y )n j ( y )dΣ y + ∫ GT (x, ξ )F ( x )dVx
Σ
V
v  Para el Problema 1₀
Aˆ jl = Aij (ξ ) − Aik (ξ )V ΓTj| k ( x, ξ )
x ξ
Funciones de Green
v  La solución del segundo problema de
frontera (Problema 2)
~T
~T
0
U (ξ ) = ∫ G| j ( y , ξ )S ( y )dΣ y + ∫ G ( x, ξ ) F ( x )dVx
V
Σ
~T
ε j (ξ ) = ∫ G ( y , ξ )S ( y )dΣ y + ∫ E j ( x, ξ ) F ( x )dVx
T
|j
0
V
Σ
~T
~T
0
σ j (ξ ) = Ajk (ξ ) ∫ G|k ( y, ξ ) S ( y )dΣ y + ∫ Γj ( x, ξ )F ( x )dVx
V
Σ
para el Problema 2₀
~T
ˆ
J ij = V E j| i ( x, ξ )
x ξ
Coeficientes efectivos
v  El problema de frontera para obtener el
coeficiente efectivo  resulta
jl
( Ajl (ξ ) + Ajk (ξ ) N l| k )|l = 0
N,i (η ) Σ = 0
y el efectivo resulta
Aˆ jl = Ajl (ξ ) + Ajk (ξ ) Nl|k (ξ )
donde
N i (ξ ) = −V ΓiT (x, ξ )
x
Coeficientes efectivos
v  En particular en que la matriz MEE
inhomogénea A jl depende de una sola
variable, ξ = ζ se tiene
3
( A33 (ζ )N ʹ′j (ζ ))ʹ′ + A3ʹ′ j (ζ ) = 0,
Ni (0) = Ni (l ) = 0
y el efectivo
ˆ = A + A A
A
ij
ij
i3
−1
33
−1 −1
33
A
−1
−1
A33
Ai 3 − Ai 3 A33
Ai 3
Coeficientes efectivos
v  El problema de frontera para obtener el
coeficiente efectivo Ĵ ij resulta
ε ijk ε lpn [ J jl (ξ )Lmp|n (ξ )]|k + ε ijk J jm|k (ξ ) = 0
ε ikl L jk|l (η )ni (η ) Σ = 0,
ε ikl L jk|l (ξ ) = 0,
v  Y el efectivo
Jˆ = J jl (ξ ) + ε kpm J jk (ξ ) Llp|m (ξ )
donde
Pjl (ξ ) = δ jl I + ε jkm Llk|m (ξ ), Pjl (ξ ) = Ajk (ξ )M l|k (ξ ), M l (ξ ) = V E~lT ( x, ξ )
x
Coeficientes efectivos
v En el caso que J ij depende de una sola
coordenada, ξ = ζ
3
ʹ′ (ζ )]ʹ′ + ε IJ J Jm
ʹ′ (ζ ) = 0
ε IJ ε LP [ J JL (ζ ) Lmp
ʹ′ Σ = 0
nI ε IJ LmJ
ε IK Lʹ′jK (ζ ) = 0
y el efectivo
Jˆij = J ij + J iN J
−1
NJ
J
−1 −1
JP
−1
−1
J PL
J LJ − J iN J NJ
J Jj
Conclusiones y recomendaciones
v Las espresiones obtenidas para los
efectivos magneto-electro-elásticos
muestran concordancia con los efectivos
para obtenidos en Bravo-Castillero 2009
para medios periódicos
LOGO
www.themegallery.com